Thema: Bestimmte Integrale mit R

In dieser Aufgabe berechnen wir den Flächeninhalt unter Funktionsgraphen mithilfe von Integralen. Wir nutzen R, um die Integrale numerisch zu lösen und die Flächen grafisch darzustellen.

a) Funktion: \(f(x) = 4x - x^2\) im Intervall [0, 3]

Schritt 1: Funktion definieren und Integral berechnen

Wir definieren die Funktion und berechnen das bestimmte Integral von 0 bis 3.

# Funktion definieren
f_a <- function(x) {
  4*x - x^2
}



# Integral berechnen (Fläche von 0 bis 3)
integral_a <- integrate(f_a, lower = 0, upper = 3)
flaeche_a <- integral_a$value

cat("Flächeninhalt a):", round(flaeche_a, 4), "FE\n")
## Flächeninhalt a): 9 FE
# x-Werte für die Grafik
x <- seq(0, 3, length.out = 100)
y <- f_a(x)





# Grafik zeichnen
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue", 
     main = "a) f(x) = 4x - x²", xlab = "x", ylab = "y",
     ylim = c(0, 5))

# Fläche schattieren
polygon(c(x, rev(x)), c(y, rep(0, length(y))), col = "lightblue", border = NA)

# Grenzen markieren
abline(v = c(0, 3), col = "red", lty = 2)

# Funktion definieren
f_b <- function(x) {
  9*x - x^3
}
# Integral berechnen (Fläche von 1 bis 3)
integral_b <- integrate(f_b, lower = 1, upper = 3)
flaeche_b <- integral_b$value

cat("Flächeninhalt b):", round(flaeche_b, 4), "FE\n")
## Flächeninhalt b): 16 FE
# x-Werte für die Grafik
x <- seq(1, 3, length.out = 100)
y <- f_b(x)





# Grafik zeichnen
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "darkgreen", 
     main = "b) f(x) = 9x - x³", xlab = "x", ylab = "y",
     ylim = c(0, 12))

# Fläche schattieren
polygon(c(x, rev(x)), c(y, rep(0, length(y))), col = "lightgreen", border = NA)

# Grenzen markieren
abline(v = c(1, 3), col = "red", lty = 2)

# Funktion definieren
f_c <- function(x) {
  sin(x)
}
# Integral berechnen (Fläche von 0 bis pi)
integral_c <- integrate(f_c, lower = 0, upper = pi)
flaeche_c <- integral_c$value

cat("Flächeninhalt c):", round(flaeche_c, 4), "FE\n")
## Flächeninhalt c): 2 FE
# x-Werte für die Grafik
x <- seq(0, pi, length.out = 100)
y <- f_c(x)





# Grafik zeichnen
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "purple", 
     main = "c) f(x) = sin(x)", xlab = "x", ylab = "y",
     ylim = c(0, 1.2), xaxt = "n")

# x-Achse mit pi-Beschriftung
axis(1, at = c(0, pi/2, pi), labels = c("0", "π/2", "π"))

# Fläche schattieren
polygon(c(x, rev(x)), c(y, rep(0, length(y))), col = "lavender", border = NA)

# Funktion definieren
f_d <- function(x) {
  cos(x)
}
# Integral berechnen (Fläche von pi/2 bis 3*pi/2)
# Da cos(x) hier negativ ist, nehmen wir den Betrag
integral_d <- integrate(f_d, lower = pi/2, upper = 3*pi/2)
flaeche_d <- abs(integral_d$value)

cat("Flächeninhalt d):", round(flaeche_d, 4), "FE\n")
## Flächeninhalt d): 2 FE
# x-Werte für die Grafik
x <- seq(pi/2, 3*pi/2, length.out = 100)
y <- f_d(x)





# Grafik zeichnen
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "orange", 
     main = "d) f(x) = cos(x)", xlab = "x", ylab = "y",
     ylim = c(-1.2, 1.2), xaxt = "n")

# x-Achse mit pi-Beschriftung
axis(1, at = c(pi/2, pi, 3*pi/2), labels = c("π/2", "π", "3π/2"))

# Fläche schattieren (unterhalb der x-Achse)
polygon(c(x, rev(x)), c(y, rep(0, length(y))), col = "wheat", border = NA)

# x-Achse einzeichnen
abline(h = 0, col = "black")