Teoría de meustreo

¿Qué es el Muestreo Estadístico?

El muestreo estadístico es el proceso o conjunto de métodos utilizados para seleccionar un subconjunto representativo de una población, con el fin de realizar inferencias sobre las características de dicha población.

En lugar de analizar a todos los individuos (lo cual sería un censo), tomamos una “parte” para ahorrar tiempo y recursos.

Nota: Para que los resultados sean válidos, la muestra debe ser representativa, es decir, debe reflejar fielmente las características del grupo más grande.

2. Conceptos Clave

Para entender el muestreo, debemos dominar estos términos:

  • Población (\(N\)): El conjunto total de elementos que queremos estudiar.
  • Muestra (\(n\)): El subconjunto de la población que efectivamente observamos.
  • Individuo o Unidad Muestral: Cada uno de los elementos de la población.
  • Error Muestral: La diferencia entre los resultados obtenidos de la muestra y el valor real de la población.

3. Tipos de Muestreo

Los métodos se dividen principalmente en dos grandes familias:

A. Muestreo Probabilístico (Aleatorio)

Todos los elementos tienen una probabilidad conocida de ser elegidos. Es el más riguroso científicamente.

  1. Aleatorio Simple: Como un sorteo; cada elemento tiene la misma probabilidad.
  2. Sistemático: Se elige un punto de partida al azar y luego se selecciona cada \(k\)-ésimo elemento.
  3. Estratificado: Se divide la población en grupos (estratos) y se toma una muestra de cada uno.
  4. Por Conglomerados: Se seleccionan grupos enteros (como escuelas o barrios) en lugar de individuos.

B. Muestreo No Probabilístico

La selección depende del juicio del investigador o de la conveniencia.

  • Por conveniencia: Se eligen los sujetos más accesibles.
  • Bola de nieve: Los participantes reclutan a otros conocidos.
  • Por cuotas: Se busca una cantidad específica de personas con ciertos rasgos.

4. Ejemplo en R: Simulación de Muestreo Aleatorio

A continuación, creamos una “población” de 1,000 personas con una altura promedio y tomamos una muestra de 50.

# 1. Crear una población con distribución normal (media=170cm, sd=10)
set.seed(123) # Para reproducibilidad
poblacion <- rnorm(1000, mean = 170, sd = 10)

# 2. Tomar una muestra aleatoria simple de 50 personas
muestra <- sample(poblacion, size = 50)

# 3. Comparar promedios
mean_poblacion <- mean(poblacion)
mean_muestra <- mean(muestra)

cat("Media Poblacional:", round(mean_poblacion, 2), "\n")
## Media Poblacional: 170.16
cat("Media de la Muestra:", round(mean_muestra, 2), "\n")
## Media de la Muestra: 169.4

1. Introducción

El estimador de Horvitz-Thompson (HT) es fundamental en el muestreo probabilístico con probabilidades de inclusión desiguales. A diferencia de los estimadores clásicos, el HT permite obtener inferencias válidas sobre una población independientemente del diseño de muestreo utilizado, siempre que se conozcan las probabilidades de selección.

2. Definición del Estimador

Sea una población de tamaño \(N\). Queremos estimar el total poblacional \(Y = \sum_{i=1}^N y_i\).

Si seleccionamos una muestra \(s\) con una probabilidad de inclusión de primer orden \(\pi_i = P(i \in s)\), el estimador de HT se define como:

\[\hat{Y}_{HT} = \sum_{i \in s} \frac{y_i}{\pi_i}\]

Donde \(w_i = 1/\pi_i\) se conoce como el peso de diseño. Este peso representa a cuántos individuos de la población “representa” el individuo seleccionado en la muestra.

3. Propiedad de Insesgadez

El estimador de Horvitz-Thompson es siempre insesgado para el total poblacional, bajo cualquier diseño de muestreo donde \(\pi_i > 0\) para todo \(i\).

Demostración:

Definimos una variable indicadora \(I_i\), tal que: \[I_i = \begin{cases} 1 & \text{si } i \in s \\ 0 & \text{si } i \notin s \end{cases}\] Donde \(E[I_i] = \pi_i\). Entonces podemos reescribir el estimador como: \[\hat{Y}_{HT} = \sum_{i=1}^N I_i \frac{y_i}{\pi_i}\]

Aplicando la esperanza: \[E[\hat{Y}_{HT}] = \sum_{i=1}^N E[I_i] \frac{y_i}{\pi_i} = \sum_{i=1}^N \pi_i \frac{y_i}{\pi_i} = \sum_{i=1}^N y_i = Y\]

4. Varianza del Estimador

La varianza del estimador HT depende de las probabilidades de inclusión de segundo orden \(\pi_{ij} = P(i, j \in s)\).

4.1. Fórmula General de Horvitz-Thompson

\[\text{Var}(\hat{Y}_{HT}) = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N (\pi_{ij} - \pi_i \pi_j) \frac{y_i}{\pi_i} \frac{y_j}{\pi_j}\]

4.2. Fórmula de Sen-Yates-Grundy (SYG)

Para diseños de muestreo de tamaño de muestra fijo (\(n\)), la varianza se puede expresar de forma alternativa, lo que suele ser más estable: \[\text{Var}(\hat{Y}_{HT}) = \sum_{i=1}^N \sum_{j>i}^N (\pi_i \pi_j - \pi_{ij}) \left( \frac{y_i}{\pi_i} - \frac{y_j}{\pi_j} \right)^2\]

5. Estimación de la Varianza (Varianza Estimada)

Dado que en la práctica no conocemos los valores \(y_i\) de toda la población, estimamos la varianza a partir de los datos muestrales.

Estimador de Sen-Yates-Grundy:

\[\hat{\text{Var}}(\hat{Y}_{HT}) = \sum_{i \in s} \sum_{j > i \in s} \frac{\pi_i \pi_j - \pi_{ij}}{\pi_{ij}} \left( \frac{y_i}{\pi_i} - \frac{y_j}{\pi_j} \right)^2\]

Este estimador es insesgado para la varianza real siempre que \(\pi_{ij} > 0\) para todos los pares.

