Bastão de Asclépio & Distribuição Normal

1 Gabarito

1.1 Análise de Correlação

APEx 7710: B
APEx 7712: A
APEx 7713: D
APEx 7715: C
APEx 7717: C
APEx 7718: C
APEx 7824: E
APEx 7828: D
APEx 7843: B
APEx 10525: D
APEx 10526: C
APEx 10527: A
APEx 13341: F
APEx 11136: B
APEx 11141: D
APEx 11143: E
APEx 16280: D
APEx 16279: D
APEx 16278: C
APEx 16276: C
APEx 16275: A
APEx 16218: B
APEx 16269: B

1.2 Regressão Linear Simples

APEx 8044: A
APEx 8046: E
APEx 8047: G
APEx 8048: F
APEx 8049: E
APEx 8050: D
APEx 8051: C
APEx 8052: E
APEx 8053: E
APEx 8054: E
APEx 8056: E
APEx 8059: C
APEx 8179: B
APEx 8180: B
APEx 8181: C
APEx 8182: E
APEx 9603: A
APEx 9604: D
APEx 10144: C
APEx 10145: B
APEx 11142: D
APEx 11144: E
APEx 11810: D
APEx 16281: D
APEx 15307: D
APEx 12432: A e E
APEx 14871: H
APEx 14871: B
APEx 16274: D
APEx 16273: B
APEx 16272: D
APEx 16271: B
APEx 16270: B

2 Análise de Correlação

2.1 APEx 7710: Motivação, desempenho e QI

QI significa Quociente de Inteligência, um fator que mede a inteligência das pessoas com base nos resultados de testes específicos. O QI mede o desempenho cognitivo de um indivíduo comparando-o a pessoas do mesmo grupo etário. O primeiro teste para medir a capacidade intelectual foi desenvolvido no início do século XX pelo psicólogo francês Alfred Binet (1859-1911). Inicialmente, o teste foi aplicado apenas nas escolas para identificar estudantes com dificuldades de aprendizado. Mais tarde, o psicólogo alemão William Stern (1871-1938) criou a expressão Quociente de Inteligência, introduzindo os termos “IM (Idade Mental)” e “IC (Idade Cronológica)”, para relacionar a capacidade intelectual de uma pessoa e a sua idade.

Um pesquisador deseja investigar o relacionamento entre motivação e desempenho em exames. Entretanto, ele tem motivos para acreditar que o QI influencia essas variáveis e decide obter correlações parciais.

Ele deve fazer uma correlação entre:

A. Motivação e QI, controlando por desempenho em exames
B. Motivação e desempenho em exames, controlando por QI
C. QI e desempenho em exames, controlando por motivação
D. Motivação, QI e desempenho em exames

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Esta questão foi adaptada de Dancey & Reidy (2019, p. 208).

O objetivo da análise é estimar a associação linear entre motivação e desempenho em exames, eliminando o efeito potencialmente confundidor do QI. A correlação parcial mede a relação entre duas variáveis mantendo constante uma terceira variável.

Formalmente, deseja-se estimar a correlação entre motivação e desempenho após remover a variância compartilhada de ambas com o QI. Assim, o QI atua como variável de controle (covariável), enquanto motivação e desempenho constituem as variáveis de interesse substantivo.

2.2 APEx 7712: H₀

A hipótese nula do teste usual de correlação é correlação:

A. Populacional igual a zero
B. Amostral igual a zero
C. Populacional igual a 1
D. Amostral igual a 1
E. Populacional qualquer entre -1 e 1, exceto o zero

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

No teste usual de correlação (por exemplo, correlação de Pearson), a hipótese nula é formulada sobre o parâmetro populacional $\rho$:

\[ H_0: \rho = 0 \]

A hipótese alternativa, no teste bilateral, é:

\[ H_1: \rho \neq 0 \]

As hipóteses estatísticas referem-se sempre a parâmetros populacionais, não a estatísticas amostrais. O coeficiente amostral $r$ é utilizado apenas como estimador de $\rho$ e como base para o cálculo da estatística de teste.

As hipóteses nula e alternativa são sempre populacionais, pois o interesse é utilizar a amostra para inferir sobre o que ocorre na população de onde a amostra foi presumivelmente obtida. Habitualmente, a hipótese nula pressupõe ausência de correlação.

2.3 APEx 7713: Nível de mensuração

A correlação de Pearson NÃO pode ser calculada para duas variáveis com níveis de mensuração:

A. Intervalares
B. Razões
C. Intervalar e razão
D. Ordinais

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

A correlação de Pearson é computada para variáveis numéricas, como o são as intervalares e as de razão (a diferença entre elas é a existência de um zero verdadeiro para a segunda). Variáveis ordinais, mesmo quando sejam rotuladas com algarismos, não são numéricas e, portanto, não podemos calcular r de Pearson com elas.

Por outro lado, caso calculemos os postos de uma variável ordinal e calculemos o r de Pearson com estes postos, obteremos o valor de $\rho$ de Spearman. Este é um artifício que poderia ser usado com uma função que somente estivesse preparada para calcular o r de Pearson.

2.4 APEx 7715: % Variância compartilhada

Se a proporção de variância compartilhada é 64%, então a correlação é:

A. $0.8$
B. $-0.8$
C. $\pm 0.8$
D. $0.64$
E. $0.36$

Explicações e comentários:

Alternativas corretas: C.

A proporção de variância compartilhada, que coincide numericamente com o coeficiente de determinação da regressão $R^2$, é o quadrado do coeficiente de correlação de Pearson, $r^2$. Consequentemente, como $-1 < r < 1$, então $0 < r^2 < 1$.

Se $r^2 = 0.64$, então $|r| = \sqrt{0.64} = 0.8$. Entretanto, como o sinal se perde ao elevar ao quadrado, não é possível determinar se $r = -0.8$ ou $ = +0.8$ apenas com a informação de $r^2$.

2.5 APEx 7717: Variáveis dicotômicas

Um pesquisador deseja medir o grau de associação entre ter ou não ter um animal de estimação e ter ou não ter um(a) parceiro(a) sexual.

A correlação de Pearson para esse propósito é:

A. Inadequada mesmo se forem quantificadas
B. Um atentado às boas práticas de análise estatística
C. Adequada se forem quantificadas
D. Adequada apenas se forem binarizadas

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

A correlação de Pearson é adequada nesse caso porque as duas variáveis dicotômicas são autenticamente discretas, isto é, assumem apenas duas categorias mutuamente exclusivas. Quando codificadas numericamente (por exemplo, 0 e 1), a correlação de Pearson entre elas corresponde ao coeficiente $\phi$, que é uma medida específica de associação para tabelas $2 \times 2$.

O valor absoluto de $\phi$ coincide com o $V$ de Cramér em tabelas $2 \times 2$. Além disso, $\phi$ pode ser obtido a partir do qui-quadrado de Pearson pela relação:

\[ |\phi| = \sqrt{\frac{\chi^2}{n}} \]

Como o qui-quadrado não preserva o sinal, apenas a correlação de Pearson entre as variáveis codificadas permite identificar a direção da associação.

As variáveis não precisam necessariamente ser codificadas como 0 e 1. A correlação de Pearson é invariante a transformações lineares do tipo $X + a$ e $Y + b$, isto é:

\[ r(X + a, Y + b) = r(X, Y) \]

Portanto, basta que as categorias sejam quantificadas numericamente.

# Exemplo: duas variáveis dicotômicas

set.seed(123)

# Gerando variáveis binárias (0/1)
x <- rbinom(n = 50, size = 1, prob = 0.5)
y <- rbinom(n = 50, size = 1, prob = 0.4)

cat("Correlação de Pearson (phi):\n")

Correlação de Pearson (phi):

print(cor(x, y))

[1] 0

cat("\nTeste qui-quadrado de Pearson:\n")


Teste qui-quadrado de Pearson:

out <- chisq.test(table(x, y), correct = FALSE)
print(out)


    Pearson's Chi-squared test

data:  table(x, y)
X-squared = 0, df = 1, p-value = 1

cat("\nCálculo de |phi| a partir do qui-quadrado:\n")


Cálculo de |phi| a partir do qui-quadrado:

phi_abs <- sqrt(out$statistic / sum(table(x, y)))
print(phi_abs)

X-squared 
        0

cat("\nTabela 2x2:\n")


Tabela 2x2:

print(tab <- table(x, y))

# Comparando com psych::phi
if (requireNamespace("psych", quietly = TRUE)) {
  cat("\nPhi pela função psych::phi:\n")
  print(psych::phi(tab))
}


Phi pela função psych::phi:
[1] 0

# Verificando invariância a transformações lineares
a <- -50
b <- 400
x2 <- x + a
y2 <- y + b

cat("\nCorrelação após transformação linear (X+a, Y+b):\n")


Correlação após transformação linear (X+a, Y+b):

print(cor(x2, y2))

[1] 0

2.6 APEx 7718: Suposição I

Uma suposição necessária para o cálculo da correlação de Pearson entre duas variáveis quantitativas é:

A. Normalidade bivariada
B. Homoscedasticidade
C. Independência dos pares de observações
D. Randomização

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

As condições de normalidade bivariada e homocedasticidade são requeridas para o teste estatístico associado à correlação, mas não são necessárias para o cálculo do coeficiente $r$.

O valor da correlação é incorretamente estimado quando falta independência entre os pares de observações (por exemplo, quando o mesmo indivíduo fornece mais de um par de medidas).

Randomização pode ser utilizada na atribuição de unidades experimentais a diferentes condições com o objetivo de reduzir viés por confundimento, mas não é condição necessária para o cálculo da correlação. Qualquer conjunto de pares de valores pode ter $r$ calculado, desde que os pares sejam independentes.

2.7 APEx 7824: Duas series temporais

Figura 1

O coeficiente de correlação de Pearson das duas séries temporais $X$ e $Y$ representadas na Figura 1, sendo $t$ o eixo de instantes de tempo equiespaçados, é:

0
-0.2
0.2
-0.5
0.5
-0.8
0.8
-1
1

Explicações e comentários:

Alternativa correta: E.

Este exemplo foi adaptado de

Erdem, O et al. (2014) A new correlation coefficient for bivariate time-series data. Physica A 414: 274-84.

O gráfico apresentado ilude. $X$ é decrescente e $Y$ tem interpretação confusa, mostrando dois segmentos crescentes, mas no geral dá a impressão de valores decrescentes porque o segundo segmento de reta está mais baixo que o primeiro. No entanto, aplicar retas de regressão sobre séries temporais (como acontece no famoso site https://www.tylervigen.com/spurious-correlations, que ainda confunde regressão com correlação), não é o procedimento mais adequado.

Aqui os pares de valores são $X$ e $Y$ do momento 1, depois $X$ e $Y$ do momento 2, etc. Os dados são:

$t$	$X$	$Y$
1	10	0
2	9	1
3	8	2
4	7	3
5	6	4
6	5	5
7	4	6
8	3	7
9	2	8
10	1	9
11	0	10
12	-1	-10
13	-2	-9
14	-3	-8
15	-4	-7
16	-5	-6
17	-6	-5
18	-7	-4
19	-8	-3
20	-9	-2
21	-10	-1

O coeficiente de correlação de Pearson entre duas séries temporais $X$ e $Y$ mede associação linear global dos níveis (em torno das médias), não a co-movimentação temporal.

No exemplo:

\[ r_P = 0.5 \]

Ou seja, o valor é positivo, apesar das séries se moverem em direções opostas quase todo o tempo.

Erdem et al. (2014) propõem um coeficiente baseado nos incrementos sucessivos (diferenças de primeira ordem):

\[ \rho_E = \frac{\sum_{t=2}^{n} (X_t - X_{t-1})(Y_t - Y_{t-1})} {\sqrt{\sum_{t=2}^{n}(X_t - X_{t-1})^2} \sqrt{\sum_{t=2}^{n}(Y_t - Y_{t-1})^2}} \]

Para os dados do exercício:

$\Delta X_t = X_t - X_{t-1} = -1$ para todo $t=2,\ldots,21$.
$\Delta Y_t = +1$ em 19 transições.
Há um salto estrutural em $Y$: de 10 para -10, gerando $\Delta Y=-20$ em uma transição.

Então:

\[ \sum_{t=2}^{n}\Delta X_t \Delta Y_t = 19\cdot(-1)(+1) + 1\cdot(-1)(-20) = -19 + 20 = 1 \]

\[ \sum_{t=2}^{n}(\Delta X_t)^2 = 20 \]

\[ \sum_{t=2}^{n}(\Delta Y_t)^2 = 19\cdot 1^2 + (-20)^2 = 419 \]

Logo:

\[ \rho_E = \frac{1}{\sqrt{20\cdot 419}} = \frac{1}{\sqrt{8380}} \approx 0.01092391 \]

Conclusão coerente com o artigo:

$X$ e $Y$ parecem mover-se em direções opostas na maior parte do tempo, mas um salto abrupto em $Y$ domina a variância dos incrementos e praticamente zera a medida de co-movimentação baseada em incrementos. Assim, neste exemplo específico, nem $r_P$ (níveis) nem $\rho_E$ (incrementos) recupera a “intuição visual” de anticorrelação perfeita; o caso ilustra como quebras/saltos podem distorcer medidas de associação em séries temporais.

# Dados do exemplo (t = 1,...,21)
t <- 1:21
X <- c(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, 
       -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10)
Y <- c( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,-10, -9, -8, 
        -7, -6, -5, -4, -3, -2,  -1)

# 1) Correlação de Pearson (nível)
r_pearson <- cor(X, Y, method = "pearson")
r_pearson

[1] 0.5

# 2) Coeficiente proposto por Erdem et al. (2014): correlação dos incrementos (direcionalidade)
dX <- diff(X)  # X_t - X_{t-1}
dY <- diff(Y)  # Y_t - Y_{t-1}

rho_erdem <- sum(dX * dY) / sqrt(sum(dX^2) * sum(dY^2))
rho_erdem

[1] 0.01092391

plot(t, X,
     type = "p",
     pch = 16,
     ylim = range(c(X, Y)),
     xlab = "t",
     ylab = "Valor",
     main = "Series temporais X e Y (apenas pontos)")

points(t, Y,
       type = "p",
       pch = 17)
abline(h=0, lty=2)

legend("topright",
       legend = c("X", "Y"),
       pch = c(16, 17),
       bty = "n")

2.8 APEx 7828: Renda e educação

Um pesquisador encontra a correlação de Pearson de 0,4 entre renda pessoal anual e número de anos cursados no ensino superior.

Pode-se concluir que:

A. Uma pessoa que completou o curso superior tem renda pessoal anual de 4 mil reais
B. A variável “Anos cursados” causa renda
C. Renda pessoal tem assimetria positiva
D. “Anos cursados” tem associação linear imperfeita positiva com renda
E. A variável “Anos cursados” é de confusão

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

O coeficiente de correlação de Pearson $r = 0{,}4$ indica associação linear positiva de magnitude moderada entre duas variáveis quantitativas.

Isso significa que, em média, maiores valores de anos cursados estão associados a maiores valores de renda, mas a associação é imperfeita (pois $|r| < 1$).

A correlação não permite inferência causal. Logo, não se pode concluir que anos de estudo causam renda.

O valor 0,4 não permite calcular diretamente valores monetários individuais; isso exigiria um modelo de regressão com parâmetros estimados.

Assimetria é propriedade da distribuição de uma variável isolada e não é medida pelo coeficiente de correlação.

As duas variáveis mencionadas são justamente as variáveis de interesse; portanto, não se pode classificá-las como variável de confusão nesse contexto.

2.9 APEx 7843: PCC

O Coeficiente de Correlação de Pearson refere-se a:

A. O grau de relacionamento causal entre duas variáveis quantitativas
B. O grau de associação linear entre duas variáveis quantitativas
C. A proporção de variância compartilhada por duas variáveis quantitativas
D. A medida estatística que pode ser usada exclusivamente em delineamento correlacional

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

O coeficiente de correlação de Pearson, usualmente representado por $r$, mede o grau de associação linear entre duas variáveis quantitativas.

Ele varia no intervalo $-1 \le r \le 1$, indicando direção (sinal) e intensidade da associação linear.

Associação não implica causalidade. Portanto, não se pode interpretar $r$ como medida de relacionamento causal.

A proporção de variância compartilhada é dada por $r^2$, não por $r$.

A correlação pode ser calculada para qualquer conjunto de pares de valores numéricos, independentemente do delineamento entre participantes do estudo; não é exclusiva de delineamentos correlacionais.

2.10 APEx 10525: Playboy & Estupro

A correlação de Pearson entre a taxa de estupro (para cada 100 mil habitantes dos EUA) em 1982 e a circulação da revista Playboy (para cada 100 mil habitantes dos EUA) em 1979 para 49 estados estadunidenses (o Alaska é um valor atípico nesse quesito e foi excluído) é 0.4.

Devido a essa correlação substancial, muitos pesquisadores se perguntaram: se a Playboy tem esse tipo de efeito sobre crimes sexuais, imagine o dano que pode ser causado pela pornografia realmente pesada!

As taxas de estupro e de assinatura da Playboy estão correlacionadas à taxa de residências sem uma mulher adulta (para cada 100 mil residências dos EUA). A correlação de Pearson entre as taxas de estupro e de residências sem uma mulher adulta é 0.48. A correlação de Pearson entre as taxas de assinatura da Playboy e de residências sem uma mulher adulta é 0.85.

A correlação de Pearson parcial entre as taxas de assinatura da Playboy e de estupro é:

A. 0.17
B. -0.17
C. 0.017
D. -0.017
E. 0.0017
F. -0.0017

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

A correlação parcial de Pearson entre $X$ (taxa de estupro) e $Y$ (assinatura da Playboy), controlando $Z$ (residências sem mulher adulta), é dada por:

\[ r_{XY \cdot Z} = \frac{r_{XY} - r_{XZ} r_{YZ}} {\sqrt{(1 - r_{XZ}^2)(1 - r_{YZ}^2)}} \]

Substituindo:

\[ r_{XY} = 0.4, \quad r_{XZ} = 0.48, \quad r_{YZ} = 0.85 \]

obtém-se:

\[ r_{XY \cdot Z} \approx -0.0173 \]

Ou seja, após controlar a variável de confusão $Z$, a associação linear entre assinatura da Playboy e taxa de estupro praticamente desaparece.

Isso ilustra o papel de variável de confusão e a importância da correlação parcial na análise multivariada.

rXY <- 0.4; rXZ <- 0.48; rYZ <- 0.85
r_parcial_formula <- (rXY - rXZ*rYZ)/ (sqrt(1-rXZ^2)*sqrt(1-rYZ^2))
cat("Parcial (fórmula) X~Y|Z: ", r_parcial_formula, "\n")

Parcial (fórmula) X~Y|Z:  -0.01731115

R <- matrix(c(
  1,    rXY, rXZ,
  rXY,  1,   rYZ,
  rXZ,  rYZ, 1
), nrow=3, byrow=TRUE)

P <- solve(R)  # inversa de R

r_parcial_inv <- -P[1,2] / sqrt(P[1,1]*P[2,2])
r_parcial_inv

[1] -0.01731115

2.11 APEx 10526: Teste de correlação sem dados brutos

A correlação de Pearson amostral entre estatura e massa corporal total entre 500 estudantes masculinos do primeiro ano de Medicina da USP é 0.5.

Adotar o nível de significância de 5% para o teste de correlação de Pearson.

O intervalo de confiança bilateral de 95% da correlação de Pearson populacional é:

A. [-1; 0.55]
B. [0.44; 1]
C. [0.43; 0.56]
D. [-1; 1]
E. Impossível calcular

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

A distribuição amostral de $r$ não é normal, especialmente quando $|\rho|$ é grande.

Para contornar essa assimetria, utiliza-se a transformação de Fisher, que aproxima a normalidade:

\[ z = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) \]

Sob normalidade bivariada, $z$ é aproximadamente normal com

\[ \mathbb{E}(z) \approx \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right), \qquad \text{SE}_z = \frac{1}{\sqrt{n-3}} \]

Para $r = 0.5$ e $n = 500$:

\[ \text{SE}_z = \frac{1}{\sqrt{497}} \]

O intervalo de 95% na escala transformada é:

\[ z \pm z_{0.975}\,\text{SE}_z \]

onde $z_{0.975} \approx 1.96$.

Em seguida, realiza-se a transformação inversa para retornar à escala da correlação populacional $\rho$.

A inversa de Fisher pode ser escrita como:

\[ \rho = \frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1} \]

Observa-se que essa expressão é exatamente a tangente hiperbólica:

\[ \tanh(z) = \frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1} \]

Logo, a forma mais simples da inversa é:

\[ \rho = \tanh(z) \]

Portanto, basta aplicar a função $\tanh(\cdot)$ aos limites do intervalo em escala $z$.

O resultado numérico é:

\[ \text{IC}^{95\%}(\rho) = [0.431,\; 0.563] \]

Interpretação: com 95% de confiança, a correlação populacional verdadeira está entre aproximadamente 0.43 e 0.56. Note que o intervalo não inclui zero, logo a correlação é estatisticamente diferente de zero ao nível de 5%.

alfa <- 0.05
N <- 500
r <- 0.5
DescTools::CorCI(r, 
                 n = N, 
                 conf.level = 1 - alfa, 
                 alternative = "two.sided")

      cor    lwr.ci    upr.ci 
0.5000000 0.4312162 0.5630054

# Dados
r <- 0.5
n <- 500
alpha <- 0.05

# Transformação de Fisher
z <- 0.5 * log((1 + r)/(1 - r))

# 2) Erro-padrão
SE_z <- 1 / sqrt(n - 3)

# 3) Quantil crítico normal
z_crit <- qnorm(1 - alfa/2)

# 4) Intervalo em escala z
z_inf <- z - z_crit * SE_z
z_sup <- z + z_crit * SE_z

# 5) Transformação inversa
rho_inf <- (exp(2*z_inf) - 1) / (exp(2*z_inf) + 1)
rho_sup <- (exp(2*z_sup) - 1) / (exp(2*z_sup) + 1)

cat("IC95% manual da correlação:\n")

IC95% manual da correlação:

cat("[", round(rho_inf, 6), ";", round(rho_sup, 6), "]\n")

[ 0.431216 ; 0.563005 ]

# Forma alternativa usando função hiperbólica

rho_inf <- tanh(z_inf)
rho_sup <- tanh(z_sup)

cat("IC95% usando tanh:\n")

IC95% usando tanh:

cat("[", round(rho_inf, 6), ";", round(rho_sup, 6), "]\n")

[ 0.431216 ; 0.563005 ]

2.12 APEx 10527: Teste de correlação sem dados brutos - II

A correlação de Pearson amostral entre estatura e massa corporal total entre 500 estudantes masculinos do primeiro ano de Medicina da USP é 0.5.
Adotar o nível de significância de 5% para o teste de correlação de Pearson.

O teste de correlação de Pearson bilateral indica:

A. Muita significância
B. Pouca significância
C. Significância parcial
D. Significância marginal
E. Ausência de significância
F. Significância

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

Hipóteses:

\[ H_0:\rho=0 \qquad\text{vs.}\qquad H_1:\rho\neq 0 \]

Para o teste de significância do coeficiente de correlação de Pearson, usa-se a estatística:

\[ t = r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}, \qquad \text{gl}=n-2 \]

Com $n=500$ e $r=0.5$:

\[ t_{\text{obs}} = r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} = 0.5\sqrt{\frac{498}{0.75}} \approx 12.884 \]

O valor crítico ao nível de 5% (bilateral) seria:

\[ t_{0.975,\,498}\approx 1.965 \]

Portanto:

\[ |t_{\text{obs}}| = 12.884 \gg 1.965 \]

Rejeita-se $H_0$.

\[ t(498)=12.884, \qquad p = 5.52\times 10^{-33} \] Como $p \ll 0.05$, rejeita-se $H_0$. A evidência estatística contra $H_0$ é dicotômica, o que justifica a expressão “Significância”. Não existe categoria intermediária como “muita” ou “pouca” significância, conforme Cohen (1994).

Cohen, J (1994) The earth is round (p < .05). American Psychologist, 49, 997–1003.

N <- 500
r <- 0.5

# t observado
t_obs <- r*sqrt((N-2)/(1-r^2))

# t crítico (bilateral, 5%)
t_crit <- qt(0.975, df=N-2)

# valor-p bilateral
p <- 2*pt(-abs(t_obs), df=N-2)

cat("t observado = ", t_obs, "\n")

t observado =  12.8841

cat("t crítico (5%) = ", t_crit, "\n")

t crítico (5%) =  1.964739

cat("p-valor = ", p, "\n")

p-valor =  5.518537e-33

2.13 APEx 13341: Medidas repetidas

Estimar a correlação entre as variáveis pH intramural e PaCO2 de oito pacientes com as medidas repetidas da tabela a seguir.
Dica: Você não precisa digitar os dados; estão disponíveis em R com dtfrm <- rmcorr::bland1995.

`Subject`	`pH`	`PaCO2`
1	6.68	3.97
1	6.53	4.12
1	6.43	4.09
1	6.33	3.97
2	6.85	5.27
2	7.06	5.37
2	7.13	5.41
2	7.17	5.44
3	7.40	5.67
3	7.42	3.64
3	7.41	4.32
3	7.37	4.73
3	7.34	4.96
3	7.35	5.04
3	7.28	5.22
3	7.30	4.82
3	7.34	5.07
4	7.36	5.67
4	7.33	5.10
4	7.29	5.53
4	7.30	4.75
4	7.35	5.51
5	7.35	4.28
5	7.30	4.44
5	7.30	4.32
5	7.37	3.23
5	7.27	4.46
5	7.28	4.72
5	7.32	4.75
5	7.32	4.99
6	7.38	4.78
6	7.30	4.73
6	7.29	5.12
6	7.33	4.93
6	7.31	5.03
6	7.33	4.93
7	6.86	6.85
7	6.94	6.44
7	6.92	6.52
8	7.19	5.28
8	7.29	4.56
8	7.21	4.34
8	7.25	4.32
8	7.20	4.41
8	7.19	3.69
8	6.77	6.09
8	6.82	5.58

O valor da correlação é:

A. -0.065
B. 0.082
C. 0.974
D. -0.244
E. -0.326
F. A correlação de Pearson não é adequada
G. Impossível estimar

Explicações e comentários:

Alternativa correta: F.

Os dados apresentam medidas repetidas para cada paciente. Logo, as observações não são independentes. O coeficiente de correlação de Pearson simples viola a suposição de independência dos pares.

Diversas abordagens incorretas produzem resultados distintos:

Correlação ingênua (ignorando medidas repetidas): −0.065
Correlação das médias por sujeito: 0.082
Correlação das médias ponderadas: 0.974
Média das correlações por sujeito: −0.244
Média ponderada das correlações por sujeito: −0.326

A abordagem correta é a correlação para medidas repetidas proposta por Bland & Altman (1995).

