Aula 1 - Introdução à Probabilidade

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# Aula 1 - Introdução à Probabilidade
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## ITC020 / ITA059 – UFAM/ICET
]
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### Prof. Hidelbrando Ferreira Rodrigues
]
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### Universidade Federal do Amazonas – ICET
]
.date[
### 10/03/2026
]

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# Aula 1  
## Introdução à Probabilidade

### Prof. Hidelbrando Ferreira Rodrigues  
#### UFAM -- ICET -- Itacoatiara, AM

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## Roteiro da Aula 1

1. Motivação: por que Probabilidade em Engenharia/TI?
2. Conceitos básicos:
   - Experimento aleatório
   - Espaço amostral `$\Omega$`
   - Evento e operações com eventos
3. Definição clássica e frequentista de probabilidade
4. Axiomas de Kolmogorov e propriedades
5. Probabilidade condicional, independência, regra do produto
6. Probabilidade total e Teorema de Bayes *(se o tempo permitir — continuação na Aula 2)*
7. Atividade com dados / simulação em R
8. Ticket de saída e preparação para a Aula 2

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## Objetivos da Aula

Ao final desta aula, você será capaz de:

- Compreender a relevância da Probabilidade e Estatística para decisões em tecnologia e engenharia
- Diferenciar experimento aleatório, espaço amostral e evento
- Aplicar a definição clássica de probabilidade em situações simples
- Interpretar probabilidade numa visão frequentista (a partir de dados ou simulação)
- Utilizar formalmente probabilidade condicional, regra do produto, probabilidade total e Teorema de Bayes em exemplos simples

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## Por que estudar Probabilidade?

> *"Como transformar incerteza em decisão fundamentada em sistemas, produtos e dados digitais?"*

- **Tomada de decisão sob incerteza** — sistemas de recomendação, filtros de spam
- **Avaliação de riscos** — disponibilidade de servidores, SLAs
- **Base de Machine Learning e IA** — naive Bayes, redes neurais, modelos generativos
- **Testes A/B e experimentos** — avaliação de produtos e features digitais

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## O que é Probabilidade?

### Interpretações

- **Clássica:** casos igualmente prováveis
- **Frequentista:** frequência relativa em muitas repetições
- *(Mais à frente: interpretação Bayesiana)*

Nesta aula:

- Probabilidade clássica
- Probabilidade frequentista
]

.pull-right[
<img src="Aula-1-–-Introdução-à-Probabilidade_files/figure-html/escala-prob-1.png" alt="" width="396" />
]

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## Experimento Aleatório

Um experimento cujo resultado **não pode ser previsto com certeza** antes de sua realização, mas cujo conjunto de resultados possíveis é conhecido.

**Exemplos:**

- Lançar uma moeda
- Lançar um dado
- Tempo de resposta de um servidor web
- Número de requisições simultâneas em um sistema
- Número de defeitos em um lote de produção

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## Espaço Amostral `$\Omega$`

O **espaço amostral** `$\Omega$` é o conjunto de **todos os resultados possíveis** de um experimento aleatório.

| Experimento                  | Espaço Amostral `$\Omega$`                             |
|-----------------------------|------------------------------------------------------|
| Lançar uma moeda            | `$\Omega = \{\text{cara}, \text{coroa}\}$`             |
| Lançar um dado              | `$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$`                           |
| Número de requisições/s     | `$\Omega = \{0,1,2,\dots\}$`                           |
| Tempo de resposta (s)       | `$\Omega = \{t \in \mathbb{R} : t > 0\}$`             |

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## Eventos

Um **evento** `$A$` é qualquer subconjunto do espaço amostral `$\Omega$`.

- Ex.: no lançamento de um dado,
  - `$A =$` "sair par" `$= \{2,4,6\}$`
  - `$B =$` "sair número maior que 4" `$= \{5,6\}$`

### Operações com Eventos

| Operação     | Notação     | Significado           |
|--------------|-------------|-----------------------|
| União        | `$A \cup B$`  | `$A$` **ou** `$B$` ocorre |
| Interseção   | `$A \cap B$`  | `$A$` **e** `$B$` ocorrem |
| Complemento  | `$A^c$`       | `$A$` **não** ocorre    |

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## Operações com Eventos — Diagrama de Venn

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## Definição Clássica de Probabilidade

$$
P(A) = \frac{\text{casos favoráveis a } A}{\text{casos possíveis em } \Omega}
$$

com `$0 \leq P(A) \leq 1$`.

