Übung 3 - Aufgabe 3

Aufgabe 3: Bestimmte Integrale und Flächeninhalt

Aufgabenstellung: Der Graph der Funktion \(f\), die x-Achse und die Geraden \(x = a\) und \(x = b\) begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Hinweis: Wenn der Graph im Intervall unterhalb der x-Achse verläuft, liefert das Integral einen negativen Wert. Der geometrische Flächeninhalt ist immer positiv (Betrag des Integrals).

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a) \(f(x) = 8 - x^3; \quad a = 0; \quad b = 1\)

Mathematischer Lösungsweg

1. Integral aufstellen: \[ A = \int_{0}^{1} (8 - x^3) \, dx \]
2. Stammfunktion bilden: \[ F(x) = 8x - \frac{1}{4}x^4 \]
3. Grenzen einsetzen: \[ A = F(1) - F(0) = (8(1) - 0.25) - 0 = 7.75 \]

R-Code zur Berechnung

# Funktion definieren
f_a <- function(x) {
  8 - x^3
}

# Integral berechnen
integral_a <- integrate(f_a, lower = 0, upper = 1)

# Ergebnis ausgeben
cat("Ergebnis a):", integral_a$value, "\n")

## Ergebnis a): 7.75

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b) \(f(x) = 2 - e^{-x}; \quad a = 1; \quad b = 5\)

Mathematischer Lösungsweg

1. Integral aufstellen: \[ A = \int_{1}^{5} (2 - e^{-x}) \, dx \]
2. Stammfunktion bilden: \[ F(x) = 2x + e^{-x} \] (Ableitung von \[e^{-x}\] ist \[-e^{-x}\], daher wird das Vorzeichen beim Integrieren positiv)
3. Grenzen einsetzen: \[ A = (10 + e^{-5}) - (2 + e^{-1}) \approx 7.64 \]

R-Code zur Berechnung

# Funktion definieren (exp() ist die e-Funktion in R)
f_b <- function(x) {
  2 - exp(-x)
}

# Integral berechnen
integral_b <- integrate(f_b, lower = 1, upper = 5)

# Ergebnis ausgeben
cat("Ergebnis b):", integral_b$value, "\n")

## Ergebnis b): 7.638859

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c) \(f(x) = 3x^2 - 9x; \quad a = 1; \quad b = 2\)

Mathematischer Lösungsweg

1. Integral aufstellen: \[ A = \int_{1}^{2} (3x^2 - 9x) \, dx \]
2. Stammfunktion bilden: \[ F(x) = x^3 - 4.5x^2 \]
3. Grenzen einsetzen: \[ F(2) = 8 - 18 = -10 \] \[ F(1) = 1 - 4.5 = -3.5 \] \[ \text{Integral} = -10 - (-3.5) = -6.5 \]
4. Flächeninhalt bestimmen: Da das Ergebnis negativ ist, liegt die Fläche unter der x-Achse. \[ \text{Flächeninhalt} = |-6.5| = 6.5 \]

R-Code zur Berechnung

# Funktion definieren
f_c <- function(x) {
  3 * x^2 - 9 * x
}

# Integral berechnen
integral_c <- integrate(f_c, lower = 1, upper = 2)

# Betrag bilden, da Fläche positiv sein muss
flaeche_c <- abs(integral_c$value)

# Ergebnis ausgeben
cat("Integralwert c):", integral_c$value, "\n")

## Integralwert c): -6.5

cat("Flächeninhalt c):", flaeche_c, "\n")

## Flächeninhalt c): 6.5

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d) \(f(x) = \cos(x); \quad a = -\frac{\pi}{3}; \quad b = \frac{\pi}{3}\)

Mathematischer Lösungsweg

1. Integral aufstellen: \[ A = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \cos(x) \, dx \]
2. Stammfunktion bilden: \[ F(x) = \sin(x) \]
3. Grenzen einsetzen: \[ A = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(-\frac{\pi}{3}) \] \[ A = \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} \approx 1.732 \]

R-Code zur Berechnung

# Funktion definieren (pi ist in R vordefiniert)
f_d <- function(x) {
  cos(x)
}

# Integral berechnen
integral_d <- integrate(f_d, lower = -pi/3, upper = pi/3)

# Ergebnis ausgeben
cat("Ergebnis d):", integral_d$value, "\n")

## Ergebnis d): 1.732051

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Zusammenfassung

Hier werden alle Ergebnisse noch einmal übersichtlich ausgegeben:

cat("=== ZUSAMMENFASSUNG ===\n")

## === ZUSAMMENFASSUNG ===

cat(sprintf("a) %.4f FE\n", integral_a$value))

## a) 7.7500 FE

cat(sprintf("b) %.4f FE\n", integral_b$value))

## b) 7.6389 FE

cat(sprintf("c) %.4f FE\n", flaeche_c))

## c) 6.5000 FE

cat(sprintf("d) %.4f FE\n", integral_d$value))

## d) 1.7321 FE