Instruções: Resolva todos os exercícios, justificando cada passo. Exercícios marcados com 🟢 são básicos, 🟡 intermediários e 🔴 avançados. Os exercícios em verde exigem código R; os em amarelo usam dados da Copa 2026.
Exercício 1 🟢
Um sistema computacional monitora o estado de um servidor. O servidor pode estar em um dos seguintes estados: operacional (O), degradado (D) ou offline (F).
(a) Defina o espaço amostral \(\Omega\) desse experimento.
(b) Defina os seguintes eventos e calcule \(|A|\), \(|B|\) e \(|C|\):
(c) Verifique se \(B = C^c\). Justifique.
(d) Calcule \(A \cap B\) e interprete o resultado.
Exercício 2 🟢
Um sistema tem dois servidores independentes, A e B. Cada um pode estar operacional (O) ou com falha (F).
(a) Liste todos os elementos do espaço amostral \(\Omega\) usando pares ordenados \((estado_A,\; estado_B)\).
(b) Defina os eventos:
(c) Liste os elementos de \(E_1 \cup E_2\), \(E_1 \cap E_2\) e \(E_3^c\).
(d) \(E_1\) e \(E_3\) são mutuamente exclusivos? Justifique.
Exercício 3 🟡
Uma fábrica produz microchips. Um inspetor retira três peças ao acaso e classifica cada uma como conforme (C) ou defeituosa (D).
(a) Quantos elementos tem \(\Omega\)? Liste-os.
(b) Defina o evento \(A\) = “exatamente uma peça defeituosa”. Liste seus elementos.
(c) Defina o evento \(B\) = “a primeira peça é conforme”. Liste seus elementos.
(d) Calcule \(A \cap B\), \(A \cup B\) e \(A^c\). Descreva esses eventos em linguagem natural.
(e) \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos? São complementares? Explique.
Exercício 4 🟡
Uma empresa de TI registra os tempos de resposta (em milissegundos) de suas requisições. O servidor é classificado como: rápido (< 100 ms), aceitável (100–300 ms) ou lento (> 300 ms).
Duas requisições consecutivas são monitoradas.
(a) Defina \(\Omega\).
(b) Descreva e liste os elementos de: - \(A\) = “ambas as requisições são rápidas” - \(B\) = “ao menos uma requisição é lenta” - \(C\) = “as duas requisições têm o mesmo nível de desempenho”
(c) \(B\) e \(C\) podem ocorrer simultaneamente? Calcule \(B \cap C\).
(d) Verifique que \(A\), “ambas aceitáveis” e “demais casos” formam uma partição de \(\Omega\).
Exercício 5 🟢
Em um time de desenvolvimento de software com 12 programadores (7 homens e 5 mulheres), um colaborador é escolhido aleatoriamente para apresentar o projeto.
(a) Qual a probabilidade de escolher uma mulher?
(b) Qual a probabilidade de não escolher o programador mais sênior do time?
(c) Se o sorteio for feito entre 3 finalistas previamente selecionados (2 homens e 1 mulher), como a probabilidade do item (a) muda?
Exercício 6 🟢
No lançamento de dois dados honestos de seis faces:
(a) Qual é \(|\Omega|\)?
(b) Calcule a probabilidade de: - A soma dos valores ser igual a 7. - A soma ser maior ou igual a 10. - Os dois dados mostrarem o mesmo valor. - A soma ser um número primo.
(c) Os eventos “soma = 7” e “soma ≥ 10” são mutuamente exclusivos? Verifique pela regra da adição.
Exercício 7 🟡
Um sistema de autenticação gera senhas automáticas de 4 dígitos (0–9), com repetição permitida.
(a) Quantas senhas distintas existem?
(b) Calcule a probabilidade de uma senha sorteada ao acaso: - Começar com o dígito 0. - Ter todos os dígitos iguais. - Ter todos os dígitos diferentes. - Ser um número par (terminar em dígito par).
(c) Verifique se os eventos “começa com 0” e “todos os dígitos iguais” são mutuamente exclusivos.
Exercício 8 🟢 ⚽ (Copa do Mundo 2026)
A Copa de 2026 contará com 48 seleções distribuídas por confederação: UEFA (16), CAF (9), AFC (8), CONCACAF (6), CONMEBOL (6), OFC (1), Repescagem (2).
