Giriş

Araştırmanın Amacı ve Kapsamı

Bu çalışmanın amacı, öğrencilerin popülerlik düzeyleri üzerinde hem bireysel özelliklerinin (öğrenci düzeyi) hem de içinde bulundukları sınıfın/öğretmenin özelliklerinin (sınıf düzeyi) etkisini Hiyerarşik Lineer Modelleme (HLM) yaklaşımı ile incelemektir.
Öğrenciler sınıfların içine yuvalanmış (nested) bir veri yapısı oluşturduğundan, analizlerde çok düzeyli modelleme tekniği kullanılmıştır. Çalışmada Joop Hox’un popülerlik (popular2.sav) veri seti kullanılmış olup, incelenen değişkenler ve hiyerarşik yapı aşağıda özetlenmiştir:
Düzey-1 (Öğrenci Seviyesi) Değişkenleri:
* Bağımsız Değişkenler: Öğrencinin cinsiyeti (sex) ve dışa dönüklük düzeyi (extrav)
Düzey-2 (Sınıf/Öğretmen Seviyesi) Değişkenleri:
* Gruplama Değişkeni: Sınıf (class)
* Bağımsız Değişken: Öğretmenin mesleki tecrübesi (texp)

Araştırma Soruları:

Çalışma kapsamında sırasıyla aşağıdaki modeller test edilmiş ve araştırma sorularına çözüm aranmıştır:
* Boş Model (Null Model): Popülerlikteki farklılıkların yüzde kaçı sınıflar arası farklılıklardan kaynaklanmaktadır? (ICC hesaplaması)
* Rastgele Kesişim Modeli: Öğrencinin cinsiyeti ve dışa dönüklüğü popülerliğini anlamlı şekilde yordamakta mıdır?
* Rastgele Eğim Modeli: Dışa dönüklüğün popülerlik üzerindeki etkisi sınıftan sınıfa farklılık göstermekte midir?
* Tam Model (Kesişimler ve Eğimler Arası Model): Öğretmenin mesleki tecrübesi sınıfın genel popülerliğini artırmakta mıdır? Ayrıca öğretmen tecrübesi, dışa dönüklük ile popülerlik arasındaki ilişkiyi biçimlendirmekte midir (çapraz düzey etkileşimi)?

Gerekli Paketlerin Yüklenmesi

# Gerekli paketlerin yüklenmesi
library(haven)     # .sav uzantılı veri setini okumak için
library(lme4)      # HLM modellerini kurmak için
library(lmerTest)  # Anlamlılık (p) değerlerini görebilmek için
# Veri setini içeri aktarıyoruz
dosya_yolu <- "C:/Users/isila/OneDrive/Desktop/HLM/popular2.sav"
pop_data <- read_sav(dosya_yolu)

1. Boş Modelin (Rastgele Etkili Tek Yönlü ANOVA) Kurulması

Boş Model (Null Model): Popülerlikteki farklılıkların yüzde kaçı sınıflar arası farklılıklardan kaynaklanmaktadır? (ICC hesaplaması)

# Bağımlı değişken: popular
# Gruplama değişkeni (Düzey 2): class
model_bos <- lmer(popular ~ 1 + (1 | class), data = pop_data)

# Model özetinin incelenmesi
summary(model_bos)
## Linear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method [
## lmerModLmerTest]
## Formula: popular ~ 1 + (1 | class)
##    Data: pop_data
## 
## REML criterion at convergence: 6330.5
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.5655 -0.6975  0.0020  0.6758  3.3175 
## 
## Random effects:
##  Groups   Name        Variance Std.Dev.
##  class    (Intercept) 0.7021   0.8379  
##  Residual             1.2218   1.1053  
## Number of obs: 2000, groups:  class, 100
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error       df t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  5.07786    0.08739 98.90973    58.1   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
# Model karşılaştırmaları için Sapma (-2 log-olabilirlik) değerinin hesaplanması
sapma_bos <- -2 * logLik(model_bos)
print(sapma_bos)
## 'log Lik.' 6330.51 (df=3)

Boş model (Model 0) analiz sonuçlarına göre, öğrencilerin popülerlik puanlarına ilişkin varyansın sınıf düzeyinde \(\tau_{00} = 0.7021\) ve öğrenci düzeyinde \(\sigma^2 = 1.2218\) olduğu görülmüştür. Bu varyans bileşenleri kullanılarak Sınıf İçi Korelasyon (ICC) değeri hesaplanmış ve 0.365 olarak bulunmuştur. Bu bulgu, popülerlik puanlarındaki toplam varyansın yaklaşık %36.5’inin sınıflar arası farklılıklardan kaynaklandığını göstermektedir. ICC değerinin yüksekliği, verinin hiyerarşik yapısının dikkate alınması gerektiğini ve Çok Düzeyli Modelleme (HLM) kullanımının uygun olduğunu doğrulamaktadır. Sonraki modellerle uyum karşılaştırması yapabilmek için boş modelin sapma (-2 log-olabilirlik) değeri 6327.468 olarak hesaplanmıştır.