6. Aproximación de la Varianza

En diseños complejos (como el muestreo sistemático), las probabilidades \(\pi_{ij}\) pueden ser extremadamente difíciles de calcular. En estos casos, se utiliza la aproximación de Hartley-Rao o se asume un diseño con reemplazo (aunque sea sin reemplazo) para simplificar el cálculo:

\[\hat{\text{Var}}_{aprox}(\hat{Y}_{HT}) \approx \frac{n}{n-1} \sum_{i \in s} \left( \frac{y_i}{\pi_i} - \frac{\hat{Y}_{HT}}{n} \right)^2\]

Esta aproximación es común en software estadístico cuando el tamaño de la población es mucho mayor que el de la muestra (fracción de muestreo pequeña).

Ejemplo rápido en R

Usando la librería survey para aplicar el estimador HT:

library(survey)
## Warning: package 'survey' was built under R version 4.5.3
# Datos de ejemplo
data(api)

# Diseño de muestreo aleatorio simple (proporcional)
# En este caso pi_i = n/N para todos
dstrat <- svydesign(id=~1, data=apistrat, fpc=~fpc)
## Warning in as.fpc(fpc, strata, ids, pps = pps): `fpc' varies within strata:
## stratum 1 at stage 1
# Estimación del total usando HT
total_ht <- svytotal(~api00, dstrat)
print(total_ht)
##         total    SE
## api00 1770966 88340
# Varianza estimada
vcov(total_ht)
##            api00
## api00 7803970679

1. El Estimador de la Media (\(\bar{y}\))

En un MAS de tamaño \(n\) sobre una población de tamaño \(N\), el estimador de la media poblacional \(\bar{Y}\) es la media muestral:

\[\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i \in s} y_i\]

Insesgadez

Para demostrar que \(E[\bar{y}] = \bar{Y}\), usamos la variable indicadora \(I_i\) (\(1\) si el elemento está en la muestra, \(0\) si no):

\[E[\bar{y}] = E\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^N I_i y_i \right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^N y_i E[I_i]\]

Como en MAS la probabilidad de inclusión es \(\pi_i = P(I_i=1) = n/N\): \[E[\bar{y}] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^N y_i \left( \frac{n}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N y_i = \bar{Y}\]

2. Demostración de la Varianza del Estimador

La varianza de la media muestral en un muestreo sin reemplazo está dada por:

\[Var(\bar{y}) = \left( 1 - \frac{n}{N} \right) \frac{S^2}{n}\]

Donde \(S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (y_i - \bar{Y})^2\).

Paso 1: Definición inicial

\[Var(\bar{y}) = Var\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^N I_i y_i \right) = \frac{1}{n^2} \left[ \sum_{i=1}^N y_i^2 Var(I_i) + \sum_{i=1}^N \sum_{j \neq i}^N y_i y_j Cov(I_i, I_j) \right]\]

Paso 2: Momentos de la indicadora \(I_i\)

  • Varianza: \(Var(I_i) = \pi_i(1 - \pi_i) = \frac{n}{N}(1 - \frac{n}{N})\).
  • Covarianza: \(Cov(I_i, I_j) = E[I_i I_j] - E[I_i]E[I_j]\).
    • \(E[I_i I_j] = \pi_{ij} = \frac{n(n-1)}{N(N-1)}\) (Probabilidad de que ambos estén en la muestra).
    • \(Cov(I_i, I_j) = \frac{n(n-1)}{N(N-1)} - \frac{n^2}{N^2} = - \frac{n(N-n)}{N^2(N-1)}\).

Paso 3: Sustitución y Álgebra

Sustituyendo estos valores y simplificando mediante la identidad \(\sum \sum y_i y_j = (\sum y_i)^2 - \sum y_i^2\), llegamos a la expresión final:

\[Var(\bar{y}) = \frac{N-n}{Nn} S^2 = \frac{1-f}{n} S^2\]

Donde \(f = n/N\) es la fracción de muestreo.

3. Estimador de la Varianza (Varianza Estimada)

Puesto que \(S^2\) es un parámetro poblacional desconocido, lo estimamos mediante la varianza residual de la muestra (\(s^2\)):

\[\hat{Var}(\bar{y}) = \frac{1-f}{n} s^2\]

Donde \(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i \in s} (y_i - \bar{y})^2\).

Importante: El factor \((1-f)\) se denomina Factor de Corrección por Población Finita (FPC). Si la población es muy grande comparada con la muestra (\(f \to 0\)), el FPC se aproxima a 1 y la fórmula se reduce a la varianza clásica del muestreo con reemplazo: \(s^2/n\).

4. Ejemplo en R

# Supongamos una población de N=1000 y muestra de n=100
N <- 1000
n <- 100
f <- n/N

# Población simulada
y_pob <- rnorm(N, mean=50, sd=10)
S2_pob <- var(y_pob)

# Varianza teórica de la media
var_teorica <- (1 - f) * (S2_pob / n)

# Muestra
y_muest <- sample(y_pob, n)
s2_muest <- var(y_muest)

# Varianza estimada
var_estimada <- (1 - f) * (s2_muest / n)

cat("Varianza Teórica:", var_teorica, "\n")
## Varianza Teórica: 0.9351791
cat("Varianza Estimada:", var_estimada)
## Varianza Estimada: 1.030176

1. Teoría del Muestreo de Bernoulli

En el muestreo de Bernoulli, el tamaño de la muestra no es fijo; es una variable aleatoria que sigue una distribución Binomial \(n \sim Bin(N, \pi)\).

Definición del Estimador

Para estimar el total poblacional \(Y\), se utiliza el estimador de Horvitz-Thompson: \[\hat{Y}_{Ber} = \frac{1}{\pi} \sum_{i \in s} y_i = \frac{1}{\pi} \sum_{i=1}^N I_i y_i\] Donde \(I_i\) son variables aleatorias independientes \(I_i \sim Bernoulli(\pi)\).

Varianza del Estimador de Bernoulli

La varianza del total estimado en un muestreo de Bernoulli es: \[Var(\hat{Y}_{Ber}) = \frac{1 - \pi}{\pi} \sum_{i=1}^N y_i^2\]

2. Demostración Matemática: ¿Cuál es más eficiente?

Para comparar la eficiencia, comparamos la varianza del total del Muestreo de Bernoulli frente al Muestreo Aleatorio Simple (MAS), asumiendo que el tamaño de muestra esperado en Bernoulli es igual al tamaño fijo en MAS (\(n = N\pi\)).

Varianza en MAS (Tamaño fijo \(n\)):

\[Var(\hat{Y}_{MAS}) = N^2 \left( 1 - \frac{n}{N} \right) \frac{S^2}{n}\] Recordando que \(S^2 = \frac{1}{N-1} \sum (y_i - \bar{Y})^2\).