Resultado correto:

Correlação de medidas repetidas: $r = -0.5067697$

# Dados
dtfrm <- rmcorr::bland1995
print(dtfrm)

   Subject   pH PaCO2
1        1 6.68  3.97
2        1 6.53  4.12
3        1 6.43  4.09
4        1 6.33  3.97
5        2 6.85  5.27
6        2 7.06  5.37
7        2 7.13  5.41
8        2 7.17  5.44
9        3 7.40  5.67
10       3 7.42  3.64
11       3 7.41  4.32
12       3 7.37  4.73
13       3 7.34  4.96
14       3 7.35  5.04
15       3 7.28  5.22
16       3 7.30  4.82
17       3 7.34  5.07
18       4 7.36  5.67
19       4 7.33  5.10
20       4 7.29  5.53
21       4 7.30  4.75
22       4 7.35  5.51
23       5 7.35  4.28
24       5 7.30  4.44
25       5 7.30  4.32
26       5 7.37  3.23
27       5 7.27  4.46
28       5 7.28  4.72
29       5 7.32  4.75
30       5 7.32  4.99
31       6 7.38  4.78
32       6 7.30  4.73
33       6 7.29  5.12
34       6 7.33  4.93
35       6 7.31  5.03
36       6 7.33  4.93
37       7 6.86  6.85
38       7 6.94  6.44
39       7 6.92  6.52
40       8 7.19  5.28
41       8 7.29  4.56
42       8 7.21  4.34
43       8 7.25  4.32
44       8 7.20  4.41
45       8 7.19  3.69
46       8 6.77  6.09
47       8 6.82  5.58

# Jeitos errados
cat("
erro 1. calculando a correlacao imediatamente
")


erro 1. calculando a correlacao imediatamente

cor.naive <- cor(dtfrm$pH,dtfrm$PaCO2)
cat("A correlacao ingenua entre pH e PaCO2: ",cor.naive,"
",sep="")

A correlacao ingenua entre pH e PaCO2: -0.06521774

car::scatterplot(scale(dtfrm$pH), scale(dtfrm$PaCO2),
                 main="Correlacao ingenua
(variaveis padronizadas)",
                 regLine=TRUE, smooth=FALSE, ellipse=FALSE,
                 legend=FALSE, col="black",
                 xlab = "z(PaCO2)", ylab = "z(pH)",
                 xlim = c(-3,3), ylim = c(-3,3))

cat("
erro 2. calculando a media por individuo antes de fazer a correlacao
")


erro 2. calculando a media por individuo antes de fazer a correlacao

dtfrm2 <- aggregate(dtfrm, by=list(dtfrm$Subject), FUN=mean)
cor.medias <- cor(dtfrm2$pH,dtfrm2$PaCO2)
cat("A correlacao fazendo a media por Subject: ",cor.medias,"
",sep="")

A correlacao fazendo a media por Subject: 0.08177314

car::scatterplot(scale(dtfrm2$pH), scale(dtfrm2$PaCO2),
                 main="Correlacao pela media de cada Subject
(variaveis padronizadas)",
                 regLine=TRUE, smooth=FALSE, ellipse=FALSE,
                 legend=FALSE, col="black",
                 xlab = "z(PaCO2)", ylab = "z(pH)",
                 xlim = c(-3,3), ylim = c(-3,3))

cat("
erro 3. calculando a media por individuo antes de fazer a correlacao mas ponderando a media pelo numero de repeticoes")


erro 3. calculando a media por individuo antes de fazer a correlacao mas ponderando a media pelo numero de repeticoes

dtfrm2 <- aggregate(dtfrm, by=list(dtfrm$Subject), FUN=mean)
dtfrm2$repeticoes <- as.vector(unlist(lapply(split(dtfrm, dtfrm$Subject), function(X) nrow(X))))
dtfrm2$pH_pond <- dtfrm2$pH * dtfrm2$repeticoes
dtfrm2$PaCO2_pond <- dtfrm2$PaCO2 * dtfrm2$repeticoes
cor.medias_pond <- cor(dtfrm2$pH_pond,dtfrm2$PaCO2_pond)
cat("A correlacao fazendo a media ponderada por Subject: ",cor.medias_pond,"
",sep="")

A correlacao fazendo a media ponderada por Subject: 0.9737897

car::scatterplot(scale(dtfrm2$pH_pond), scale(dtfrm2$PaCO2_pond),
                 main="Correlacao pela media ponderada de cada Subject
(variaveis padronizadas)",
                 regLine=TRUE, smooth=FALSE, ellipse=FALSE,
                 legend=FALSE, col="black",
                 xlab = "z(PaCO2)", ylab = "z(pH)",
                 xlim = c(-3,3), ylim = c(-3,3))

cat("
erro 4. tentando usar a correlacao por sujeito e pegar a media das correlacoes
")


erro 4. tentando usar a correlacao por sujeito e pegar a media das correlacoes

cor.by.Subject <- as.vector(unlist(lapply(split(dtfrm, dtfrm$Subject), function(X) cor(X$pH,X$PaCO2))))
cat("As correlacoes por Subject sao: ",cor.by.Subject,"
",sep="")

As correlacoes por Subject sao: -0.053056560.9970367-0.46912770.4935533-0.6154613-0.4884119-0.9983497-0.8142457

cat("Em media: ",mean(cor.by.Subject),"
")

Em media:  -0.2435078

car::scatterplot(scale(dtfrm$PaCO2), scale(dtfrm$pH), groups = dtfrm$Subject,
                 main="Correlacao separada por Subject
(variaveis padronizadas)",
                 regLine=TRUE, smooth=FALSE, ellipse=FALSE,
                 legend=FALSE, col="black",
                 xlab = "z(PaCO2)", ylab = "z(pH)")

Warning in scatterplot.default(scale(dtfrm$PaCO2), scale(dtfrm$pH), groups = dtfrm$Subject, : number of groups exceeds number of available colors
  colors are recycled

cat("
erro 5. tentando usar a correlacao por sujeito e pegar a media ponderada das correlacoes
")


erro 5. tentando usar a correlacao por sujeito e pegar a media ponderada das correlacoes

cor.by.Subject <- as.vector(unlist(lapply(split(dtfrm, dtfrm$Subject), function(X) cor(X$pH,X$PaCO2))))
repeticoes.by.Subject <- as.vector(unlist(lapply(split(dtfrm, dtfrm$Subject), function(X) nrow(X))))
cor.by.Subject_pond <- (cor.by.Subject*repeticoes.by.Subject)/sum(repeticoes.by.Subject)
cat("As correlacoes por Subject ponderadas pelas repeticoes sao: ",cor.by.Subject_pond,"
",sep="")

As correlacoes por Subject ponderadas pelas repeticoes sao: -0.0045154520.08485419-0.089832960.05250567-0.1047594-0.06235045-0.06372445-0.138595

cat("Em media: ",sum(cor.by.Subject_pond),"
")

Em media:  -0.3264178

cat("
Versao correta: solucao de Bland, J.M., & Altman, D.G. (1995)
")


Versao correta: solucao de Bland, J.M., & Altman, D.G. (1995)

dtfrm$Subject <- as.factor(dtfrm$Subject)

res <- rmcorr::rmcorr(participant = Subject,
                      measure1 = PaCO2, measure2 = pH,
                      dataset = dtfrm,
                      CIs = "bootstrap", nreps = 1e3, bstrap.out = FALSE)

print(res)


Repeated measures correlation

r
-0.5067697

degrees of freedom
38

p-value
0.0008471081

95% confidence interval
-0.7327361 -0.08090262

cat("
A correlacao por Bland&Altman: ",res$r,"
",sep="")


A correlacao por Bland&Altman: -0.5067697

plot(res, overall = TRUE,
     main="Correlacao corrigida (Bland&Altman, 1995)")

cat("
Calculando manualmente:
",sep="")


Calculando manualmente:

modelo <- lm(pH ~ PaCO2 + Subject, data=dtfrm)
cat("regressao:
",sep="")

regressao:

print(modelo)


Call:
lm(formula = pH ~ PaCO2 + Subject, data = dtfrm)

Coefficients:
(Intercept)        PaCO2     Subject2     Subject3     Subject4     Subject5  
     6.9299      -0.1083       0.7046       0.9500       0.9716       0.8604  
   Subject6     Subject7     Subject8  
     0.9264       0.6921       0.7033

cat("eta^2:
",sep="")

eta^2:

print(eta2 <- lsr::etaSquared(modelo))

            eta.sq eta.sq.part
PaCO2   0.03480044   0.2568156
Subject 0.89503957   0.8988627

cat("Correlacao de Bland&Altman: ",
    as.numeric(sign(modelo$coefficients[2])*sqrt(eta2[1,2])),
    "
",sep="")

Correlacao de Bland&Altman: -0.5067697

2.14 APEx 11136: Correlação

In statistics, Spearman’s rank correlation coefficient or Spearman’s rho, named after Charles Spearman … is a nonparametric measure of rank correlation (statistical dependence between the rankings of two variables). It assesses how well the relationship between two variables can be described using a monotonic function.

In statistics, Pearson correlation coefficient, also referred to as Pearson’s r, the Pearson product-moment correlation coefficient (PPMCC) or the bivariate correlation, is a measure of the linear correlation between two variables X and Y. … It was developed by Karl Pearson from a related idea introduced by Francis Galton in the 1880s.

Supondo que as duas variáveis são quantitativas, tanto o coeficiente de correlação de Spearman quanto o de Pearson podem ser calculados.

Considere as figuras.

Apenas por inspeção visual, indique em qual delas o valor de s (Spearman) é certamente maior que r (Pearson).

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Usando apenas a inspeção visual:

A: sabemos que r de Pearson e s de Spearman mostrarão valores positivos, mas é difícil avaliar seus valores.

B: r de Pearson será positivo e alto, mas não sabemos quanto. s de Spearman, porém, é igual a 1 porque o crescimento é monotonicamente crescente.

C: r de Pearson será positivo, difícil avaliar quanto; s de Spearman também, mas como os valores decrescem e depois sobem, difícil saber seu valor sem calcular.

D: r de Pearson negativo e próximo a -1; s de Spearman é -1 porque o crescimento é monotonicamente decrescente.

E: os pontos estão quase que perfeitamente alinhados com a horizontal; provavelmente r de Pearson e s de Spearman serão próximos a zero.

A resposta, portanto, é B; nenhum coeficiente supera +1.

2.15 APEx 11141: Correlação

Supondo que as duas variáveis são quantitativas, tanto o coeficiente de correlação de Spearman quanto o de Pearson podem ser calculados.

Considere as figuras.

Apenas por inspeção visual, indique em qual delas o valor de r (Pearson) é certamente maior que s (Spearman).

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

Usando apenas a inspeção visual:

A: sabemos que r de Pearson e s de Spearman mostrarão valores positivos, mas é difícil avaliar seus valores.

B: r de Pearson será positivo e alto, mas não sabemos quanto. s de Spearman, porém, é igual a 1 porque o crescimento é monotonicamente crescente.

C: r de Pearson será positivo, difícil avaliar quanto; s de Spearman também, mas como os valores decrescem e depois sobem, difícil saber seu valor sem calcular.

D: r de Pearson negativo e próximo a -1; s de Spearman é -1 porque o crescimento é monotonicamente decrescente.

E: os pontos estão quase que perfeitamente alinhados com a horizontal; provavelmente r de Pearson e s de Spearman serão próximos a zero.

A resposta, portanto, é D porque s de Spearman é -1 e r de Pearson não pode chegar exatamente a -1 neste caso, embora possa ser próximo.

2.16 APEx 11143: Correlação

Supondo que as duas variáveis são quantitativas, tanto o coeficiente de correlação de Spearman quanto o de Pearson podem ser calculados.

Considere as figuras.

Apenas por inspeção visual, indique em qual delas os valores de r (Pearson) e de s (Spearman) são certamente iguais.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: E.

Usando apenas a inspeção visual:

A: sabemos que r de Pearson e s de Spearman mostrarão valores positivos, mas é difícil avaliar seus valores.

B: r de Pearson será positivo e alto, mas não sabemos quanto. s de Spearman, porém, é igual a 1 porque o crescimento é monotonicamente crescente.

C: r de Pearson será positivo, difícil avaliar quanto; s de Spearman também, mas como os valores decrescem e depois sobem, difícil saber seu valor sem calcular.

D: r de Pearson negativo e próximo a -1; s de Spearman é -1 porque o crescimento é monotonicamente decrescente.

E: os pontos estão perfeitamente alinhados com a horizontal, então r de Pearson e s de Spearman serão iguais a zero.

Somente em E, quando temos certeza de que ambos são nulos, podemos afirmar que seus valores são iguais.

2.17 APEx 16280: Mais associadas por Pearson

O coeficiente de correlação de Pearson quantifica o grau e a direção da associação linear (crescente ou decrescente) entre duas variáveis intervalares.

Diagramas de dispersão

Usando o coeficiente de correlação de Pearson, qual dos gráficos apresentados exibe estatura e massa corporal total mais associadas?

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

O coeficiente de Pearson mede associação linear.

A maior associação (em valor absoluto) é observada em D:

\[ |r_D| = 0.9673 \]

set.seed(123)

layout(matrix(1:4, nrow = 2), widths = c(1,1))

# A
theta <- seq(0, 2*pi, length = 30)
estatura <- 170 + 10*sin(theta)
mct <- 77 + 8*cos(theta)

plot(x = estatura, y = mct,
     main = "A",
     xlab = "estatura (cm)", ylab = "mct (kg)",
     xlim = c(150,190), ylim = c(60,90))

cat("A:\n")

A:

cat(" pearson =", round(cor(estatura, mct, method = "pearson"),4), "\n")

 pearson = 0

cat(" spearman =", round(cor(estatura, mct, method = "spearman"),4), "\n\n")

 spearman = 0.0065

# B
estatura <- seq(160,180,length.out = 20)
mct <- (80/180)*estatura
mct <- mct + runif(length(mct), -5, 5)

plot(x = estatura, y = mct,
     main = "B",
     xlab = "estatura (cm)", ylab = "mct (kg)",
     xlim = c(150,190), ylim = c(60,90))

cat("B:\n")

B:

cat(" pearson =", round(cor(estatura, mct, method = "pearson"),4), "\n")

 pearson = 0.603

cat(" spearman =", round(cor(estatura, mct, method = "spearman"),4), "\n\n")

 spearman = 0.5308

# C
estatura <- seq(160,180,length.out = 20)
mct <- 75 + runif(length(estatura), -1, 1)

plot(x = estatura, y = mct,
     main = "C",
     xlab = "estatura (cm)", ylab = "mct (kg)",
     xlim = c(150,190), ylim = c(60,90))

cat("C:\n")

C:

cat(" pearson =", round(cor(estatura, mct, method = "pearson"),4), "\n")

 pearson = -0.4889

cat(" spearman =", round(cor(estatura, mct, method = "spearman"),4), "\n\n")

 spearman = -0.4286

# D
estatura <- seq(160,180,length.out = 20)
mct <- -(120/180)*estatura + 190
mct <- mct + runif(length(mct), -2, 2)

plot(x = estatura, y = mct,
     main = "D",
     xlab = "estatura (cm)", ylab = "mct (kg)",
     xlim = c(150,190), ylim = c(60,90))

cat("D:\n")

D:

cat(" pearson =", round(cor(estatura, mct, method = "pearson"),4), "\n")

 pearson = -0.9673

cat(" spearman =", round(cor(estatura, mct, method = "spearman"),4), "\n\n")

 spearman = -0.9624

par(mfrow = c(1,1))

2.18 APEx 16279: Mais associadas por Spearman

O coeficiente de correlação de Spearman quantifica a grau e a direção de associação monotônica (crescente ou decrescente) entre duas variáveis intervalares.

Diagramas de dispersão

Usando o coeficiente correlação de Spearman, qual dos gráficos apresentados exibe estatura e massa corporal total mais associadas?

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

A maior associação (em valor absoluto) avaliada pelo coeficiente de correlação de Spearman é observada em D:

\[ |s_D| = 0.9624 \]

set.seed(123)

layout(matrix(1:4, nrow = 2), widths = c(1,1))

# A
theta <- seq(0, 2*pi, length = 30)
estatura <- 170 + 10*sin(theta)
mct <- 77 + 8*cos(theta)

plot(x = estatura, y = mct,
     main = "A",
     xlab = "estatura (cm)", ylab = "mct (kg)",
     xlim = c(150,190), ylim = c(60,90))

cat("A:\n")

A:

cat(" pearson =", round(cor(estatura, mct, method = "pearson"),4), "\n")

 pearson = 0

cat(" spearman =", round(cor(estatura, mct, method = "spearman"),4), "\n\n")

 spearman = 0.0065

# B
estatura <- seq(160,180,length.out = 20)
mct <- (80/180)*estatura
mct <- mct + runif(length(mct), -5, 5)

plot(x = estatura, y = mct,
     main = "B",
     xlab = "estatura (cm)", ylab = "mct (kg)",
     xlim = c(150,190), ylim = c(60,90))

cat("B:\n")

B:

cat(" pearson =", round(cor(estatura, mct, method = "pearson"),4), "\n")

 pearson = 0.603

cat(" spearman =", round(cor(estatura, mct, method = "spearman"),4), "\n\n")

 spearman = 0.5308

# C
estatura <- seq(160,180,length.out = 20)
mct <- 75 + runif(length(estatura), -1, 1)

plot(x = estatura, y = mct,
     main = "C",
     xlab = "estatura (cm)", ylab = "mct (kg)",
     xlim = c(150,190), ylim = c(60,90))

cat("C:\n")

C:

cat(" pearson =", round(cor(estatura, mct, method = "pearson"),4), "\n")

 pearson = -0.4889

cat(" spearman =", round(cor(estatura, mct, method = "spearman"),4), "\n\n")

 spearman = -0.4286

# D
estatura <- seq(160,180,length.out = 20)
mct <- -(120/180)*estatura + 190
mct <- mct + runif(length(mct), -2, 2)

plot(x = estatura, y = mct,
     main = "D",
     xlab = "estatura (cm)", ylab = "mct (kg)",
     xlim = c(150,190), ylim = c(60,90))

cat("D:\n")

D:

cat(" pearson =", round(cor(estatura, mct, method = "pearson"),4), "\n")

 pearson = -0.9673

cat(" spearman =", round(cor(estatura, mct, method = "spearman"),4), "\n\n")

 spearman = -0.9624

par(mfrow = c(1,1))

2.19 APEx 16278: Menos associadas por Pearson

O coeficiente de correlação de Pearson quantifica o grau e a direção da associação linear (crescente ou decrescente) entre duas variáveis intervalares.

Diagramas de dispersão

Usando o coeficiente correlação de Pearson, qual dos gráficos apresentados exibe estatura e massa corporal total menos associadas?

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

A menor associação (em valor absoluto) avaliada pelo coeficiente de correlação de Pearson é observada em C:

\[ |r_C| = 0.2237 \]

set.seed(6651)
layout(matrix(1:4,nrow=2),widths=c(1,1))
xc <- 170
yc <- 75
a <- 25
b <- 10
phi <- pi/3
t <- seq(0, 2*pi, length.out = 20)
estatura <- xc + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi)
mct <- yc + a*cos(t)*cos(phi) + b*sin(t)*cos(phi)
plot(estatura,mct,main="A",xlab="estatura (cm)",ylab="mct (kg)",xlim=c(150,190),ylim=c(60,90))
cat("A:\n")

A:

cat("pearson =",round(cor(estatura,mct,method = "pearson"),4),"\n")

pearson = 0.5832

cat("spearman =",round(cor(estatura,mct,method = "spearman"),4),"\n")

spearman = 0.5515

estatura <- seq(160,180,length.out=20)
mct <- (80/180)*estatura
mct <- mct+runif(length(mct),-5,5)
plot(estatura,mct,main="B",xlab="estatura (cm)",ylab="mct (kg)",xlim=c(150,190),ylim=c(60,90))
cat("B:\n")

B:

cat("pearson =",round(cor(estatura,mct,method = "pearson"),4),"\n")

pearson = 0.7907

cat("spearman =",round(cor(estatura,mct,method = "spearman"),4),"\n")

spearman = 0.7835

estatura <- seq(160,180,length.out=20)
mct <- 75+runif(length(mct),-0.4,0.4)
plot(estatura,mct,main="C",xlab="estatura (cm)",ylab="mct (kg)",xlim=c(150,190),ylim=c(60,90))
cat("C:\n")

C:

cat("pearson =",round(cor(estatura,mct,method = "pearson"),4),"\n")

pearson = 0.2237

cat("spearman =",round(cor(estatura,mct,method = "spearman"),4),"\n")

spearman = 0.188

estatura <- seq(160,180,length.out=20)
mct <- -(120/180)*estatura+190
mct <- mct+runif(length(mct),-2,2)
plot(estatura,mct,main="D",xlab="estatura (cm)",ylab="mct (kg)",xlim=c(150,190),ylim=c(60,90))

cat("D:\n")

D:

cat("pearson =",round(cor(estatura,mct,method = "pearson"),4),"\n")

pearson = -0.9734

cat("spearman =",round(cor(estatura,mct,method = "spearman"),4),"\n")

spearman = -0.9654

par(mfrow=c(1,1))

2.20 APEx 16276: Menos associadas por Spearman

O coeficiente de correlação de Spearman quantifica o grau e a direção de associação monotônica (crescente ou decrescente) entre duas variáveis intervalares.

Diagramas de dispersão

Usando o coeficiente correlação de Spearman, qual dos gráficos apresentados exibe estatura e massa corporal total menos associadas?

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

A menor associação (em valor absoluto) avaliada pelo coeficiente de correlação de Spearman é observada em C:

\[ |s_C| = 0.188 \]

set.seed(6651)
layout(matrix(1:4,nrow=2),widths=c(1,1))
xc <- 170
yc <- 75
a <- 25
b <- 10
phi <- pi/3
t <- seq(0, 2*pi, length.out = 20)
estatura <- xc + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi)
mct <- yc + a*cos(t)*cos(phi) + b*sin(t)*cos(phi)
plot(estatura,mct,main="A",xlab="estatura (cm)",ylab="mct (kg)",xlim=c(150,190),ylim=c(60,90))
cat("A:\n")

A:

cat("pearson =",round(cor(estatura,mct,method = "pearson"),4),"\n")

pearson = 0.5832

cat("spearman =",round(cor(estatura,mct,method = "spearman"),4),"\n")

spearman = 0.5515

estatura <- seq(160,180,length.out=20)
mct <- (80/180)*estatura
mct <- mct+runif(length(mct),-5,5)
plot(estatura,mct,main="B",xlab="estatura (cm)",ylab="mct (kg)",xlim=c(150,190),ylim=c(60,90))
cat("B:\n")

B:

cat("pearson =",round(cor(estatura,mct,method = "pearson"),4),"\n")

pearson = 0.7907

cat("spearman =",round(cor(estatura,mct,method = "spearman"),4),"\n")

spearman = 0.7835

estatura <- seq(160,180,length.out=20)
mct <- 75+runif(length(mct),-0.4,0.4)
plot(estatura,mct,main="C",xlab="estatura (cm)",ylab="mct (kg)",xlim=c(150,190),ylim=c(60,90))
cat("C:\n")

C:

cat("pearson =",round(cor(estatura,mct,method = "pearson"),4),"\n")

pearson = 0.2237

cat("spearman =",round(cor(estatura,mct,method = "spearman"),4),"\n")

spearman = 0.188

estatura <- seq(160,180,length.out=20)
mct <- -(120/180)*estatura+190
mct <- mct+runif(length(mct),-2,2)
plot(estatura,mct,main="D",xlab="estatura (cm)",ylab="mct (kg)",xlim=c(150,190),ylim=c(60,90))

cat("D:\n")

D:

cat("pearson =",round(cor(estatura,mct,method = "pearson"),4),"\n")

pearson = -0.9734

cat("spearman =",round(cor(estatura,mct,method = "spearman"),4),"\n")

spearman = -0.9654

par(mfrow=c(1,1))

2.21 APEx 16275: Menos associadas por Pearson

O coeficiente de correlação de Pearson quantifica o grau e a direção da associação linear (crescente ou decrescente) entre duas variáveis intervalares.

Diagramas de dispersão

Usando o coeficiente correlação de Pearson, qual dos gráficos apresentados exibe estatura e massa corporal total menos associadas?

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

A menor associação (em valor absoluto) avaliada pelo coeficiente de correlação de Pearson é observada em A:

\[ |r_A| = 0 \]

set.seed(123)

layout(matrix(1:4, nrow = 2), widths = c(1,1))

# A
theta <- seq(0, 2*pi, length = 30)
estatura <- 170 + 10*sin(theta)
mct <- 77 + 8*cos(theta)

plot(estatura, mct,
     main="A",
     xlab="estatura (cm)", ylab="mct (kg)",
     xlim=c(150,190), ylim=c(60,90))

cat("A:\n")

A:

cat(" pearson =", round(cor(estatura, mct, method="pearson"),4), "\n")

 pearson = 0

cat(" spearman =", round(cor(estatura, mct, method="spearman"),4), "\n")

 spearman = 0.0065

# B
xc <- 170
yc <- 75
a <- 25
b <- 10
phi <- pi/3
t <- seq(0, 2*pi, length.out = 20)

estatura <- xc + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi)
mct <- yc + a*cos(t)*cos(phi) + b*sin(t)*cos(phi)

plot(estatura, mct,
     main="B",
     xlab="estatura (cm)", ylab="mct (kg)",
     xlim=c(150,190), ylim=c(60,90))

cat("B:\n")

B:

cat(" pearson =", round(cor(estatura, mct, method="pearson"),4), "\n")

 pearson = 0.5832

cat(" spearman =", round(cor(estatura, mct, method="spearman"),4), "\n")

 spearman = 0.5515

# C
estatura <- seq(160,180,length.out = 20)
mct <- 75 + runif(length(estatura), -1, 1)

plot(estatura, mct,
     main="C",
     xlab="estatura (cm)", ylab="mct (kg)",
     xlim=c(150,190), ylim=c(60,90))

cat("C:\n")

C:

cat(" pearson =", round(cor(estatura, mct, method="pearson"),4), "\n")

 pearson = -0.1338

cat(" spearman =", round(cor(estatura, mct, method="spearman"),4), "\n")

 spearman = -0.0782

# D
estatura <- seq(160,180,length.out = 20)
mct <- -(120/180)*estatura + 190
mct <- mct + runif(length(estatura), -2, 2)

plot(estatura, mct,
     main="D",
     xlab="estatura (cm)", ylab="mct (kg)",
     xlim=c(150,190), ylim=c(60,90))

cat("D:\n")

D:

cat(" pearson =", round(cor(estatura, mct, method="pearson"),4), "\n")

 pearson = -0.9782

cat(" spearman =", round(cor(estatura, mct, method="spearman"),4), "\n")

 spearman = -0.9759

par(mfrow=c(1,1))

2.22 APEx 16218: Item Likert

Um pesquisador deseja medir o grau de associação entre dois itens Likert de cinco pontos. Ele considera que os dois itens são ordinais.

O coeficiente de correlação de Pearson para esse propósito é:

A. Adequada
B. Inadequada
C. Uma boa prática de análise estatística

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Item Likert de cinco pontos pode ser variável ordinal. O coeficiente de correlação de Pearson requer pares independentes de valores de variáveis intervalares.

Quando as variáveis são ordinais, a alternativa conceitualmente apropriada é utilizar a correlação de Spearman, que equivale ao coeficiente de Pearson aplicado aos postos das observações.

2.23 APEx 16269: Taxa metabólica e massa corporal total: correlação

As Pessoas Mais Pesadas Queimam Mais Energia?

A taxa metabólica, a taxa pela qual o corpo consome energia, é importante em estudos de ganho de massa corporal total, dietas e exercícios.

A tabela abaixo apresenta dados sobre a massa corporal magra e a taxa metabólica basal de 12 mulheres e 7 homens que são sujeitos em um estudo de dieta.

Sujeito	Sexo	Massa (kg)	Taxa (cal/dia)
1	M	62.0	1792
2	M	62.9	1666
3	F	36.1	995
4	F	48.5	1425
5	F	48.6	1396
6	F	42.0	1418
7	M	47.4	1362
8	F	50.6	1502
9	F	42.0	1256
10	M	48.7	1614
11	F	40.3	1189
12	F	33.1	913
13	M	51.9	1460
14	F	42.4	1124
15	F	34.5	1052
16	F	51.1	1347
17	F	41.2	1204
18	M	51.9	1867
19	M	46.9	1439

Fonte: Consortium for Mathematics and its Applications - COMAP (2003) For all practical purposes: Mathematical literacy in today´s world. 6th ed. USA: WH Freeman, p. 232-3.

A massa corporal magra (kg) é a massa de uma pessoa subtraindo toda a gordura. A taxa metabólica é medida em calorias queimadas por 24 horas, as mesmas calorias usadas para descrever o conteúdo energético dos alimentos. Os pesquisadores acreditam que a massa corporal magra é uma influência importante na taxa metabólica.

Considere os dados sobre massa corporal magra (kg) e taxa metabólica basal (caloria/dia) de um grupo de 19 indivíduos, sendo 12 mulheres e 7 homens. Deseja-se testar a hipótese nula de que as correlações de Pearson dos grupos masculino e feminino são iguais. Adote um nível de significância de 5%.

Qual é o resultado do teste da hipótese nula de que as correlações de Pearson dos grupos masculino e feminino são iguais?