**Exemplo:** dado honesto, evento `$A =$` "sair par"

`$$P(A) = \frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$`
]

.pull-right[
<img src="Aula-1-–-Introdução-à-Probabilidade_files/figure-html/dado-classico-1.png" alt="" width="374.4" />
]

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## Axiomas de Kolmogorov

A probabilidade `$P(\cdot)$` satisfaz os três axiomas:

1. **Não negatividade:**  
   `$P(A) \geq 0$` para todo evento `$A$`

2. **Normalização:**  
   `$P(\Omega) = 1$`

3. **$\sigma$-aditividade (aditividade contável):**  
   Se `$A_1, A_2, \ldots$` são eventos **mutuamente exclusivos dois a dois**  
   (`$A_i \cap A_j = \emptyset$` para `$i \neq j$`), então
   `$$P\!\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$$`

> O caso de dois eventos disjuntos, `$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$`, é um **caso especial** desse axioma.

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## Propriedades Importantes

A partir dos axiomas:

- `$P(\emptyset) = 0$`
- `$P(A^c) = 1 - P(A)$`
- `$0 \leq P(A) \leq 1$`
- Se `$A \subset B$`, então `$P(A) \leq P(B)$`

### Regra da Adição (caso geral)

$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
$$

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## Probabilidade Frequentista

Em experimentos repetidos independentemente, a frequência relativa de `$A$` converge para `$P(A)$`:

$$
P(A) \approx \frac{\text{número de vezes que }A\text{ ocorreu}}{\text{número total de repetições}}
$$

à medida que o número de repetições cresce.

> Este comportamento de convergência é garantido formalmente pela **Lei dos Grandes Números**, que veremos mais adiante no curso.

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## Lei dos Grandes Números — Convergência Visual

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## Simulando Lançamentos de Moeda

``` r
set.seed(2847)
n      <- 100
lanc   <- sample(c(1, 0), n, replace = TRUE, prob = c(0.5, 0.5))
df_sim <- data.frame(i = 1:n, freq = cumsum(lanc) / seq_len(n))

ggplot(df_sim, aes(x = i, y = freq)) +
  geom_line(color = "#0072B2", linewidth = 1) +
  geom_hline(yintercept = 0.5, linetype = "dashed", color = "#D73027") +
  annotate("text", x = 90, y = 0.54, label = "P = 0,5",
           color = "#D73027", size = 4, fontface = "bold") +
  labs(x = "Lançamento", y = "Freq. relativa de cara") +
  ylim(0, 1) + theme_minimal(base_size = 13)
```

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## Probabilidade Condicional — Definição Formal

A **probabilidade condicional** de `$A$` dado `$B$`:
`$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$`

- Mede a chance de `$A$` ocorrer **sabendo que `$B$` já ocorreu**
- `$A \mapsto P(A \mid B)$` também satisfaz os axiomas de Kolmogorov

> **Intuição:** ao saber que `$B$` ocorreu, o espaço amostral **se reduz** a `$B$`.
]

.pull-right[
<img src="Aula-1-–-Introdução-à-Probabilidade_files/figure-html/cond-venn-1.png" alt="" width="374.4" />
]

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## Propriedades de `$P(A \mid B)$`

Se `$P(B) > 0$`:

1. `$0 \leq P(A \mid B) \leq 1$`
2. `$P(\Omega \mid B) = 1$`
3. Se `$A_1,A_2,\dots$` são disjuntos dois a dois, então
   `$$P\!\Big(\bigcup_i A_i \,\Big|\, B\Big) = \sum_i P(A_i \mid B)$$`

Além disso:

- Se `$A \subseteq C$`, então `$P(A \mid B) \leq P(C \mid B)$`
- `$P(A^c \mid B) = 1 - P(A \mid B)$`

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## Regra do Produto (Multiplicação)

Da definição de probabilidade condicional:

`$$P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B) = P(A)\,P(B \mid A)$$`

Essa é a **regra do produto** — útil para calcular probabilidades conjuntas a partir de probabilidades condicionais.

Para três eventos `$A,B,C$` com probabilidades positivas:
`$$P(A \cap B \cap C) = P(A)\,P(B \mid A)\,P(C \mid A \cap B)$$`

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## Independência

Equivalentemente:
`$$P(A \mid B) = P(A) \quad \text{e} \quad P(B \mid A) = P(B)$$`

> A ocorrência de `$B$` **não altera** a chance de `$A$`.

**Exemplo:** dois lançamentos de moeda são independentes — o resultado do 1º não afeta o 2º.
]

.pull-right[
<img src="Aula-1-–-Introdução-à-Probabilidade_files/figure-html/indep-grid-1.png" alt="" width="331.2" />
]

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## Exemplo – Regra do Produto

Em um sistema, 30% das requisições são **via mobile** e 70% **via desktop**.