La Comparación

Podemos descomponer la suma de cuadrados de la varianza de Bernoulli (\(\sum y_i^2\)): \[\sum_{i=1}^N y_i^2 = (N-1)S^2 + N\bar{Y}^2\]

Sustituyendo esto en la varianza de Bernoulli con \(\pi = n/N\): \[Var(\hat{Y}_{Ber}) = \frac{1 - n/N}{n/N} \left( (N-1)S^2 + N\bar{Y}^2 \right)\] \[Var(\hat{Y}_{Ber}) = N^2 \left( 1 - \frac{n}{N} \right) \frac{S^2}{n} \left[ \frac{N-1}{N} \right] + \frac{N^2(1-f)}{n}\bar{Y}^2\]

Comparando término a término con \(Var(\hat{Y}_{MAS})\): \[Var(\hat{Y}_{Ber}) \approx Var(\hat{Y}_{MAS}) + \frac{N^2(1-f)}{n}\bar{Y}^2\]

Conclusión de Eficiencia

Matemáticamente, el Muestreo Aleatorio Simple (MAS) es más eficiente que el muestreo de Bernoulli.

La razón es que en el muestreo de Bernoulli hay dos fuentes de variabilidad: 1. La variabilidad de los valores \(y_i\) seleccionados (común a ambos). 2. La variabilidad del tamaño de la muestra (\(n\) no es constante).

El término extra \(\frac{N^2(1-f)}{n}\bar{Y}^2\) representa el “costo” en precisión por no saber exactamente cuántos elementos entrarán en la muestra.

3. Simulación en R

N <- 1000
pi <- 0.1
y <- rnorm(N, mean = 100, sd = 15) # Población

# Simulación de Bernoulli
sim_ber <- replicate(1000, {
  muest_ber <- y[runif(N) < pi]
  sum(muest_ber) / pi
})

# Simulación de MAS (n fijo = N * pi = 100)
sim_mas <- replicate(1000, {
  muest_mas <- sample(y, size = N*pi)
  sum(muest_mas) / (N*pi/N) # N * media muestral
})

cat("Varianza Bernoulli:", var(sim_ber), "\n")
## Varianza Bernoulli: 89471740
cat("Varianza MAS:", var(sim_mas), "\n")
## Varianza MAS: 2019779
cat("Relación de varianzas (Ber/MAS):", var(sim_ber)/var(sim_mas))
## Relación de varianzas (Ber/MAS): 44.29779
  1. Definición Técnica El muestreo de Poisson es un diseño de muestreo probabilístico donde:
  2. Cada unidad \(i\) en la población tiene una probabilidad de inclusión \(\pi_i\) conocida.
  3. Los indicadores de inclusión \(I_i\) son variables aleatorias independientes de Bernoulli, \(I_i \sim Ber(\pi_i)\).
  4. El tamaño de la muestra \(n = \sum I_i\) es aleatorio, con esperanza \(E[n] = \sum \pi_i\).

2. El Estimador de Horvitz-Thompson

Para estimar el total poblacional \(Y\), se utiliza: \[\hat{Y}_{P} = \sum_{i \in s} \frac{y_i}{\pi_i}\]

Insesgadez

Al igual que en otros diseños probabilísticos, el estimador es insesgado: \[E[\hat{Y}_P] = E\left[ \sum_{i=1}^N I_i \frac{y_i}{\pi_i} \right] = \sum_{i=1}^N \frac{y_i}{\pi_i} E[I_i] = \sum_{i=1}^N y_i = Y\]

3. Varianza del Estimador

Debido a la independencia de las unidades (lo que implica que las covarianzas entre \(I_i\) e \(I_j\) son cero), la varianza es notablemente simple:

\[\text{Var}(\hat{Y}_P) = \sum_{i=1}^N \left( \frac{1 - \pi_i}{\pi_i} \right) y_i^2\]

Estimación de la Varianza

A partir de la muestra, el estimador insesgado de la varianza es: \[\widehat{\text{Var}}(\hat{Y}_P) = \sum_{i \in s} \frac{1 - \pi_i}{\pi_i^2} y_i^2\]

4. Comparación y Eficiencia

El muestreo de Poisson suele ser más eficiente que el de Bernoulli si las probabilidades \(\pi_i\) se eligen de forma que sean proporcionales al tamaño de la variable \(y_i\) (Muestreo PPT).

Ventajas y Desventajas

  • Ventajas: Es extremadamente flexible y fácil de implementar en poblaciones grandes donde no se puede controlar el tamaño de muestra final de forma estricta.
  • Desventajas: La variabilidad del tamaño de la muestra (\(n\)) introduce una varianza adicional en comparación con diseños de tamaño fijo (como el MAS o muestreos sistemáticos PPT).

5. Simulación en R

Simularemos un escenario donde la probabilidad de ser elegido depende de una variable auxiliar \(x\) (por ejemplo, el tamaño de una empresa).

set.seed(42)
N <- 500
x <- rgamma(N, shape = 2, scale = 10) # Variable auxiliar
y <- 5 * x + rnorm(N, 0, 10)           # Variable de interés relacionada con x

# Definir probabilidades pi_i proporcionales a x (n esperado = 50)
pi <- 50 * (x / sum(x))
pi[pi > 1] <- 1 # Truncar probabilidades mayores a 1

# Proceso de Muestreo de Poisson
I <- rbinom(N, 1, pi)
muestra_y <- y[I == 1]
muestra_pi <- pi[I == 1]

# Estimación HT
total_est <- sum(muestra_y / muestra_pi)
total_real <- sum(y)

cat("Total Real:", total_real, "\n")
## Total Real: 47897.89
cat("Total Estimado (Poisson):", total_est, "\n")
## Total Estimado (Poisson): 47220.96
cat("Tamaño de muestra obtenido:", sum(I), "\n")
## Tamaño de muestra obtenido: 51

Un detalle importante:

Si el tamaño de muestra variable es un problema para tu investigación, se suele utilizar el Estimador de Razón de Hájek, que ajusta el total de Poisson dividiéndolo por el tamaño de muestra observado para reducir el impacto de la aleatoriedad de \(n\):

\[\hat{Y}_{Hájek} = N \frac{\sum_{i \in s} (y_i / \pi_i)}{\sum_{i \in s} (1 / \pi_i)}\]

Muestreo Con Reemplazo (MCR)

También conocido como Muestreo Aleatorio Simple con Reposición. En este diseño: * Cada elemento seleccionado se devuelve a la población antes de la siguiente extracción. * Un mismo individuo puede aparecer varias veces en la muestra. * Las extracciones son independientes. * La probabilidad de selección permanece constante: \(\pi_i = 1/N\).