A. Rejeitamos a hipótese nula. As correlações de Pearson entre massa corporal magra e taxa metabólica basal são significantemente diferentes para os grupos masculino e feminino.
B. Não rejeitamos a hipótese nula. As correlações de Pearson entre massa corporal magra e taxa metabólica basal podem ser iguais para os grupos masculino e feminino.
C. Rejeitamos a hipótese nula. As correlações de Pearson entre massa corporal magra e taxa metabólica basal podem ser iguais para os grupos masculino e feminino.
D. Não rejeitamos a hipótese nula. As correlações de Pearson entre massa corporal magra e taxa metabólica basal são significantemente diferentes para os grupos masculino e feminino.
E. O teste de igualdade das correlações não pode ser realizado.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Sejam
\[ r_F = 0.89, \quad n_F = 12 \]

\[ r_M = 0.59, \quad n_M = 7 \]

O teste de igualdade entre duas correlações independentes utiliza a transformação de Fisher:

\[ z = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) \]

A estatística de teste do teste de correlações em duas condições independentes é:

\[ z = \frac{z_F - z_M}{\sqrt{\frac{1}{n_F - 3} + \frac{1}{n_M - 3}}} \] Correlação de Massa Magra e Taxa Metabólica (Feminino) = 0.89

Correlação de Massa Magra e Taxa Metabólica (Masculino) = 0.59

O resultado numérico é:

\[ z = 1.2517, \quad p = 0.2107 \]

Como $p > 0.05$, não rejeitamos $H_0$.

Portanto, não há evidência estatística suficiente para afirmar que as correlações de Pearson entre massa corporal magra e taxa metabólica basal diferem entre os grupos masculino e feminino.

alfa <- 0.05

sujeito <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 
             11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19)

sexo <- c("M", "M", "F", "F", "F", "F", "M", "F", "F", "M", 
          "F", "F", "M", "F", "F", "F", "F", "M", "M")

massamagra <- c(62.0, 62.9, 36.1, 48.5, 48.6, 42.0, 47.4, 50.6, 42.0, 48.7, 
                40.3, 33.1, 51.9, 42.4, 34.5, 51.1, 41.2, 51.9, 46.9)

taxametab <- c(1792, 1666, 995, 1425, 1396, 1418, 1362, 1502, 1256, 1614, 
               1189, 913, 1460, 1124, 1052, 1347, 1204, 1867, 1439)

Dados <- data.frame(Sujeito = factor(sujeito), 
                    Sexo = factor(sexo), 
                    MassaMagra = massamagra, 
                    TaxaMetab = taxametab)

Dados.M <- subset(Dados, Sexo=="M")
Dados.F <- subset(Dados, Sexo=="F")

print(Dados)

   Sujeito Sexo MassaMagra TaxaMetab
1        1    M       62.0      1792
2        2    M       62.9      1666
3        3    F       36.1       995
4        4    F       48.5      1425
5        5    F       48.6      1396
6        6    F       42.0      1418
7        7    M       47.4      1362
8        8    F       50.6      1502
9        9    F       42.0      1256
10      10    M       48.7      1614
11      11    F       40.3      1189
12      12    F       33.1       913
13      13    M       51.9      1460
14      14    F       42.4      1124
15      15    F       34.5      1052
16      16    F       51.1      1347
17      17    F       41.2      1204
18      18    M       51.9      1867
19      19    M       46.9      1439

print(summary(Dados))

    Sujeito   Sexo     MassaMagra      TaxaMetab   
 1      : 1   F:12   Min.   :33.10   Min.   : 913  
 2      : 1   M: 7   1st Qu.:41.60   1st Qu.:1196  
 3      : 1          Median :47.40   Median :1396  
 4      : 1          Mean   :46.43   Mean   :1370  
 5      : 1          3rd Qu.:50.85   3rd Qu.:1481  
 6      : 1          Max.   :62.90   Max.   :1867  
 (Other):13

print(psych::describeBy(Dados[,3:4], 
                        group=Dados$Sexo, 
                        mat=1, 
                        digits=2))

            item group1 vars  n    mean     sd median trimmed    mad    min
MassaMagra1    1      F    1 12   42.53   6.13   42.0   42.62   9.19   33.1
MassaMagra2    2      M    1  7   53.10   6.69   51.9   53.10   6.67   46.9
TaxaMetab1     3      F    2 12 1235.08 188.28 1230.0 1240.60 255.01  913.0
TaxaMetab2     4      M    2  7 1600.00 189.24 1614.0 1600.00 259.46 1362.0
               max range  skew kurtosis    se
MassaMagra1   51.1    18 -0.02    -1.46  1.77
MassaMagra2   62.9    16  0.54    -1.69  2.53
TaxaMetab1  1502.0   589 -0.22    -1.43 54.35
TaxaMetab2  1867.0   505  0.13    -1.81 71.53

car::scatterplot(TaxaMetab ~ MassaMagra|Sexo, 
                 data=Dados,
                 main="Regressao Linear Simples
Elipse de Predicao de 50%",
                 xlab="Massa corporal magra (kg)",
                 ylab="Taxa metabolica (cal)",
                 col=c("red", "blue"),
                 regLine=TRUE, 
                 ellipse=list(levels=c(.5), 
                              robust=TRUE, 
                              fill=FALSE), 
                 grid=FALSE,
                 smooth=FALSE)

alfa.Bonf <- alfa/length(unique(Dados$Sexo))

print(ggplot2::ggplot(Dados, 
                      ggplot2::aes(y = TaxaMetab, 
                                   x = MassaMagra, 
                                   group = Sexo, 
                                   linetype = Sexo,
                                   fill = Sexo,
                                   shape = Sexo)) + 
        ggplot2::geom_point() + 
        ggplot2::geom_smooth(method = estimatr::lm_robust,
                             formula = y ~ x, 
                             na.rm = TRUE,
                             color = "black", 
                             ggplot2::aes(fill = Sexo),
                             level = 1 - alfa.Bonf) + 
        ggplot2::labs(title = "Bandas de confianca de 95% Bonferroni",
                      x = "Massa corporal magra (kg)", 
                      y = "Taxa metabolica (cal)") + 
        ggplot2::theme_bw() + 
        ggplot2::theme(panel.grid.major = ggplot2::element_blank(), 
                       panel.grid.minor = ggplot2::element_blank(), 
                       panel.background = ggplot2::element_blank(), 
                       plot.background = ggplot2::element_rect(fill = "white", 
                                                               color = NA),
                       axis.line = ggplot2::element_line(color = "black")))

eirasagree::ConfidenceBand(IV=Dados.F$MassaMagra,
                           DV=Dados.F$TaxaMetab,
                           method="lm_robust",
                           txtleg="F",
                           main="Bandas de confianca de 95% Bonferroni",
                           xlab="Massa corporal magra (kg)",
                           ylab="Taxa metabolica (cal)",
                           xlim=c(min(Dados$MassaMagra)*0.9,
                                  max(Dados$MassaMagra))*1.1,
                           ylim=c(min(Dados$TaxaMetab)*0.8,
                                  max(Dados$TaxaMetab))*1.2,
                           alpha=alfa.Bonf,
                           lty1=1, 
                           lty2=3, 
                           xyleg=c(35,2000),
                           plot=TRUE,
                           add=FALSE)

$data
     IV   DV
1  36.1  995
2  48.5 1425
3  48.6 1396
4  42.0 1418
5  50.6 1502
6  42.0 1256
7  40.3 1189
8  33.1  913
9  42.4 1124
10 34.5 1052
11 51.1 1347
12 41.2 1204

$regression

Call:
estimatr::lm_robust(formula = DV ~ IV)

Standard error type:  HC2 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value  Pr(>|t|) CI Lower CI Upper DF
(Intercept)    69.08    162.707  0.4246 6.801e-01  -293.45   431.62 10
IV             27.41      3.873  7.0789 3.379e-05    18.79    36.04 10

Multiple R-squared:  0.7962 ,   Adjusted R-squared:  0.7758 
F-statistic: 50.11 on 1 and 10 DF,  p-value: 3.379e-05

$coefficients
            Estimate Std. Error   t value     Pr(>|t|)   CI Lower  CI Upper DF
(Intercept) 69.08357 162.707260 0.4245881 6.801271e-01 -293.45080 431.61794 10
IV          27.41379   3.872588 7.0789316 3.379435e-05   18.78512  36.04245 10

$conf.band
           IV        DV       lwr      upr
1    33.10000  976.4799  799.5759 1153.384
2    33.11802  976.9739  800.3074 1153.640
3    33.13604  977.4678  801.0387 1153.897
4    33.15405  977.9618  801.7699 1154.154
5    33.17207  978.4557  802.5010 1154.410
6    33.19009  978.9496  803.2319 1154.667
7    33.20811  979.4436  803.9627 1154.924
8    33.22613  979.9375  804.6934 1155.182
9    33.24414  980.4315  805.4239 1155.439
10   33.26216  980.9254  806.1543 1155.697
11   33.28018  981.4194  806.8846 1155.954
12   33.29820  981.9133  807.6147 1156.212
13   33.31622  982.4072  808.3446 1156.470
14   33.33423  982.9012  809.0745 1156.728
15   33.35225  983.3951  809.8042 1156.986
16   33.37027  983.8891  810.5337 1157.244
17   33.38829  984.3830  811.2631 1157.503
18   33.40631  984.8770  811.9924 1157.762
19   33.42432  985.3709  812.7215 1158.020
20   33.44234  985.8648  813.4504 1158.279
21   33.46036  986.3588  814.1792 1158.538
22   33.47838  986.8527  814.9079 1158.798
23   33.49640  987.3467  815.6364 1159.057
24   33.51441  987.8406  816.3648 1159.316
25   33.53243  988.3345  817.0931 1159.576
26   33.55045  988.8285  817.8211 1159.836
27   33.56847  989.3224  818.5491 1160.096
28   33.58649  989.8164  819.2769 1160.356
29   33.60450  990.3103  820.0045 1160.616
30   33.62252  990.8043  820.7320 1160.877
31   33.64054  991.2982  821.4593 1161.137
32   33.65856  991.7921  822.1865 1161.398
33   33.67658  992.2861  822.9135 1161.659
34   33.69459  992.7800  823.6404 1161.920
35   33.71261  993.2740  824.3671 1162.181
36   33.73063  993.7679  825.0937 1162.442
37   33.74865  994.2619  825.8201 1162.704
38   33.76667  994.7558  826.5463 1162.965
39   33.78468  995.2497  827.2724 1163.227
40   33.80270  995.7437  827.9984 1163.489
41   33.82072  996.2376  828.7241 1163.751
42   33.83874  996.7316  829.4498 1164.013
43   33.85676  997.2255  830.1752 1164.276
44   33.87477  997.7194  830.9005 1164.538
45   33.89279  998.2134  831.6257 1164.801
46   33.91081  998.7073  832.3507 1165.064
47   33.92883  999.2013  833.0755 1165.327
48   33.94685  999.6952  833.8001 1165.590
49   33.96486 1000.1892  834.5246 1165.854
50   33.98288 1000.6831  835.2490 1166.117
51   34.00090 1001.1770  835.9731 1166.381
52   34.01892 1001.6710  836.6971 1166.645
53   34.03694 1002.1649  837.4209 1166.909
54   34.05495 1002.6589  838.1446 1167.173
55   34.07297 1003.1528  838.8681 1167.438
56   34.09099 1003.6468  839.5914 1167.702
57   34.10901 1004.1407  840.3146 1167.967
58   34.12703 1004.6346  841.0376 1168.232
59   34.14505 1005.1286  841.7604 1168.497
60   34.16306 1005.6225  842.4831 1168.762
61   34.18108 1006.1165  843.2055 1169.027
62   34.19910 1006.6104  843.9279 1169.293
63   34.21712 1007.1043  844.6500 1169.559
64   34.23514 1007.5983  845.3719 1169.825
65   34.25315 1008.0922  846.0937 1170.091
66   34.27117 1008.5862  846.8153 1170.357
67   34.28919 1009.0801  847.5368 1170.623
68   34.30721 1009.5741  848.2580 1170.890
69   34.32523 1010.0680  848.9791 1171.157
70   34.34324 1010.5619  849.7000 1171.424
71   34.36126 1011.0559  850.4207 1171.691
72   34.37928 1011.5498  851.1413 1171.958
73   34.39730 1012.0438  851.8616 1172.226
74   34.41532 1012.5377  852.5818 1172.494
75   34.43333 1013.0317  853.3018 1172.762
76   34.45135 1013.5256  854.0216 1173.030
77   34.46937 1014.0195  854.7412 1173.298
78   34.48739 1014.5135  855.4607 1173.566
79   34.50541 1015.0074  856.1800 1173.835
80   34.52342 1015.5014  856.8990 1174.104
81   34.54144 1015.9953  857.6179 1174.373
82   34.55946 1016.4892  858.3366 1174.642
83   34.57748 1016.9832  859.0551 1174.911
84   34.59550 1017.4771  859.7734 1175.181
85   34.61351 1017.9711  860.4916 1175.451
86   34.63153 1018.4650  861.2095 1175.721
87   34.64955 1018.9590  861.9273 1175.991
88   34.66757 1019.4529  862.6448 1176.261
89   34.68559 1019.9468  863.3622 1176.532
90   34.70360 1020.4408  864.0794 1176.802
91   34.72162 1020.9347  864.7963 1177.073
92   34.73964 1021.4287  865.5131 1177.344
93   34.75766 1021.9226  866.2297 1177.616
94   34.77568 1022.4166  866.9461 1177.887
95   34.79369 1022.9105  867.6622 1178.159
96   34.81171 1023.4044  868.3782 1178.431
97   34.82973 1023.8984  869.0940 1178.703
98   34.84775 1024.3923  869.8096 1178.975
99   34.86577 1024.8863  870.5250 1179.248
100  34.88378 1025.3802  871.2402 1179.520
101  34.90180 1025.8741  871.9551 1179.793
102  34.91982 1026.3681  872.6699 1180.066
103  34.93784 1026.8620  873.3845 1180.340
104  34.95586 1027.3560  874.0988 1180.613
105  34.97387 1027.8499  874.8130 1180.887
106  34.99189 1028.3439  875.5269 1181.161
107  35.00991 1028.8378  876.2407 1181.435
108  35.02793 1029.3317  876.9542 1181.709
109  35.04595 1029.8257  877.6675 1181.984
110  35.06396 1030.3196  878.3806 1182.259
111  35.08198 1030.8136  879.0935 1182.534
112  35.10000 1031.3075  879.8062 1182.809
113  35.11802 1031.8015  880.5186 1183.084
114  35.13604 1032.2954  881.2309 1183.360
115  35.15405 1032.7893  881.9429 1183.636
116  35.17207 1033.2833  882.6547 1183.912
117  35.19009 1033.7772  883.3663 1184.188
118  35.20811 1034.2712  884.0777 1184.465
119  35.22613 1034.7651  884.7889 1184.741
120  35.24414 1035.2590  885.4998 1185.018
121  35.26216 1035.7530  886.2105 1185.295
122  35.28018 1036.2469  886.9210 1185.573
123  35.29820 1036.7409  887.6313 1185.850
124  35.31622 1037.2348  888.3413 1186.128
125  35.33423 1037.7288  889.0511 1186.406
126  35.35225 1038.2227  889.7607 1186.685
127  35.37027 1038.7166  890.4701 1186.963
128  35.38829 1039.2106  891.1792 1187.242
129  35.40631 1039.7045  891.8881 1187.521
130  35.42432 1040.1985  892.5968 1187.800
131  35.44234 1040.6924  893.3052 1188.080
132  35.46036 1041.1864  894.0134 1188.359
133  35.47838 1041.6803  894.7214 1188.639
134  35.49640 1042.1742  895.4291 1188.919
135  35.51441 1042.6682  896.1366 1189.200
136  35.53243 1043.1621  896.8439 1189.480
137  35.55045 1043.6561  897.5509 1189.761
138  35.56847 1044.1500  898.2577 1190.042
139  35.58649 1044.6439  898.9643 1190.324
140  35.60450 1045.1379  899.6706 1190.605
141  35.62252 1045.6318  900.3766 1190.887
142  35.64054 1046.1258  901.0825 1191.169
143  35.65856 1046.6197  901.7880 1191.451
144  35.67658 1047.1137  902.4934 1191.734
145  35.69459 1047.6076  903.1984 1192.017
146  35.71261 1048.1015  903.9033 1192.300
147  35.73063 1048.5955  904.6079 1192.583
148  35.74865 1049.0894  905.3122 1192.867
149  35.76667 1049.5834  906.0163 1193.150
150  35.78468 1050.0773  906.7201 1193.435
151  35.80270 1050.5713  907.4237 1193.719
152  35.82072 1051.0652  908.1270 1194.003
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329  39.00991 1138.4930 1027.3257 1249.660
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331  39.04595 1139.4808 1028.5950 1250.367
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509  42.25315 1227.4025 1130.9276 1323.877
510  42.27117 1227.8965 1131.4341 1324.359
511  42.28919 1228.3904 1131.9397 1324.841
512  42.30721 1228.8844 1132.4445 1325.324
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689  45.49640 1316.3121 1209.2642 1423.360
690  45.51441 1316.8061 1209.6345 1423.978
691  45.53243 1317.3000 1210.0042 1424.596
692  45.55045 1317.7939 1210.3732 1425.215
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701  45.71261 1322.2394 1213.6682 1430.811
702  45.73063 1322.7334 1214.0314 1431.435
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868  48.72162 1404.7278 1267.7661 1541.689
869  48.73964 1405.2217 1268.0586 1542.385
870  48.75766 1405.7156 1268.3508 1543.081
871  48.77568 1406.2096 1268.6427 1543.777
872  48.79369 1406.7035 1268.9343 1544.473
873  48.81171 1407.1975 1269.2256 1545.169
874  48.82973 1407.6914 1269.5166 1545.866
875  48.84775 1408.1853 1269.8074 1546.563
876  48.86577 1408.6793 1270.0978 1547.261
877  48.88378 1409.1732 1270.3880 1547.958
878  48.90180 1409.6672 1270.6779 1548.656
879  48.91982 1410.1611 1270.9676 1549.355
880  48.93784 1410.6551 1271.2569 1550.053
881  48.95586 1411.1490 1271.5460 1550.752
882  48.97387 1411.6429 1271.8348 1551.451
883  48.99189 1412.1369 1272.1233 1552.150
884  49.00991 1412.6308 1272.4116 1552.850
885  49.02793 1413.1248 1272.6996 1553.550
886  49.04595 1413.6187 1272.9873 1554.250
887  49.06396 1414.1127 1273.2748 1554.951
888  49.08198 1414.6066 1273.5620 1555.651
889  49.10000 1415.1005 1273.8489 1556.352
890  49.11802 1415.5945 1274.1355 1557.053
891  49.13604 1416.0884 1274.4219 1557.755
892  49.15405 1416.5824 1274.7081 1558.457
893  49.17207 1417.0763 1274.9939 1559.159
894  49.19009 1417.5702 1275.2796 1559.861
895  49.20811 1418.0642 1275.5649 1560.563
896  49.22613 1418.5581 1275.8500 1561.266
897  49.24414 1419.0521 1276.1348 1561.969
898  49.26216 1419.5460 1276.4194 1562.673
899  49.28018 1420.0400 1276.7037 1563.376
900  49.29820 1420.5339 1276.9878 1564.080
901  49.31622 1421.0278 1277.2716 1564.784
902  49.33423 1421.5218 1277.5552 1565.488
903  49.35225 1422.0157 1277.8385 1566.193
904  49.37027 1422.5097 1278.1216 1566.898
905  49.38829 1423.0036 1278.4044 1567.603
906  49.40631 1423.4976 1278.6870 1568.308
907  49.42432 1423.9915 1278.9693 1569.014
908  49.44234 1424.4854 1279.2514 1569.719
909  49.46036 1424.9794 1279.5333 1570.425
910  49.47838 1425.4733 1279.8149 1571.132
911  49.49640 1425.9673 1280.0962 1571.838
912  49.51441 1426.4612 1280.3774 1572.545
913  49.53243 1426.9551 1280.6582 1573.252
914  49.55045 1427.4491 1280.9389 1573.959
915  49.56847 1427.9430 1281.2193 1574.667
916  49.58649 1428.4370 1281.4995 1575.374
917  49.60450 1428.9309 1281.7794 1576.082
918  49.62252 1429.4249 1282.0591 1576.791
919  49.64054 1429.9188 1282.3386 1577.499
920  49.65856 1430.4127 1282.6178 1578.208
921  49.67658 1430.9067 1282.8968 1578.917
922  49.69459 1431.4006 1283.1756 1579.626
923  49.71261 1431.8946 1283.4541 1580.335
924  49.73063 1432.3885 1283.7325 1581.045
925  49.74865 1432.8825 1284.0105 1581.754
926  49.76667 1433.3764 1284.2884 1582.464
927  49.78468 1433.8703 1284.5661 1583.175
928  49.80270 1434.3643 1284.8435 1583.885
929  49.82072 1434.8582 1285.1207 1584.596
930  49.83874 1435.3522 1285.3976 1585.307
931  49.85676 1435.8461 1285.6744 1586.018
932  49.87477 1436.3400 1285.9509 1586.729
933  49.89279 1436.8340 1286.2272 1587.441
934  49.91081 1437.3279 1286.5033 1588.153
935  49.92883 1437.8219 1286.7792 1588.865
936  49.94685 1438.3158 1287.0548 1589.577
937  49.96486 1438.8098 1287.3303 1590.289
938  49.98288 1439.3037 1287.6055 1591.002
939  50.00090 1439.7976 1287.8805 1591.715
940  50.01892 1440.2916 1288.1553 1592.428
941  50.03694 1440.7855 1288.4299 1593.141
942  50.05495 1441.2795 1288.7043 1593.855
943  50.07297 1441.7734 1288.9785 1594.568
944  50.09099 1442.2674 1289.2524 1595.282
945  50.10901 1442.7613 1289.5262 1595.996
946  50.12703 1443.2552 1289.7997 1596.711
947  50.14505 1443.7492 1290.0731 1597.425
948  50.16306 1444.2431 1290.3462 1598.140
949  50.18108 1444.7371 1290.6191 1598.855
950  50.19910 1445.2310 1290.8919 1599.570
951  50.21712 1445.7249 1291.1644 1600.286
952  50.23514 1446.2189 1291.4367 1601.001
953  50.25315 1446.7128 1291.7088 1601.717
954  50.27117 1447.2068 1291.9807 1602.433
955  50.28919 1447.7007 1292.2525 1603.149
956  50.30721 1448.1947 1292.5240 1603.865
957  50.32523 1448.6886 1292.7953 1604.582
958  50.34324 1449.1825 1293.0664 1605.299
959  50.36126 1449.6765 1293.3374 1606.016
960  50.37928 1450.1704 1293.6081 1606.733
961  50.39730 1450.6644 1293.8786 1607.450
962  50.41532 1451.1583 1294.1490 1608.168
963  50.43333 1451.6523 1294.4191 1608.885
964  50.45135 1452.1462 1294.6891 1609.603
965  50.46937 1452.6401 1294.9589 1610.321
966  50.48739 1453.1341 1295.2285 1611.040
967  50.50541 1453.6280 1295.4979 1611.758
968  50.52342 1454.1220 1295.7671 1612.477
969  50.54144 1454.6159 1296.0361 1613.196
970  50.55946 1455.1098 1296.3049 1613.915
971  50.57748 1455.6038 1296.5735 1614.634
972  50.59550 1456.0977 1296.8420 1615.353
973  50.61351 1456.5917 1297.1103 1616.073
974  50.63153 1457.0856 1297.3784 1616.793
975  50.64955 1457.5796 1297.6463 1617.513
976  50.66757 1458.0735 1297.9140 1618.233
977  50.68559 1458.5674 1298.1815 1618.953
978  50.70360 1459.0614 1298.4489 1619.674
979  50.72162 1459.5553 1298.7161 1620.395
980  50.73964 1460.0493 1298.9831 1621.115
981  50.75766 1460.5432 1299.2499 1621.837
982  50.77568 1461.0372 1299.5165 1622.558
983  50.79369 1461.5311 1299.7830 1623.279
984  50.81171 1462.0250 1300.0493 1624.001
985  50.82973 1462.5190 1300.3154 1624.723
986  50.84775 1463.0129 1300.5814 1625.444
987  50.86577 1463.5069 1300.8471 1626.167
988  50.88378 1464.0008 1301.1127 1626.889
989  50.90180 1464.4947 1301.3782 1627.611
990  50.91982 1464.9887 1301.6434 1628.334
991  50.93784 1465.4826 1301.9085 1629.057
992  50.95586 1465.9766 1302.1734 1629.780
993  50.97387 1466.4705 1302.4381 1630.503
994  50.99189 1466.9645 1302.7027 1631.226
995  51.00991 1467.4584 1302.9671 1631.950
996  51.02793 1467.9523 1303.2313 1632.673
997  51.04595 1468.4463 1303.4954 1633.397
998  51.06396 1468.9402 1303.7593 1634.121
999  51.08198 1469.4342 1304.0231 1634.845
1000 51.10000 1469.9281 1304.2866 1635.570

eirasagree::ConfidenceBand(IV=Dados.M$MassaMagra,
                           DV=Dados.M$TaxaMetab,
                           method="lm_robust",
                           txtleg="M",
                           alpha = alfa.Bonf,
                           lty1=2, 
                           lty2=3,
                           xyleg=c(35,1800),
                           plot=TRUE,
                           add=TRUE)

$data
    IV   DV
1 62.0 1792
2 62.9 1666
3 47.4 1362
4 48.7 1614
5 51.9 1460
6 51.9 1867
7 46.9 1439

$regression

Call:
estimatr::lm_robust(formula = DV ~ IV)

Standard error type:  HC2 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) CI Lower CI Upper DF
(Intercept)   710.50    387.833   1.832  0.12644 -286.453  1707.46  5
IV             16.75      7.008   2.390  0.06236   -1.263    34.77  5

Multiple R-squared:  0.3505 ,   Adjusted R-squared:  0.2206 
F-statistic: 5.714 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.06236

$coefficients
             Estimate Std. Error  t value   Pr(>|t|)    CI Lower   CI Upper DF
(Intercept) 710.50279 387.832720 1.831983 0.12644478 -286.452952 1707.45854  5
IV           16.75136   7.008013 2.390315 0.06236338   -1.263312   34.76603  5

