Aufgabe 3: Flächenberechnung mit Integralen

Aufgabenstellung

Der Graph der Funktion \(f\), die x-Achse und die Geraden \(x = a\) und \(x = b\) begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Wir lösen die Teilaufgaben a) bis d) Schritt für Schritt.

a) \(f(x) = 8 - x^3; \quad a = 0; \quad b = 1\)

Mathematischer Lösungsweg

  1. Integral aufstellen: \[ A = \int_{0}^{1} (8 - x^3) \, dx \]

  2. Stammfunktion bilden: Die Stammfunktion von \(8\) ist \(8x\). Die Stammfunktion von \(-x^3\) ist \(-\frac{1}{4}x^4\). \[ F(x) = 8x - \frac{1}{4}x^4 \]

  3. Grenzen einsetzen (Hauptsatz): \[ A = F(1) - F(0) \] \[ A = \left(8(1) - \frac{1}{4}(1)^4\right) - \left(8(0) - \frac{1}{4}(0)^4\right) \] \[ A = 8 - 0.25 = 7.75 \]

Lösung in R

# Funktion definieren
f_a <- function(x) {
  8 - x^3
}

# Integral berechnen von 0 bis 1
ergebnis_a <- integrate(f_a, lower = 0, upper = 1)

# Ergebnis ausgeben
cat("Flächeninhalt a):", ergebnis_a$value, "\n")
# Funktion definieren
f_b <- function(x) {
  2 - exp(-x)
}

# Integral berechnen von 1 bis 5
ergebnis_b <- integrate(f_b, lower = 1, upper = 5)

# Ergebnis ausgeben
cat("Flächeninhalt b):", ergebnis_b$value, "\n")
# Funktion definieren
f_c <- function(x) {
  3 * x^2 - 9 * x
}

# Integral berechnen von 1 bis 2
ergebnis_c <- integrate(f_c, lower = 1, upper = 2)

# Betrag nehmen, da Fläche immer positiv ist
flaeche_c <- abs(ergebnis_c$value)

# Ergebnis ausgeben
cat("Flächeninhalt c):", flaeche_c, "\n")
# Funktion definieren
f_d <- function(x) {
  cos(x)
}

# Integral berechnen von -pi/3 bis pi/3
ergebnis_d <- integrate(f_d, lower = -pi/3, upper = pi/3)

# Ergebnis ausgeben
cat("Flächeninhalt d):", ergebnis_d$value, "\n")
# Definition der Funktionen
f_a <- function(x) { 8 - x^3 }
f_b <- function(x) { 2 - exp(-x) }
f_c <- function(x) { 3 * x^2 - 9 * x }
f_d <- function(x) { cos(x) }

# Berechnung der Integrale
res_a <- integrate(f_a, 0, 1)$value
res_b <- integrate(f_b, 1, 5)$value
res_c <- abs(integrate(f_c, 1, 2)$value) # Betrag für Fläche
res_d <- integrate(f_d, -pi/3, pi/3)$value

# Ausgabe
cat("Ergebnisse:\n")
cat("a) =", res_a, "\n")
cat("b) =", res_b, "\n")
cat("c) =", res_c, "\n")
cat("d) =", res_d, "\n")