Considere a equação diferencial que modela o movimento de um objeto
de massa \(m = 1\, \text{kg}\) sob ação
de uma força constante \(F = 1\,
\text{N}\):
\[
x^{\prime\prime} = 1, \quad x(0) = 0, \quad x(1) = 1
\]
Qual é a solução para a posição \(x(t)\), em metros, do objeto ao longo do tempo \(t\), em segundos?
Considere a equação diferencial que modela o movimento de um oscilador harmônico com massa \(m = 1\, \text{kg}\) e constante elástica \(k = 1\, \text{N/m}\):
\[ x^{\prime\prime} = -x, \quad x(0) = 0, \quad x(1) = 1 \]
Qual é a solução para a posição \(x(t)\), em metros, do objeto ao longo do tempo \(t\), em segundos?
Suponha que a massa \(m(t)\) de uma
célula em grama, em um ambiente ideal, cresça de forma proporcional à
sua própria massa, de acordo com a equação diferencial:
\[
m^{\prime} = m, \quad m(0) = 1
\]
Qual é a solução para a massa \(m(t)\) da célula, em gramas, ao longo do tempo \(t\), em segundos?
Suponha que o número de indivíduos \(N(t)\) de uma população de microrganismos
cresça em função do tempo \(t\), em
segundos, obedecendo à equação diferencial com taxa de natalidade \(\lambda=2\):
\[
N^{\prime} = \lambda N, \quad N(0) = 1
\]
Qual é a solução para \(N(t)\), o número de indivíduos ao longo do tempo?
Considere a população \(N(t)\) de uma espécie que cresce segundo a equação diferencial:
\[ N^{\prime} = (\lambda - \mu) N, \quad N(0) = 1 \] em que \(\lambda = 1\, \text{s}^{-1}\) é a taxa de natalidade específica e \(\mu = 3\, \text{s}^{-1}\) é a taxa de mortalidade específica.
Qual é a solução para o tamanho da população \(N(t)\), ao longo do tempo \(t\), em segundos?
Considere a decomposição do pentóxido de nitrogênio \(N_2O_5\) segundo a equação
\[
2N_2O_5 \to 4NO_2 + O_2
\]
Sob temperatura constante, a concentração \(C(t)\) de \(N_2O_5\), em mol/L, obedece à equação
diferencial:
\[ C^{\prime} = -\dfrac{1}{2}C, \quad C(0) = 1 \]
Qual é a expressão da concentração \(C(t)\) ao longo do tempo \(t\), em segundos?
Considere o crescimento de uma quantidade \(y(t)\) limitada superiormente por \(B = 2\), com taxa de crescimento proporcional à diferença \(2 - y\). O modelo é descrito pela equação diferencial:
\[ y^{\prime} = \dfrac{1}{3}(2 - y), \quad y(0) = 0 \]
Qual é a expressão da solução \(y(t)\), ao longo do tempo \(t\), em segundos?
Considere uma população \(N(t)\) que cresce segundo o modelo
\[ N^{\prime} = 3N + 2, \quad N(0) = 1 \]
em que \(3\, \text{s}^{-1}\) é a taxa de natalidade específica e \(2\, \text{indivíduos/s}\) é a taxa constante de imigração.
Qual é a expressão da população \(N(t)\) ao longo do tempo \(t\), em segundos?
Considere uma população \(y(t)\) que cresce de acordo com a seguinte equação diferencial:
\[ y^{\prime} = \dfrac{1}{3} y(2 - y), \quad y(0) = 1 \]
em que \(\dfrac{1}{3}\, \text{s}^{-1}\) é a taxa de crescimento intrínseca e \(2\) é a capacidade de suporte da população.
Qual é a expressão da população \(y(t)\) ao longo do tempo \(t\), em segundos?
Considere a população \(y(t)\) que cresce segundo o modelo logístico:
\[ y^{\prime} = \lambda y(B - y), \quad y(0) = y_0 \]
em que:
Qual pode ser o valor de \(B\) para que o ponto de inflexão da curva \(y(t)\) ocorra em \(t = \ln(2)\)?
Considere a propagação de uma infecção em uma população com \(n = 1000\) indivíduos suscetíveis e um único indivíduo infectado inicialmente. O número de infectados \(y(t)\) evolui segundo o modelo:
\[ y^{\prime} = \beta y(n + 1 - y), \quad y(0) = 1 \]
em que:
Em que instante ocorre o ponto de inflexão da curva \(y(t)\)?
Considere a massa \(W(t)\) de uma célula, em microgramas (μg), que cresce ao longo do tempo \(t\), em segundos, segundo o modelo:
\[ W^{\prime} = kW^{2/3}, \quad W(0) = W_0 \]
em que:
Qual é a expressão da massa \(W(t)\) da célula ao longo do tempo?
Considere um corpo inicialmente a temperatura \(T_0 = 40^\circ\)C colocado em um ambiente a temperatura constante \(T_s = 10^\circ\)C. Suponha que a taxa de resfriamento seja proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente:
\[ T^{\prime} = -k(T - T_s), \quad T(0) = T_0 \]
em que:
Qual é a temperatura em grau Celsius do corpo no instante \(t = 5\) minutos?
Considere uma célula de volume constante \(V = 2\,\mu\text{m}^3\), cuja membrana tem área \(A = 5\,\mu\text{m}^2\) e permeabilidade \(k = 0.001\,\mu\text{m/s}\). Suponha que a concentração do soluto no meio externo seja constante, \(c_0 = 8\,\text{mmol/L}\), e que a concentração inicial dentro da célula seja \(c(0) = 2\,\text{mmol/L}\).
A concentração \(c(t)\) de soluto dentro da célula, em função do tempo \(t\) (em segundos), satisfaz a equação diferencial:
\[ c^{\prime} = \dfrac{kA}{V}(c_0 - c) \]
Qual é a expressão da concentração interna \(c(t)\)?
Considere a reação química:
\[ n\text{-} \mathrm{C}_5\mathrm{H}_{11}\mathrm{F} + \mathrm{NaOC}_2\mathrm{H}_5 \rightarrow \mathrm{NaF} + n\text{-} \mathrm{C}_5\mathrm{H}_{11}\mathrm{OC}_2\mathrm{H}_5 \]
em que a concentração inicial de fluoreto de n-amila é \(A = 4.0\, \text{mol/L}\) e a de etóxido de sódio é \(B = 2.0\, \text{mol/L}\). Suponha que a taxa de reação seja modelada por
\[ x^{\prime} = r(A - x)(B - x) \]
com \(r = 0.1\, \text{L/(mol s)}\) e \(x(0) = 0\).
Qual é a quantidade \(x(5)\) ( \(\text{mol/L}\)) de produto formada após 5 segundos?
Considere o processo de ativação do tripsinogênio em tripsina, modelado pela equação:
\[ y^{\prime} = r(y_0 + y)(B - y), \quad y(0) = 0 \]
em que:
Qual é a concentração adicional de tripsina em mol/L no instante \(t = 1\) s?