$conf.band
           IV       DV      lwr      upr
1    46.90000 1496.142 1075.629 1916.654
2    46.91602 1496.410 1076.399 1916.421
3    46.93203 1496.678 1077.168 1916.188
4    46.94805 1496.946 1077.937 1915.956
5    46.96406 1497.215 1078.704 1915.725
6    46.98008 1497.483 1079.472 1915.494
7    46.99610 1497.751 1080.238 1915.265
8    47.01211 1498.020 1081.004 1915.035
9    47.02813 1498.288 1081.769 1914.807
10   47.04414 1498.556 1082.533 1914.579
11   47.06016 1498.824 1083.297 1914.352
12   47.07618 1499.093 1084.060 1914.126
13   47.09219 1499.361 1084.822 1913.900
14   47.10821 1499.629 1085.583 1913.676
15   47.12422 1499.898 1086.344 1913.452
16   47.14024 1500.166 1087.104 1913.228
17   47.15626 1500.434 1087.863 1913.006
18   47.17227 1500.702 1088.621 1912.784
19   47.18829 1500.971 1089.379 1912.563
20   47.20430 1501.239 1090.136 1912.342
21   47.22032 1501.507 1090.892 1912.123
22   47.23634 1501.776 1091.648 1911.904
23   47.25235 1502.044 1092.402 1911.686
24   47.26837 1502.312 1093.156 1911.468
25   47.28438 1502.581 1093.910 1911.251
26   47.30040 1502.849 1094.662 1911.036
27   47.31642 1503.117 1095.414 1910.820
28   47.33243 1503.385 1096.165 1910.606
29   47.34845 1503.654 1096.915 1910.393
30   47.36446 1503.922 1097.664 1910.180
31   47.38048 1504.190 1098.413 1909.968
32   47.39650 1504.459 1099.161 1909.756
33   47.41251 1504.727 1099.908 1909.546
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49   47.66877 1509.019 1111.752 1906.287
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193  49.97508 1547.653 1207.258 1888.049
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216  50.34344 1553.824 1220.263 1887.385
217  50.35946 1554.092 1220.812 1887.373
218  50.37548 1554.361 1221.359 1887.362
219  50.39149 1554.629 1221.905 1887.352
220  50.40751 1554.897 1222.450 1887.344
221  50.42352 1555.165 1222.993 1887.337
222  50.43954 1555.434 1223.535 1887.332
223  50.45556 1555.702 1224.076 1887.328
224  50.47157 1555.970 1224.615 1887.325
225  50.48759 1556.239 1225.153 1887.324
226  50.50360 1556.507 1225.689 1887.325
227  50.51962 1556.775 1226.224 1887.326
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232  50.59970 1558.117 1228.876 1887.357
233  50.61572 1558.385 1229.402 1887.367
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406  53.38649 1604.799 1296.119 1913.479
407  53.40250 1605.067 1296.355 1913.780
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409  53.43453 1605.604 1296.821 1914.386
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580  56.17327 1651.482 1312.087 1990.876
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582  56.20531 1652.018 1312.004 1992.032
583  56.22132 1652.286 1311.961 1992.612
584  56.23734 1652.555 1311.916 1993.193
585  56.25335 1652.823 1311.870 1993.775
586  56.26937 1653.091 1311.823 1994.359
587  56.28539 1653.360 1311.775 1994.944
588  56.30140 1653.628 1311.725 1995.531
589  56.31742 1653.896 1311.674 1996.119
590  56.33343 1654.164 1311.621 1996.708
591  56.34945 1654.433 1311.567 1997.298
592  56.36547 1654.701 1311.512 1997.890
593  56.38148 1654.969 1311.456 1998.483
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782  59.40851 1705.676 1281.746 2129.606
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968  62.38749 1755.578 1227.857 2283.299
969  62.40350 1755.846 1227.526 2284.167
970  62.41952 1756.115 1227.195 2285.035
971  62.43554 1756.383 1226.863 2285.903
972  62.45155 1756.651 1226.531 2286.772
973  62.46757 1756.919 1226.198 2287.641
974  62.48358 1757.188 1225.865 2288.510
975  62.49960 1757.456 1225.532 2289.380
976  62.51562 1757.724 1225.198 2290.250
977  62.53163 1757.993 1224.864 2291.121
978  62.54765 1758.261 1224.530 2291.992
979  62.56366 1758.529 1224.196 2292.863
980  62.57968 1758.798 1223.861 2293.734
981  62.59570 1759.066 1223.525 2294.606
982  62.61171 1759.334 1223.190 2295.478
983  62.62773 1759.602 1222.854 2296.351
984  62.64374 1759.871 1222.518 2297.224
985  62.65976 1760.139 1222.181 2298.097
986  62.67578 1760.407 1221.844 2298.971
987  62.69179 1760.676 1221.507 2299.844
988  62.70781 1760.944 1221.169 2300.719
989  62.72382 1761.212 1220.831 2301.593
990  62.73984 1761.480 1220.493 2302.468
991  62.75586 1761.749 1220.154 2303.343
992  62.77187 1762.017 1219.815 2304.219
993  62.78789 1762.285 1219.476 2305.095
994  62.80390 1762.554 1219.136 2305.971
995  62.81992 1762.822 1218.797 2306.847
996  62.83594 1763.090 1218.456 2307.724
997  62.85195 1763.358 1218.116 2308.601
998  62.86797 1763.627 1217.775 2309.479
999  62.88398 1763.895 1217.434 2310.356
1000 62.90000 1764.163 1217.092 2311.234

regMc <- lm(TaxaMetab ~ scale(MassaMagra, scale=FALSE),
            data=Dados.M)
print(summary(regMc))


Call:
lm(formula = TaxaMetab ~ scale(MassaMagra, scale = FALSE), data = Dados.M)

Residuals:
      1       2       7      10      13      18      19 
  42.91  -98.16 -142.52   87.71 -119.90  287.10  -57.14 

Coefficients:
                                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)                       1600.00      63.14  25.339 1.79e-06 ***
scale(MassaMagra, scale = FALSE)    16.75      10.20   1.643    0.161    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 167.1 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.3505,    Adjusted R-squared:  0.2206 
F-statistic: 2.699 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.1614

regFc <- lm(TaxaMetab ~ scale(MassaMagra, scale=FALSE),
            data=Dados.F)
print(summary(regFc))


Call:
lm(formula = TaxaMetab ~ scale(MassaMagra, scale = FALSE), data = Dados.F)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-122.93  -63.54   10.30   35.94  197.54 

Coefficients:
                                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)                      1235.083     25.736   47.99 3.72e-13 ***
scale(MassaMagra, scale = FALSE)   27.414      4.386    6.25 9.51e-05 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 89.15 on 10 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7962,    Adjusted R-squared:  0.7758 
F-statistic: 39.06 on 1 and 10 DF,  p-value: 9.507e-05

car::confidenceEllipse(lm(TaxaMetab~MassaMagra, data=Dados.M),
                       main="Elipse de confianca de 95% Bonferroni
M:blue F:red",
                       col="blue",
                       levels=1-alfa, 
                       Scheffe=FALSE,
                       center.cex=1,
                       grid=FALSE,
                       fill=TRUE,
                       fill.alpha=0.05)

car::confidenceEllipse(lm(TaxaMetab~MassaMagra, data=Dados.F),
                       col="red",
                       levels=1-alfa,
                       Scheffe=FALSE,
                       center.cex=1,
                       grid=FALSE,
                       fill=TRUE,
                       fill.alpha=0.05,
                       add=TRUE)

abline(h=0, v=0, lty=2)

cat("\n# Teste de paralelismo (igualdade de inclinacoes)\n")


# Teste de paralelismo (igualdade de inclinacoes)

modelo_com_interacao <- lm(TaxaMetab ~ MassaMagra * Sexo, data=Dados)
print(summary(modelo_com_interacao))


Call:
lm(formula = TaxaMetab ~ MassaMagra * Sexo, data = Dados)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-142.517  -80.942    5.468   40.027  287.102 

Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        69.084    255.264   0.271 0.790360    
MassaMagra         27.414      5.945   4.611 0.000339 ***
SexoM             641.419    469.717   1.366 0.192211    
MassaMagra:SexoM  -10.662      9.473  -1.126 0.278061    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 120.8 on 15 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8165,    Adjusted R-squared:  0.7798 
F-statistic: 22.25 on 3 and 15 DF,  p-value: 8.911e-06

modelo_sem_interacao <- lm(TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo, data=Dados)
print(anova(modelo_sem_interacao, modelo_com_interacao))

Analysis of Variance Table

Model 1: TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo
Model 2: TaxaMetab ~ MassaMagra * Sexo
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     16 237530                           
2     15 219033  1     18498 1.2668 0.2781

cat("\n# Teste de igualdade das retas de regressão: interceptos iguais supondo paralelismo\n")


# Teste de igualdade das retas de regressão: interceptos iguais supondo paralelismo

modelo_diferentes_interceptos <- lm(TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo, data=Dados)
print(summary(modelo_diferentes_interceptos))


Call:
lm(formula = TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo, data = Dados)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-161.502  -96.915   -0.131   42.351  294.857 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  247.693    201.601   1.229 0.236977    
MassaMagra    23.215      4.667   4.974 0.000138 ***
SexoM        119.617     76.092   1.572 0.135515    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 121.8 on 16 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.801, Adjusted R-squared:  0.7761 
F-statistic:  32.2 on 2 and 16 DF,  p-value: 2.461e-06

modelo_intercepto_comum <- lm(TaxaMetab ~ MassaMagra, data=Dados)
print(anova(modelo_intercepto_comum, modelo_diferentes_interceptos))

Analysis of Variance Table

Model 1: TaxaMetab ~ MassaMagra
Model 2: TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     17 274217                           
2     16 237530  1     36686 2.4712 0.1355

cat("Teste de correlacoes em duas condicoes independentes\n")

Teste de correlacoes em duas condicoes independentes

Dados$MassaMagra.z[Dados$Sexo=="F"] <- scale(Dados$MassaMagra[Dados$Sexo=="F"])
Dados$TaxaMetab.z[Dados$Sexo=="F"] <- scale(Dados$TaxaMetab[Dados$Sexo=="F"])
Dados$MassaMagra.z[Dados$Sexo=="M"] <- scale(Dados$MassaMagra[Dados$Sexo=="M"])
Dados$TaxaMetab.z[Dados$Sexo=="M"] <- scale(Dados$TaxaMetab[Dados$Sexo=="M"])

n.F <- nrow(Dados.F)
n.M <- nrow(Dados.M)
n <- n.F + n.M

car::dataEllipse(Dados$MassaMagra.z, Dados$TaxaMetab.z,
                 groups=Dados$Sexo,
                 group.labels=c("F", "M"),
                 levels=c(1-alfa.Bonf),
                 robust=TRUE,
                 asp=1,
                 main=paste("Elipses de predição 95% Bonferroni
n=",n," (Fem=",n.F,", Masc=",n.M,")", sep=""),
                 xlab="Massa corporal magra (z)",
                 ylab="Taxa metabolica (z)",
                 xlim=c(-4,4), ylim=c(-4,4))

cor.F <- cor(Dados.F$MassaMagra, Dados.F$TaxaMetab)
cor.M <- cor(Dados.M$MassaMagra, Dados.M$TaxaMetab)

cat("\nCorrelacao de Massa Magra e Taxa Metabolica (Feminino) = ", 
    round(cor.F,2), "\n", sep="")


Correlacao de Massa Magra e Taxa Metabolica (Feminino) = 0.89

cat("\nCorrelacao de Massa Magra e Taxa Metabolica (Masculino) = ", 
    round(cor.M,2), "\n\n", sep="")


Correlacao de Massa Magra e Taxa Metabolica (Masculino) = 0.59

cor_test <- psych::r.test(n=n.F, r12=cor.F, n2=n.M, r34=cor.M)

print(cor_test, digits=4)

Correlation tests 
Call:psych::r.test(n = n.F, r12 = cor.F, r34 = cor.M, n2 = n.M)
Test of difference between two independent correlations 
 z value 1.2517    with probability  0.2107

3 Regressão Linear Simples

3.1 APEx 8044: Resíduo

Um escore observado da Regressão Linear Simples é um valor da VD.
O resíduo é igual ao escore observado ____ o escore previsto:

Menos
Mais
Vezes
Dividido por

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

\[ \text{Resíduo}_i = \text{VD}_i - \widehat{\text{VD}}_i \]

\[ i = 1,2,\ldots,n \]

3.2 APEx 8046: VE - II

A variável explicativa da Regressão Linear NÃO pode ser:

Quantitativa
Binária
Intervalar
Contagem
Ordinal

Explicações e comentários:

Alternativa correta: E.

A variável explicativa (VE) na Regressão Linear Simples deve ser quantitativa.

Variáveis intervalares e de razão são adequadas.
Variáveis de contagem também são quantitativas e podem ser utilizadas como VE.
Uma variável binária pode ser utilizada quando codificada numericamente (por exemplo, 0 e 1).

A VE não pode ser qualitativa ordinal, pois seus valores representam apenas ordenação, sem garantia de intervalos iguais entre categorias.

3.3 APEx 8047: Beta não-padronizado

O beta não-padronizado é a estimativa do parâmetro de declividade da Regressão Linear entre as variáveis dependente e explicativa.

O beta não-padronizado é:

Adimensional
Positivo
Igual à correlação de Pearson
Igual à correlação absoluta de Pearson
Uma medida de tamanho de efeito
Uma estatística que depende do tamanho da amostra
O valor da variação média da VD decorrente da variação unitária da VE

Explicações e comentários:

Alternativa correta: G.

Regressão Linear Simples

$y$: variável dependente (VD)
$x$: variável explicativa (VE)
$n$: número de pares de observações independentes
$m_x$: média de $x$
$m_y$: média de $y$
$s_x$: desvio-padrão de $x$
$s_y$: desvio-padrão de $y$
$r$: correlação de Pearson entre $x$ e $y$
$a$: estimativa do intercepto
$b$: estimativa da inclinação

Reta de regressão:

\[ \hat{y} = a + b x \]

Estimativas:

\[ a = m_y - b m_x \]

\[ b = r \frac{s_y}{s_x} \]

O coeficiente $b$ não é adimensional, pois sua unidade é a razão entre as unidades de $y$ e $x$.

Não é necessariamente positivo.

Não é igual à correlação de Pearson, exceto quando as variáveis estão padronizadas.

Não depende do tamanho da amostra para seu valor estimado (embora sua precisão dependa de $n$).

O beta não-padronizado representa a variação média da VD associada ao aumento de uma unidade na VE.

3.4 APEx 8048: Beta padronizado

O beta padronizado é a estimativa do parâmetro de inclinação da Regressão Linear entre as variáveis dependente e explicativa padronizadas.

O beta padronizado NÃO é:

Adimensional
Igual à correlação de Pearson
O valor da variação média da VD em desvio-padrão decorrente da variação unitária de desvio-padrão da VE
Igual à magnitude do R múltiplo
Medida de tamanho de efeito
Um estatística que depende do tamanho da amostra

Explicações e comentários:

Alternativa correta: F.

Regressão Linear Simples

$y$: variável dependente (VD)
$x$: variável explicativa (VE)
$m_x$: média de $x$
$m_y$: média de $y$
$s_x$: desvio-padrão de $x$
$s_y$: desvio-padrão de $y$
$r$: correlação de Pearson entre $x$ e $y$
$a$: estimativa do intercepto
$b$: estimativa da inclinação

Reta de regressão:

\[ \hat{y} = a + b x \]

Estimativas:

\[ a = m_y - b m_x \]

\[ b = r \frac{s_y}{s_x} \]

Se $x$ e $y$ são padronizadas:

\[ m_x = 0,\quad m_y = 0,\quad s_x = 1,\quad s_y = 1 \]

Logo,

\[ a = 0,\quad b = r \]

O beta padronizado é adimensional, é igual à correlação de Pearson na regressão linear simples, representa a variação média da VD em desvios-padrão associada ao aumento de um desvio-padrão na VE e é medida de tamanho de efeito.

O coeficiente de correlação múltipla $R$ na regressão simples satisfaz:

\[ R = |r| = |b| \]

O valor estimado de $b$ não depende do tamanho da amostra (embora sua precisão dependa).

3.5 APEx 8049: Coeficiente de determinação

O coeficiente de determinação da Regressão Linear Simples é igual ao ______ ao quadrado:

Eta
R múltiplo
r de Pearson
Beta padronizado
Todas as outras alternativas são verdadeiras

Explicações e comentários:

Alternativa correta: E.

Regressão Linear Simples

Se $y$ é a variável dependente e $x$ é a variável explicativa, então:

\[ \hat{y} = a + bx \]

Na regressão simples:

$R$ múltiplo é igual a $|r|$
$b_{\text{padronizado}} = r$
$\eta = |r|$

O coeficiente de determinação é:

\[ R^2 = r^2 \]

Logo,

\[ R^2 = \eta^2 = (R\ \text{múltiplo})^2 = (r)^2 = (b_{\text{padronizado}})^2 \]

Todas as alternativas A, B, C e D conduzem ao mesmo valor quando elevadas ao quadrado na regressão linear simples.

3.6 APEx 8050: Eta²

Eta ao quadrado associado ao efeito da VE na Regressão Linear é a proporção de:

VD explicada pela VE
Média da VD explicada pela VE
Desvio-padrão da VD explicada pela VE
Variância da VD explicada pela VE
Erro-padrão da VD explicada pela VE

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

Regressão Linear Simples

Se $y$ é a variável dependente e $x$ é a variável explicativa, então o coeficiente de determinação é:

\[ R^2 = \frac{\text{SQ}_{\text{Reg}}}{\text{SQ}_{\text{Total}}} \]

Logo, $R^2$ representa a proporção da variância total da variável dependente explicada pela variável explicativa.

Na regressão linear simples:

\[ \eta^2 = R^2 = r^2 \]

Portanto, $\eta^2$ é a proporção da variância da VD explicada pela VE.

3.7 APEx 8051: Intercepto

A estimativa do intercepto da Regressão Linear Simples é igual à média da:

VD
VE
VD, se a média da VE é nula

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

Na Regressão Linear Simples:

\[ \hat{y} = a + b x \]

A estimativa do intercepto é:

\[ a = \bar{y} - b\bar{x} \]

sendo que $\bar{y}$ é a média da variável dependente (VD) e $\bar{x}$ é a média da variável explicativa (VE).

Se $\bar{x} = 0$, então:

\[ a = \bar{y} \]

Logo, o intercepto é igual à média da VD apenas quando a média da VE é nula.

3.8 APEx 8052: Escores-z

Se VE e VD da Regressão Linear Simples são escores-z, então ocorre que:

Intercepto é nulo
Betas padronizado e não-padronizado são iguais
A reta de regressão passa pelo ponto (0,0)
Beta não-padronizado é igual à correlação de Pearson
Todas as outras alternativas são verdadeiras

Explicações e comentários:

Alternativa correta: E.

Se $X$ (VE) e $Y$ (VD) são escores-z, então:

\[ \bar{x}=0,\quad \bar{y}=0,\quad s_x=1,\quad s_y=1 \]

Na Regressão Linear Simples:

\[ \hat{y} = a + b x,\quad a=\bar{y}-b\bar{x},\quad b=r\frac{s_y}{s_x} \]

Logo:

\[ a = 0 - b\cdot 0 = 0 \]

portanto o intercepto é nulo (A verdadeira) e a reta passa por $(0,0)$ (C verdadeira).

Além disso:

\[ b = r\frac{1}{1}=r \]

isto é, o beta não-padronizado (no modelo em escores-z) coincide com $r$ de Pearson (D verdadeira).

Como $X$ e $Y$ já estão padronizados, o coeficiente angular do modelo é exatamente o beta padronizado; portanto beta padronizado e não-padronizado coincidem numericamente (B verdadeira).

Assim, todas as alternativas A–D são verdadeiras.

# Y : VD (variável de desfecho ou dependente quantitativa)
# X : VE (variável explicativa quantitativa)
# r : coeficiente de correlação de Pearson amostral entre Y e X
# sX : desvio-padrão amostral de X
# sY : desvio-padrão amostral de Y
# inclinacao = beta1 = beta = r*sY/sX
# intercepto = beta0 = alfa = mean(Y) - beta*mean(X)

Y <- 1:6 # variavel de desfecho ou dependente (VD)
X <- c(20,10,50,30,60,40) # variavel explicativa (VE)

# RLS não-padronizada
plot(X,Y, main="RLS nao-padronizada")
cat("Analise descritiva da VD\n")

Analise descritiva da VD

print(summary(Y))

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
   1.00    2.25    3.50    3.50    4.75    6.00

cat("\nAnalise descritiva da VE\n")


Analise descritiva da VE

print(summary(X))

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
   10.0    22.5    35.0    35.0    47.5    60.0

cat(paste("\nsdX =", round(sd(X),2)," sdY =", round(sd(Y),2),"\n"))


sdX = 18.71  sdY = 1.87

cat(paste("r(X,Y) = ", round(cor(X,Y),2),"\n"))

r(X,Y) =  0.66

out <- lm(Y~X)
print(summary(out))


Call:
lm(formula = Y ~ X)

Residuals:
      1       2       3       4       5       6 
-1.5143  0.1429 -1.4857  0.8286 -0.1429  2.1714 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  1.20000    1.46775   0.818    0.459
X            0.06571    0.03769   1.744    0.156

Residual standard error: 1.577 on 4 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.4318,    Adjusted R-squared:  0.2898 
F-statistic:  3.04 on 1 and 4 DF,  p-value: 0.1562

abline(out)
abline(h=mean(Y),lty=2)
abline(v=mean(X),lty=2)

# RLS padronizada
zY <- (Y - mean(Y))/sd(Y) # VD padronizada
zX <- (X - mean(X))/sd(X) # VE padronizada

plot(zX,zY, main="RLS padronizada")
print(summary(zY))

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
-1.3363 -0.6682  0.0000  0.0000  0.6682  1.3363

print(summary(zX))

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
-1.3363 -0.6682  0.0000  0.0000  0.6682  1.3363

cat(paste("\nsdzX =", round(sd(zX),2)," sdY =", round(sd(zY),2),"\n"))


sdzX = 1  sdY = 1

cat(paste("r(zX,zY) = ", round(cor(zX,zY),2),"\n"))

r(zX,zY) =  0.66

outz <- lm(zY~zX)
print(summary(outz))


Call:
lm(formula = zY ~ zX)

Residuals:
       1        2        3        4        5        6 
-0.80942  0.07636 -0.79415  0.44289 -0.07636  1.16068 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.204e-16  3.440e-01   0.000    1.000
zX          6.571e-01  3.769e-01   1.744    0.156

Residual standard error: 0.8427 on 4 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.4318,    Adjusted R-squared:  0.2898 
F-statistic:  3.04 on 1 and 4 DF,  p-value: 0.1562

abline(outz)
abline(h=0,lty=2)
abline(v=0,lty=2)

3.9 APEx 8053: Centradas

Se VE e VD da Regressão Linear Simples são centradas (valor - média), então ocorre que:

A. Intercepto é nulo
B. Betas padronizado e não-padronizado são diferentes
C. Beta não-padronizado é diferente da correlação de Pearson
D. A reta de regressão passa pelo ponto (0;0)
E. Todas as outras alternativas são verdadeiras

Explicações e comentários:

Alternativa correta: E.

Se $X_c = X-\bar X$ e $Y_c = Y-\bar Y$, então $\bar X_c=0$ e $\bar Y_c=0$.

A. Verdadeira. No modelo $Y_c = a + bX_c$, vale $a=\bar Y_c - b\bar X_c = 0$.

D. Verdadeira. Com $a=0$, a reta ajustada é $\widehat{Y}_c=bX_c$, logo passa por $(0,0)$.

C. Verdadeira. Em regressão linear simples, o coeficiente angular (não-padronizado) é \[ b = r\frac{s_Y}{s_X} \] Centrar não muda $r$, $s_X$ nem $s_Y$. Em geral $\dfrac{s_Y}{s_X}\neq 1$, então $b\neq r$.

B. Verdadeira. O beta padronizado é o coeficiente angular quando $X$ e $Y$ são padronizadas (escores-z), e nesse caso ele é igual a $r$. Como, com apenas centralização, $b=r\dfrac{s_Y}{s_X}$, em geral ele difere do beta padronizado.

Logo, A–D são verdadeiras, portanto E também é verdadeira.

# APEx 8053: Centradas (RLS) ---------------------------------------------

# Dados
Y <- 1:6
X <- c(20,10,50,30,60,40)

# 1) Modelo não-centrado
m0 <- lm(Y ~ X)

# 2) Variáveis centradas
cY <- Y - mean(Y)
cX <- X - mean(X)

# 3) Modelo centrado
mc <- lm(cY ~ cX)

# 4) Beta não-padronizado (inclinação) e correlação
b_nc <- coef(m0)[2]
b_c  <- coef(mc)[2]
rXY  <- cor(X, Y)

cat("r(X,Y) = ", round(rXY, 6), "\n", sep="")

r(X,Y) = 0.657143

cat("b (nao-centrado) = ", round(b_nc, 6), "\n", sep="")

b (nao-centrado) = 0.065714

cat("b (centrado)     = ", round(b_c, 6), "\n", sep="")

b (centrado)     = 0.065714

cat("Intercepto (centrado) = ", round(coef(mc)[1], 12), "\n", sep="")

Intercepto (centrado) = 0

# 5) Beta padronizado (regressão com z-scores): deve ser r
zY <- as.numeric(scale(Y))
zX <- as.numeric(scale(X))
mz <- lm(zY ~ zX)
beta_pad <- coef(mz)[2]

cat("beta padronizado (zY~zX) = ", round(beta_pad, 6), "\n", sep="")

beta padronizado (zY~zX) = 0.657143

# 6) Checagens lógicas das alternativas
A <- abs(coef(mc)[1]) < 1e-12                         # intercepto ~ 0
D <- abs(coef(mc)[1]) < 1e-12                         # passa em (0,0) pois a=0
C <- abs(b_c - rXY) > 1e-12                           # b != r (em geral)
B <- abs(beta_pad - b_c) > 1e-12                      # beta pad != b (em geral)
E <- A & B & C & D

cat("\nA (intercepto nulo): ", A, "\n", sep="")


A (intercepto nulo): TRUE

cat("B (betas pad e nao-pad diferentes): ", B, "\n", sep="")

B (betas pad e nao-pad diferentes): TRUE

cat("C (beta nao-pad diferente de r): ", C, "\n", sep="")

C (beta nao-pad diferente de r): TRUE

cat("D (reta passa por (0,0)): ", D, "\n", sep="")

D (reta passa por (0,0)): TRUE

cat("E (todas verdadeiras): ", E, "\n", sep="")

E (todas verdadeiras): TRUE

# 7) Gráfico: não-centrado vs centrado
op <- par(mfrow=c(1,2))

plot(X, Y, main="RLS nao-centrada", xlab="X", ylab="Y", pch=16)
abline(m0)
abline(h=mean(Y), v=mean(X), lty=2)

plot(cX, cY, main="RLS centrada", xlab="X - mean(X)", ylab="Y - mean(Y)", pch=16)
abline(mc)
abline(h=0, v=0, lty=2)

par(op)

3.10 APEx 8054: SSE

O erro-padrão da estimativa é o desvio-padrão da:

VD
VE
VD - VE
VD / VE
VD | VE

Explicações e comentários:

Alternativa correta: E.

VD - VE não pode ser calculada se tiverem unidades de medidas diferentes.

VD|VE: VD condicionada à VE

O erro-padrão da estimativa (Standard Error of Estimate, SEE) é o desvio-padrão dos resíduos, isto é, da variável dependente condicionada à variável explicativa.

Em Regressão Linear Simples,

\[ \text{SEE} = s_Y \sqrt{1 - r^2} \]

sendo que $s_Y$ é o desvio-padrão da VD e $r$ é a correlação de Pearson entre VD e VE.

3.11 APEx 8056: Coeficiente de determinação

O coeficiente de determinação é:

A proporção da variância da VD explicada pela VE
Medida de tamanho de efeito
Uma medida que varia entre 0 e 1
Não depende do tamanho da amostra
Todas as outras alternativas são verdadeiras

Explicações e comentários:

Alternativa correta: E.

Na Regressão Linear Simples,

\[ R^2 = r^2 \]

sendo que $r$ é a correlação de Pearson entre VE e VD.

O coeficiente de determinação é a proporção da variância da VD explicada pela VE:

\[ R^2 = \frac{\text{SQ}_{\text{Reg}}}{\text{SQ}_{\text{Total}}} \]

Logo:

A é verdadeira.

Como $R^2 = r^2$, e $-1 \le r \le 1$, então:

\[ 0 \le R^2 \le 1 \]

C é verdadeira.

$R^2$ é medida de tamanho de efeito (Cohen), portanto B é verdadeira.

$R^2$ depende apenas de $r$, que é estatística descritiva e não depende de $n$ para seu cálculo (embora sua precisão dependa). Logo, D é verdadeira.

3.12 APEx 8059: Coeficientes de determinação e de correlação

Se o coeficiente de determinação da Regressão Linear Simples é 64%, então a correlação de Pearson é:

0.8
-0.8
0.8 ou -0.8
0.64
0.36

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

Na Regressão Linear Simples,

\[ R^2 = r^2 \]

Se $R^2 = 0.64$, então:

\[ r = \pm \sqrt{0.64} \]

Como

\[ \sqrt{0.64} = 0.8 \]

segue que

\[ r = 0.8 \quad \text{ou} \quad r = -0.8 \]

O sinal depende da direção da associação linear (crescente ou decrescente), informação que não é fornecida no enunciado.

3.13 APEx 8179: GL - I

$n$ é o número de pares de observações independentes.

O número de graus de liberdade do teste t da hipótese nula de inclinação populacional nula da Regressão Linear Simples com intercepto é:

$n-3$
$n-2$
$n-1$
$n$

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Na Regressão Linear Simples com intercepto são estimados dois parâmetros:

\[ \beta_0 \quad \text{(intercepto)} \qquad \text{e} \qquad \beta_1 \quad \text{(inclinação)} \]

Logo, o número de graus de liberdade residuais é:

\[ \text{gl} = n - 2 \]

O teste da hipótese

\[ H_0: \beta_1 = 0 \]

utiliza a distribuição t com $n-2$ graus de liberdade.