Usando o modelo clássico (equiprobabilidade):
(a) Calcule a probabilidade de cada confederação ser campeã.
(b) Verifique o Axioma 2 somando todas as probabilidades.
(c) Calcule \(P(\text{seleção das Américas vencer}) = P(\text{CONMEBOL} \cup \text{CONCACAF})\).
(d) Qual a probabilidade de o campeão não ser europeu?
(e) Um aluno afirma: “Como há 48 seleções, todas têm exatamente 2,08% de chance.” Essa afirmação é correta dentro do modelo clássico? Ela é realista? Explique.
Exercício 9 🟡 ⚽ (Copa do Mundo — dados históricos)
Nas 22 edições da Copa do Mundo (1930–2022), os campeões foram:
| País | Títulos | País | Títulos |
|---|---|---|---|
| Brasil | 5 | França | 2 |
| Alemanha | 4 | Uruguai | 2 |
| Itália | 4 | Inglaterra | 1 |
| Argentina | 3 | Espanha | 1 |
(a) Calcule \(P_{\text{freq}}\) de cada país vencer a próxima Copa, assumindo que o histórico é representativo.
(b) Calcule \(P_{\text{freq}}(\text{CONMEBOL vencer})\) e compare com \(P_{\text{clássico}} = 6/48\).
(c) O modelo frequentista atribui \(P = 0\) a CAF, AFC e outras confederações. Isso significa que é impossível uma seleção dessas confederações vencer? Quais são as limitações desse resultado?
(d) Usando o modelo frequentista, calcule: \[P(\text{seleção europeia vencer} \mid \text{última campeã foi sul-americana})\] Sugestão: filtre as edições em que o campeão anterior era da CONMEBOL e veja quantas delas foram seguidas de título europeu.
Exercício 10 🟡 💻 (Exercício com R — Frequentista e LGN)
Execute o código a seguir e responda às perguntas:
set.seed(3719)
n <- 5000
dados <- sample(1:6, size = n, replace = TRUE)
# Frequência relativa acumulada de "sair 6"
freq_acum <- cumsum(dados == 6) / seq_len(n)
ggplot(data.frame(i = 1:n, freq = freq_acum), aes(x = i, y = freq)) +
geom_line(color = "#0072B2") +
geom_hline(yintercept = 1/6, linetype = "dashed", color = "#D73027") +
labs(x = "Número de lançamentos", y = "Freq. relativa de '6'") +
ylim(0, 0.5) + theme_minimal()(a) Qual o valor teórico de \(P(\text{sair 6})\) para um dado justo? Onde ele aparece no gráfico?
(b) Descreva o comportamento da frequência relativa à medida que \(n\) cresce. Que resultado teórico esse comportamento ilustra?
(c) Modifique o código para calcular a frequência relativa acumulada de “sair número par”. O gráfico converge para o valor esperado?
(d) Aumente n para 50.000. O que
acontece com as oscilações? Por quê?
Exercício 11 🟢
Para cada conjunto de valores abaixo, verifique se pode representar uma distribuição de probabilidade válida (isto é, satisfaz os axiomas de Kolmogorov). Justifique.
| Caso | \(P(A)\) | \(P(B)\) | \(P(C)\) | \(A, B, C\) formam partição? |
|---|---|---|---|---|
| (a) | 0,40 | 0,35 | 0,25 | Sim |
| (b) | 0,50 | 0,60 | −0,10 | Sim |
| (c) | 0,30 | 0,30 | 0,30 | Sim |
| (d) | 0,70 | 0,20 | 0,10 | Sim |
| (e) | 1,00 | 0,50 | 0,00 | Não |
Exercício 12 🟡
Para eventos \(A\) e \(B\) com \(P(A) = 0{,}45\), \(P(B) = 0{,}30\) e \(P(A \cap B) = 0{,}15\):
(a) Calcule \(P(A \cup B)\).
(b) Calcule \(P(A^c)\), \(P(B^c)\) e \(P(A^c \cap B^c)\).
(c) \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos? São independentes? Verifique formalmente.
(d) Calcule \(P(A \cup B^c)\).
(e) Verifique que \(P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)\) (Lei de De Morgan).