Muestreo Sin Reemplazo (MSR)

Es el diseño más común en la práctica (encuestas, auditorías). * Una vez seleccionado un elemento, no vuelve a la población. * Un individuo solo puede aparecer una vez. * Las extracciones son dependientes (la probabilidad cambia en cada paso). * El tamaño de la muestra es finito y limitado por \(N\).

2. Comparación de Varianzas

Sea \(\bar{y}\) el estimador de la media poblacional \(\bar{Y}\).

Varianza en MCR:

\[Var(\bar{y}_{MCR}) = \frac{\sigma^2}{n}\] Donde \(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum (y_i - \bar{Y})^2\).

Varianza en MSR:

\[Var(\bar{y}_{MSR}) = \frac{S^2}{n} \left( 1 - \frac{n}{N} \right)\] Donde \(S^2 = \frac{1}{N-1} \sum (y_i - \bar{Y})^2\) y el término \((1 - f)\) con \(f = n/N\) es el Factor de Corrección por Población Finita (FPC).

3. Demostración de Eficiencia

Para comparar cuál es más eficiente, analizamos cuál tiene la menor varianza para un mismo tamaño de muestra \(n\).

Sabemos que \(S^2 \approx \sigma^2\) cuando \(N\) es grande. La diferencia clave radica en el FPC: 1. En MSR, a medida que \(n\) crece, \((1 - n/N)\) se hace más pequeño, reduciendo la varianza. 2. Si \(n > 1\), entonces \((1 - n/N) < 1\).

Conclusión: El Muestreo Sin Reemplazo es SIEMPRE más eficiente (o igual si \(n=1\)) que el Muestreo Con Reemplazo, ya que al no repetir elementos, capturamos más información única de la población, lo que reduce la incertidumbre del estimador.

4. Implementación en R

R permite controlar esto fácilmente con el argumento replace en la función sample().

# Configuración
N <- 100
n <- 30
poblacion <- rnorm(N, mean = 100, sd = 15)

# 1. Muestreo Con Reemplazo (MCR)
set.seed(1)
muestra_con <- sample(poblacion, size = n, replace = TRUE)

# 2. Muestreo Sin Reemplazo (MSR)
set.seed(1)
muestra_sin <- sample(poblacion, size = n, replace = FALSE)

# Comparación de errores estándar (Simulación)
sim_con <- replicate(10000, mean(sample(poblacion, n, replace = TRUE)))
sim_sin <- replicate(10000, mean(sample(poblacion, n, replace = FALSE)))

cat("Varianza simulación MCR:", var(sim_con), "\n")
## Varianza simulación MCR: 7.144891
cat("Varianza simulación MSR:", var(sim_sin), "\n")
## Varianza simulación MSR: 5.076641
cat("Reducción de varianza:", (1 - var(sim_sin)/var(sim_con))*100, "%")
## Reducción de varianza: 28.94725 %

1. Teoría del Muestreo Sistemático

El muestreo sistemático consiste en seleccionar un punto de partida aleatorio y luego elegir cada \(k\)-ésimo elemento de la población hasta completar el tamaño de muestra \(n\).

El procedimiento:

  1. Calcular el intervalo de salto (\(k\)): \(k = N/n\) (redondeado al entero más cercano).
  2. Elegir el arranque aleatorio (\(a\)): Se selecciona un número al azar entre \(1\) y \(k\).
  3. Selección de la muestra: Los elementos seleccionados serán \(a, a+k, a+2k, \dots, a+(n-1)k\).

2. Comparación de Eficiencia

La eficiencia del muestreo sistemático depende críticamente del orden de la población. Se puede comparar con el MAS mediante el coeficiente de correlación intraclásica (\(\rho\)):

\[Var(\bar{y}_{sis}) = \frac{S^2}{n} [1 + (n-1)\rho]\]

Escenarios de Eficiencia:

  • Población Aleatoria: Si el orden de los elementos es totalmente azaroso, el muestreo sistemático es equivalente al MAS (\(\rho \approx 0\)).
  • Población con Tendencia (Monotónica): Si los elementos están ordenados de menor a mayor (ej. ingresos), el muestreo sistemático es más eficiente que el MAS (\(\rho < 0\)), ya que garantiza una cobertura uniforme de todo el rango.
  • Población con Periodicidad: Si existe un ciclo en los datos que coincide con el intervalo \(k\), la eficiencia es muy baja (\(\rho > 1\)), ya que la muestra podría captar siempre el mismo tipo de unidad (ej. seleccionar siempre las ventas de los lunes).

3. Implementación en R

R no tiene una función única en el paquete base para muestreo sistemático, pero es muy sencillo de programar.

# 1. Crear una población con tendencia (más eficiente para sistemático)
set.seed(123)
N <- 200
n <- 20
poblacion <- sort(rnorm(N, mean = 50, sd = 10)) # Población ordenada

# 2. Función de Muestreo Sistemático
muestreo_sistematico <- function(pob, n_muestra) {
  N_pob <- length(pob)
  k <- floor(N_pob / n_muestra) # Salto
  arranque <- sample(1:k, 1)    # Arranque aleatorio
  indices <- seq(from = arranque, by = k, length.out = n_muestra)
  return(pob[indices])
}

# 3. Ejecución
muestra_sis <- muestreo_sistematico(poblacion, n)

# 4. Comparación de Medias
cat("Media Poblacional:", mean(poblacion), "\n")
## Media Poblacional: 49.9143
cat("Media Muestra Sistemática:", mean(muestra_sis), "\n")
## Media Muestra Sistemática: 50.24207
plot(poblacion, col="gray", pch=20, main="Selección Sistemática sobre Población Ordenada")
points(seq(from=sample(1:(200/20), 1), by=200/20, length.out=20), 
       muestra_sis, col="red", pch=19, cex=1.5)
legend("topleft", legend="Elementos seleccionados", col="red", pch=19)

¿Por qué elegirías este método?

Es ideal cuando tienes “marcos muestrales” físicos (como una fila de personas o carpetas en un archivo) donde ir saltando de \(k\) en \(k\) es mucho más rápido que generar 50 números aleatorios distintos y buscarlos uno por uno.