Referência: Inference for the Population Intercept and Slope

3.14 APEx 8180: GL - II

$n$ é o número de pares de observações independentes.

O número de graus de liberdade do teste t da hipótese nula de intercepto populacional nulo da Regressão Linear Simples com intercepto é:

$n-3$
$n-2$
$n-1$
$n$

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Na Regressão Linear Simples com intercepto são estimados dois parâmetros:

\[ \beta_0 \quad \text{(intercepto)} \qquad \beta_1 \quad \text{(inclinação)} \]

O teste da hipótese

\[ H_0: \beta_0 = 0 \]

é realizado utilizando o erro residual do modelo completo.

Como dois parâmetros são estimados, o número de graus de liberdade residuais é:

\[ \text{gl} = n - 2 \]

Portanto, o teste t para o intercepto também utiliza $n-2$ graus de liberdade.

Referência: Inference for the Population Intercept and Slope

3.15 APEx 8181: GL - III

$n$ é o número de pares de observações independentes.

O número de graus de liberdade do teste $t$ da hipótese nula de inclinação populacional nula da Regressão Linear Simples sem intercepto é:

$n-3$
$n-2$
$n-1$
$n$

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

No modelo de Regressão Linear Simples sem intercepto, estima-se apenas um parâmetro:

\[ y_i = \beta_1 x_i + \varepsilon_i \]

Logo, o número de parâmetros estimados é 1.

Os graus de liberdade residuais são:

\[ \text{gl} = n - 1 \]

O teste da hipótese

\[ H_0: \beta_1 = 0 \]

utiliza esses graus de liberdade residuais.

Portanto,

\[ \text{gl} = n - 1 \] Referência: EISENHAUER, J (2003) Regression through the origin. Teaching Statistics 25(3).

3.16 APEx 8182: Cúbito de Galton

No artigo de Galton (1988) intitulado Co-relations and their measurement, a equação da Regressão Linear Simples é Estatura média = 65,857 + 2,274*Cúbito. A população estudada é a de estudantes masculinos ingleses de aproximadamente 21 anos.

Resultados da RLS: IBM SPSS Statistics

Tem-se que:

Se o cúbito é igual à média amostral 45,963 cm, então o valor médio predito da estatura é igual à média amostral 170,37
Se o cúbito é 46 cm, então um estudante tem estatura aproximadamente entre 162 e 178 cm com 95% de confiança
Se o cúbito aumenta 1 cm, então a estatura média aumenta aproximadamente 2,3 cm
A reta de regressão é válida somente para cúbitos entre 41,9 e 50,2 cm
Todas as outras alternativas são verdadeiras

Explicações e comentários:

Alternativa correta: E.

A equação estimada é

\[ \widehat{\text{Estatura}} = 65{,}857 + 2{,}274 \cdot \text{Cúbito} \]

Propriedade da regressão: a reta passa pelo ponto das médias. Logo,

\[ \widehat{Y}(\bar X) = \bar Y \]

Verificando:

\[ 65{,}857 + 2{,}274 \cdot 45{,}963 = 170{,}37 \]

Portanto, a alternativa A é verdadeira.

A alternativa B confunde intervalo de confiança da média com intervalo para indivíduo. O erro-padrão da estimativa é 3,937. O intervalo

\[ 170 \pm 1{,}96 \cdot 3{,}94 = [162{,}3;\, 177{,}7] \]

Portanto, a alternativa B é verdadeira.

A alternativa C está correta porque o coeficiente angular é

\[ \beta_1 = 2{,}274 \]

ou seja, aumento médio de aproximadamente 2,3 cm na estatura para cada 1 cm adicional de cúbito.

Portanto, a alternativa C é verdadeira.

O modelo é estimado no intervalo observado de 41,9 a 50,2 cm.

Portanto, a alternativa D é verdadeira.

3.17 APEx 9603: VE - I

A Regressão Linear Simples pode ser aplicada para VD:

Intervalar
Categórica
Nominal
Ordinal
Qualitativa

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

Na Regressão Linear Simples, a variável dependente (VD) deve ser quantitativa.

O modelo é:

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon \]

sendo que $Y$ é variável numérica quantitativa (intervalar ou de razão).

Variáveis nominais e ordinais não atendem à suposição de normalidade dos resíduos e não possuem métrica adequada para modelagem linear clássica.

3.18 APEx 9604: Distribuição da VD

Uma suposição sobre a distribuição da VD da Regressão Linear para teste da inclinação é:

t
F
Qui-quadrado
Normal
Lognormal
Gama

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

No modelo de Regressão Linear Simples,

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i \]

a suposição clássica para inferência exata (testes t e F) é que os erros $\varepsilon_i$ são normalmente distribuídos:

\[ \varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \]

Isso implica normalidade condicional da VD dado $X$:

\[ Y_i \mid X_i \sim \mathcal{N}(\beta_0 + \beta_1 X_i,\ \sigma^2) \]

A normalidade não é necessária para não-viesamento nem para a propriedade de melhor estimador linear não-viesado (Gauss–Markov), mas é condição suficiente para inferência exata em amostra pequena.

Conforme Wooldridge, JM (2016) Introductory econometrics, 6ª ed., p. 155,

“Sabemos que a normalidade não desempenha nenhum papel na não-viesamento do OLS, nem afeta a conclusão de que o OLS é o melhor estimador linear não-viesado sob as suposições de Gauss-Markov. Mas a inferência exata baseada nas estatísticas t e F requer normalidade de y. Isso significa que, em nossa análise anterior no Exemplo 4.6, devemos abandonar a estatística t para determinar quais variáveis são estatisticamente significantes? Felizmente, a resposta a esta pergunta é não. Mesmo que y não seja de uma distribuição normal, podemos usar o teorema do limite central do Apêndice C para concluir que os estimadores OLS satisfazem a normalidade assintótica, o que significa que eles são distribuídos aproximadamente normalmente em tamanhos de amostra suficientemente grandes. Isso sugere que a normalidade dos erros é realmente uma condição suficiente, mas não uma condição necessária. Suficiente para quê? Suficiente para garantir a normalidade (aproximada) das distribuições amostrais dos parâmetros do modelo (ou seja, os coeficientes).”

3.19 APEx 10144: Regressão Linear Simples

Dados biométricos de estudantes de medicina da USP foram colhidos de três turmas cursando a MSP1290 de 2015 a 2017. Podemos supor que a estatura seja preditora da massa corporal total.

Massa corporal total:

     mean       sd 0% 25% 50% 75% 100%   n
 65.56562 12.69638 41  56  64  73  125 541

Estatura:

     mean       sd  0% 25% 50% 75% 100%   n
 170.9298 8.919738 153 164 172 177  195 541

A análise de regressão linear simples é o instrumento que usaremos para verificar tal suposição, obtendo-se:

Call:

lm(formula = peso ~ 1 + I(estatura), data = dados)

Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-23.587  -6.090  -1.452   4.870  54.593 

Coefficients:

             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -97.63456    7.78300  -12.54   <2e-16 ***
I(estatura)   0.95478    0.04547   21.00   <2e-16 ***

Residual standard error: 9.425 on 539 degrees of freedom  
Multiple R-squared: 0.4499, Adjusted R-squared: 0.4489  
F-statistic: 440.9 on 1 and 539 DF, p-value: < 2.2e-16

Reta de regressão e banda de confiança de 95%

Adotando-se o nível de significância de 5%, a análise de regressão sustenta a suposição. Por que?

A. O valor-p associado ao intercepto é menor que o nível de significância
B. O erro-padrão da variável explicativa é menor que o nível de significância
C. O valor-p associado à variável explicativa é menor que o nível de significância
D. O valor do $R^2$ é maior que o nível de significância
E. O erro-padrão do intercepto é maior que o nível de significância

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

O teste relevante para verificar se a estatura é preditora da massa corporal total é o teste da hipótese

\[ H_0:\beta_1 = 0 \quad \text{versus} \quad H_1:\beta_1 \ne 0 \]

O valor-p associado ao coeficiente da variável explicativa I(estatura) é

\[ p < 2\times 10^{-16} \]

Como

\[ p < 0.05 \]

rejeita-se $H_0$, concluindo-se que a inclinação é estatisticamente diferente de zero.

Logo, a análise sustenta a suposição de que estatura é preditora da massa corporal total porque o valor-p associado à variável explicativa é menor que o nível de significância.

3.20 APEx 10145: Regressão Linear Simples

Dados biométricos de estudantes de medicina da USP foram colhidos de três turmas cursando a MSP1290 de 2015 a 2017. Podemos supor que a estatura seja preditora da massa corporal total.

Massa corporal total:

     mean       sd 0% 25% 50% 75% 100%   n
 65.56562 12.69638 41  56  64  73  125 541

Estatura:

     mean       sd  0% 25% 50% 75% 100%   n
 170.9298 8.919738 153 164 172 177  195 541

A análise de regressão linear simples é o instrumento que usaremos para verificar tal suposição, obtendo-se:

Call:

lm(formula = peso ~ 1 + I(estatura), data = dados)

Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-23.587  -6.090  -1.452   4.870  54.593 

Coefficients:

             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -97.63456    7.78300  -12.54   <2e-16 ***
I(estatura)   0.95478    0.04547   21.00   <2e-16 ***

Residual standard error: 9.425 on 539 degrees of freedom  
Multiple R-squared: 0.4499, Adjusted R-squared: 0.4489  
F-statistic: 440.9 on 1 and 539 DF, p-value: < 2.2e-16

Reta de regressão e banda de confiança de 95%

A regressão linear pode ser usada quando buscamos avaliar a relação entre variáveis quantitativas. Aplica-se neste caso?

A. Não, porque sexo é variável nominal, e apenas rotulamos como 0 e 1.

B. Sim, porque convertemos sexo em variável quantitativa (valores 0 e 1).

C. Não, porque mesmo uma variável quantitativa com dois valores (0 ou 1) torna a regressão grosseira.

D. Sim, porque é conhecido pelo senso comum que sexo e estatura são variáveis associadas.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

O número de pares de observações independentes é n = 459. Portanto, o Teorema Central do Limite (n > 30) justifica o teste estatístico da regressão linear simples independentemente da distribuição de probabilidade da VD. A VE deve ser apenas intervalar.

Conforme Wooldridge, JM (2016) Introductory econometrics, 6ª ed., p. 155,

“Sabemos que a normalidade não desempenha nenhum papel na não-viesamento do OLS, nem afeta a conclusão de que o OLS é o melhor estimador linear não-viesado sob as suposições de Gauss-Markov. Mas a inferência exata baseada nas estatísticas t e F requer normalidade de y. Isso significa que, em nossa análise anterior no Exemplo 4.6, devemos abandonar a estatística t para determinar quais variáveis são estatisticamente significantes? Felizmente, a resposta a esta pergunta é não. Mesmo que y não seja de uma distribuição normal, podemos usar o teorema do limite central do Apêndice C para concluir que os estimadores OLS satisfazem a normalidade assintótica, o que significa que eles são distribuídos aproximadamente normalmente em tamanhos de amostra suficientemente grandes. Isso sugere que a normalidade dos erros é realmente uma condição suficiente, mas não uma condição necessária. Suficiente para quê? Suficiente para garantir a normalidade (aproximada) das distribuições amostrais dos parâmetros do modelo (ou seja, os coeficientes).”

A VE binária Sexo pode ser usada na análise de Regressão Linear Simples porque uma variável binária é intervalar.

Uma justificativa teórica e exemplo de aplicação com massa corporal total e gênero encontram-se em:

HOWELL, D (2013) Statistical Methods in Psychology. 8th ed. USA: CENGAGE, Chapter 10: Alternative Correlational Techniques, p. 305-7.

3.21 APEx 11142: Correlação

Supondo que as duas variáveis são quantitativas, tanto o coeficiente de correlação de Spearman quanto o de Pearson podem ser calculados.

Considere as figuras.

Apenas por inspeção visual, indique qual delas tem o maior coeficiente de determinação.

A. A
B. B
C. C
D. D
E. E

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

Usando apenas a inspeção visual:

A: sabemos que r de Pearson e s de Spearman mostrarão valores positivos, mas é difícil avaliar seus valores.

B: r de Pearson será positivo e alto, mas não sabemos quanto. s de Spearman, porém, é igual a 1 porque o crescimento é monotonicamente crescente.

C: r de Peason será positivo, difícil avaliar quanto; s de Spearman também, mas como os valores decrescem e depois sobem, difícil saber seu valor sem calcular.

D: r de Peason negativo e próximo a -1; s de Spearman é -1 porque o crescimento é monotonicamente decrescente.

E: os pontos estão quase que perfeitamente alinhados com a horizontal; provavelmente r de Peason e s de Spearman serão próximos a zero.

O coeficiente de determinação é numericamente igual a $R^2 = r^2$. Considerando os possíveis valores de r de Peason, seu valor em módulo será maior (e, portanto, seu maior valor elevado ao quadrado) ocorre quando os pontos apresentarem inclinação e quanto mais estiverem alinhados. Esta condição ocorre no gráfico D.

3.22 APEx 11144: Correlação

Supondo que as duas variáveis são quantitativas, tanto o coeficiente de correlação de Spearman quanto o de Pearson podem ser calculados.

Considere as figuras.

Apenas por inspeção visual, indique qual delas tem o menor coeficiente de determinação.

A. A
B. B
C. C
D. D
E. E

Explicações e comentários:

Alternativa correta: E.

Usando apenas a inspeção visual:

A: sabemos que r de Pearson e s de Spearman mostrarão valores positivos, mas é difícil avaliar seus valores.

B: r de Pearson será positivo e alto, mas não sabemos quanto. s de Spearman, porém, é igual a 1 porque o crescimento é monotonicamente crescente.

C: r de Pearson será positivo, difícil avaliar quanto; s de Spearman também, mas como os valores decrescem e depois sobem, difícil saber seu valor sem calcular.

D: r de Pearson negativo e próximo a -1; s de Spearman é -1 porque o crescimento é monotonicamente decrescente.

E: os pontos estão perfeitamente alinhados na horizontal; provavelmente r de Peason e s de Spearman serão próximos a zero.

O coeficiente de determinação é numericamente igual a $R^2 = r^2$. Considerando os possíveis valores de r de Pearson, seu valor em módulo será maior (e, portanto, seu maior valor elevado ao quadrado) ocorre quando os pontos apresentarem inclinação e quanto mais estiverem alinhados. Como $-1 < r < 1$, então $0 \le R^2 \le 1$.

No gráfico E, $r = 0$ e, consequentemente, $R^2 = 0$, o menor valor possível.

3.23 APEx 11810: Resíduos

Sobre os resíduos da Regressão Linear usando o Método dos Mínimos Quadrados Ordinários pode-se afirmar que, supondo que a correlação de Pearson é imperfeita:

A. A soma é nula
B. A soma de seus quadrados é mínima
C. Há sempre valores positivos e negativos
D. Todas as outras alternativas são verdadeiras

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

td <- "
notasimulado notafinal
50 55
30 20
60 59
75 78
40 55
90 70
15 20
19 15
64 60
80 84
"

Dados <- read.table(text = td, header = TRUE)

# Ajuste do modelo
fit <- lm(notafinal ~ notasimulado, data = Dados)

# Acrescentando valores preditos e resíduos
Dados$notafinal_predita <- fitted(fit)
Dados$residuo <- resid(fit)

print(Dados, digits=3)

   notasimulado notafinal notafinal_predita residuo
1            50        55              49.5   5.451
2            30        20              31.7 -11.716
3            60        59              58.5   0.534
4            75        78              71.8   6.159
5            40        55              40.6  14.367
6            90        70              85.2 -15.216
7            15        20              18.3   1.659
8            19        15              21.9  -6.908
9            64        60              62.0  -2.032
10           80        84              76.3   7.701

# Propriedades dos resíduos (MQO com intercepto)
cat("Soma dos residuos =", round(sum(resid(fit)),4), "\n")

Soma dos residuos = 0

cat("Soma dos quadrados dos residuos =", sum(resid(fit)^2), "\n")

Soma dos quadrados dos residuos = 757.0399

# Verificação adicional
cat("Media dos residuos =", round(mean(resid(fit)),4), "\n")

Media dos residuos = 0

3.24 APEx 16281: $R^2$ e significância de inclinação

Em RLS, $R^2 = 0.2$. Adotar $\alpha = 5\%$.

Qual é o menor $n$ que resulta inclinação significante?

A. 2
B. 10
C. 12
D. 20
E. 30
F. Impossível determinar

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

No modelo de regressão linear simples, testar $\beta_1 = 0$ é equivalente a usar a estatística

\[ F = \frac{R^2/1}{(1-R^2)/(n-2)} = (n-2)\frac{R^2 }{1-R^2} \]

Com $R^2 = 0.2$, resulta

\[ F = (n - 2)\times0.25 \]

A inclinação é significante a 5% quando

\[ F = 0.25 (n - 2) > F_{1,n-2}^{95\%} \]

alfa <- 0.05
R2 <- 0.2

# Estatística F em RLS: F = [R2/(1-R2)]*(n-2)
# Procurando o menor n tal que Fcalc > Fcrit

for(n in 3:200){
  
  Fcalc <- (R2/(1-R2))*(n-2)
  Fcrit <- qf(1-alfa, df1=1, df2=n-2)
  
  if(Fcalc > Fcrit){
    cat("Menor n =", n, "\n")
    break
  }
}

Menor n = 20

3.25 APEx 15307: Distúrbio do sono - II

Um pesquisador deseja verificar se o uso de Melatonina interfere no tempo de sono ininterrupto (TSI), ao nível de significância de 5%. O delineamento é entre participantes. A correlação de Pearson entre Droga e TSI é 0.137.

Droga	$n$	Média (min/noite)	Desvio-padrão (min/noite)
Com Melatonina	34	492	126
Sem Melatonina	18	450	156

Fonte: em ARANGO, HG (2012) Bioestatística: teórica e computacional. Rio de Janeiro: Guanabara-Koogan, p. 285-6.

Qual teste estatístico para testar o efeito do fator droga pode ser aplicado utilizando os dados da tabela?

A. t relacionado
B. Qui-quadrado de Pearson
C. ANOVA unifatorial relacionada
D. Regressão linear simples
E. Impossível aplicar teste estatístico

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

O delineamento é entre participantes. A variável Droga é dicotômica (uso vs. não uso) e o TSI é quantitativa.

A correlação de Pearson entre Droga e TSI é $r = 0.137$. Quando uma variável é dicotômica e a outra é quantitativa, a correlação de Pearson é equivalente ao teste da inclinação em uma regressão linear simples, ou ao teste t de Student para dois grupos independentes.

\[ R^2 = r^2 \]

\[ F = (n-2)\frac{R^2}{1-R^2} \]

Calcula o valor-p a partir da distribuição $F_{1,n-2}$. Trata-se explicitamente do teste da inclinação na regressão linear simples.

Portanto, o teste estatístico aplicável é a Regressão Linear Simples.

alfa <- 0.05

nA <- 34
nB <- 18
n  <- nA + nB

r  <- 0.137
R2 <- r^2

F <- R2 / ((1 - R2)/(n - 2))

p <- 1 - pf(F, 1, n - 2)

cat("F =", F, ", p =", p, "\n")

F = 0.9564007 , p = 0.3328036

3.26 APEx 12432: Distúrbio do sono – II

Um pesquisador deseja verificar se o uso de Melatonina interfere no tempo de sono ininterrupto (TSI), ao nível de significância de $5\%$.
O delineamento é entre participantes.

Os dados resumidos são:

Droga	$n$	Média (min/noite)	Desvio-padrão (min/noite)
Com Melatonina	34	492	126
Sem Melatonina	18	450	156

Fonte: Arango, HG (2012) Bioestatística: teórica e computacional. Rio de Janeiro: Guanabara-Koogan, p. 285–6.

Qual teste estatístico para testar o efeito do fator droga pode ser aplicado utilizando os dados da tabela?

A. t de Welch
B. t relacionado
C. Qui-quadrado de Pearson
D. ANOVA unifatorial relacionada
E. Regressão linear simples
F. Impossível aplicar teste estatístico

Explicações e justificativas:

Alternativas corretas: A e E.

O delineamento é entre participantes, com dois grupos independentes. A variável resposta (TSI) é quantitativa (intervalar). Os tamanhos amostrais e os desvios-padrão são distintos, não sendo apropriado assumir homocedasticidade. Assim, o teste adequado é o teste t para duas médias independentes com variâncias desiguais (teste t de Welch).

O teste t relacionado e a ANOVA relacionada pressupõem medidas dependentes. O teste qui-quadrado aplica-se a variáveis categóricas. Regressão linear simples não é necessária neste contexto.

## =========================================================
## VI dicotômica (0/1): teste de inclinação por OLS,
## t de Student e t de Welch usando apenas estatísticas-resumo
## =========================================================

## Dados-resumo
n1 <- 34; y1 <- 492; s1 <- 126   # grupo 1: com melatonina (x=1)
n0 <- 18; y0 <- 450; s0 <- 156   # grupo 0: sem melatonina (x=0)

alpha <- 0.05

## Estimativas OLS do modelo y = beta0 + beta1*x + e
beta0_hat <- y0
beta1_hat <- y1 - y0

## ---------------------------------------------------------
## 1) OLS homocedástico (equivalente ao t de Student)
## ---------------------------------------------------------

# variância combinada (pooled)
sp2 <- ((n1 - 1)*s1^2 + (n0 - 1)*s0^2) / (n1 + n0 - 2)

# erro-padrão do coeficiente beta1
se_beta1_ols <- sqrt(sp2 * (1/n1 + 1/n0))

# estatística t e gl
t_ols <- beta1_hat / se_beta1_ols
df_ols <- n1 + n0 - 2

# valor-p bicaudal
p_ols <- 2 * pt(-abs(t_ols), df_ols)

# IC 95% (bicaudal)
tcrit_ols <- qt(1 - alpha/2, df_ols)
ci_ols <- c(beta1_hat - tcrit_ols*se_beta1_ols,
            beta1_hat + tcrit_ols*se_beta1_ols)

## ---------------------------------------------------------
## 2) Teste t de Student (mesmo do OLS homocedástico)
## ---------------------------------------------------------
# diferença de médias (mesma beta1_hat)
diff_means <- beta1_hat

se_student <- se_beta1_ols
t_student <- t_ols
df_student <- df_ols
p_student <- p_ols
ci_student <- ci_ols

## ---------------------------------------------------------
## 3) Teste t de Welch (variâncias desiguais)
## ---------------------------------------------------------

se_welch <- sqrt(s1^2/n1 + s0^2/n0)
t_welch <- diff_means / se_welch

df_welch <- (s1^2/n1 + s0^2/n0)^2 /
  ((s1^2/n1)^2/(n1 - 1) + (s0^2/n0)^2/(n0 - 1))

p_welch <- 2 * pt(-abs(t_welch), df_welch)

tcrit_welch <- qt(1 - alpha/2, df_welch)
ci_welch <- c(diff_means - tcrit_welch*se_welch,
              diff_means + tcrit_welch*se_welch)

## ---------------------------------------------------------
## Saída organizada
## ---------------------------------------------------------

cat("Modelo: y = beta0 + beta1*x + e, com x=1 (grupo 1) e x=0 (grupo 0)\n\n")

Modelo: y = beta0 + beta1*x + e, com x=1 (grupo 1) e x=0 (grupo 0)

cat("Estimativas OLS (por definição com VI dicotômica):\n")

Estimativas OLS (por definição com VI dicotômica):

cat("beta0_hat = ", beta0_hat, " (media do grupo x=0)\n", sep = "")

beta0_hat = 450 (media do grupo x=0)

cat("beta1_hat = ", beta1_hat, " (diferença de medias: grupo 1 - grupo 0)\n\n", sep = "")

beta1_hat = 42 (diferença de medias: grupo 1 - grupo 0)

cat("1) OLS homocedástico (equivalente ao t de Student):\n")

1) OLS homocedástico (equivalente ao t de Student):

cat("t(", df_ols, ") = ", t_ols, ", p = ", p_ols, "\n", sep = "")

t(50) = 1.052192, p = 0.2977702

cat("IC", 100*(1-alpha), "% para beta1: [", ci_ols[1], ", ", ci_ols[2], "]\n\n", sep = "")

IC95% para beta1: [-38.17501, 122.175]

cat("2) t de Student (variâncias iguais):\n")

2) t de Student (variâncias iguais):

cat("t(", df_student, ") = ", t_student, ", p = ", p_student, "\n", sep = "")

t(50) = 1.052192, p = 0.2977702

cat("IC", 100*(1-alpha), "% para (mu1 - mu0): [", ci_student[1], ", ", ci_student[2], "]\n\n", sep = "")

IC95% para (mu1 - mu0): [-38.17501, 122.175]

cat("3) t de Welch (variâncias desiguais):\n")

3) t de Welch (variâncias desiguais):

cat("t(", df_welch, ") = ", t_welch, ", p = ", p_welch, "\n", sep = "")

t(28.98907) = 0.9847817, p = 0.3328797

cat("IC", 100*(1-alpha), "% para (mu1 - mu0): [", ci_welch[1], ", ", ci_welch[2], "]\n", sep = "")

IC95% para (mu1 - mu0): [-45.22852, 129.2285]

3.26.1 Teste da inclinação com VI dicotômica usando estatísticas-resumo

Considere dois grupos independentes, codificados por
$x=1$ (grupo 1) e $x=0$ (grupo 0), com estatísticas-resumo $(n_1,\bar y_1,s_1)$ e $(n_0,\bar y_0,s_0)$.

O modelo de regressão linear é \[ Y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+\varepsilon_i \] com $\mathbb{E}(\varepsilon_i)=0$.

Estimativas OLS:

Com $x\in\{0,1\}$, \[ \hat\beta_0=\bar y_0, \qquad \hat\beta_1=\bar y_1-\bar y_0 \]

3.26.1.1 1) OLS homocedástico (equivalente ao teste t de Student)

Variância combinada: \[ s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_0-1)s_0^2}{n_1+n_0-2} \]

Erro-padrão da inclinação: \[ SE(\hat\beta_1)=\sqrt{s_p^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0}\right)} \]

Estatística de teste: \[ t=\frac{\hat\beta_1}{SE(\hat\beta_1)}, \qquad gl=n_1+n_0-2 \]

Valor-p bicaudal: \[ p=2\,P\!\left(T_{gl}\ge |t|\right) =2\,\mathrm{pt}(-|t|,gl) \]

3.26.1.2 2) Teste $t$ de Student (diferença de médias)

Diferença de médias: \[ \hat\Delta=\bar y_1-\bar y_0 \]

Erro-padrão: \[ SE(\hat\Delta)=\sqrt{s_p^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0}\right)} \]

Estatística e graus de liberdade: \[ t=\frac{\hat\Delta}{SE(\hat\Delta)} \qquad gl=n_1+n_0-2 \]

Valor-p bicaudal: \[ p=2\,\mathrm{pt}(-|t|,gl) \]

Este teste é algebraicamente idêntico ao teste da inclinação OLS sob homocedasticidade.

3.26.1.3 3) Teste $t$ de Welch (variâncias desiguais)

Erro-padrão: \[ SE_W=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_0^2}{n_0}} \]

Estatística de teste: \[ t_W=\frac{\bar y_1-\bar y_0}{SE_W} \]

Graus de liberdade (Welch–Satterthwaite): \[ gl_W= \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_0^2}{n_0}\right)^2} {\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1} +\frac{\left(\frac{s_0^2}{n_0}\right)^2}{n_0-1}} \]

Valor-p bicaudal: \[ p=2\,\mathrm{pt}(-|t_W|,\text{gl}_W) \]

Observação: o teste de Welch corresponde ao teste da inclinação com erro-padrão robusto à heterocedasticidade quando a VI é dicotômica.