- `$M =$` "requisição via mobile", `$P(M) = 0{,}3$`
- `$D =$` "requisição via desktop", `$P(D) = 0{,}7$`

Taxa de erro:

- `$P(\text{erro} \mid M) = 0{,}04$`
- `$P(\text{erro} \mid D) = 0{,}01$`

Probabilidade de uma requisição ser via mobile **e** ter erro:
`$$P(\text{erro} \cap M) = P(M)\,P(\text{erro} \mid M) = 0{,}3 \cdot 0{,}04 = 0{,}012$$`

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## Partição do Espaço Amostral

Uma família de eventos `$B_1,\dots,B_n$` é uma **partição de `$\Omega$`** se:

1. `$B_i \cap B_j = \emptyset$`, para `$i \neq j$` (mutuamente exclusivos);
2. `$\displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega$` (cobrem todo o espaço);
3. `$P(B_i) > 0$` para todo `$i$`.

Nesse caso, qualquer evento `$A$` pode ser "decomposto" em:
`$$A = \bigcup_{i=1}^n (A \cap B_i)$$`
com interseções disjuntas.

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## Fórmula da Probabilidade Total

Se `$(B_1,\dots,B_n)$` é uma partição de `$\Omega$` com `$P(B_i) > 0$`, então:

`$$P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i)\,P(A \mid B_i)$$`

**Interpretação:** a probabilidade de `$A$` é a média ponderada das probabilidades de `$A$` em cada cenário `$B_i$`.

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## Probabilidade Total — Árvore de Decisão

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## Exemplo – Cálculo de Probabilidade Total

Pela **fórmula da probabilidade total**:
$$
`\begin{aligned}
P(\text{erro})
&= P(M)\,P(\text{erro} \mid M) + P(D)\,P(\text{erro} \mid D) \\
&= 0{,}3 \cdot 0{,}04 + 0{,}7 \cdot 0{,}01 \\
&= 0{,}012 + 0{,}007 = 0{,}019
\end{aligned}`
$$

Ou seja, **1,9%** das requisições, em média, apresentam erro.

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## Teorema de Bayes (Forma Básica)

Seja `$(B_1,\dots,B_n)$` uma partição de `$\Omega$` com `$P(B_i) > 0$`.

Para qualquer evento `$A$` com `$P(A) > 0$`, o **Teorema de Bayes** afirma:
`$$P(B_j \mid A) =
\frac{P(B_j)\,P(A \mid B_j)}
{\displaystyle \sum_{i=1}^n P(B_i)\,P(A \mid B_i)},
\qquad j = 1,\dots,n.$$`

- Numerador: **probabilidade conjunta** `$P(B_j \cap A)$`;
- Denominador: `$P(A)$`, obtido pela fórmula da probabilidade total.

Bayes inverte a ordem: de `$P(A \mid B_j)$` para `$P(B_j \mid A)$`.

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## Teorema de Bayes — Interpretação

.pull-left[
- `$P(B_j)$`: **a priori** — antes de observar `$A$`
- `$P(A \mid B_j)$`: **verossimilhança** — chance de `$A$` sob `$B_j$`
- `$P(B_j \mid A)$`: **a posteriori** — após observar `$A$`

> Observar `$A$` **atualiza** nossa crença sobre qual `$B_j$` está em jogo.

Em ML: base do classificador **Naive Bayes** e de toda inferência Bayesiana.
]

.pull-right[
<img src="Aula-1-–-Introdução-à-Probabilidade_files/figure-html/bayes-chart-1.png" alt="" width="360" />
]

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## Exemplo – Bayes em Versão Simples

Considere:

- 10% das requisições são de usuários **VIP** (`$V$`) e 90% de usuários **regulares** (`$R$`);
- Probabilidade de erro:
  - `$P(\text{erro} \mid V) = 0{,}02$`;
  - `$P(\text{erro} \mid R) = 0{,}015$`.

Pergunta: dado que houve erro, qual a probabilidade de a requisição ser de um usuário VIP?

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## Exemplo – Cálculo de Bayes

Probabilidade total de erro:
$$
`\begin{aligned}
P(\text{erro}) &= 0{,}1 \cdot 0{,}02 + 0{,}9 \cdot 0{,}015
= 0{,}002 + 0{,}0135 = 0{,}0155
\end{aligned}`
$$

Pelo Teorema de Bayes:
$$
P(V \mid \text{erro})
= \frac{P(V)\,P(\text{erro} \mid V)}{P(\text{erro})}
= \frac{0{,}1 \cdot 0{,}02}{0{,}0155}
= \frac{0{,}002}{0{,}0155}
\approx 0{,}129
$$

Ou seja, **~13%** dos erros vêm de usuários VIP — embora eles sejam apenas 10% do total.