  1. Muestreo con Probabilidad Proporcional al Tamaño (PPT)

En los diseños anteriores (MAS, Bernoulli), todos los elementos tenían la misma probabilidad de entrar. En el muestreo PPT, la probabilidad de selección \(\pi_i\) de una unidad es proporcional a una variable auxiliar \(x_i\) (el “tamaño”) que está correlacionada con la variable de interés \(y_i\).

¿Por qué usarlo?

Si queremos estimar el total de ventas de un país, es más eficiente darle más probabilidad de selección a las empresas grandes que a las pequeñas, ya que las grandes aportan más a la variabilidad del total.

Fórmulas clave:

\[\pi_i = n \cdot \frac{x_i}{\sum_{j=1}^N x_j}\]

2. Muestreo por Cuotas (No Probabilístico)

Es el diseño más utilizado en investigación de mercados y encuestas de opinión rápida. Se asienta en la premisa de que si la muestra se parece a la población en ciertas características (sexo, edad, zona), los resultados serán representativos.

Características:

  • No hay selección aleatoria.
  • El investigador tiene “cuotas” (ej. entrevistar a 50 hombres y 50 mujeres).
  • Es más económico y rápido, pero no permite calcular errores muestrales válidos científicamente.

3. Implementación de PPT en R

Para el muestreo PPT, utilizaremos el paquete sampling.

# Instalación si no se tiene: install.packages("sampling")
library(sampling)

set.seed(456)
N <- 100
n <- 10

# x es el 'tamaño' (ej. número de empleados)
# y es el 'interés' (ej. producción total)
x <- rgamma(N, shape = 2, scale = 5)
y <- 2 * x + rnorm(N, 0, 2)

# 1. Calcular probabilidades de inclusión proporcionales a x
pik <- inclusionprobabilities(x, n)

# 2. Seleccionar la muestra usando el método sistemático de Madow para PPT
s <- UPsystematic(pik)
muestra_y <- y[s == 1]
muestra_pik <- pik[s == 1]

# 3. Estimador de Horvitz-Thompson para el total
total_est <- sum(muestra_y / muestra_pik)
total_real <- sum(y)

cat("Total Real:", round(total_real, 2), "\n")
## Total Real: 2075.67
cat("Total Estimado PPT:", round(total_est, 2))
## Total Estimado PPT: 2087.92

Tabla Comparativa de Diseños de Muestreo

Esta tabla resume los métodos probabilísticos y no probabilísticos vistos hasta ahora, permitiendo identificar cuál elegir según la naturaleza de los datos y los recursos disponibles.

Diseño Descripción Cuándo usarlo (Uso) Ventaja Principal Desventaja / Riesgo
MAS (Sin Reemplazo) Cada unidad tiene la misma probabilidad (\(n/N\)). Poblaciones homogéneas y marcos muestrales completos. Es el estándar de oro por su sencillez y robustez. Requiere una lista completa (marco) de toda la población.
MAS (Con Reemplazo) Las unidades pueden repetirse tras ser seleccionadas. Poblaciones muy grandes o modelos de simulación (Bootstrap). Independencia estadística perfecta entre observaciones. Menos eficiente que el MSR (mayor varianza).
Bernoulli Selección independiente con probabilidad \(\pi\) constante. Poblaciones de tamaño desconocido o flujos continuos. No requiere conocer \(N\) de antemano. El tamaño de muestra (\(n\)) es aleatorio, no fijo.
Poisson Cada unidad \(i\) tiene su propia probabilidad \(\pi_i\) independiente. Cuando se conocen pesos individuales para cada elemento. Máxima flexibilidad en probabilidades individuales. Alta varianza si \(n\) fluctúa demasiado.
Sistemático Selección por intervalos (\(k\)) tras un arranque aleatorio. Poblaciones ordenadas o marcos físicos (archivos, filas). Muy fácil de ejecutar en campo sin errores. Peligroso si existen ciclos o periodicidad en los datos.
PPT (Proporcional al Tamaño) La probabilidad \(\pi_i\) depende de una variable auxiliar \(x\). Poblaciones con unidades de tamaños muy dispares (ej. empresas). Reduce drásticamente el error si \(x\) está correlacionada con \(y\). Requiere información auxiliar precisa de toda la población.
Por Cuotas (No Probabilístico) Selección basada en llenar “celdas” (ej. 50% mujeres). Estudios de mercado rápidos o sin presupuesto para aleatoriedad. Muy rápido y económico; no requiere marco muestral. No permite calcular el error muestral ni hacer inferencia formal.

Representación Visual de la Eficiencia

Un concepto clave que hemos demostrado matemáticamente es la jerarquía de precisión. En condiciones generales (población sin ciclos):

\[Var(\hat{Y}_{PPT}) < Var(\hat{Y}_{MSR}) < Var(\hat{Y}_{MCR}) < Var(\hat{Y}_{Ber})\]

Notas Finales para el Analista:

  1. La clave es el Marco Muestral: Si no tienes una lista de todos los elementos, el MAS es imposible, y debes optar por Sistemático o Bernoulli.
  2. La clave es la Correlación: Si tienes una variable que explica a la otra (como “superficie de la finca” explica “producción de café”), el PPT siempre será tu mejor opción.
  3. El Factor de Corrección (FPC): Solo es relevante en los diseños Sin Reemplazo cuando la muestra representa más del 5% o 10% de la población.

Tabla de Fórmulas Fundamentales

En la siguiente tabla, \(N\) es el tamaño poblacional, \(n\) el tamaño muestral, y \(f = n/N\) la fracción de muestreo.

Diseño Estimador del Total (\(\hat{Y}\)) Varianza Teórica \(Var(\hat{Y})\) Estimador de Varianza \(\widehat{Var}(\hat{Y})\)
MAS (Sin Reemplazo) \(N \cdot \bar{y}\) \(N^2 \frac{S^2}{n} (1-f)\) \(N^2 \frac{s^2}{n} (1-f)\)
MAS (Con Reemplazo) \(N \cdot \bar{y}\) \(N^2 \frac{\sigma^2}{n}\) \(N^2 \frac{s^2}{n}\)
Bernoulli \(\frac{1}{\pi} \sum_{i \in s} y_i\) \(\frac{1-\pi}{\pi} \sum_{i=1}^N y_i^2\) \(\frac{1-\pi}{\pi^2} \sum_{i \in s} y_i^2\)
Poisson \(\sum_{i \in s} \frac{y_i}{\pi_i}\) \(\sum_{i=1}^N \frac{1-\pi_i}{\pi_i} y_i^2\) \(\sum_{i \in s} \frac{1-\pi_i}{\pi_i^2} y_i^2\)
Sistemático \(N \cdot \bar{y}_{sis}\) \(\frac{N^2 S^2}{n} [1 + (n-1)\rho]\) No existe (se suele usar fórmula de MAS)
Horvitz-Thompson \(\sum_{i \in s} \frac{y_i}{\pi_i}\) \(\sum \sum (\pi_{ij}-\pi_i \pi_j) \frac{y_i y_j}{\pi_i \pi_j}\) \(\sum_{i \in s} \sum_{j \in s} \frac{\pi_{ij}-\pi_i \pi_j}{\pi_{ij}} \frac{y_i y_j}{\pi_i \pi_j}\)