3.27 APEx 14871: A reta da ruína do rim

Conforme Rowe et al. (1976),

“Resumo: Determinações padrão de depuração de creatinina verdadeira de 24 horas foram realizadas em 884 indivíduos do Estudo Longitudinal de Baltimore. Com base nos dados clínicos, os indivíduos foram colocados em categorias que indicam a presença de doenças específicas ou medicamentos que podem alterar a taxa de filtração glomerular. Os indivíduos não incluídos nessas categorias foram considerados normais (N = 548). Nos normais, a análise transversal por faixas etárias de 10 anos mostrou um declínio linear progressivo na depuração de 140 ml/min/1.73 m² na idade de 30 a 97 anos na idade de 80. Três ou mais depurações em série foram obtidas de 12 a 18 -mo. intervalos em 293 indivíduos normais. Esses dados longitudinais mostraram uma aceleração da taxa de declínio do clearance de creatinina com o avanço da idade. A diminuição do clearance de creatinina com a idade observada neste estudo representa o verdadeiro envelhecimento renal e não é secundária a doenças cada vez mais prevalentes em idosos. Um nomograma construído a partir desses dados fornece padrões normativos corrigidos pela idade para a depuração da creatinina.”

Rowe, JW et al. (1976) The Effect of Age on Creatinine Clearance in Men - A Cross-Sectional and Longitudinal Study. Journal of Gerontology 31(2): 155-63.

A relação da depuração de creatinina com a idade em 548 indivíduos normais (Fig. 3) foi analisada por ajuste de mínimos quadrados de polinômios lineares, quadráticos e cúbicos. As soluções quadrática e cúbica não melhoraram significativamente o ajuste obtido pela solução linear, que foi:

Depuração de creatinina (ml/min/1.73 m²) = 165.7 - 0.8 idade (ano)

Fig. 3. Análise transversal da depuração de creatinina individual versus idade. Cada dado plotado representa a idade média e os valores médios de folga para um indivíduo. Os resultados da análise de regressão da depuração padrão da creatinina na idade são apresentados abaixo das abcissas. Observe que o valor de interceptação de 165.6 refere-se à depuração de creatinina na idade zero.

O valor da elasticidade aos 50 anos de idade é de aproximadamente __________, indicando que a função renal de depuração da creatinina com a idade é __________.

A. 125.7, elástica
B. 125.7, inelástica
C. 0.318, elástica
D. 0.318, inelástica
E. -125.7, elástica
F. -125.7, inelástica
G. -0.318, elástica
H. -0.318, inelástica

Explicações e comentários:

Alternativa correta: H.

Tabela: Elasticidade do clearance por idade (C = 165.5 − 0.8 Idade)

Idade	Clearance	Elasticidade
30	141.5	-0.1696
40	133.5	-0.2397
50	125.5	-0.3187
60	117.5	-0.4085
70	109.5	-0.5114
80	101.5	-0.6305
90	93.5	-0.7701
100	85.5	-0.9357
110	77.5	-1.1355

Elasticidade:

E(Idade) = dC/dIdade Idade/C = -0.8 Idade/(165.5 − 0.8 Idade)

E(Idade) = -1 ocorre em 103,44 anos.

suppressMessages(suppressWarnings(
  invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))
))

# Modelo: C(a) = b + m a (Rowe et al., 1976)
finesse  <- 5e4
b        <- 165.5
m        <- -0.8
age      <- seq(20, 110, length.out = finesse)
clearance<- m*age + b

reta <- latex2exp::TeX(
  sprintf(r'($Clearance~(ml/min/1.73m^2) = %.1f - 0.8~Idade~(ano)$)', b)
)

plot(age, clearance, type="l",
     main="Reta de decréscimo da função renal",
     xlab="Idade", ylab="Clearance de Creatinina",
     xlim=c(20,110), ylim=c(40,200))
text(55,190,reta)

# Elasticidade analítica: E(a) = |m| a / (b + m a)
E <- function(a, b=b, m=m) abs(m) * a / (b + m*a)

dt <- data.frame(age=age, clearance=clearance)
dt$elasticidade <- E(dt$age, b, m)

ymin <- min(c(0, dt$elasticidade, 1.2), na.rm=TRUE)
ymax <- max(c(0, dt$elasticidade, 1.2), na.rm=TRUE)

plot(dt$age, dt$elasticidade, type="l", lty=2, lwd=1.5,
     main="|Elasticidade|\n|E|=1 em 103.44 anos",
     xlab="Age", ylab="|Elasticidade| do Clearance de Creatinina",
     ylim=c(ymin, ymax))
abline(h=1, lty=3)
text(max(dt$age,na.rm=TRUE)*0.8,1,"inelástico",pos=1)
text(max(dt$age,na.rm=TRUE)*0.8,1,"elástico",pos=3)

# Limiar E=1: solve |m| a / (b + m a) = 1  =>  a* = b / (2|m|)
idade_star <- b / (2*abs(m))
abline(v = idade_star, lty = 3)

# Destaca pontos de 20 em 20 até 110 (como no seu código)
ages_plot <- seq(20,110,by=10)
idx_plot  <- sapply(ages_plot, function(i) which.min(abs(dt$age - i)))
points(dt$age[idx_plot], dt$elasticidade[idx_plot], pch=21, col="black", bg="black")
text(dt$age[idx_plot], dt$elasticidade[idx_plot],
     labels = sprintf("%.4f", dt$elasticidade[idx_plot]),
     pos = 3, cex = 0.8)

# Tabela solicitada: 30–110 de 10 em 10
idades_tab <- seq(30,110,by=10)
tabela_elast <- data.frame(
  Idade = idades_tab,
  Clearance = b + m*idades_tab,
  "Elasticidade" = -E(idades_tab, b, m),
  check.names = FALSE
)

if (requireNamespace("knitr", quietly = TRUE)) {
  print(knitr::kable(tabela_elast, digits = 4, align = "r",
                     caption = "Elasticidade do clearance por idade (C = 165.5 − 0.8·Idade)"))
} else {
  round(tabela_elast, 4)
}



Table: Elasticidade do clearance por idade (C = 165.5 − 0.8·Idade)

| Idade| Clearance| Elasticidade|
|-----:|---------:|------------:|
|    30|     141.5|      -0.1696|
|    40|     133.5|      -0.2397|
|    50|     125.5|      -0.3187|
|    60|     117.5|      -0.4085|
|    70|     109.5|      -0.5114|
|    80|     101.5|      -0.6305|
|    90|      93.5|      -0.7701|
|   100|      85.5|      -0.9357|
|   110|      77.5|      -1.1355|

3.28 APEx 14871: A reta da ruína do rim

Conforme Rowe et al. (1976),

“Resumo: Determinações padrão de depuração de creatinina verdadeira de 24 horas foram realizadas em 884 indivíduos do Estudo Longitudinal de Baltimore. Com base nos dados clínicos, os indivíduos foram colocados em categorias que indicam a presença de doenças específicas ou medicamentos que podem alterar a taxa de filtração glomerular. Os indivíduos não incluídos nessas categorias foram considerados normais (N = 548). Nos normais, a análise transversal por faixas etárias de 10 anos mostrou um declínio linear progressivo na depuração de 140 ml/min/1.73 m² na idade de 30 a 97 anos na idade de 80. Três ou mais depurações em série foram obtidas de 12 a 18 -mo. intervalos em 293 indivíduos normais. Esses dados longitudinais mostraram uma aceleração da taxa de declínio do clearance de creatinina com o avanço da idade. A diminuição do clearance de creatinina com a idade observada neste estudo representa o verdadeiro envelhecimento renal e não é secundária a doenças cada vez mais prevalentes em idosos. Um nomograma construído a partir desses dados fornece padrões normativos corrigidos pela idade para a depuração da creatinina.”

Rowe, JW et al. (1976) The Effect of Age on Creatinine Clearance in Men - A Cross-Sectional and Longitudinal Study. Journal of Gerontology 31(2): 155-63.

Depuração de creatinina (ml/min/1.73 m²) = 165.7 - 0.8 idade (ano)

Construindo-se o gráfico da função de elasticidade da depuração de creatinina em relação à idade, pode-se observar que:

É uma função elástica, decrescente a taxas decrescentes, que se torna inelástica entre os 70 e 80 anos de idade.
É uma função inelástica, crescente a taxas crescentes, sem chegar a se tornar elástica, mesmo entre os 80 e 90 anos de idade.
É uma função elástica, decrescente a taxas crescentes, sem chegar a se tornar inelástica, mesmo entre os 80 e 90 anos de idade.
É uma função inelástica, crescente a taxas decrescentes, que se torna elástica entre os 70 e 80 anos de idade.
É uma função linear e crescente, progressivamente elástica entre os 20 e 90 anos de idade.
É uma função linear e decrescente, progressivamente elástica entre os 20 e 90 anos de idade.
É uma função linear e decrescente, progressivamente inelástica entre os 20 e 90 anos de idade.
É uma função linear e crescente, progressivamente inelástica entre os 20 e 90 anos de idade.

Explicações e comentários:

Alternativas corretas: B.

Tabela: Elasticidade do clearance por idade (C = 165.5 − 0.8 Idade)

Idade	Clearance	Elasticidade
30	141.5	-0.1696
40	133.5	-0.2397
50	125.5	-0.3187
60	117.5	-0.4085
70	109.5	-0.5114
80	101.5	-0.6305
90	93.5	-0.7701
100	85.5	-0.9357
110	77.5	-1.1355

Elasticidade:

E(Idade) = dC/dIdade Idade/C = -0.8 Idade/(165.5 − 0.8 Idade)

E(Idade) = -1 ocorre em 103,44 anos.

suppressMessages(suppressWarnings(
  invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))
))

# Modelo: C(a) = b + m a (Rowe et al., 1976)
finesse  <- 5e4
b        <- 165.5
m        <- -0.8
age      <- seq(20, 110, length.out = finesse)
clearance<- m*age + b

reta <- latex2exp::TeX(
  sprintf(r'($Clearance~(ml/min/1.73m^2) = %.1f - 0.8~Idade~(ano)$)', b)
)

plot(age, clearance, type="l",
     main="Reta de decréscimo da função renal",
     xlab="Idade", ylab="Clearance de Creatinina",
     xlim=c(20,110), ylim=c(40,200))
text(55,190,reta)

# Elasticidade analítica: E(a) = |m| a / (b + m a)
E <- function(a, b=b, m=m) abs(m) * a / (b + m*a)

dt <- data.frame(age=age, clearance=clearance)
dt$elasticidade <- E(dt$age, b, m)

ymin <- min(c(0, dt$elasticidade, 1.2), na.rm=TRUE)
ymax <- max(c(0, dt$elasticidade, 1.2), na.rm=TRUE)

plot(dt$age, dt$elasticidade, type="l", lty=2, lwd=1.5,
     main="|Elasticidade|\n|E|=1 em 103.44 anos",
     xlab="Age", ylab="|Elasticidade| do Clearance de Creatinina",
     ylim=c(ymin, ymax))
abline(h=1, lty=3)
text(max(dt$age,na.rm=TRUE)*0.8,1,"inelástico",pos=1)
text(max(dt$age,na.rm=TRUE)*0.8,1,"elástico",pos=3)

# Limiar E=1: solve |m| a / (b + m a) = 1  =>  a* = b / (2|m|)
idade_star <- b / (2*abs(m))
abline(v = idade_star, lty = 3)

# Destaca pontos de 20 em 20 até 110 (como no seu código)
ages_plot <- seq(20,110,by=10)
idx_plot  <- sapply(ages_plot, function(i) which.min(abs(dt$age - i)))
points(dt$age[idx_plot], dt$elasticidade[idx_plot], pch=21, col="black", bg="black")
text(dt$age[idx_plot], dt$elasticidade[idx_plot],
     labels = sprintf("%.4f", dt$elasticidade[idx_plot]),
     pos = 3, cex = 0.8)

# Tabela solicitada: 30–110 de 10 em 10
idades_tab <- seq(30,110,by=10)
tabela_elast <- data.frame(
  Idade = idades_tab,
  Clearance = b + m*idades_tab,
  "Elasticidade" = -E(idades_tab, b, m),
  check.names = FALSE
)

if (requireNamespace("knitr", quietly = TRUE)) {
  print(knitr::kable(tabela_elast, digits = 4, align = "r",
                     caption = "Elasticidade do clearance por idade (C = 165.5 − 0.8·Idade)"))
} else {
  round(tabela_elast, 4)
}



Table: Elasticidade do clearance por idade (C = 165.5 − 0.8·Idade)

| Idade| Clearance| Elasticidade|
|-----:|---------:|------------:|
|    30|     141.5|      -0.1696|
|    40|     133.5|      -0.2397|
|    50|     125.5|      -0.3187|
|    60|     117.5|      -0.4085|
|    70|     109.5|      -0.5114|
|    80|     101.5|      -0.6305|
|    90|      93.5|      -0.7701|
|   100|      85.5|      -0.9357|
|   110|      77.5|      -1.1355|

3.29 APEx 16274: Elasticidade

Os dados biométricos de estudantes de três turmas do curso de Medicina da USP estão disponíveis em planilha pública do Google Planilhas.

Elasticidade é definida como a variação percentual média da variável dependente decorrente da variação de 1% da variável explicativa. No caso da reta de regressão,

\[ y = a + b x \]

corresponde a:

\[ \text{elasticidade}(x) = \frac{b x}{a + b x} \]

Podemos supor que a estatura é a variável explicativa da massa corporal total do estudante masculino.

Qual é a elasticidade para estatura de 170 cm do estudante masculino?

A. 2.53%
B. 2.27%
C. 2.30%
D. 2.36%
E. 2.11%

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

Elasticidade de regressão de estudante masculino:

\[ \text{elasticidade} = \frac{0.91330 \cdot \text{estatura}} {-89.46495 + 0.91330 \cdot \text{estatura}} \]

A função de elasticidade da reta de regressão é não-linear e decrescente.

Se $x = 170$, então

\[ e = \frac{0.91330 \cdot 170} {-89.46495 + 0.91330 \cdot 170} = 2.36 \]

Portanto, se a estatura 170 cm varia 1%, a massa corporal total (kg) varia, em média, 2.36%.

# Elasticidade da regressão linear simples
# Estudantes masculinos

# Leitura dos dados
dados <- as.data.frame(
  readxl::read_excel("Biometria_qst.xls",
             col_types = c("text","text","numeric","numeric"))
)

dados$sexo <- factor(dados$sexo)

# Seleciona apenas masculinos
dados <- subset(dados, sexo == "M")

# Ajuste da regressão linear simples
modelo <- lm(peso ~ altura, data = na.omit(dados))
summary(modelo)


Call:
lm(formula = peso ~ altura, data = na.omit(dados))

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-24.622  -6.929  -0.582   4.898  53.725 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -89.46495   15.07636  -5.934    9e-09 ***
altura        0.91330    0.08589  10.633   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 10.27 on 271 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.2944,    Adjusted R-squared:  0.2918 
F-statistic: 113.1 on 1 and 271 DF,  p-value: < 2.2e-16

# Coeficientes
a <- coef(modelo)[1]
b <- coef(modelo)[2]

# Elasticidade pontual em x = 170
elasticidade_170 <- b*170/(a + b*170)
elasticidade_170

  altura 
2.359741

# Função de elasticidade
elasticidade <- function(x, a, b){
  b*x/(a + b*x)
}

# Intervalo observado de altura
min.altura <- min(dados$altura, na.rm = TRUE)
max.altura <- max(dados$altura, na.rm = TRUE)

ve <- seq(min.altura, max.altura, length.out = 10000)
vd <- a + b*ve
e  <- elasticidade(ve, a, b)

# Gráfico
plot(ve, e, type = "l", lwd = 2,
     main = "Elasticidade da massa corporal total\nEstudante Masculino",
     xlab = "Altura (cm)",
     ylab = "Elasticidade")

# Estatísticas descritivas da elasticidade
cat("Elasticidade:\n")

Elasticidade:

cat("minimo =", round(min(e),2), "\n")

minimo = 2.01

cat("maximo =", round(max(e),2), "\n")

maximo = 2.72

cat("medio =", round(mean(e),2), "\n")

medio = 2.3

# Elasticidade no centroide
m.ve <- mean(dados$altura, na.rm = TRUE)
m.vd <- mean(dados$peso, na.rm = TRUE)
m.elasticidade <- b*m.ve/m.vd

cat("centroide =", round(m.elasticidade,2), "\n")

centroide = 2.27

cat("Elasticidade(170) =", round(elasticidade_170,2), "\n")

Elasticidade(170) = 2.36

3.30 APEx 16273: Elasticidade

Os dados biométricos de estudantes de três turmas do curso de Medicina da USP estão disponíveis em planilha pública do Google Planilhas.

Elasticidade é definida como a variação percentual média da variável dependente decorrente da variação de 1% da variável explicativa. No caso da reta de regressão,

\[ y = a + b x \]

corresponde a:

\[ \text{elasticidade}(x) = \frac{b x}{a + b x} \]

Podemos supor que a estatura é a variável explicativa da massa corporal total do estudante masculino.

Na regressão linear simples, a forma da curva da elasticidade é:

A. reta ascendente

B. não linear e descrescente

C. reta descendente

D. não linear e ascendente

E. reta horizontal

F. reta vertical

G. impossível determinar

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Elasticidade de regressão de estudante masculino:

\[ \text{elasticidade} = \frac{0.91330 \cdot \text{estatura}} {-89.46495 + 0.91330 \cdot \text{estatura}} \]

A função de elasticidade da reta de regressão é não-linear e decrescente.

Se $x = 170$, então

\[ e = \frac{0.91330 \cdot 170} {-89.46495 + 0.91330 \cdot 170} = 2.36 \]

Portanto, se a estatura 170 cm varia 1%, a massa corporal total (kg) varia, em média, 2.36%.

# Elasticidade da regressão linear simples
# Estudantes masculinos

# Leitura dos dados
dados <- as.data.frame(
  readxl::read_excel("Biometria_qst.xls",
             col_types = c("text","text","numeric","numeric"))
)

dados$sexo <- factor(dados$sexo)

# Seleciona apenas masculinos
dados <- subset(dados, sexo == "M")

# Ajuste da regressão linear simples
modelo <- lm(peso ~ altura, data = na.omit(dados))
summary(modelo)


Call:
lm(formula = peso ~ altura, data = na.omit(dados))

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-24.622  -6.929  -0.582   4.898  53.725 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -89.46495   15.07636  -5.934    9e-09 ***
altura        0.91330    0.08589  10.633   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 10.27 on 271 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.2944,    Adjusted R-squared:  0.2918 
F-statistic: 113.1 on 1 and 271 DF,  p-value: < 2.2e-16

# Coeficientes
a <- coef(modelo)[1]
b <- coef(modelo)[2]

# Elasticidade pontual em x = 170
elasticidade_170 <- b*170/(a + b*170)
elasticidade_170

  altura 
2.359741

# Função de elasticidade
elasticidade <- function(x, a, b){
  b*x/(a + b*x)
}

# Intervalo observado de altura
min.altura <- min(dados$altura, na.rm = TRUE)
max.altura <- max(dados$altura, na.rm = TRUE)

ve <- seq(min.altura, max.altura, length.out = 10000)
vd <- a + b*ve
e  <- elasticidade(ve, a, b)

# Gráfico
plot(ve, e, type = "l", lwd = 2,
     main = "Elasticidade da massa corporal total\nEstudante Masculino",
     xlab = "Altura (cm)",
     ylab = "Elasticidade")

# Estatísticas descritivas da elasticidade
cat("Elasticidade:\n")

Elasticidade:

cat("minimo =", round(min(e),2), "\n")

minimo = 2.01

cat("maximo =", round(max(e),2), "\n")

maximo = 2.72

cat("medio =", round(mean(e),2), "\n")

medio = 2.3

# Elasticidade no centroide
m.ve <- mean(dados$altura, na.rm = TRUE)
m.vd <- mean(dados$peso, na.rm = TRUE)
m.elasticidade <- b*m.ve/m.vd

cat("centroide =", round(m.elasticidade,2), "\n")

centroide = 2.27

cat("Elasticidade(170) =", round(elasticidade_170,2), "\n")

Elasticidade(170) = 2.36

3.31 APEx 16272: Elasticidade

Os dados biométricos de estudantes de três turmas do curso de Medicina da USP estão disponíveis em planilha pública do Google Planilhas.

Elasticidade é definida como a variação percentual média da variável dependente decorrente da variação de 1% da variável explicativa. No caso da reta de regressão,

\[ y = a + b x \]

corresponde a:

\[ \text{elasticidade}(x) = \frac{b x}{a + b x} \]

Podemos supor que a estatura é a variável explicativa da massa corporal total do estudante masculino.

Quais são, respectivamente, os valores das elasticidades média e no centróide?

2.01 e 2.72
2.72 e 2.01
2.27 e 2.30
2.30 e 2.27
2.36 e 2.36

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

Elasticidade de regressão de estudante masculino:

\[ \text{elasticidade} = \frac{0.91330 \cdot \text{estatura}} {-89.46495 + 0.91330 \cdot \text{estatura}} \]

A função de elasticidade da reta de regressão é não-linear e decrescente.

Se $x = 170$, então

\[ e = \frac{0.91330 \cdot 170} {-89.46495 + 0.91330 \cdot 170} = 2.36 \]

Portanto, se a estatura 170 cm varia 1%, a massa corporal total (kg) varia, em média, 2.36%.

# Elasticidade da regressão linear simples
# Estudantes masculinos

# Leitura dos dados
dados <- as.data.frame(
  readxl::read_excel("Biometria_qst.xls",
             col_types = c("text","text","numeric","numeric"))
)

dados$sexo <- factor(dados$sexo)

# Seleciona apenas masculinos
dados <- subset(dados, sexo == "M")

# Ajuste da regressão linear simples
modelo <- lm(peso ~ altura, data = na.omit(dados))
summary(modelo)


Call:
lm(formula = peso ~ altura, data = na.omit(dados))

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-24.622  -6.929  -0.582   4.898  53.725 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -89.46495   15.07636  -5.934    9e-09 ***
altura        0.91330    0.08589  10.633   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 10.27 on 271 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.2944,    Adjusted R-squared:  0.2918 
F-statistic: 113.1 on 1 and 271 DF,  p-value: < 2.2e-16

# Coeficientes
a <- coef(modelo)[1]
b <- coef(modelo)[2]

# Elasticidade pontual em x = 170
elasticidade_170 <- b*170/(a + b*170)
elasticidade_170

  altura 
2.359741

# Função de elasticidade
elasticidade <- function(x, a, b){
  b*x/(a + b*x)
}

# Intervalo observado de altura
min.altura <- min(dados$altura, na.rm = TRUE)
max.altura <- max(dados$altura, na.rm = TRUE)

ve <- seq(min.altura, max.altura, length.out = 10000)
vd <- a + b*ve
e  <- elasticidade(ve, a, b)

# Gráfico
plot(ve, e, type = "l", lwd = 2,
     main = "Elasticidade da massa corporal total\nEstudante Masculino",
     xlab = "Altura (cm)",
     ylab = "Elasticidade")

# Estatísticas descritivas da elasticidade
cat("Elasticidade:\n")

Elasticidade:

cat("minimo =", round(min(e),2), "\n")

minimo = 2.01

cat("maximo =", round(max(e),2), "\n")

maximo = 2.72

cat("medio =", round(mean(e),2), "\n")

medio = 2.3

# Elasticidade no centroide
m.ve <- mean(dados$altura, na.rm = TRUE)
m.vd <- mean(dados$peso, na.rm = TRUE)
m.elasticidade <- b*m.ve/m.vd

cat("centroide =", round(m.elasticidade,2), "\n")

centroide = 2.27

cat("Elasticidade(170) =", round(elasticidade_170,2), "\n")

Elasticidade(170) = 2.36

3.32 APEx 16271: Taxa metabólica e massa corporal total: inclinação

As Pessoas Mais Pesadas Queimam Mais Energia?

A taxa metabólica, a taxa pela qual o corpo consome energia, é importante em estudos de ganho de massa corporal total, dietas e exercícios.

A tabela abaixo apresenta dados sobre a massa corporal magra e a taxa metabólica basal de 12 mulheres e 7 homens que são sujeitos em um estudo de dieta.

Sujeito	Sexo	Massa (kg)	Taxa (cal/dia)
1	M	62.0	1792
2	M	62.9	1666
3	F	36.1	995
4	F	48.5	1425
5	F	48.6	1396
6	F	42.0	1418
7	M	47.4	1362
8	F	50.6	1502
9	F	42.0	1256
10	M	48.7	1614
11	F	40.3	1189
12	F	33.1	913
13	M	51.9	1460
14	F	42.4	1124
15	F	34.5	1052
16	F	51.1	1347
17	F	41.2	1204
18	M	51.9	1867
19	M	46.9	1439

Fonte: Consortium for Mathematics and its Applications - COMAP (2003) For all practical purposes: Mathematical literacy in today´s world. 6th ed. USA: WH Freeman, p. 232-3.

Qual é o resultado do teste da hipótese nula de que as retas de regressão linear simples dos grupos masculino e feminino são paralelas?

Rejeitamos a hipótese nula. As retas de regressão não são paralelas, indicando que as inclinações são diferentes para os grupos masculino e feminino.
Não rejeitamos a hipótese nula. As retas de regressão podem ser paralelas, indicando que as inclinações podem ser iguais para os grupos masculino e feminino.
Rejeitamos a hipótese nula. As retas de regressão podem ser paralelas, indicando que as inclinações podem ser iguais para os grupos masculino e feminino.
Não rejeitamos a hipótese nula. As retas de regressão não são paralelas, indicando que as inclinações são diferentes para os grupos masculino e feminino.
O teste de paralelismo não pode ser realizado.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Não rejeitamos a hipótese nula. As retas de regressão podem ser paralelas, indicando que as inclinações podem ser iguais para os grupos masculino e feminino.

Isso porque, ao testar a hipótese nula de que as retas de regressão são paralelas, estamos verificando se as inclinações das retas de regressão para os dois grupos são iguais populacionalmente. Se não rejeitarmos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, concluímos que não há evidência suficiente para afirmar que as inclinações são diferentes, mas não podemos afirmar que as inclinações são iguais e as retas são paralelas populacionalmente.

