Sea \(f(x)= (x_1-4)^2+(x_2-6)^2\)
ST:
\(x_1^2\leq x_2\)
\(x_2\leq 4\) El problema consiste en maximar f(x) en el conjunto ST definido.

La función f(x) es separable como suma de dos funciones positivas que dependen de \(x_1\) y \(x_2\) y estas a su vez son funciones convexas, sus segundas derivadas son positivas. Por tanto en virtud en virtud del teorema 1.9, la función f es convexa. El conjunto de restriciones es convexo, la primera restrición representa el epigrafo de la función \(f(x)= x^2\) y una función f es convexa si y solo si su epigrafo es una función convexa. La segunda restrición es un semiespacio cerrado de \(R^2\), y todo subespacio cerrado es un conjunto convexo. Como la intersección de subespacios cerrados es un conjunto convexo, se tiene entonces que nuestra región factible es efectivamente un conjunto convexo.
Por tanto nuestro problema, tiene al menos una solución.

library("Ryacas")
library("Deriv")
## 
## Attaching package: 'Deriv'
## 
## The following object is masked from 'package:Ryacas':
## 
##     Simplify
curve(x^2,xlim=c(-5,5))
abline(h=4)
points(4,6,col="red")

x= seq(-3,5,by=0.01)
y= seq(-1,6.5,by=0.01)
f <- function(x, y) {(x-4)^2+(y-6)^2}
z <- outer(x, y, f)
contour(x,y,z)
points(4,6,col="red")
points(x,x^2)
abline(h=4)

Deriv(f)
## function (x, y) 
## c(x = 2 * (x - 4), y = 2 * (y - 6))

La función f no tiene máximos en \(R^2\) y evidentemente su mínimo absoluto se corresponde al punto (4,6), el único punto donde toma el valor 0 y además se anula el gradiente. En definitiva si queremos calcular el máximo del problema anterior no nos sirve buscar en los puntos que el gradiente es 0. El gradiente nos indica el comportamiento local de la función f. Tenemos 4 casos de su comportamiento local respecto a las combinaciones lineales positivas de los vectores de la base canónica (1,0),(0,1). \(x\leq 4\) y \(y\leq 6\). La función f decrece localmente \(4\leq x\) y \(6\leq y\). La función f crece En los otros dos casos en una dirección crecera y en otra no. Nótese que dentro de cada uno de este conjunto de restriciones el comportamiento no es local xa que cada componente del gradiente son rectas. Para terminar calculemos el máximo para el problema original, para ello tenemos la siguiente caracterización. El punto \(x\in S\) es un máximo local si el gradiente que denotaremos por g(x), verifica:
\(<g(x),x-y><=0 \hspace{0.2cm} \forall y\in S\)

Por ejemplo el punto (2,4) no verifica la condición anterior basta tomar el punto (0,0), siendo el producto escalar anterior igual a 20. Usando esa caracterización del teorema 2.8 se puede probar que el mínimo (se omite por las cuentas) se encuentra en el punto (-0.373201,0.139279).

x= seq(-3,5,by=0.01)
y= seq(-1,6.5,by=0.01)
f <- function(x, y) {(x-4)^2+(y-6)^2}
z <- outer(x, y, f)
contour(x,y,z)
points(-0.373201,0.139279,col="green",cex=2)
points(4,6,col="red")

points(x,x^2)
abline(h=4)