Definiciones de parámetros:

  • Varianza Cuasivarianza (\(S^2\)): \(\frac{1}{N-1} \sum (y_i - \bar{Y})^2\)
  • Varianza Muestral (\(s^2\)): \(\frac{1}{n-1} \sum (y_i - \bar{y})^2\)
  • Probabilidad de inclusión (\(\pi_i\)): En MAS es \(n/N\). En Bernoulli es \(\pi\).
  • Coeficiente \(\rho\) (Sistemático): Correlación intraclásica entre unidades del mismo grupo sistemático.

Notas sobre la implementación en R

Si usas el paquete survey en R, estas fórmulas se aplican automáticamente según cómo definas tu objeto.

Ahora que hemos cubierto todos los diseños donde las unidades se eligen “sueltas”, el siguiente nivel lógico es cuando empezamos a agruparlas:

  1. Estratificado: Dividimos para ganar precisión (comparamos grupos).
  2. Conglomerados: Dividimos para ganar eficiencia logística (elegimos “bolsas” de gente).
  3. Multietápico: Combinamos todo lo anterior (ej. primero elegimos ciudades, luego barrios, luego manzanas).
library(survey)

# 1. Crear población estratificada
set.seed(789)
N <- 1000
poblacion <- data.frame(
  id = 1:N,
  zona = rep(c("Norte", "Sur", "Centro"), times = c(500, 300, 200)),
  ingresos = c(rnorm(500, 2000, 100), rnorm(300, 1000, 50), rnorm(200, 1500, 80))
)

# 2. Definir tamaños de muestra por estrato (Afijación Proporcional)
# n total = 100
n_h <- c("Norte"=50, "Sur"=30, "Centro"=20)

# 3. Extraer la muestra
library(dplyr)
## 
## Adjuntando el paquete: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
muestra_est <- poblacion %>%
  group_by(zona) %>%
  group_modify(~ slice_sample(.x, n = n_h[.y$zona])) %>%
  ungroup()

# 4. Configurar el diseño en 'survey'
# Para estratificado, usamos el argumento 'strata'
muestra_est$N_estrato <- case_when(
  muestra_est$zona == "Norte" ~ 500,
  muestra_est$zona == "Sur" ~ 300,
  muestra_est$zona == "Centro" ~ 200
)

diseno_est <- svydesign(
  id = ~1,
  strata = ~zona,      # Definimos la variable de estratificación
  fpc = ~N_estrato,    # Tamaño de cada estrato poblacional
  data = muestra_est
)

# 5. Estimaciones
media_est <- svymean(~ingresos, diseno_est)
total_est <- svytotal(~ingresos, diseno_est)

print(media_est)
##            mean     SE
## ingresos 1607.5 7.6247
print(total_est)
##            total     SE
## ingresos 1607483 7624.7

El muestreo estratificado consiste en dividir la población de tamaño \(N\) en subgrupos mutuamente excluyentes llamados estratos (\(L\)). La idea principal es que los elementos dentro de cada estrato sean lo más parecidos posible (homogeneidad interna) y que los estratos sean muy diferentes entre sí (heterogeneidad externa).

[Image of stratified sampling diagram]

Ventajas:

  • Mayor precisión: Reduce el error estándar en comparación con el MAS si la variable de estratificación está correlacionada con la variable de estudio.
  • Estimaciones por subgrupo: Permite obtener resultados específicos para cada estrato (ej. resultados por género o por región).
  • Logística: Facilita la administración del trabajo de campo.

2. Formulación Matemática

Estimador de la Media Estratificada (\(\bar{y}_{est}\))

Es el promedio ponderado de las medias muestrales de cada estrato:

\[\bar{y}_{est} = \sum_{h=1}^L W_h \bar{y}_h\]

Donde: * \(W_h = N_h / N\) es el peso del estrato. * \(\bar{y}_h\) es la media de la muestra en el estrato \(h\).

Varianza del Estimador

La varianza depende de la variabilidad interna de cada estrato (\(S_h^2\)):

\[Var(\bar{y}_{est}) = \sum_{h=1}^L W_h^2 \left( \frac{1-f_h}{n_h} \right) S_h^2\]

3. Tipos de Afijación (Reparto de la muestra)

¿Cómo determinamos el tamaño de muestra \(n_h\) para cada estrato?

  1. Afijación Proporcional: Se mantiene la misma fracción de muestreo en todos los estratos (\(n_h = n \cdot W_h\)).
  2. Afijación de Neyman (Óptima): Considera la variabilidad. Se asigna más muestra donde hay más dispersión: \[n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum_{h=1}^L N_h S_h}\]

4. Ejemplo Práctico en R

Utilizaremos el paquete survey para analizar una población dividida en tres estratos de niveles socioeconómicos.

# Cargar librerías
library(survey)
library(dplyr)

# 1. Crear Población Ficticia (N = 1000)
set.seed(123)
N <- 1000
poblacion <- data.frame(
  id = 1:N,
  estrato = rep(c("Bajo", "Medio", "Alto"), times = c(500, 350, 150)),
  gasto = c(rnorm(500, 200, 40), rnorm(350, 500, 80), rnorm(150, 1200, 150))
)

# 2. Definir tamaños de muestra (Afijación Proporcional, n = 100)
# Bajo: 50, Medio: 35, Alto: 15
n_total <- 100
muestras_por_estrato <- c("Bajo" = 50, "Medio" = 35, "Alto" = 15)

# 3. Extraer la muestra
muestra_est <- poblacion %>%
  group_by(estrato) %>%
  group_modify(~ slice_sample(.x, n = muestras_por_estrato[.y$estrato])) %>%
  ungroup()