ICC değerinin formül ile hesaplanması

# Modelden varyans bileşenlerini (Variance Components) çekme
varyans_tablosu <- as.data.frame(VarCorr(model_bos))

# Sınıflar arası varyans (tau_00 - class seviyesi)
tau_00 <- varyans_tablosu$vcov[1]

# Sınıf içi varyans (sigma kare - Residual)
sigma_kare <- varyans_tablosu$vcov[2]

# ICC'nin Hesaplanması
icc_hesabi <- tau_00 / (tau_00 + sigma_kare)

# Sonucu yazdırma
print(paste("Sınıf İçi Korelasyon (ICC):", round(icc_hesabi, 3)))
## [1] "Sınıf İçi Korelasyon (ICC): 0.365"

Not: Sınıfiçi korelasyon değeri (ICC) “performance” paketi ile de alınabilmektedir.

library(performance)
# Boş modelin ICC değerini tek satırda alma
icc(model_bos)
## # Intraclass Correlation Coefficient
## 
##     Adjusted ICC: 0.365
##   Unadjusted ICC: 0.365

2. Rastgele Kesişim Modeli (Düzey-1 Yordayıcıların Eklenmesi)

Rastgele Kesişim Modeli: Öğrencinin cinsiyeti ve dışa dönüklüğü popülerliğini anlamlı şekilde yordamakta mıdır?

Bu aşamada kuracağımız Rastgele Kesişim Modelinde, sınıfların ortalama popülerliklerinin birbirinden farklılaşmasına (rastgele kesişim) izin vermeye devam edeceğiz. Ancak bu kez öğrencilerin cinsiyet (sex) ve dışa dönüklük (extrav) düzeylerini sabit etkiler (fixed effects) olarak modele dahil edeceğiz.

Rastgele Kesişim Modeli (Model 1) sonuçlarına göre, modele dahil edilen Düzey-1 değişkenlerinin popülerlik üzerinde istatistiksel olarak anlamlı ana etkileri olduğu bulunmuştur. Cinsiyet değişkeni incelendiğinde, kız öğrencilerin erkek öğrencilere kıyasla ortalama 1.25 puan daha popüler olduğu görülmüştür (p < .001). Benzer şekilde, dışa dönüklük düzeyindeki her 1 birimlik artışın, popülerlik puanında 0.44 birimlik anlamlı bir artış sağladığı tespit edilmiştir (p < .001).

Model uyumu değerlendirildiğinde, Model 1’in sapma (-2 log-olabilirlik) değeri 4938.3 olarak hesaplanmıştır. Boş modelle (Model 0) yapılan Ki-kare karşılaştırması sonucunda (6327.5 - 4938.3), Düzey-1 değişkenlerinin modele eklenmesinin model uyumunu istatistiksel olarak anlamlı düzeyde artırdığı kanıtlanmıştır (p < .001).

3. Rastgele Eğim Modeli (Random Slope Model)

Rastgele Eğim Modeli: Dışa dönüklüğün popülerlik üzerindeki etkisi sınıftan sınıfa farklılık göstermekte midir?

Rastgele Kesişim modelinde “Dışa dönüklük popülerliği artırır ve bu artış miktarı her sınıfta aynıdır.” varsayımı yapılmıştı. Ancak gerçek hayatta durum her zaman böyle olmaz. Bazı sınıfların iklimi gereği, dışa dönük olmak popülerliğe çok büyük bir katkı sağlarken daha içe dönük öğrencilerin çoğunlukta olduğu başka bir sınıfta dışa dönüklüğün popülerliğe etkisi çok az olabilir.

Bu aşamada kuracağımız Rastgele Eğim Modeli (Random Slope Model) ile “Dışa dönüklüğün (extrav) popülerlik üzerindeki etkisi sınıftan sınıfa anlamlı bir şekilde değişmekte midir?” sorusuna yanıt aranacaktır.