Exercício 13 🟡
Em uma rede de sensores industriais, sabe-se que:
(a) Calcule \(P(\text{ao menos um sensor falha em 24h})\).
(b) Calcule \(P(\text{nenhum sensor falha em 24h})\).
(c) Os eventos “A falha” e “B falha” são independentes? Justifique numericamente.
(d) Se houvesse um terceiro sensor C, também com \(P = 0{,}05\) e independente de A e B, qual seria a probabilidade de nenhum dos três falhar em 24h?
Exercício 14 🟢
Em um sistema de monitoramento, 40% das requisições vêm de dispositivos móveis (M) e 60% de desktops (D). A probabilidade de erro é:
(a) Calcule \(P(\text{erro} \cap M)\) e \(P(\text{erro} \cap D)\).
(b) Calcule \(P(\text{erro})\) pela fórmula da probabilidade total.
(c) Dado que ocorreu um erro, qual a probabilidade de ter sido uma requisição mobile? Use o Teorema de Bayes.
(d) Interprete o resultado de (c): o erro é mais provável em mobile do que o esperado? Por quê?
Exercício 15 🟡
Uma empresa de software realiza testes em dois ambientes: Produção (P) e Homologação (H). 70% dos bugs são detectados em H e 30% chegam a P. Dos bugs que chegam a P, 80% são críticos. Dos bugs detectados em H, apenas 15% são críticos.
Seja \(C\) = “bug crítico” e \(H\), \(P\) os ambientes onde foi detectado.
(a) Calcule \(P(C)\) pela fórmula da probabilidade total.
(b) Dado que um bug é crítico, qual a probabilidade de ter passado pelo ambiente de produção?
(c) Um gerente afirma: “Se um bug crítico aparece, quase certamente passou direto para produção.” O resultado de (b) sustenta ou refuta essa afirmação?
Exercício 16 🟡
Num sistema de detecção de intrusão (IDS), sabe-se que:
(a) Defina os eventos e calcule \(P(\text{alarme})\) pela probabilidade total.
(b) Dado que o IDS disparou um alarme, qual a probabilidade de ser um ataque real? Use o Teorema de Bayes.
(c) O resultado de (b) surpreende você? Discuta por que a prevalência baixa do ataque (2%) tem tanto impacto.
(d) Se a prevalência de ataques subir para 10% (e as demais probabilidades ficarem iguais), como \(P(\text{ataque real} \mid \text{alarme})\) muda? Calcule e compare.
Exercício 17 🟡 ⚽ (Copa do Mundo — probabilidade condicional)
Na Copa 2026, considere que as 4 semifinalistas serão escolhidas ao longo do torneio. Para fins deste exercício, suponha que as 4 vagas nas semifinais são preenchidas com probabilidades proporcionais às vagas de cada confederação.
(a) Sem nenhuma informação adicional, \(P(\text{CONMEBOL vence a Copa}) = 6/48\). Se soubermos que uma seleção da CONMEBOL chegou à semifinal, o espaço amostral muda. Discuta conceitualmente como \(P(\text{CONMEBOL vence} \mid \text{CONMEBOL na semifinal})\) se relaciona com \(P(\text{CONMEBOL vence})\).
(b) Pelos dados históricos (22 edições), a CONMEBOL chegou à final em 10 ocasiões. Nas 10 finais com a CONMEBOL, ela venceu em todas (pois foram títulos). Calcule \(P_{\text{freq}}(\text{título} \mid \text{final})\) para a CONMEBOL.
(c) Compare \(P_{\text{freq}}(\text{CONMEBOL título}) = 10/22\) com \(P_{\text{freq}}(\text{CONMEBOL título} \mid \text{CONMEBOL na final}) = 10/10\). O que essa diferença revela sobre o poder da informação condicional?
Exercício 18 🟡
Uma empresa fabrica peças em três linhas de produção:
| Linha | Proporção da produção | \(P(\text{defeito})\) |
|---|---|---|
| L1 | 50% | 2% |
| L2 | 30% | 5% |
| L3 | 20% | 8% |
(a) Calcule a probabilidade de uma peça sorteada ao acaso ser defeituosa.
(b) Dado que uma peça é defeituosa, qual a probabilidade de ter sido fabricada na Linha 3?