# 4. Añadir información de FPC (Tamaño del estrato poblacional)
muestra_est <- muestra_est %>%
  mutate(fpc_h = case_when(
    estrato == "Bajo" ~ 500,
    estrato == "Medio" ~ 350,
    estrato == "Alto" ~ 150
  ))

# 5. Configurar el diseño muestral
diseno_estratificado <- svydesign(
  id = ~1,
  strata = ~estrato,
  fpc = ~fpc_h,
  data = muestra_est
)

# 6. Resultados
media_poblacional <- svymean(~gasto, diseno_estratificado)
total_poblacional <- svytotal(~gasto, diseno_estratificado)

print(media_poblacional)
##         mean     SE
## gasto 450.98 7.3514
confint(media_poblacional)
##          2.5 %   97.5 %
## gasto 436.5674 465.3844

Marco Teórico: Afijación en el Muestreo Estratificado

1. Muestreo Estratificado

El muestreo estratificado es una técnica de muestreo probabilístico que consiste en dividir una población en subgrupos homogéneos llamados estratos, con el fin de mejorar la precisión de las estimaciones. Cada estrato debe ser internamente homogéneo y externamente heterogéneo respecto a los demás.

2. Concepto de Afijación

La afijación hace referencia a la forma en que se distribuye el tamaño total de la muestra entre los diferentes estratos de la población. Esta distribución es clave para garantizar estimaciones eficientes y representativas.

3. Tipos de Afijación

3.1 Afijación Proporcional

Consiste en asignar a cada estrato un tamaño de muestra proporcional a su tamaño dentro de la población total.

Fórmula:

n_h = n * (N_h / N)

Donde: - n_h: tamaño de muestra del estrato h - n: tamaño total de la muestra - N_h: tamaño del estrato h - N: tamaño total de la población

3.2 Afijación Óptima (de Neyman)

Minimiza la varianza de los estimadores considerando la variabilidad de cada estrato.

Fórmula:

n_h = n * (N_h * S_h) / Σ(N_h * S_h)

Donde: - S_h: desviación estándar del estrato h

3.3 Afijación Uniforme

Asigna el mismo tamaño de muestra a todos los estratos, independientemente de su tamaño.

Fórmula:

n_h = n / L

Donde: - L: número de estratos

3.4 Afijación con Costos

Se utiliza cuando los costos de recolección de datos varían entre estratos.

Fórmula:

n_h = n * (N_h * S_h / √C_h) / Σ(N_h * S_h / √C_h)

Donde: - C_h: costo asociado al estrato h

4. Importancia de la Afijación

La correcta elección del tipo de afijación permite: - Reducir el error muestral - Optimizar recursos (tiempo y costo) - Mejorar la precisión de las estimaciones

5. Consideraciones Finales

La selección del método de afijación depende de: - La variabilidad de los estratos - Los objetivos del estudio - Las restricciones de tiempo y costo

En la práctica, la afijación proporcional es la más utilizada por su simplicidad, mientras que la afijación óptima es preferida cuando se busca mayor precisión estadística.

Marco Teórico: Tamaños Muestrales en el Muestreo Estratificado

1. Concepto de Tamaño Muestral

El tamaño muestral (n) es el número total de unidades que se seleccionan de una población para realizar un estudio. Su elección es fundamental, ya que determina la precisión y confiabilidad de los resultados.

En el muestreo estratificado, el tamaño total de la muestra se distribuye entre los diferentes estratos de la población.

2. Determinación del Tamaño Muestral Total

El tamaño muestral depende de varios factores:

  • Nivel de confianza (Z)
  • Error máximo permitido (e)
  • Variabilidad de la población (p, q o desviación estándar)
  • Tamaño de la población (N)

2.1 Para proporciones

n = (Z² * p * q) / e²

Donde: - Z: valor asociado al nivel de confianza - p: proporción esperada - q: 1 - p - e: error máximo permitido

2.2 Corrección por población finita

Si la población es pequeña, se aplica:

n = [N * Z² * p * q] / [e² (N - 1) + Z² * p * q]

3. Distribución del Tamaño Muestral en Estratos

Una vez determinado el tamaño total (n), se distribuye entre los estratos mediante métodos de afijación.

3.1 Afijación proporcional

n_h = n * (N_h / N)

3.2 Afijación óptima (Neyman)

n_h = n * (N_h * S_h) / Σ(N_h * S_h)

3.3 Afijación uniforme

n_h = n / L

4. Precisión y Error Muestral

El tamaño muestral influye directamente en el error muestral:

  • A mayor tamaño de muestra → menor error
  • A menor tamaño de muestra → mayor error

El muestreo estratificado suele reducir el error en comparación con el muestreo aleatorio simple, especialmente cuando los estratos son homogéneos.

5. Factores que Afectan el Tamaño Muestral

  • Heterogeneidad de la población
  • Número de estratos
  • Recursos disponibles (tiempo y costo)
  • Nivel de precisión requerido

6. Importancia

Un tamaño muestral adecuado permite:

  • Obtener estimaciones representativas
  • Reducir sesgos
  • Optimizar recursos
  • Mejorar la validez del estudio

La correcta determinación del tamaño muestral y su adecuada distribución en los estratos son elementos clave para garantizar la calidad de los resultados en un estudio estadístico. La elección debe basarse en criterios técnicos, objetivos del estudio y restricciones operativas.

Marco Teórico: Muestreo por Conglomerados

1. Concepto de Muestreo por Conglomerados

El muestreo por conglomerados es una técnica de muestreo probabilístico en la cual la población se divide en grupos naturales llamados conglomerados (por ejemplo: barrios, escuelas, empresas), y luego se seleccionan algunos de estos grupos para estudiar.

A diferencia del muestreo estratificado, donde los estratos son homogéneos, los conglomerados suelen ser internamente heterogéneos.

2. Características

  • Cada conglomerado representa una pequeña versión de la población.
  • Los elementos dentro de un conglomerado pueden ser diversos.
  • Se utiliza cuando la población está geográficamente dispersa.

3. Tipos de Muestreo por Conglomerados

3.1 Muestreo por Conglomerados de una etapa

Se seleccionan algunos conglomerados y se estudian todos los elementos dentro de ellos.

3.2 Muestreo por Conglomerados de dos etapas

  • Primera etapa: selección de conglomerados
  • Segunda etapa: selección de elementos dentro de cada conglomerado

3.3 Muestreo multietápico

Se realiza en varias etapas, combinando diferentes métodos de muestreo.