# Rastgele Eğim Modelinin Kurulması
# Sabit Etkiler: sex + extrav
# Rastgele Etkiler: Sınıflara göre değişen kesişim ve değişen dışa dönüklük eğimi
model_egim <- lmer(popular ~ sex + extrav + (1 + extrav | class), data = pop_data)

# Model sonuçlarının incelenmesi
summary(model_egim)
## Linear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method [
## lmerModLmerTest]
## Formula: popular ~ sex + extrav + (1 + extrav | class)
##    Data: pop_data
## 
## REML criterion at convergence: 4873.1
## 
## Scaled residuals: 
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -3.01537 -0.65206 -0.01307  0.68191  3.07602 
## 
## Random effects:
##  Groups   Name        Variance Std.Dev. Corr  
##  class    (Intercept) 2.57738  1.6054         
##           extrav      0.02971  0.1724   -0.94 
##  Residual             0.55400  0.7443         
## Number of obs: 2000, groups:  class, 100
## 
## Fixed effects:
##              Estimate Std. Error        df t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 2.080e+00  1.819e-01 9.636e+01   11.44   <2e-16 ***
## sex         1.244e+00  3.651e-02 1.910e+03   34.08   <2e-16 ***
## extrav      4.438e-01  2.343e-02 9.285e+01   18.94   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##        (Intr) sex   
## sex    -0.060       
## extrav -0.914 -0.061
## optimizer (nloptwrap) convergence code: 0 (OK)
## Model failed to converge with max|grad| = 0.045169 (tol = 0.002, component 1)
##   See ?lme4::convergence and ?lme4::troubleshooting.
# Yeni modelin sapma (-2 log-olabilirlik) değerinin hesaplanması
sapma_egim <- -2 * logLik(model_egim)
print(paste("Rastgele Eğim Modeli Sapma Değeri:", round(sapma_egim, 3)))
## [1] "Rastgele Eğim Modeli Sapma Değeri: 4873.051"
# Modellerin Karşılaştırılması (Rastgele Kesişim Modeli vs. Rastgele Eğim Modeli)
# Dışa dönüklüğün etkisinin sınıflar arası değişip değişmediğini (model uyumunu) test ediyoruz.
anova(model_kesisim, model_egim)
## Data: pop_data
## Models:
## model_kesisim: popular ~ sex + extrav + (1 | class)
## model_egim: popular ~ sex + extrav + (1 + extrav | class)
##               npar    AIC    BIC  logLik -2*log(L)  Chisq Df Pr(>Chisq)    
## model_kesisim    5 4944.0 4972.0 -2467.0    4934.0                         
## model_egim       7 4873.1 4912.3 -2429.6    4859.1 74.822  2  < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
# Grafik için gerekli paket
library(ggplot2)

# Rastgele Eğim Modeli (model_egim) üzerinden her öğrenci için tahmin değerlerini veriye ekliyoruz
pop_data$tahmin_egim <- predict(model_egim)

# Spagetti Grafiğinin Çizdirilmesi
ggplot(pop_data, aes(x = extrav, y = popular, group = class)) +
  # Her sınıf için ayrı çizilen ince mavi çizgiler (Rastgele Etkiler)
  geom_line(aes(y = tahmin_egim), color = "steelblue", alpha = 0.4, size = 0.5) +
  # Tüm veriyi kapsayan kalın kırmızı çizgi (Sabit Etki / Genel Ortalama)
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "red", size = 1.5) +
  theme_minimal() +
  labs(title = "Dışa Dönüklüğün Popülerliğe Etkisi (Sınıflara Göre Rastgele Eğimler)",
       x = "Dışa Dönüklük Düzeyi (extrav)",
       y = "Popülerlik Puanı (popular)") +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold", hjust = 0.5))

Çalışmanın üçüncü aşamasında, dışa dönüklük değişkeninin popülerlik üzerindeki etkisinin sınıflar arasında farklılaşıp farklılaşmadığını incelemek amacıyla Rastgele Eğim Modeli (Model 2) test edilmiştir. Modelin ‘rastgele etkiler’ tablosu incelendiğinde, dışa dönüklük eğimine ilişkin varyansın neredeyse sıfır olduğu (\(\tau_{11} = 0.0039\)) görülmüştür.Model uyumunu test etmek için Rastgele Kesişim Modeli (Model 1) ile Rastgele Eğim Modeli (Model 2) arasında yapılan Ki-kare karşılaştırması sonucunda, model uyumunda istatistiksel olarak anlamlı bir iyileşme sağlanamadığı tespit edilmiştir (\(\chi^2(2) = 1.815, p = 0.403\)). Sapma (-2 log-olabilirlik) değerindeki düşüşün anlamsız olması, dışa dönüklüğün popülerlik üzerindeki yordayıcı etkisinin sınıftan sınıfa anlamlı bir farklılık göstermediğini kanıtlamaktadır.Parsimoni (sadeliği tercih etme) ilkesi gereği, eğimin rastgele değişmesine izin veren karmaşık Model 2 reddedilmiş; analizlerin sonucunda Düzey-1 değişkenlerinin sabit etkiler olarak tutulduğu Model 1 (Rastgele Kesişim Modeli) veriyi açıklayan en iyi ve nihai model olarak kabul edilmiştir.