(c) Um inspetor sorteia uma peça defeituosa. Ele afirma: “Como a Linha 3 tem a maior taxa de defeitos, é mais provável que venha de lá.” Esse raciocínio está correto? Explique usando os resultados de (b).
Exercício 19 🔴 (Desafio)
Um classificador de spam por e-mail foi treinado com os seguintes dados históricos:
(a) Calcule \(P(\text{classificado como spam})\).
(b) Calcule \(P(\text{é spam} \mid \text{classificado como spam})\) — a precisão do classificador.
(c) Calcule \(P(\text{não é spam} \mid \text{classificado como legítimo})\) — o valor preditivo negativo.
(d) Se a proporção de spam aumentar para 60% (situação de ataque), recalcule (b) e (c). O classificador se torna mais ou menos confiável? Explique.
(e) (Extensão) Um engenheiro propõe reduzir a taxa de falso positivo para 0,01 (ao custo de reduzir a sensibilidade para 0,85). Com 25% de spam, essa mudança melhora a precisão? Vale a pena? Justifique numericamente.
Exercício 20 🟡 💻
O código abaixo simula o Teorema de Bayes numericamente para o problema do IDS (Exercício 16).
set.seed(5831)
n_conexoes <- 100000
# Gera conexões: 1 = ataque, 0 = normal
ataque <- rbinom(n_conexoes, 1, prob = 0.02)
# IDS: detecta ataque com P=0.95; falso positivo com P=0.03
alarme <- ifelse(
ataque == 1,
rbinom(n_conexoes, 1, 0.95), # verdadeiro positivo
rbinom(n_conexoes, 1, 0.03) # falso positivo
)
# Tabela de contingência
tab <- table(Ataque = ataque, Alarme = alarme)
prop.table(tab)
# P(ataque real | alarme disparado) — empírica
alarme_real <- sum(ataque == 1 & alarme == 1)
total_alarme <- sum(alarme == 1)
cat("P(ataque | alarme) empírico:", round(alarme_real / total_alarme, 4))(a) Execute o código. O valor empírico de \(P(\text{ataque} \mid \text{alarme})\) é próximo do calculado analiticamente no Exercício 16?
(b) Modifique prob = 0.02 para
prob = 0.10 e execute novamente. Como \(P(\text{ataque} \mid \text{alarme})\) muda?
Está de acordo com o que você calculou em 16(d)?
(c) Construa um gráfico de barras com
ggplot2 mostrando a composição dos alarmes disparados:
quantos foram verdadeiros positivos e quantos foram
falsos positivos.
(d) (Reflexão) Com base na simulação, escreva em 3–5 linhas o que o Teorema de Bayes revela sobre sistemas de detecção de ameaças em contextos de baixa prevalência.
Exercício 21 🔴 💻 (Desafio com R — Copa do Mundo)
# Dados históricos
historico <- data.frame(
ano = c(1930,1934,1938,1950,1954,1958,1962,1966,1970,1974,
1978,1982,1986,1990,1994,1998,2002,2006,2010,2014,2018,2022),
campeao = c("Uruguai","Itália","Itália","Uruguai","Alemanha","Brasil",
"Brasil","Inglaterra","Brasil","Alemanha","Argentina","Itália",
"Argentina","Alemanha","Brasil","França","Brasil","Itália",
"Espanha","Alemanha","França","Argentina"),
conf = c("CONMEBOL","UEFA","UEFA","CONMEBOL","UEFA","CONMEBOL",
"CONMEBOL","UEFA","CONMEBOL","UEFA","CONMEBOL","UEFA",
"CONMEBOL","UEFA","CONMEBOL","UEFA","CONMEBOL","UEFA",
"UEFA","UEFA","UEFA","CONMEBOL")
)(a) Calcule e apresente em um
data.frame a probabilidade frequentista de cada
país vencer, com base nas 22 edições. Ordene do maior
para o menor.
(b) Calcule a probabilidade frequentista de cada confederação vencer. Crie um gráfico de barras comparando com a probabilidade clássica (vagas/48).
(c) Calcule a probabilidade de alternância: dado que o campeão de uma edição é da CONMEBOL, qual a probabilidade frequentista de o próximo ser da UEFA? Use os pares consecutivos de campeões.