Teste de paralelismo (igualdade de inclinações):

Analysis of Variance Table

Model 1: TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo

Model 2: TaxaMetab ~ MassaMagra * Sexo

  Res.Df    RSS Df Sum of Sq    F Pr(>F)

1     16 237530                         

2     15 219033  1     18498 1.27   0.28

Teste de igualdade das retas de regressão: interceptos iguais supondo paralelismo:

Analysis of Variance Table

Model 1: TaxaMetab ~ MassaMagra

Model 2: TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo

  Res.Df    RSS Df Sum of Sq    F Pr(>F)

1     17 274217                         

2     16 237530  1     36686 2.47   0.14

alfa <- 0.05

sujeito <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 
             11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19)

sexo <- c("M", "M", "F", "F", "F", "F", "M", "F", "F", "M", 
          "F", "F", "M", "F", "F", "F", "F", "M", "M")

massamagra <- c(62.0, 62.9, 36.1, 48.5, 48.6, 42.0, 47.4, 50.6, 42.0, 48.7, 
                40.3, 33.1, 51.9, 42.4, 34.5, 51.1, 41.2, 51.9, 46.9)

taxametab <- c(1792, 1666, 995, 1425, 1396, 1418, 1362, 1502, 1256, 1614, 
               1189, 913, 1460, 1124, 1052, 1347, 1204, 1867, 1439)

Dados <- data.frame(Sujeito = factor(sujeito), 
                    Sexo = factor(sexo), 
                    MassaMagra = massamagra, 
                    TaxaMetab = taxametab)

Dados.M <- subset(Dados, Sexo=="M")
Dados.F <- subset(Dados, Sexo=="F")

print(Dados)

   Sujeito Sexo MassaMagra TaxaMetab
1        1    M       62.0      1792
2        2    M       62.9      1666
3        3    F       36.1       995
4        4    F       48.5      1425
5        5    F       48.6      1396
6        6    F       42.0      1418
7        7    M       47.4      1362
8        8    F       50.6      1502
9        9    F       42.0      1256
10      10    M       48.7      1614
11      11    F       40.3      1189
12      12    F       33.1       913
13      13    M       51.9      1460
14      14    F       42.4      1124
15      15    F       34.5      1052
16      16    F       51.1      1347
17      17    F       41.2      1204
18      18    M       51.9      1867
19      19    M       46.9      1439

print(summary(Dados))

    Sujeito   Sexo     MassaMagra      TaxaMetab   
 1      : 1   F:12   Min.   :33.10   Min.   : 913  
 2      : 1   M: 7   1st Qu.:41.60   1st Qu.:1196  
 3      : 1          Median :47.40   Median :1396  
 4      : 1          Mean   :46.43   Mean   :1370  
 5      : 1          3rd Qu.:50.85   3rd Qu.:1481  
 6      : 1          Max.   :62.90   Max.   :1867  
 (Other):13

print(psych::describeBy(Dados[,3:4], 
                        group=Dados$Sexo, 
                        mat=1, 
                        digits=2))

            item group1 vars  n    mean     sd median trimmed    mad    min
MassaMagra1    1      F    1 12   42.53   6.13   42.0   42.62   9.19   33.1
MassaMagra2    2      M    1  7   53.10   6.69   51.9   53.10   6.67   46.9
TaxaMetab1     3      F    2 12 1235.08 188.28 1230.0 1240.60 255.01  913.0
TaxaMetab2     4      M    2  7 1600.00 189.24 1614.0 1600.00 259.46 1362.0
               max range  skew kurtosis    se
MassaMagra1   51.1    18 -0.02    -1.46  1.77
MassaMagra2   62.9    16  0.54    -1.69  2.53
TaxaMetab1  1502.0   589 -0.22    -1.43 54.35
TaxaMetab2  1867.0   505  0.13    -1.81 71.53

car::scatterplot(TaxaMetab ~ MassaMagra|Sexo, 
                 data=Dados,
                 main="Regressao Linear Simples
Elipse de Predicao de 50%",
                 xlab="Massa corporal magra (kg)",
                 ylab="Taxa metabolica (cal)",
                 col=c("red", "blue"),
                 regLine=TRUE, 
                 ellipse=list(levels=c(.5), 
                              robust=TRUE, 
                              fill=FALSE), 
                 grid=FALSE,
                 smooth=FALSE)

alfa.Bonf <- alfa/length(unique(Dados$Sexo))

print(ggplot2::ggplot(Dados, 
                      ggplot2::aes(y = TaxaMetab, 
                                   x = MassaMagra, 
                                   group = Sexo, 
                                   linetype = Sexo,
                                   fill = Sexo,
                                   shape = Sexo)) + 
        ggplot2::geom_point() + 
        ggplot2::geom_smooth(method = estimatr::lm_robust,
                             formula = y ~ x, 
                             na.rm = TRUE,
                             color = "black", 
                             ggplot2::aes(fill = Sexo),
                             level = 1 - alfa.Bonf) + 
        ggplot2::labs(title = "Bandas de confianca de 95% Bonferroni",
                      x = "Massa corporal magra (kg)", 
                      y = "Taxa metabolica (cal)") + 
        ggplot2::theme_bw() + 
        ggplot2::theme(panel.grid.major = ggplot2::element_blank(), 
                       panel.grid.minor = ggplot2::element_blank(), 
                       panel.background = ggplot2::element_blank(), 
                       plot.background = ggplot2::element_rect(fill = "white", 
                                                               color = NA),
                       axis.line = ggplot2::element_line(color = "black")))

eirasagree::ConfidenceBand(IV=Dados.F$MassaMagra,
                           DV=Dados.F$TaxaMetab,
                           method="lm_robust",
                           txtleg="F",
                           main="Bandas de confianca de 95% Bonferroni",
                           xlab="Massa corporal magra (kg)",
                           ylab="Taxa metabolica (cal)",
                           xlim=c(min(Dados$MassaMagra)*0.9,
                                  max(Dados$MassaMagra))*1.1,
                           ylim=c(min(Dados$TaxaMetab)*0.8,
                                  max(Dados$TaxaMetab))*1.2,
                           alpha=alfa.Bonf,
                           lty1=1, 
                           lty2=3, 
                           xyleg=c(35,2000),
                           plot=TRUE,
                           add=FALSE)

$data
     IV   DV
1  36.1  995
2  48.5 1425
3  48.6 1396
4  42.0 1418
5  50.6 1502
6  42.0 1256
7  40.3 1189
8  33.1  913
9  42.4 1124
10 34.5 1052
11 51.1 1347
12 41.2 1204

$regression

Call:
estimatr::lm_robust(formula = DV ~ IV)

Standard error type:  HC2 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value  Pr(>|t|) CI Lower CI Upper DF
(Intercept)    69.08    162.707  0.4246 6.801e-01  -293.45   431.62 10
IV             27.41      3.873  7.0789 3.379e-05    18.79    36.04 10

Multiple R-squared:  0.7962 ,   Adjusted R-squared:  0.7758 
F-statistic: 50.11 on 1 and 10 DF,  p-value: 3.379e-05

$coefficients
            Estimate Std. Error   t value     Pr(>|t|)   CI Lower  CI Upper DF
(Intercept) 69.08357 162.707260 0.4245881 6.801271e-01 -293.45080 431.61794 10
IV          27.41379   3.872588 7.0789316 3.379435e-05   18.78512  36.04245 10

$conf.band
           IV        DV       lwr      upr
1    33.10000  976.4799  799.5759 1153.384
2    33.11802  976.9739  800.3074 1153.640
3    33.13604  977.4678  801.0387 1153.897
4    33.15405  977.9618  801.7699 1154.154
5    33.17207  978.4557  802.5010 1154.410
6    33.19009  978.9496  803.2319 1154.667
7    33.20811  979.4436  803.9627 1154.924
8    33.22613  979.9375  804.6934 1155.182
9    33.24414  980.4315  805.4239 1155.439
10   33.26216  980.9254  806.1543 1155.697
11   33.28018  981.4194  806.8846 1155.954
12   33.29820  981.9133  807.6147 1156.212
13   33.31622  982.4072  808.3446 1156.470
14   33.33423  982.9012  809.0745 1156.728
15   33.35225  983.3951  809.8042 1156.986
16   33.37027  983.8891  810.5337 1157.244
17   33.38829  984.3830  811.2631 1157.503
18   33.40631  984.8770  811.9924 1157.762
19   33.42432  985.3709  812.7215 1158.020
20   33.44234  985.8648  813.4504 1158.279
21   33.46036  986.3588  814.1792 1158.538
22   33.47838  986.8527  814.9079 1158.798
23   33.49640  987.3467  815.6364 1159.057
24   33.51441  987.8406  816.3648 1159.316
25   33.53243  988.3345  817.0931 1159.576
26   33.55045  988.8285  817.8211 1159.836
27   33.56847  989.3224  818.5491 1160.096
28   33.58649  989.8164  819.2769 1160.356
29   33.60450  990.3103  820.0045 1160.616
30   33.62252  990.8043  820.7320 1160.877
31   33.64054  991.2982  821.4593 1161.137
32   33.65856  991.7921  822.1865 1161.398
33   33.67658  992.2861  822.9135 1161.659
34   33.69459  992.7800  823.6404 1161.920
35   33.71261  993.2740  824.3671 1162.181
36   33.73063  993.7679  825.0937 1162.442
37   33.74865  994.2619  825.8201 1162.704
38   33.76667  994.7558  826.5463 1162.965
39   33.78468  995.2497  827.2724 1163.227
40   33.80270  995.7437  827.9984 1163.489
41   33.82072  996.2376  828.7241 1163.751
42   33.83874  996.7316  829.4498 1164.013
43   33.85676  997.2255  830.1752 1164.276
44   33.87477  997.7194  830.9005 1164.538
45   33.89279  998.2134  831.6257 1164.801
46   33.91081  998.7073  832.3507 1165.064
47   33.92883  999.2013  833.0755 1165.327
48   33.94685  999.6952  833.8001 1165.590
49   33.96486 1000.1892  834.5246 1165.854
50   33.98288 1000.6831  835.2490 1166.117
51   34.00090 1001.1770  835.9731 1166.381
52   34.01892 1001.6710  836.6971 1166.645
53   34.03694 1002.1649  837.4209 1166.909
54   34.05495 1002.6589  838.1446 1167.173
55   34.07297 1003.1528  838.8681 1167.438
56   34.09099 1003.6468  839.5914 1167.702
57   34.10901 1004.1407  840.3146 1167.967
58   34.12703 1004.6346  841.0376 1168.232
59   34.14505 1005.1286  841.7604 1168.497
60   34.16306 1005.6225  842.4831 1168.762
61   34.18108 1006.1165  843.2055 1169.027
62   34.19910 1006.6104  843.9279 1169.293
63   34.21712 1007.1043  844.6500 1169.559
64   34.23514 1007.5983  845.3719 1169.825
65   34.25315 1008.0922  846.0937 1170.091
66   34.27117 1008.5862  846.8153 1170.357
67   34.28919 1009.0801  847.5368 1170.623
68   34.30721 1009.5741  848.2580 1170.890
69   34.32523 1010.0680  848.9791 1171.157
70   34.34324 1010.5619  849.7000 1171.424
71   34.36126 1011.0559  850.4207 1171.691
72   34.37928 1011.5498  851.1413 1171.958
73   34.39730 1012.0438  851.8616 1172.226
74   34.41532 1012.5377  852.5818 1172.494
75   34.43333 1013.0317  853.3018 1172.762
76   34.45135 1013.5256  854.0216 1173.030
77   34.46937 1014.0195  854.7412 1173.298
78   34.48739 1014.5135  855.4607 1173.566
79   34.50541 1015.0074  856.1800 1173.835
80   34.52342 1015.5014  856.8990 1174.104
81   34.54144 1015.9953  857.6179 1174.373
82   34.55946 1016.4892  858.3366 1174.642
83   34.57748 1016.9832  859.0551 1174.911
84   34.59550 1017.4771  859.7734 1175.181
85   34.61351 1017.9711  860.4916 1175.451
86   34.63153 1018.4650  861.2095 1175.721
87   34.64955 1018.9590  861.9273 1175.991
88   34.66757 1019.4529  862.6448 1176.261
89   34.68559 1019.9468  863.3622 1176.532
90   34.70360 1020.4408  864.0794 1176.802
91   34.72162 1020.9347  864.7963 1177.073
92   34.73964 1021.4287  865.5131 1177.344
93   34.75766 1021.9226  866.2297 1177.616
94   34.77568 1022.4166  866.9461 1177.887
95   34.79369 1022.9105  867.6622 1178.159
96   34.81171 1023.4044  868.3782 1178.431
97   34.82973 1023.8984  869.0940 1178.703
98   34.84775 1024.3923  869.8096 1178.975
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101  34.90180 1025.8741  871.9551 1179.793
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120  35.24414 1035.2590  885.4998 1185.018
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276  38.05495 1112.3140  992.9495 1231.679
277  38.07297 1112.8080  993.6104 1232.006
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283  38.18108 1115.7716  997.5665 1233.977
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455  41.28018 1200.7297 1102.3612 1299.098
456  41.29820 1201.2236 1102.9115 1299.536
457  41.31622 1201.7175 1103.4610 1299.974
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637  44.55946 1290.6271 1189.1223 1392.132
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994  50.99189 1466.9645 1302.7027 1631.226
995  51.00991 1467.4584 1302.9671 1631.950
996  51.02793 1467.9523 1303.2313 1632.673
997  51.04595 1468.4463 1303.4954 1633.397
998  51.06396 1468.9402 1303.7593 1634.121
999  51.08198 1469.4342 1304.0231 1634.845
1000 51.10000 1469.9281 1304.2866 1635.570

eirasagree::ConfidenceBand(IV=Dados.M$MassaMagra,
                           DV=Dados.M$TaxaMetab,
                           method="lm_robust",
                           txtleg="M",
                           alpha = alfa.Bonf,
                           lty1=2, 
                           lty2=3,
                           xyleg=c(35,1800),
                           plot=TRUE,
                           add=TRUE)

$data
    IV   DV
1 62.0 1792
2 62.9 1666
3 47.4 1362
4 48.7 1614
5 51.9 1460
6 51.9 1867
7 46.9 1439

$regression

Call:
estimatr::lm_robust(formula = DV ~ IV)

Standard error type:  HC2 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) CI Lower CI Upper DF
(Intercept)   710.50    387.833   1.832  0.12644 -286.453  1707.46  5
IV             16.75      7.008   2.390  0.06236   -1.263    34.77  5

Multiple R-squared:  0.3505 ,   Adjusted R-squared:  0.2206 
F-statistic: 5.714 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.06236

$coefficients
             Estimate Std. Error  t value   Pr(>|t|)    CI Lower   CI Upper DF
(Intercept) 710.50279 387.832720 1.831983 0.12644478 -286.452952 1707.45854  5
IV           16.75136   7.008013 2.390315 0.06236338   -1.263312   34.76603  5

$conf.band
           IV       DV      lwr      upr
1    46.90000 1496.142 1075.629 1916.654
2    46.91602 1496.410 1076.399 1916.421
3    46.93203 1496.678 1077.168 1916.188
4    46.94805 1496.946 1077.937 1915.956
5    46.96406 1497.215 1078.704 1915.725
6    46.98008 1497.483 1079.472 1915.494
7    46.99610 1497.751 1080.238 1915.265
8    47.01211 1498.020 1081.004 1915.035
9    47.02813 1498.288 1081.769 1914.807
10   47.04414 1498.556 1082.533 1914.579
11   47.06016 1498.824 1083.297 1914.352
12   47.07618 1499.093 1084.060 1914.126
13   47.09219 1499.361 1084.822 1913.900
14   47.10821 1499.629 1085.583 1913.676
15   47.12422 1499.898 1086.344 1913.452
16   47.14024 1500.166 1087.104 1913.228
17   47.15626 1500.434 1087.863 1913.006
18   47.17227 1500.702 1088.621 1912.784
19   47.18829 1500.971 1089.379 1912.563
20   47.20430 1501.239 1090.136 1912.342
21   47.22032 1501.507 1090.892 1912.123
22   47.23634 1501.776 1091.648 1911.904
23   47.25235 1502.044 1092.402 1911.686
24   47.26837 1502.312 1093.156 1911.468
25   47.28438 1502.581 1093.910 1911.251
26   47.30040 1502.849 1094.662 1911.036
27   47.31642 1503.117 1095.414 1910.820
28   47.33243 1503.385 1096.165 1910.606
29   47.34845 1503.654 1096.915 1910.393
30   47.36446 1503.922 1097.664 1910.180
31   47.38048 1504.190 1098.413 1909.968
32   47.39650 1504.459 1099.161 1909.756
33   47.41251 1504.727 1099.908 1909.546
34   47.42853 1504.995 1100.654 1909.336
35   47.44454 1505.263 1101.399 1909.127
36   47.46056 1505.532 1102.144 1908.919
37   47.47658 1505.800 1102.888 1908.712
38   47.49259 1506.068 1103.631 1908.505
39   47.50861 1506.337 1104.374 1908.300
40   47.52462 1506.605 1105.115 1908.095
41   47.54064 1506.873 1105.856 1907.891
42   47.55666 1507.141 1106.596 1907.687
43   47.57267 1507.410 1107.335 1907.485
44   47.58869 1507.678 1108.073 1907.283
45   47.60470 1507.946 1108.811 1907.082
46   47.62072 1508.215 1109.547 1906.882
47   47.63674 1508.483 1110.283 1906.683
48   47.65275 1508.751 1111.018 1906.484
49   47.66877 1509.019 1111.752 1906.287
50   47.68478 1509.288 1112.486 1906.090
51   47.70080 1509.556 1113.218 1905.894
52   47.71682 1509.824 1113.950 1905.699
53   47.73283 1510.093 1114.681 1905.504
54   47.74885 1510.361 1115.411 1905.311
55   47.76486 1510.629 1116.140 1905.118
56   47.78088 1510.898 1116.869 1904.926
57   47.79690 1511.166 1117.596 1904.736
58   47.81291 1511.434 1118.323 1904.545
59   47.82893 1511.702 1119.049 1904.356
60   47.84494 1511.971 1119.773 1904.168
61   47.86096 1512.239 1120.498 1903.980
62   47.87698 1512.507 1121.221 1903.794
63   47.89299 1512.776 1121.943 1903.608
64   47.90901 1513.044 1122.665 1903.423
65   47.92503 1513.312 1123.385 1903.239
66   47.94104 1513.580 1124.105 1903.056
67   47.95706 1513.849 1124.824 1902.874
68   47.97307 1514.117 1125.542 1902.692
69   47.98909 1514.385 1126.259 1902.512
70   48.00511 1514.654 1126.975 1902.332
71   48.02112 1514.922 1127.691 1902.153
72   48.03714 1515.190 1128.405 1901.975
73   48.05315 1515.458 1129.118 1901.798
74   48.06917 1515.727 1129.831 1901.622
75   48.08519 1515.995 1130.543 1901.447
76   48.10120 1516.263 1131.254 1901.273
77   48.11722 1516.532 1131.964 1901.100
78   48.13323 1516.800 1132.673 1900.927
79   48.14925 1517.068 1133.381 1900.756
80   48.16527 1517.336 1134.088 1900.585
81   48.18128 1517.605 1134.794 1900.415
82   48.19730 1517.873 1135.499 1900.247
83   48.21331 1518.141 1136.204 1900.079
84   48.22933 1518.410 1136.907 1899.912
85   48.24535 1518.678 1137.610 1899.746
86   48.26136 1518.946 1138.311 1899.581
87   48.27738 1519.215 1139.012 1899.417
88   48.29339 1519.483 1139.712 1899.254
89   48.30941 1519.751 1140.411 1899.092
90   48.32543 1520.019 1141.108 1898.930
91   48.34144 1520.288 1141.805 1898.770
92   48.35746 1520.556 1142.501 1898.611
93   48.37347 1520.824 1143.196 1898.452
94   48.38949 1521.093 1143.890 1898.295
95   48.40551 1521.361 1144.583 1898.139
96   48.42152 1521.629 1145.275 1897.983
97   48.43754 1521.897 1145.966 1897.829
98   48.45355 1522.166 1146.656 1897.675
99   48.46957 1522.434 1147.345 1897.523
100  48.48559 1522.702 1148.034 1897.371
101  48.50160 1522.971 1148.721 1897.220
102  48.51762 1523.239 1149.407 1897.071
103  48.53363 1523.507 1150.092 1896.922
104  48.54965 1523.775 1150.776 1896.775
105  48.56567 1524.044 1151.459 1896.628
106  48.58168 1524.312 1152.142 1896.482
107  48.59770 1524.580 1152.823 1896.338
108  48.61371 1524.849 1153.503 1896.194
109  48.62973 1525.117 1154.182 1896.052
110  48.64575 1525.385 1154.860 1895.910
111  48.66176 1525.653 1155.537 1895.770
112  48.67778 1525.922 1156.213 1895.630
113  48.69379 1526.190 1156.888 1895.492
114  48.70981 1526.458 1157.562 1895.354
115  48.72583 1526.727 1158.235 1895.218
116  48.74184 1526.995 1158.907 1895.082
117  48.75786 1527.263 1159.578 1894.948
118  48.77387 1527.532 1160.248 1894.815
119  48.78989 1527.800 1160.917 1894.683
120  48.80591 1528.068 1161.585 1894.551
121  48.82192 1528.336 1162.252 1894.421
122  48.83794 1528.605 1162.917 1894.292
123  48.85395 1528.873 1163.582 1894.164
124  48.86997 1529.141 1164.245 1894.037
125  48.88599 1529.410 1164.908 1893.911
126  48.90200 1529.678 1165.569 1893.786
127  48.91802 1529.946 1166.230 1893.663
128  48.93403 1530.214 1166.889 1893.540
129  48.95005 1530.483 1167.547 1893.418
130  48.96607 1530.751 1168.204 1893.298
131  48.98208 1531.019 1168.860 1893.179
132  48.99810 1531.288 1169.515 1893.060
133  49.01411 1531.556 1170.169 1892.943
134  49.03013 1531.824 1170.821 1892.827
135  49.04615 1532.092 1171.473 1892.712
136  49.06216 1532.361 1172.124 1892.598
137  49.07818 1532.629 1172.773 1892.485
138  49.09419 1532.897 1173.421 1892.373
139  49.11021 1533.166 1174.068 1892.263
140  49.12623 1533.434 1174.714 1892.153
141  49.14224 1533.702 1175.359 1892.045
142  49.15826 1533.970 1176.003 1891.938
143  49.17427 1534.239 1176.646 1891.832
144  49.19029 1534.507 1177.287 1891.727
145  49.20631 1534.775 1177.928 1891.623
146  49.22232 1535.044 1178.567 1891.520
147  49.23834 1535.312 1179.205 1891.419
148  49.25435 1535.580 1179.842 1891.318
149  49.27037 1535.848 1180.478 1891.219
150  49.28639 1536.117 1181.112 1891.121
151  49.30240 1536.385 1181.746 1891.024
152  49.31842 1536.653 1182.378 1890.928
153  49.33443 1536.922 1183.009 1890.834
154  49.35045 1537.190 1183.639 1890.740
155  49.36647 1537.458 1184.268 1890.648
156  49.38248 1537.727 1184.896 1890.557
157  49.39850 1537.995 1185.522 1890.467
158  49.41451 1538.263 1186.148 1890.379
159  49.43053 1538.531 1186.772 1890.291
160  49.44655 1538.800 1187.395 1890.205
161  49.46256 1539.068 1188.016 1890.120
162  49.47858 1539.336 1188.637 1890.036
163  49.49459 1539.605 1189.256 1889.953
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167  49.55866 1540.678 1191.721 1889.634
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169  49.59069 1541.214 1192.946 1889.482
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171  49.62272 1541.751 1194.167 1889.335
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185  49.84695 1545.507 1202.569 1888.445
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349  52.47357 1589.507 1279.760 1899.253
350  52.48959 1589.775 1280.096 1899.453
351  52.50561 1590.043 1280.431 1899.656
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512  55.08418 1633.238 1311.557 1954.919
513  55.10020 1633.506 1311.614 1955.398
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537  55.48458 1639.945 1312.535 1967.355
538  55.50060 1640.213 1312.554 1967.872
539  55.51662 1640.482 1312.572 1968.391
540  55.53263 1640.750 1312.589 1968.911
541  55.54865 1641.018 1312.604 1969.432
542  55.56466 1641.286 1312.618 1969.955
543  55.58068 1641.555 1312.630 1970.480
544  55.59670 1641.823 1312.641 1971.005
545  55.61271 1642.091 1312.650 1971.533
546  55.62873 1642.360 1312.658 1972.061
547  55.64474 1642.628 1312.664 1972.591
548  55.66076 1642.896 1312.669 1973.123
549  55.67678 1643.165 1312.673 1973.656
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551  55.70881 1643.701 1312.676 1974.727
552  55.72482 1643.969 1312.675 1975.264
553  55.74084 1644.238 1312.673 1975.803
554  55.75686 1644.506 1312.669 1976.343
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561  55.86897 1646.384 1312.604 1980.164
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912  61.49059 1740.554 1245.800 2235.307
913  61.50661 1740.822 1245.491 2236.153
914  61.52262 1741.090 1245.181 2237.000
915  61.53864 1741.359 1244.871 2237.847
916  61.55465 1741.627 1244.560 2238.694
917  61.57067 1741.895 1244.249 2239.542
918  61.58669 1742.164 1243.938 2240.390
919  61.60270 1742.432 1243.626 2241.238
920  61.61872 1742.700 1243.313 2242.087
921  61.63473 1742.968 1243.001 2242.936
922  61.65075 1743.237 1242.687 2243.786
923  61.66677 1743.505 1242.374 2244.636
924  61.68278 1743.773 1242.060 2245.487
925  61.69880 1744.042 1241.745 2246.338
926  61.71481 1744.310 1241.431 2247.189
927  61.73083 1744.578 1241.115 2248.041
928  61.74685 1744.846 1240.800 2248.893
929  61.76286 1745.115 1240.484 2249.746
930  61.77888 1745.383 1240.167 2250.599
931  61.79489 1745.651 1239.850 2251.452
932  61.81091 1745.920 1239.533 2252.306
933  61.82693 1746.188 1239.216 2253.160
934  61.84294 1746.456 1238.898 2254.015
935  61.85896 1746.724 1238.579 2254.870
936  61.87497 1746.993 1238.260 2255.725
937  61.89099 1747.261 1237.941 2256.581
938  61.90701 1747.529 1237.621 2257.437
939  61.92302 1747.798 1237.301 2258.294
940  61.93904 1748.066 1236.981 2259.151
941  61.95506 1748.334 1236.660 2260.008
942  61.97107 1748.603 1236.339 2260.866
943  61.98709 1748.871 1236.018 2261.724
944  62.00310 1749.139 1235.696 2262.583
945  62.01912 1749.407 1235.373 2263.441
946  62.03514 1749.676 1235.051 2264.301
947  62.05115 1749.944 1234.728 2265.160
948  62.06717 1750.212 1234.404 2266.020
949  62.08318 1750.481 1234.080 2266.881
950  62.09920 1750.749 1233.756 2267.742
951  62.11522 1751.017 1233.431 2268.603
952  62.13123 1751.285 1233.106 2269.464
953  62.14725 1751.554 1232.781 2270.326
954  62.16326 1751.822 1232.455 2271.189
955  62.17928 1752.090 1232.129 2272.051
956  62.19530 1752.359 1231.803 2272.914
957  62.21131 1752.627 1231.476 2273.778
958  62.22733 1752.895 1231.149 2274.641
959  62.24334 1753.163 1230.821 2275.506
960  62.25936 1753.432 1230.493 2276.370
961  62.27538 1753.700 1230.165 2277.235
962  62.29139 1753.968 1229.837 2278.100
963  62.30741 1754.237 1229.508 2278.966
964  62.32342 1754.505 1229.178 2279.832
965  62.33944 1754.773 1228.848 2280.698
966  62.35546 1755.041 1228.518 2281.565
967  62.37147 1755.310 1228.188 2282.432
968  62.38749 1755.578 1227.857 2283.299
969  62.40350 1755.846 1227.526 2284.167
970  62.41952 1756.115 1227.195 2285.035
971  62.43554 1756.383 1226.863 2285.903
972  62.45155 1756.651 1226.531 2286.772
973  62.46757 1756.919 1226.198 2287.641
974  62.48358 1757.188 1225.865 2288.510
975  62.49960 1757.456 1225.532 2289.380
976  62.51562 1757.724 1225.198 2290.250
977  62.53163 1757.993 1224.864 2291.121
978  62.54765 1758.261 1224.530 2291.992
979  62.56366 1758.529 1224.196 2292.863
980  62.57968 1758.798 1223.861 2293.734
981  62.59570 1759.066 1223.525 2294.606
982  62.61171 1759.334 1223.190 2295.478
983  62.62773 1759.602 1222.854 2296.351
984  62.64374 1759.871 1222.518 2297.224
985  62.65976 1760.139 1222.181 2298.097
986  62.67578 1760.407 1221.844 2298.971
987  62.69179 1760.676 1221.507 2299.844
988  62.70781 1760.944 1221.169 2300.719
989  62.72382 1761.212 1220.831 2301.593
990  62.73984 1761.480 1220.493 2302.468
991  62.75586 1761.749 1220.154 2303.343
992  62.77187 1762.017 1219.815 2304.219
993  62.78789 1762.285 1219.476 2305.095
994  62.80390 1762.554 1219.136 2305.971
995  62.81992 1762.822 1218.797 2306.847
996  62.83594 1763.090 1218.456 2307.724
997  62.85195 1763.358 1218.116 2308.601
998  62.86797 1763.627 1217.775 2309.479
999  62.88398 1763.895 1217.434 2310.356
1000 62.90000 1764.163 1217.092 2311.234

regMc <- lm(TaxaMetab ~ scale(MassaMagra, scale=FALSE),
            data=Dados.M)
print(summary(regMc))


Call:
lm(formula = TaxaMetab ~ scale(MassaMagra, scale = FALSE), data = Dados.M)

Residuals:
      1       2       7      10      13      18      19 
  42.91  -98.16 -142.52   87.71 -119.90  287.10  -57.14 

Coefficients:
                                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)                       1600.00      63.14  25.339 1.79e-06 ***
scale(MassaMagra, scale = FALSE)    16.75      10.20   1.643    0.161    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 167.1 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.3505,    Adjusted R-squared:  0.2206 
F-statistic: 2.699 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.1614

regFc <- lm(TaxaMetab ~ scale(MassaMagra, scale=FALSE),
            data=Dados.F)
print(summary(regFc))