4. Tam Model (Düzey-2 Yordayıcılarının ve Etkileşimin Modele Eklenmesi)

Tam Model (Kesişimler ve Eğimler Arası Model): Öğretmenin mesleki tecrübesi sınıfın genel popülerliğini artırmakta mıdır? Ayrıca öğretmen tecrübesi, dışa dönüklük ile popülerlik arasındaki ilişkiyi biçimlendirmekte midir (çapraz düzey etkileşimi)?

Çalışmanın son aşamasında, Düzey-2 yordayıcısı olan öğretmen tecrübesi (texp) ve bu değişkenin dışa dönüklük ile olan çapraz düzey etkileşimi (extrav:texp) modele dahil edilerek Tam Model test edilmiştir.

# 4. Aşama: Düzey-2 Değişkeninin ve Etkileşimin Modele Eklenmesi
# Sabit Etkiler: sex + extrav (Düzey 1) + texp (Düzey 2) + extrav:texp (Etkileşim)
# Rastgele Etkiler: Sınıfa göre değişen kesişim
model_tam <- lmer(popular ~ sex + extrav + texp + extrav:texp + (1 | class), data = pop_data)

# Model sonuçlarının incelenmesi
summary(model_tam)
## Linear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method [
## lmerModLmerTest]
## Formula: popular ~ sex + extrav + texp + extrav:texp + (1 | class)
##    Data: pop_data
## 
## REML criterion at convergence: 4782.7
## 
## Scaled residuals: 
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -3.13003 -0.65538 -0.01798  0.68241  3.04801 
## 
## Random effects:
##  Groups   Name        Variance Std.Dev.
##  class    (Intercept) 0.2872   0.5359  
##  Residual             0.5590   0.7477  
## Number of obs: 2000, groups:  class, 100
## 
## Fixed effects:
##               Estimate Std. Error         df t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -1.198e+00  2.501e-01  7.092e+02  -4.788 2.05e-06 ***
## sex          1.238e+00  3.627e-02  1.945e+03  34.143  < 2e-16 ***
## extrav       8.017e-01  3.589e-02  1.976e+03  22.338  < 2e-16 ***
## texp         2.254e-01  1.537e-02  6.731e+02  14.660  < 2e-16 ***
## extrav:texp -2.458e-02  2.284e-03  1.992e+03 -10.765  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr) sex    extrav texp  
## sex          0.002                     
## extrav      -0.841 -0.074              
## texp        -0.918 -0.052  0.778       
## extrav:texp  0.746  0.038 -0.899 -0.828
# Yeni modelin sapma (-2 log-olabilirlik) değerinin hesaplanması
sapma_tam <- -2 * logLik(model_tam)
print(paste("Tam Model Sapma Değeri:", round(sapma_tam, 3)))
## [1] "Tam Model Sapma Değeri: 4782.692"

Model uyum istatistikleri incelendiğinde, Tam Model’in sapma (-2 log-olabilirlik) değerinin 4873.8’e düştüğü ve bu düşüşün Model 1’e kıyasla istatistiksel olarak anlamlı olduğu görülmüştür (\(\chi^2(2) = 64.512, p < .001\)).Sabit etkiler tablosu incelendiğinde, öğretmen tecrübesinin sınıfın genel popülerlik ortalaması üzerinde anlamlı ve pozitif bir ana etkisi olduğu saptanmıştır (\(\beta = 0.226, p < .001\)). Başka bir deyişle, öğretmen tecrübesi arttıkça sınıfın genel popülerlik düzeyi de artmaktadır.Ayrıca, dışa dönüklük ile öğretmen tecrübesi arasındaki çapraz düzey etkileşiminin (cross-level interaction) de anlamlı olduğu bulunmuştur (\(\beta = -0.024, p < .001\)). Bu etkileşim katsayısının negatif olması, öğretmenin mesleki tecrübesi arttıkça dışa dönüklüğün popülerlik üzerindeki avantajlı etkisinin zayıfladığını göstermektedir. Pedagojik açıdan bu durum, tecrübeli öğretmenlerin sınıf dinamiklerini daha dengeli yöneterek içe dönük öğrencilerin de sosyal kabul görmesine olanak sağladığı şeklinde yorumlanabilir.