(d) Usando apenas os dados históricos, construa a “distribuição preditiva” para a Copa 2026: um gráfico de barras mostrando a probabilidade frequentista de cada país vencer. Adicione uma linha horizontal mostrando a probabilidade clássica (\(1/48\)) para comparação. Comente a visualização.
Exercício 22 🟢
Classifique cada afirmativa como Verdadeira ou Falsa e justifique:
(a) “Se \(P(A) = 0\), então \(A = \emptyset\).”
(b) “Se \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos, então são independentes.”
(c) “Se \(P(A \mid B) = P(A)\), então \(A\) e \(B\) são independentes.”
(d) “A probabilidade frequentista sempre converge para a probabilidade clássica quando \(n \to \infty\).”
(e) “O Teorema de Bayes só é válido para eventos com probabilidade positiva.”
(f) “Se \(A \subset B\), então \(P(A \mid B) = P(A) / P(B)\).”
Exercício 23 🔴 (Questão aberta)
A Copa do Mundo 2026 será sediada por EUA, Canadá e México. O fator sede historicamente influencia o desempenho: seleções da América do Norte (CONCACAF) podem se beneficiar do apoio da torcida.
(a) Como você incorporaria o “fator sede” em um modelo probabilístico para prever o vencedor? Descreva matematicamente usando probabilidade condicional.
(b) No modelo clássico, \(P(\text{CONCACAF vence}) = 6/48 \approx 12{,}5\%\). No modelo frequentista, \(P_{\text{freq}}(\text{CONCACAF vence}) = 0/22 = 0\%\). Proponha um terceiro valor razoável considerando o fator sede, e explique como você chegou a ele (não precisa ser exato — o raciocínio importa).
(c) Esse problema ilustra uma limitação fundamental do modelo frequentista: dados raros ou ausentes não implicam impossibilidade. Que abordagem probabilística — mencionada nas aulas — lida melhor com esse tipo de problema? Explique em 5–8 linhas.
Exercício 24 🔴 (Desafio integrador)
Casas de apostas usam odds (cotações) para precificar eventos. A relação entre odd decimal e probabilidade implícita é:
\[P_{\text{mercado}}(A) = \frac{1}{\text{odd}_A}\]
Suponha que, antes da Copa 2026, as odds decimais para alguns países são:
| País | Odd decimal |
|---|---|
| França | 6,5 |
| Brasil | 7,5 |
| Argentina | 8,0 |
| Espanha | 9,0 |
| Inglaterra | 11,0 |
| Alemanha | 12,0 |
| Demais 42 | (vários) |
(a) Calcule \(P_{\text{mercado}}\) para cada país listado. A soma ultrapassa 1? Por quê? (Dica: casas de apostas incluem uma margem — a “vigorish” ou “vig”.)
(b) Compare \(P_{\text{mercado}}(\text{Brasil})\) com: - \(P_{\text{clássico}}(\text{Brasil}) = 1/48\) - \(P_{\text{freq}}(\text{Brasil}) = 5/22\)
Qual modelo está mais próximo do mercado? O que isso sugere sobre as informações usadas pelo mercado?
(c) Usando o Teorema de Bayes como analogia: - Considere \(P_{\text{freq}}\) como a probabilidade a priori - As odds de mercado como evidência do “desempenho recente” das seleções - Proponha uma fórmula intuitiva para combinar os dois modelos e obter uma “probabilidade a posteriori” para o Brasil.
(d) Essa abordagem tem um nome na literatura. Qual é? Pesquise e escreva 3–5 linhas.
| Bloco | Conceito | Exercícios |
|---|---|---|
| 1 | Espaço amostral e eventos | 1, 2, 3, 4 |
| 2 | Probabilidade clássica | 5, 6, 7, 8 |
| 3 | Probabilidade frequentista | 9, 10 |
| 4 | Axiomas e propriedades | 11, 12, 13 |
| 5 | Probabilidade condicional | 14, 15, 16, 17 |
| 6 | Probabilidade total e Bayes | 18, 19 |
| 7 | Exercícios com R | 20, 21 |
| 8 | Questões conceituais | 22, 23 |
| 9 | Integração | 24 |
Lista elaborada com base nas Aulas 1 e 1a — ITC020/ITA059,
UFAM/ICET.
Dúvidas: hrodrigues@ufam.edu.br