# Taller de Distribuciones en R

# Problema 1
# X ~ Binomial(n = 10, p = 0.5)

n <- 10
p <- 0.5
x <- 0:n

# Función de distribución de probabilidad
fx <- dbinom(x, size = n, prob = p)
fx
##  [1] 0.0009765625 0.0097656250 0.0439453125 0.1171875000 0.2050781250
##  [6] 0.2460937500 0.2050781250 0.1171875000 0.0439453125 0.0097656250
## [11] 0.0009765625
# Probabilidades solicitadas
P_X_5 <- dbinom(5, size = n, prob = p)
P_X_5
## [1] 0.2460938
P_X_menor_igual_2 <- pbinom(2, size = n, prob = p)
P_X_menor_igual_2
## [1] 0.0546875
P_3_menor_igual_X_menor_5 <- pbinom(4, size = n, prob = p) - pbinom(2, size = n, prob = p)
P_3_menor_igual_X_menor_5
## [1] 0.3222656
P_X_mayor_igual_8 <- 1 - pbinom(7, size = n, prob = p)
P_X_mayor_igual_8
## [1] 0.0546875
# Gráfica
barplot(fx,
        names.arg = x,
        main = "Distribución Binomial X~Bin(10,0.5)",
        xlab = "x",
        ylab = "f(x)",
        col = "lightblue")

# Problema 2
# X ~ Poisson(lambda = 4)

lambda <- 4
x <- 0:15

# Función de distribución
fx_pois <- dpois(x, lambda = lambda)
fx_pois
##  [1] 1.831564e-02 7.326256e-02 1.465251e-01 1.953668e-01 1.953668e-01
##  [6] 1.562935e-01 1.041956e-01 5.954036e-02 2.977018e-02 1.323119e-02
## [11] 5.292477e-03 1.924537e-03 6.415123e-04 1.973884e-04 5.639669e-05
## [16] 1.503912e-05
# Probabilidades solicitadas
P_X_0 <- dpois(0, lambda = lambda)
P_X_0
## [1] 0.01831564
P_X_4 <- dpois(4, lambda = lambda)
P_X_4
## [1] 0.1953668
P_X_mayor_igual_2 <- 1 - ppois(1, lambda = lambda)
P_X_mayor_igual_2
## [1] 0.9084218
P_X_menor_igual_2 <- ppois(2, lambda = lambda)
P_X_menor_igual_2
## [1] 0.2381033
# Gráfica
barplot(fx_pois,
        names.arg = x,
        main = "Distribución Poisson X~Pois(4)",
        xlab = "x",
        ylab = "f(x)",
        col = "lightgreen")

# Problema 4
# X ~ Binomial(n = 4, p = 0.05)

n <- 4
p <- 0.05

# Ninguna llanta con imperfecciones
P_ninguna <- dbinom(0, size = n, prob = p)
P_ninguna
## [1] 0.8145062
# Solo una llanta con imperfecciones
P_una <- dbinom(1, size = n, prob = p)
P_una
## [1] 0.171475
# Una o más llantas con imperfecciones
P_una_o_mas <- 1 - dbinom(0, size = n, prob = p)
P_una_o_mas
## [1] 0.1854938
# Problema 5
# Proceso Poisson con media de 8 clientes por hora

lambda_hora <- 8

# Exactamente 5 clientes entre 8 AM y 9 AM
P_5_clientes <- dpois(5, lambda = lambda_hora)
P_5_clientes
## [1] 0.09160366
# No más de 3 clientes entre 2:30 PM y 3:30 PM
P_no_mas_3 <- ppois(3, lambda = lambda_hora)
P_no_mas_3
## [1] 0.04238011
# Exactamente 2 clientes en dos horas continuas
lambda_2_horas <- 8 * 2
P_2_clientes_2_horas <- dpois(2, lambda = lambda_2_horas)
P_2_clientes_2_horas
## [1] 1.44045e-05
# Valor esperado entre 2 PM y 4:30 PM
lambda_2_5_horas <- 8 * 2.5
valor_esperado <- lambda_2_5_horas
valor_esperado
## [1] 20
# Problema 6
# X ~ Binomial(n = 105, p = 0.90)
# Se necesita que lleguen máximo 100 personas

n <- 105
p <- 0.90

P_todos_tienen_asiento <- pbinom(100, size = n, prob = p)
P_todos_tienen_asiento
## [1] 0.9832837

Resultados aproximados

P_X_5                       # 0.2460938
## [1] 0.2460938
P_X_menor_igual_2          # 0.0546875
## [1] 0.2381033
P_3_menor_igual_X_menor_5  # 0.3222656
## [1] 0.3222656
P_X_mayor_igual_8          # 0.0546875
## [1] 0.0546875
P_X_0                      # 0.01831564
## [1] 0.01831564
P_X_4                      # 0.1953668
## [1] 0.1953668
P_X_mayor_igual_2          # 0.9084218
## [1] 0.9084218
P_X_menor_igual_2          # 0.2381033
## [1] 0.2381033
P_ninguna                  # 0.8145062
## [1] 0.8145062
P_una                      # 0.171475
## [1] 0.171475
P_una_o_mas                # 0.1854938
## [1] 0.1854938
P_5_clientes               # 0.09160366
## [1] 0.09160366
P_no_mas_3                 # 0.04238011
## [1] 0.04238011
P_2_clientes_2_horas       # 1.441555e-05
## [1] 1.44045e-05
valor_esperado             # 20
## [1] 20
P_todos_tienen_asiento     # Aproximadamente 0.9739
## [1] 0.9832837