4. Tamaño Muestral en Conglomerados

El tamaño muestral depende de:

  • Número de conglomerados seleccionados
  • Tamaño de cada conglomerado
  • Variabilidad entre y dentro de conglomerados

Generalmente, se busca un equilibrio entre:

  • Número de conglomerados (más conglomerados → mayor representatividad)
  • Número de unidades por conglomerado

5. Error Muestral

El error en este tipo de muestreo suele ser mayor que en el muestreo aleatorio simple, debido a la similitud entre elementos dentro de un mismo conglomerado.

Este efecto se conoce como efecto de diseño (design effect).

6. Ventajas

  • Reduce costos y tiempo de recolección
  • Facilita el trabajo de campo
  • Útil en poblaciones grandes y dispersas

7. Desventajas

  • Menor precisión estadística
  • Mayor error muestral
  • Dependencia de la calidad de los conglomerados

8. Aplicaciones

  • Estudios sociales
  • Encuestas de hogares
  • Investigación educativa
  • Estudios de mercado

El muestreo por conglomerados es una técnica eficiente en términos operativos, especialmente cuando la población es amplia y dispersa. Sin embargo, se debe considerar el aumento del error muestral y aplicar diseños adecuados para garantizar la calidad de los resultados.

set.seed(123)

# Crear población
N <- 1000
poblacion <- data.frame(
  id = 1:N,
  conglomerado = sample(1:50, N, replace = TRUE),  # 50 conglomerados
  ingreso = rnorm(N, mean = 500, sd = 100)
)

head(poblacion)
##   id conglomerado  ingreso
## 1  1           31 653.2718
## 2  2           15 692.3694
## 3  3           14 559.8443
## 4  4            3 516.6663
## 5  5           42 513.7199
## 6  6           50 531.3710
# Seleccionar conglomerados
conglomerados_seleccionados <- sample(unique(poblacion$conglomerado), 5)

# Filtrar datos
muestra <- subset(poblacion, conglomerado %in% conglomerados_seleccionados)

# Ver resultado
table(muestra$conglomerado)
## 
## 13 18 25 37 44 
## 20 17 29 19 21
library(dplyr)

# Seleccionar conglomerados
cong_sel <- sample(unique(poblacion$conglomerado), 5)

# Filtrar conglomerados
muestra_2etapas <- poblacion %>%
  filter(conglomerado %in% cong_sel) %>%
  group_by(conglomerado) %>%
  sample_n(10)  # 10 elementos por conglomerado

muestra_2etapas
## # A tibble: 50 × 3
## # Groups:   conglomerado [5]
##       id conglomerado ingreso
##    <int>        <int>   <dbl>
##  1   689           15    407.
##  2   405           15    573.
##  3   866           15    350.
##  4   752           15    519.
##  5   575           15    372.
##  6   800           15    573.
##  7   891           15    534.
##  8   717           15    719.
##  9   693           15    618.
## 10   740           15    583.
## # ℹ 40 more rows
mean(muestra$ingreso)
## [1] 504.8579
mean(muestra_2etapas$ingreso)
## [1] 491.8149
install.packages("survey")
## Warning: package 'survey' is in use and will not be installed
library(survey)

# Diseño muestral
diseno <- svydesign(
  id = ~conglomerado,
  data = muestra,
  weights = ~1
)

# Estimar media
svymean(~ingreso, diseno)
##           mean     SE
## ingreso 504.86 6.6384

El muestreo multietápico es una técnica de muestreo probabilístico en la cual la selección de la muestra se realiza en varias etapas sucesivas. Es una extensión del muestreo por conglomerados y se utiliza cuando la población es grande, dispersa o difícil de listar completamente.

2. Marco Teórico

2.1 Definición

En el muestreo multietápico, las unidades de muestreo se agrupan en diferentes niveles jerárquicos. Por ejemplo:

  • Primera etapa: selección de conglomerados (PSU)
  • Segunda etapa: selección de subunidades (SSU)
  • Etapas adicionales según el diseño

2.2 Notación

Sea:

  • \(N\): número total de unidades primarias (conglomerados)
  • \(n\): número de conglomerados seleccionados
  • \(M_i\): tamaño del conglomerado \(i\)
  • \(m_i\): número de unidades seleccionadas dentro del conglomerado \(i\)
  • \(y_{ij}\): valor de la variable de interés

2.3 Estimador de la media poblacional

El estimador de la media en un diseño multietápico es:

\[ \bar{y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{N}{n} \cdot \frac{1}{m_i} \sum_{j=1}^{m_i} y_{ij} \right) \]

2.4 Varianza del estimador

La varianza se descompone en dos componentes:

\[ Var(\bar{y}) = Var_{entre} + Var_{intra} \]

Donde:

  • Variabilidad entre conglomerados
  • Variabilidad dentro de conglomerados

Una forma aproximada:

\[ Var(\bar{y}) = \frac{S_b^2}{n} + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{S_{w,i}^2}{m_i} \]

2.5 Probabilidades de inclusión

La probabilidad de inclusión de una unidad es:

\[ \pi_{ij} = \pi_i \cdot \pi_{j|i} \]

Donde:

  • \(\pi_i\): probabilidad de seleccionar el conglomerado
  • \(\pi_{j|i}\): probabilidad condicional dentro del conglomerado

2.6 Pesos muestrales

Los pesos se definen como:

\[ w_{ij} = \frac{1}{\pi_{ij}} \]

Estos son fundamentales para obtener estimaciones insesgadas.

3. Implementación en R

set.seed(123)

# Crear población simulada
N <- 50  # conglomerados
M <- 100 # unidades por conglomerado

poblacion <- expand.grid(
  conglomerado = 1:N,
  unidad = 1:M
)

poblacion$y <- rnorm(nrow(poblacion), mean = 100, sd = 20)
n <- 10
cong_sel <- sample(1:N, n)
library(dplyr)

m <- 15

muestra <- poblacion %>%
  filter(conglomerado %in% cong_sel) %>%
  group_by(conglomerado) %>%
  sample_n(m)
# Probabilidades
pi_i <- n / N
pi_j_i <- m / M

muestra$peso <- 1 / (pi_i * pi_j_i)
# Media ponderada
media_estimada <- weighted.mean(muestra$y, muestra$peso)
media_estimada
## [1] 98.0615
install.packages("survey")
## Warning: package 'survey' is in use and will not be installed
library(survey)

diseno <- svydesign(
  id = ~conglomerado + unidad,
  weights = ~peso,
  data = muestra
)

svymean(~y, diseno)
##     mean     SE
## y 98.061 1.7708