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## Resumo Conceitual (1)

- **Probabilidade condicional:**
  `$$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$`
- **Regra do produto:**
  `$$P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B) = P(A)\,P(B \mid A)$$`
- **Independência:**
  `$$P(A \cap B) = P(A)\,P(B)
  \iff P(A \mid B) = P(A)
  \iff P(B \mid A) = P(B)$$`

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## Resumo Conceitual (2)

Com uma **partição** `$(B_1,\dots,B_n)$`:

- **Probabilidade total:**
  `$$P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i)\,P(A \mid B_i)$$`

- **Teorema de Bayes:**
  `$$P(B_j \mid A) =
  \frac{P(B_j)\,P(A \mid B_j)}
  {\displaystyle \sum_{i=1}^n P(B_i)\,P(A \mid B_i)}$$`

Esses resultados fecham o bloco necessário para aprofundar **Bayes** e aplicações em IA/ML nas próximas aulas.

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## Conexão com Estatística

- **Probabilidade:** trabalha com **modelos** → dos fenômenos para os dados.
- **Estatística:** trabalha com **dados** → dos dados para os modelos.

Nesta disciplina, usaremos Probabilidade como base para:

- Estimativa (média, variância etc.)
- Testes de hipóteses
- Intervalos de confiança
- Modelos probabilísticos (Binomial, Poisson, Normal, etc.)

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## Atividade em Sala (Metodologia Ativa)

### Em grupos (3–4 estudantes)

1. Escolham um contexto da sua área (TI, Engenharia de Produção, Software etc.).
2. Descrevam um **experimento aleatório** relevante.
3. Definam o **espaço amostral** `$\Omega$` (discreto ou contínuo).
4. Proponham **3 eventos** de interesse (sucesso, falha, atraso etc.).
5. Discutam:
   - Quais eventos são mutuamente exclusivos?
   - Há eventos que parecem independentes? Por quê?

**Tempo:** 15 minutos.  
**Produto:** pequeno mapa conceitual para compartilhamento.

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## Minilab R — Distribuição de Requisições

``` r
set.seed(6391)
n_min       <- 60
req_por_min <- rpois(n_min, lambda = 5)   # modelo Poisson (virá depois)

ggplot(data.frame(req = req_por_min), aes(x = req)) +
  geom_bar(fill = "#0072B2", color = "white", width = 0.7) +
  geom_vline(xintercept = mean(req_por_min),
             linetype = "dashed", color = "#D73027", linewidth = 1) +
  annotate("text", x = mean(req_por_min) + 0.6, y = 11,
           label = paste0("média = ", round(mean(req_por_min), 1)),
           color = "#D73027", size = 4, fontface = "bold") +
  labs(x = "Requisições por minuto", y = "Frequência",
       title = "Distribuição de requisições — simulação Poisson(\u03bb = 5)") +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
```

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## Ticket de Saída (individual)

Responda, em 3–5 linhas cada:

1. O que é um **espaço amostral** `$\Omega$`?
2. Se `$P(A) = 0{,}3$` e `$P(B) = 0{,}5$` e `$A \cap B = \emptyset$`, qual é `$P(A \cup B)$`? Justifique.
3. Cite um exemplo **da sua área** em que a noção de probabilidade condicional `$P(A \mid B)$` seja importante.

Entregar ao final da aula (papel ou AVA).

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## Para a Próxima Aula

### Pré-aula (tarefa assíncrona)

- Indique **2 bases de dados abertas** (educação, saúde, mobilidade, esportes etc.) que possam ser usadas na disciplina:
  1. Link da base
  2. Breve descrição (3–5 linhas)
  3. Uma pergunta investigável que a base pode ajudar a responder

### Leitura sugerida

- MORETTIN & BUSSAB — Cap. 1 (Introdução)
- MONTGOMERY & RUNGER — Seções de probabilidade básica

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## Referências

### Básicas

- LEVINE, D. M. et al. *Estatística: teoria e aplicações usando MS Excel*. LTC, 2012.
- MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. *Estatística Básica*. 7. ed. Saraiva, 2011.
- SPIEGEL, M. R.; STEPHENS, L. J. *Estatística*. Bookman, 2009.
- MONTGOMERY, D.; RUNGER, C. *Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros*. 6. ed. LTC, 2016.
- DEVORE, J. L. *Probabilidade e Estatística: para Engenharia e Ciências*. Pioneira Thomson Learning.

### Complementares

- BORNIA, A. C.; BARBETTA, P. A.; REIS, M. M. *Estatística para cursos de engenharia e informática*. Atlas, 2008.
- GRIFFITHS, D. *Use a cabeça! Estatística*. Alta Books, 2009.
- LARSON, R.; FARBER, B. *Estatística Aplicada*. Pearson, 2010.
- RONALD, E. W. *Probabilidade e estatística para engenharia e ciências*. Prentice Hall, 2009.
- ROCHA, B. D. *R Básico — Estudando o Ambiente R, Vol. I*. (Material de apoio computacional da disciplina).

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# Obrigado!

### Nos vemos na próxima aula

**hrodrigues@ufam.edu.br**

*UFAM -- ICET -- Itacoatiara, AM*