P(X ≤ 12) = 0.20 P(13 ≤ X ≤ 15) = 0.20 P(X ≥ 18) = 0.20

# Esperanza
EX <- (a + b) / 2

# Varianza
VX <- (b - a)^2 / 12

EX
VX

E[X] = 15 V[X] = 8.333333 Problema 2

# Derecha de z = -0.85
a1 <- 1 - pnorm(-0.85)

# Entre z = 0.40 y z = 1.30
a2 <- pnorm(1.30) - pnorm(0.40)

# Entre z = -0.30 y z = 0.90
a3 <- pnorm(0.90) - pnorm(-0.30)

# Desde z = -1.50 hasta z = -0.45
a4 <- pnorm(-0.45) - pnorm(-1.50)

a1
a2
a3
a4

Área a la derecha de z = -0.85: 0.8023 Área entre z = 0.40 y z = 1.30: 0.2478 Área entre z = -0.30 y z = 0.90: 0.5667 Área entre z = -1.50 y z = -0.45: 0.2417

curve(dnorm(x),
      from = -4, to = 4,
      main = "Normal Estandar",
      ylab = "f(z)",
      xlab = "z")
abline(v = c(-0.85), col = "red", lwd = 2)

curve(dnorm(x),
      from = -4, to = 4,
      main = "Normal Estandar",
      ylab = "f(z)",
      xlab = "z")
abline(v = c(-0.85), col = "red", lwd = 2)

curve(dnorm(x),
      from = -4, to = 4,
      main = "Area entre 0.40 y 1.30",
      ylab = "f(z)",
      xlab = "z")
abline(v = c(0.40, 1.30), col = "blue", lwd = 2)

Problema 3

# Izquierda de z = 0.56
b1 <- pnorm(0.56)

# Entre z = -2.93 y z = -2.06
b2 <- pnorm(-2.06) - pnorm(-2.93)

# Entre z = -1.08 y z = 0.70
b3 <- pnorm(0.70) - pnorm(-1.08)

# Desde z = 0.96 hasta z = 1.62
b4 <- pnorm(1.62) - pnorm(0.96)

b1
b2
b3
b4

Área a la izquierda de z = 0.56: 0.7123 Área entre z = -2.93 y z = -2.06: 0.0174 Área entre z = -1.08 y z = 0.70: 0.6174 Área entre z = 0.96 y z = 1.62: 0.1158

curve(dnorm(x),
      from = -4, to = 4,
      main = "Area a la izquierda de z = 0.56",
      ylab = "f(z)",
      xlab = "z")
abline(v = 0.56, col = "red", lwd = 2)

Problema 4

```{{}} mu <- 150 sigma <- sqrt(1000)

curve(dnorm(x, mean = mu, sd = sigma), from = 0, to = 300, main = “Distribucion Normal”, ylab = “f(x)”, xlab = “x”, lwd = 2) # P(X <= 100) c1 <- pnorm(100, mean = mu, sd = sigma)

P(300 <= X <= 400)

c2 <- pnorm(400, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(300, mean = mu, sd = sigma)

P(X >= 550)

c3 <- 1 - pnorm(550, mean = mu, sd = sigma)

c1 c2 c3


P(X ≤ 100) ≈ 0.0569
P(300 ≤ X ≤ 400) ≈ 0.0000013
P(X ≥ 550) ≈ 0
```{}
k90 <- qnorm(0.95)
k90

k ≈ 1.645

```{{}} k95 <- qnorm(0.975) k95

k ≈ 1.96

Problema 5
```{}
lambda <- 2

# P(X <= 0)
d1 <- pexp(0, rate = lambda)

# P(X >= 2)
d2 <- 1 - pexp(2, rate = lambda)

# P(1 < X < 2)
d3 <- pexp(2, rate = lambda) - pexp(1, rate = lambda)

d1
d2
d3

P(X ≤ 0) = 0 P(X ≥ 2) ≈ 0.0183 P(1 < X < 2) ≈ 0.1170

curve(dexp(x, rate = lambda),
      from = 0, to = 5,
      main = "Distribucion Exponencial",
      ylab = "f(x)",
      xlab = "x",
      lwd = 2)

Problema 6


mu <- 480
sigma <- 90

# Proporción mayor a 700
e1 <- 1 - pnorm(700, mean = mu, sd = sigma)

# Percentil 25
e2 <- qnorm(0.25, mean = mu, sd = sigma)

# Percentil de una puntuación de 600
e3 <- pnorm(600, mean = mu, sd = sigma)

# Proporción entre 420 y 520
e4 <- pnorm(520, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(420, mean = mu, sd = sigma)

e1
e2
e3
e4

Proporción mayor a 700 ≈ 0.0073 Percentil 25 ≈ 419.3 Una puntuación de 600 se encuentra aproximadamente en el percentil 90.9 Proporción entre 420 y 520 ≈ 0.4103

Problema 7

mu <- 170.6
sigma <- 6.6

# Entre 160 y 170
f1 <- pnorm(170, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(160, mean = mu, sd = sigma)

# Más alta que Juan (0.5 desviaciones por encima)
juan <- mu + 0.5 * sigma
f2 <- 1 - pnorm(juan, mean = mu, sd = sigma)

# Percentil 90
f3 <- qnorm(0.90, mean = mu, sd = sigma)

# Probabilidad de medir más de 180
p_mas180 <- 1 - pnorm(180, mean = mu, sd = sigma)

# Exactamente una persona de cinco mida más de 180
f4 <- dbinom(1, size = 5, prob = p_mas180)

f1
f2
f3
p_mas180
f4

Proporción entre 160 y 170 cm ≈ 0.4223 Proporción más alta que Juan ≈ 0.3085 Percentil 90 ≈ 179.1 cm Probabilidad de medir más de 180 cm ≈ 0.0776 Probabilidad de que exactamente una de cinco personas mida más de 180 cm ≈ 0.3118

Problema 8

mu <- 24.2
sigma <- 4.1

# Probabilidad de obesidad tipo 1
g1 <- pnorm(34.9, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(30, mean = mu, sd = sigma)

# Proporciones por rango
bajo_peso <- pnorm(18.5, mean = mu, sd = sigma)

normal <- pnorm(24.9, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(18.5, mean = mu, sd = sigma)

sobrepeso <- pnorm(29.9, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(24.9, mean = mu, sd = sigma)

obesidad1 <- pnorm(34.9, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(30, mean = mu, sd = sigma)

obesidad2 <- pnorm(39.9, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(35, mean = mu, sd = sigma)

obesidad3 <- 1 - pnorm(40, mean = mu, sd = sigma)

g1
bajo_peso
normal
sobrepeso
obesidad1
obesidad2
obesidad3

Probabilidad de Obesidad tipo 1 ≈ 0.0759

Proporciones esperadas en cada rango:

Bajo peso ≈ 0.0827 Normal ≈ 0.4850 Sobrepeso ≈ 0.2842 Obesidad tipo 1 ≈ 0.0759 Obesidad tipo 2 ≈ 0.0092 Obesidad tipo 3 ≈ 0.0006