Call:
lm(formula = TaxaMetab ~ scale(MassaMagra, scale = FALSE), data = Dados.F)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-122.93  -63.54   10.30   35.94  197.54 

Coefficients:
                                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)                      1235.083     25.736   47.99 3.72e-13 ***
scale(MassaMagra, scale = FALSE)   27.414      4.386    6.25 9.51e-05 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 89.15 on 10 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7962,    Adjusted R-squared:  0.7758 
F-statistic: 39.06 on 1 and 10 DF,  p-value: 9.507e-05

car::confidenceEllipse(lm(TaxaMetab~MassaMagra, data=Dados.M),
                       main="Elipse de confianca de 95% Bonferroni
M:blue F:red",
                       col="blue",
                       levels=1-alfa, 
                       Scheffe=FALSE,
                       center.cex=1,
                       grid=FALSE,
                       fill=TRUE,
                       fill.alpha=0.05)

car::confidenceEllipse(lm(TaxaMetab~MassaMagra, data=Dados.F),
                       col="red",
                       levels=1-alfa,
                       Scheffe=FALSE,
                       center.cex=1,
                       grid=FALSE,
                       fill=TRUE,
                       fill.alpha=0.05,
                       add=TRUE)

abline(h=0, v=0, lty=2)

cat("\n# Teste de paralelismo (igualdade de inclinacoes)\n")


# Teste de paralelismo (igualdade de inclinacoes)

modelo_com_interacao <- lm(TaxaMetab ~ MassaMagra * Sexo, data=Dados)
print(summary(modelo_com_interacao))


Call:
lm(formula = TaxaMetab ~ MassaMagra * Sexo, data = Dados)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-142.517  -80.942    5.468   40.027  287.102 

Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        69.084    255.264   0.271 0.790360    
MassaMagra         27.414      5.945   4.611 0.000339 ***
SexoM             641.419    469.717   1.366 0.192211    
MassaMagra:SexoM  -10.662      9.473  -1.126 0.278061    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 120.8 on 15 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8165,    Adjusted R-squared:  0.7798 
F-statistic: 22.25 on 3 and 15 DF,  p-value: 8.911e-06

modelo_sem_interacao <- lm(TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo, data=Dados)
print(anova(modelo_sem_interacao, modelo_com_interacao))

Analysis of Variance Table

Model 1: TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo
Model 2: TaxaMetab ~ MassaMagra * Sexo
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     16 237530                           
2     15 219033  1     18498 1.2668 0.2781

cat("\n# Teste de igualdade das retas de regressão: interceptos iguais supondo paralelismo\n")


# Teste de igualdade das retas de regressão: interceptos iguais supondo paralelismo

modelo_diferentes_interceptos <- lm(TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo, data=Dados)
print(summary(modelo_diferentes_interceptos))


Call:
lm(formula = TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo, data = Dados)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-161.502  -96.915   -0.131   42.351  294.857 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  247.693    201.601   1.229 0.236977    
MassaMagra    23.215      4.667   4.974 0.000138 ***
SexoM        119.617     76.092   1.572 0.135515    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 121.8 on 16 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.801, Adjusted R-squared:  0.7761 
F-statistic:  32.2 on 2 and 16 DF,  p-value: 2.461e-06

modelo_intercepto_comum <- lm(TaxaMetab ~ MassaMagra, data=Dados)
print(anova(modelo_intercepto_comum, modelo_diferentes_interceptos))

Analysis of Variance Table

Model 1: TaxaMetab ~ MassaMagra
Model 2: TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     17 274217                           
2     16 237530  1     36686 2.4712 0.1355

cat("Teste de correlacoes em duas condicoes independentes\n")

Teste de correlacoes em duas condicoes independentes

Dados$MassaMagra.z[Dados$Sexo=="F"] <- scale(Dados$MassaMagra[Dados$Sexo=="F"])
Dados$TaxaMetab.z[Dados$Sexo=="F"] <- scale(Dados$TaxaMetab[Dados$Sexo=="F"])
Dados$MassaMagra.z[Dados$Sexo=="M"] <- scale(Dados$MassaMagra[Dados$Sexo=="M"])
Dados$TaxaMetab.z[Dados$Sexo=="M"] <- scale(Dados$TaxaMetab[Dados$Sexo=="M"])

n.F <- nrow(Dados.F)
n.M <- nrow(Dados.M)
n <- n.F + n.M

car::dataEllipse(Dados$MassaMagra.z, Dados$TaxaMetab.z,
                 groups=Dados$Sexo,
                 group.labels=c("F", "M"),
                 levels=c(1-alfa.Bonf),
                 robust=TRUE,
                 asp=1,
                 main=paste("Elipses de predição 95% Bonferroni
n=",n," (Fem=",n.F,", Masc=",n.M,")", sep=""),
                 xlab="Massa corporal magra (z)",
                 ylab="Taxa metabolica (z)",
                 xlim=c(-4,4), ylim=c(-4,4))

cor.F <- cor(Dados.F$MassaMagra, Dados.F$TaxaMetab)
cor.M <- cor(Dados.M$MassaMagra, Dados.M$TaxaMetab)

cat("\nCorrelacao de Massa Magra e Taxa Metabolica (Feminino) = ", 
    round(cor.F,2), "\n", sep="")


Correlacao de Massa Magra e Taxa Metabolica (Feminino) = 0.89

cat("\nCorrelacao de Massa Magra e Taxa Metabolica (Masculino) = ", 
    round(cor.M,2), "\n\n", sep="")


Correlacao de Massa Magra e Taxa Metabolica (Masculino) = 0.59

cor_test <- psych::r.test(n=n.F, r12=cor.F, n2=n.M, r34=cor.M)

print(cor_test, digits=4)

Correlation tests 
Call:psych::r.test(n = n.F, r12 = cor.F, r34 = cor.M, n2 = n.M)
Test of difference between two independent correlations 
 z value 1.2517    with probability  0.2107

3.33 APEx 16270: Taxa metabólica e massa corporal total: intercepto

As Pessoas Mais Pesadas Queimam Mais Energia?

A taxa metabólica, a taxa pela qual o corpo consome energia, é importante em estudos de ganho de massa corporal total, dietas e exercícios.

A tabela abaixo apresenta dados sobre a massa corporal magra e a taxa metabólica basal de 12 mulheres e 7 homens que são sujeitos em um estudo de dieta.

Sujeito	Sexo	Massa (kg)	Taxa (cal/dia)
1	M	62.0	1792
2	M	62.9	1666
3	F	36.1	995
4	F	48.5	1425
5	F	48.6	1396
6	F	42.0	1418
7	M	47.4	1362
8	F	50.6	1502
9	F	42.0	1256
10	M	48.7	1614
11	F	40.3	1189
12	F	33.1	913
13	M	51.9	1460
14	F	42.4	1124
15	F	34.5	1052
16	F	51.1	1347
17	F	41.2	1204
18	M	51.9	1867
19	M	46.9	1439

Fonte: Consortium for Mathematics and its Applications - COMAP (2003) For all practical purposes: Mathematical literacy in today´s world. 6th ed. USA: WH Freeman, p. 232-3.

Qual é o resultado do teste da hipótese nula de que as retas de regressão linear simples dos grupos masculino e feminino têm o mesmo intercepto, assumindo que são paralelas?

A. Rejeitamos a hipótese nula. As retas de regressão têm diferentes interceptos para os grupos masculino e feminino.

B. Não rejeitamos a hipótese nula. As retas de regressão podem ter o mesmo intercepto para os grupos masculino e feminino.

C. Rejeitamos a hipótese nula. As retas de regressão têm o mesmo intercepto para os grupos masculino e feminino.

D. Não rejeitamos a hipótese nula. As retas de regressão têm diferentes interceptos para os grupos masculino e feminino.

E. O teste de igualdade de retas de regressão não pode ser realizado.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Não rejeitamos a hipótese nula. As retas de regressão podem ser paralelas, indicando que as inclinações podem ser iguais para os grupos masculino e feminino.

Teste de paralelismo (igualdade de inclinações):

Analysis of Variance Table

Model 1: TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo

Model 2: TaxaMetab ~ MassaMagra * Sexo

  Res.Df    RSS Df Sum of Sq    F Pr(>F)

1     16 237530                         

2     15 219033  1     18498 1.27   0.28

Teste de igualdade das retas de regressão: interceptos iguais supondo paralelismo:

Analysis of Variance Table

Model 1: TaxaMetab ~ MassaMagra

Model 2: TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo

  Res.Df    RSS Df Sum of Sq    F Pr(>F)

1     17 274217                         

2     16 237530  1     36686 2.47   0.14

alfa <- 0.05

sujeito <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 
             11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19)

sexo <- c("M", "M", "F", "F", "F", "F", "M", "F", "F", "M", 
          "F", "F", "M", "F", "F", "F", "F", "M", "M")

massamagra <- c(62.0, 62.9, 36.1, 48.5, 48.6, 42.0, 47.4, 50.6, 42.0, 48.7, 
                40.3, 33.1, 51.9, 42.4, 34.5, 51.1, 41.2, 51.9, 46.9)

taxametab <- c(1792, 1666, 995, 1425, 1396, 1418, 1362, 1502, 1256, 1614, 
               1189, 913, 1460, 1124, 1052, 1347, 1204, 1867, 1439)

Dados <- data.frame(Sujeito = factor(sujeito), 
                    Sexo = factor(sexo), 
                    MassaMagra = massamagra, 
                    TaxaMetab = taxametab)

Dados.M <- subset(Dados, Sexo=="M")
Dados.F <- subset(Dados, Sexo=="F")

print(Dados)

   Sujeito Sexo MassaMagra TaxaMetab
1        1    M       62.0      1792
2        2    M       62.9      1666
3        3    F       36.1       995
4        4    F       48.5      1425
5        5    F       48.6      1396
6        6    F       42.0      1418
7        7    M       47.4      1362
8        8    F       50.6      1502
9        9    F       42.0      1256
10      10    M       48.7      1614
11      11    F       40.3      1189
12      12    F       33.1       913
13      13    M       51.9      1460
14      14    F       42.4      1124
15      15    F       34.5      1052
16      16    F       51.1      1347
17      17    F       41.2      1204
18      18    M       51.9      1867
19      19    M       46.9      1439

print(summary(Dados))

    Sujeito   Sexo     MassaMagra      TaxaMetab   
 1      : 1   F:12   Min.   :33.10   Min.   : 913  
 2      : 1   M: 7   1st Qu.:41.60   1st Qu.:1196  
 3      : 1          Median :47.40   Median :1396  
 4      : 1          Mean   :46.43   Mean   :1370  
 5      : 1          3rd Qu.:50.85   3rd Qu.:1481  
 6      : 1          Max.   :62.90   Max.   :1867  
 (Other):13

print(psych::describeBy(Dados[,3:4], 
                        group=Dados$Sexo, 
                        mat=1, 
                        digits=2))

            item group1 vars  n    mean     sd median trimmed    mad    min
MassaMagra1    1      F    1 12   42.53   6.13   42.0   42.62   9.19   33.1
MassaMagra2    2      M    1  7   53.10   6.69   51.9   53.10   6.67   46.9
TaxaMetab1     3      F    2 12 1235.08 188.28 1230.0 1240.60 255.01  913.0
TaxaMetab2     4      M    2  7 1600.00 189.24 1614.0 1600.00 259.46 1362.0
               max range  skew kurtosis    se
MassaMagra1   51.1    18 -0.02    -1.46  1.77
MassaMagra2   62.9    16  0.54    -1.69  2.53
TaxaMetab1  1502.0   589 -0.22    -1.43 54.35
TaxaMetab2  1867.0   505  0.13    -1.81 71.53

car::scatterplot(TaxaMetab ~ MassaMagra|Sexo, 
                 data=Dados,
                 main="Regressao Linear Simples
Elipse de Predicao de 50%",
                 xlab="Massa corporal magra (kg)",
                 ylab="Taxa metabolica (cal)",
                 col=c("red", "blue"),
                 regLine=TRUE, 
                 ellipse=list(levels=c(.5), 
                              robust=TRUE, 
                              fill=FALSE), 
                 grid=FALSE,
                 smooth=FALSE)

alfa.Bonf <- alfa/length(unique(Dados$Sexo))

print(ggplot2::ggplot(Dados, 
                      ggplot2::aes(y = TaxaMetab, 
                                   x = MassaMagra, 
                                   group = Sexo, 
                                   linetype = Sexo,
                                   fill = Sexo,
                                   shape = Sexo)) + 
        ggplot2::geom_point() + 
        ggplot2::geom_smooth(method = estimatr::lm_robust,
                             formula = y ~ x, 
                             na.rm = TRUE,
                             color = "black", 
                             ggplot2::aes(fill = Sexo),
                             level = 1 - alfa.Bonf) + 
        ggplot2::labs(title = "Bandas de confianca de 95% Bonferroni",
                      x = "Massa corporal magra (kg)", 
                      y = "Taxa metabolica (cal)") + 
        ggplot2::theme_bw() + 
        ggplot2::theme(panel.grid.major = ggplot2::element_blank(), 
                       panel.grid.minor = ggplot2::element_blank(), 
                       panel.background = ggplot2::element_blank(), 
                       plot.background = ggplot2::element_rect(fill = "white", 
                                                               color = NA),
                       axis.line = ggplot2::element_line(color = "black")))

eirasagree::ConfidenceBand(IV=Dados.F$MassaMagra,
                           DV=Dados.F$TaxaMetab,
                           method="lm_robust",
                           txtleg="F",
                           main="Bandas de confianca de 95% Bonferroni",
                           xlab="Massa corporal magra (kg)",
                           ylab="Taxa metabolica (cal)",
                           xlim=c(min(Dados$MassaMagra)*0.9,
                                  max(Dados$MassaMagra))*1.1,
                           ylim=c(min(Dados$TaxaMetab)*0.8,
                                  max(Dados$TaxaMetab))*1.2,
                           alpha=alfa.Bonf,
                           lty1=1, 
                           lty2=3, 
                           xyleg=c(35,2000),
                           plot=TRUE,
                           add=FALSE)

$data
     IV   DV
1  36.1  995
2  48.5 1425
3  48.6 1396
4  42.0 1418
5  50.6 1502
6  42.0 1256
7  40.3 1189
8  33.1  913
9  42.4 1124
10 34.5 1052
11 51.1 1347
12 41.2 1204

$regression

Call:
estimatr::lm_robust(formula = DV ~ IV)

Standard error type:  HC2 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value  Pr(>|t|) CI Lower CI Upper DF
(Intercept)    69.08    162.707  0.4246 6.801e-01  -293.45   431.62 10
IV             27.41      3.873  7.0789 3.379e-05    18.79    36.04 10

Multiple R-squared:  0.7962 ,   Adjusted R-squared:  0.7758 
F-statistic: 50.11 on 1 and 10 DF,  p-value: 3.379e-05

$coefficients
            Estimate Std. Error   t value     Pr(>|t|)   CI Lower  CI Upper DF
(Intercept) 69.08357 162.707260 0.4245881 6.801271e-01 -293.45080 431.61794 10
IV          27.41379   3.872588 7.0789316 3.379435e-05   18.78512  36.04245 10

$conf.band
           IV        DV       lwr      upr
1    33.10000  976.4799  799.5759 1153.384
2    33.11802  976.9739  800.3074 1153.640
3    33.13604  977.4678  801.0387 1153.897
4    33.15405  977.9618  801.7699 1154.154
5    33.17207  978.4557  802.5010 1154.410
6    33.19009  978.9496  803.2319 1154.667
7    33.20811  979.4436  803.9627 1154.924
8    33.22613  979.9375  804.6934 1155.182
9    33.24414  980.4315  805.4239 1155.439
10   33.26216  980.9254  806.1543 1155.697
11   33.28018  981.4194  806.8846 1155.954
12   33.29820  981.9133  807.6147 1156.212
13   33.31622  982.4072  808.3446 1156.470
14   33.33423  982.9012  809.0745 1156.728
15   33.35225  983.3951  809.8042 1156.986
16   33.37027  983.8891  810.5337 1157.244
17   33.38829  984.3830  811.2631 1157.503
18   33.40631  984.8770  811.9924 1157.762
19   33.42432  985.3709  812.7215 1158.020
20   33.44234  985.8648  813.4504 1158.279
21   33.46036  986.3588  814.1792 1158.538
22   33.47838  986.8527  814.9079 1158.798
23   33.49640  987.3467  815.6364 1159.057
24   33.51441  987.8406  816.3648 1159.316
25   33.53243  988.3345  817.0931 1159.576
26   33.55045  988.8285  817.8211 1159.836
27   33.56847  989.3224  818.5491 1160.096
28   33.58649  989.8164  819.2769 1160.356
29   33.60450  990.3103  820.0045 1160.616
30   33.62252  990.8043  820.7320 1160.877
31   33.64054  991.2982  821.4593 1161.137
32   33.65856  991.7921  822.1865 1161.398
33   33.67658  992.2861  822.9135 1161.659
34   33.69459  992.7800  823.6404 1161.920
35   33.71261  993.2740  824.3671 1162.181
36   33.73063  993.7679  825.0937 1162.442
37   33.74865  994.2619  825.8201 1162.704
38   33.76667  994.7558  826.5463 1162.965
39   33.78468  995.2497  827.2724 1163.227
40   33.80270  995.7437  827.9984 1163.489
41   33.82072  996.2376  828.7241 1163.751
42   33.83874  996.7316  829.4498 1164.013
43   33.85676  997.2255  830.1752 1164.276
44   33.87477  997.7194  830.9005 1164.538
45   33.89279  998.2134  831.6257 1164.801
46   33.91081  998.7073  832.3507 1165.064
47   33.92883  999.2013  833.0755 1165.327
48   33.94685  999.6952  833.8001 1165.590
49   33.96486 1000.1892  834.5246 1165.854
50   33.98288 1000.6831  835.2490 1166.117
51   34.00090 1001.1770  835.9731 1166.381
52   34.01892 1001.6710  836.6971 1166.645
53   34.03694 1002.1649  837.4209 1166.909
54   34.05495 1002.6589  838.1446 1167.173
55   34.07297 1003.1528  838.8681 1167.438
56   34.09099 1003.6468  839.5914 1167.702
57   34.10901 1004.1407  840.3146 1167.967
58   34.12703 1004.6346  841.0376 1168.232
59   34.14505 1005.1286  841.7604 1168.497
60   34.16306 1005.6225  842.4831 1168.762
61   34.18108 1006.1165  843.2055 1169.027
62   34.19910 1006.6104  843.9279 1169.293
63   34.21712 1007.1043  844.6500 1169.559
64   34.23514 1007.5983  845.3719 1169.825
65   34.25315 1008.0922  846.0937 1170.091
66   34.27117 1008.5862  846.8153 1170.357
67   34.28919 1009.0801  847.5368 1170.623
68   34.30721 1009.5741  848.2580 1170.890
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70   34.34324 1010.5619  849.7000 1171.424
71   34.36126 1011.0559  850.4207 1171.691
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73   34.39730 1012.0438  851.8616 1172.226
74   34.41532 1012.5377  852.5818 1172.494
75   34.43333 1013.0317  853.3018 1172.762
76   34.45135 1013.5256  854.0216 1173.030
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78   34.48739 1014.5135  855.4607 1173.566
79   34.50541 1015.0074  856.1800 1173.835
80   34.52342 1015.5014  856.8990 1174.104
81   34.54144 1015.9953  857.6179 1174.373
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423  40.70360 1184.9235 1084.3454 1285.502
424  40.72162 1185.4175 1084.9201 1285.915
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603  43.94685 1273.8331 1174.9285 1372.738
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961  50.39730 1450.6644 1293.8786 1607.450
962  50.41532 1451.1583 1294.1490 1608.168
963  50.43333 1451.6523 1294.4191 1608.885
964  50.45135 1452.1462 1294.6891 1609.603
965  50.46937 1452.6401 1294.9589 1610.321
966  50.48739 1453.1341 1295.2285 1611.040
967  50.50541 1453.6280 1295.4979 1611.758
968  50.52342 1454.1220 1295.7671 1612.477
969  50.54144 1454.6159 1296.0361 1613.196
970  50.55946 1455.1098 1296.3049 1613.915
971  50.57748 1455.6038 1296.5735 1614.634
972  50.59550 1456.0977 1296.8420 1615.353
973  50.61351 1456.5917 1297.1103 1616.073
974  50.63153 1457.0856 1297.3784 1616.793
975  50.64955 1457.5796 1297.6463 1617.513
976  50.66757 1458.0735 1297.9140 1618.233
977  50.68559 1458.5674 1298.1815 1618.953
978  50.70360 1459.0614 1298.4489 1619.674
979  50.72162 1459.5553 1298.7161 1620.395
980  50.73964 1460.0493 1298.9831 1621.115
981  50.75766 1460.5432 1299.2499 1621.837
982  50.77568 1461.0372 1299.5165 1622.558
983  50.79369 1461.5311 1299.7830 1623.279
984  50.81171 1462.0250 1300.0493 1624.001
985  50.82973 1462.5190 1300.3154 1624.723
986  50.84775 1463.0129 1300.5814 1625.444
987  50.86577 1463.5069 1300.8471 1626.167
988  50.88378 1464.0008 1301.1127 1626.889
989  50.90180 1464.4947 1301.3782 1627.611
990  50.91982 1464.9887 1301.6434 1628.334
991  50.93784 1465.4826 1301.9085 1629.057
992  50.95586 1465.9766 1302.1734 1629.780
993  50.97387 1466.4705 1302.4381 1630.503
994  50.99189 1466.9645 1302.7027 1631.226
995  51.00991 1467.4584 1302.9671 1631.950
996  51.02793 1467.9523 1303.2313 1632.673
997  51.04595 1468.4463 1303.4954 1633.397
998  51.06396 1468.9402 1303.7593 1634.121
999  51.08198 1469.4342 1304.0231 1634.845
1000 51.10000 1469.9281 1304.2866 1635.570

eirasagree::ConfidenceBand(IV=Dados.M$MassaMagra,
                           DV=Dados.M$TaxaMetab,
                           method="lm_robust",
                           txtleg="M",
                           alpha = alfa.Bonf,
                           lty1=2, 
                           lty2=3,
                           xyleg=c(35,1800),
                           plot=TRUE,
                           add=TRUE)

$data
    IV   DV
1 62.0 1792
2 62.9 1666
3 47.4 1362
4 48.7 1614
5 51.9 1460
6 51.9 1867
7 46.9 1439

$regression

Call:
estimatr::lm_robust(formula = DV ~ IV)

Standard error type:  HC2 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) CI Lower CI Upper DF
(Intercept)   710.50    387.833   1.832  0.12644 -286.453  1707.46  5
IV             16.75      7.008   2.390  0.06236   -1.263    34.77  5

Multiple R-squared:  0.3505 ,   Adjusted R-squared:  0.2206 
F-statistic: 5.714 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.06236

$coefficients
             Estimate Std. Error  t value   Pr(>|t|)    CI Lower   CI Upper DF
(Intercept) 710.50279 387.832720 1.831983 0.12644478 -286.452952 1707.45854  5
IV           16.75136   7.008013 2.390315 0.06236338   -1.263312   34.76603  5

$conf.band
           IV       DV      lwr      upr
1    46.90000 1496.142 1075.629 1916.654
2    46.91602 1496.410 1076.399 1916.421
3    46.93203 1496.678 1077.168 1916.188
4    46.94805 1496.946 1077.937 1915.956
5    46.96406 1497.215 1078.704 1915.725
6    46.98008 1497.483 1079.472 1915.494
7    46.99610 1497.751 1080.238 1915.265
8    47.01211 1498.020 1081.004 1915.035
9    47.02813 1498.288 1081.769 1914.807
10   47.04414 1498.556 1082.533 1914.579
11   47.06016 1498.824 1083.297 1914.352
12   47.07618 1499.093 1084.060 1914.126
13   47.09219 1499.361 1084.822 1913.900
14   47.10821 1499.629 1085.583 1913.676
15   47.12422 1499.898 1086.344 1913.452
16   47.14024 1500.166 1087.104 1913.228
17   47.15626 1500.434 1087.863 1913.006
18   47.17227 1500.702 1088.621 1912.784
19   47.18829 1500.971 1089.379 1912.563
20   47.20430 1501.239 1090.136 1912.342
21   47.22032 1501.507 1090.892 1912.123
22   47.23634 1501.776 1091.648 1911.904
23   47.25235 1502.044 1092.402 1911.686
24   47.26837 1502.312 1093.156 1911.468
25   47.28438 1502.581 1093.910 1911.251
26   47.30040 1502.849 1094.662 1911.036
27   47.31642 1503.117 1095.414 1910.820
28   47.33243 1503.385 1096.165 1910.606
29   47.34845 1503.654 1096.915 1910.393
30   47.36446 1503.922 1097.664 1910.180
31   47.38048 1504.190 1098.413 1909.968
32   47.39650 1504.459 1099.161 1909.756
33   47.41251 1504.727 1099.908 1909.546
34   47.42853 1504.995 1100.654 1909.336
35   47.44454 1505.263 1101.399 1909.127
36   47.46056 1505.532 1102.144 1908.919
37   47.47658 1505.800 1102.888 1908.712
38   47.49259 1506.068 1103.631 1908.505
39   47.50861 1506.337 1104.374 1908.300
40   47.52462 1506.605 1105.115 1908.095
41   47.54064 1506.873 1105.856 1907.891
42   47.55666 1507.141 1106.596 1907.687
43   47.57267 1507.410 1107.335 1907.485
44   47.58869 1507.678 1108.073 1907.283
45   47.60470 1507.946 1108.811 1907.082
46   47.62072 1508.215 1109.547 1906.882
47   47.63674 1508.483 1110.283 1906.683
48   47.65275 1508.751 1111.018 1906.484
49   47.66877 1509.019 1111.752 1906.287
50   47.68478 1509.288 1112.486 1906.090
51   47.70080 1509.556 1113.218 1905.894
52   47.71682 1509.824 1113.950 1905.699
53   47.73283 1510.093 1114.681 1905.504
54   47.74885 1510.361 1115.411 1905.311
55   47.76486 1510.629 1116.140 1905.118
56   47.78088 1510.898 1116.869 1904.926
57   47.79690 1511.166 1117.596 1904.736
58   47.81291 1511.434 1118.323 1904.545
59   47.82893 1511.702 1119.049 1904.356
60   47.84494 1511.971 1119.773 1904.168
61   47.86096 1512.239 1120.498 1903.980
62   47.87698 1512.507 1121.221 1903.794
63   47.89299 1512.776 1121.943 1903.608
64   47.90901 1513.044 1122.665 1903.423
65   47.92503 1513.312 1123.385 1903.239
66   47.94104 1513.580 1124.105 1903.056
67   47.95706 1513.849 1124.824 1902.874
68   47.97307 1514.117 1125.542 1902.692
69   47.98909 1514.385 1126.259 1902.512
70   48.00511 1514.654 1126.975 1902.332
71   48.02112 1514.922 1127.691 1902.153
72   48.03714 1515.190 1128.405 1901.975
73   48.05315 1515.458 1129.118 1901.798
74   48.06917 1515.727 1129.831 1901.622
75   48.08519 1515.995 1130.543 1901.447
76   48.10120 1516.263 1131.254 1901.273
77   48.11722 1516.532 1131.964 1901.100
78   48.13323 1516.800 1132.673 1900.927
79   48.14925 1517.068 1133.381 1900.756
80   48.16527 1517.336 1134.088 1900.585
81   48.18128 1517.605 1134.794 1900.415
82   48.19730 1517.873 1135.499 1900.247
83   48.21331 1518.141 1136.204 1900.079
84   48.22933 1518.410 1136.907 1899.912
85   48.24535 1518.678 1137.610 1899.746
86   48.26136 1518.946 1138.311 1899.581
87   48.27738 1519.215 1139.012 1899.417
88   48.29339 1519.483 1139.712 1899.254
89   48.30941 1519.751 1140.411 1899.092
90   48.32543 1520.019 1141.108 1898.930
91   48.34144 1520.288 1141.805 1898.770
92   48.35746 1520.556 1142.501 1898.611
93   48.37347 1520.824 1143.196 1898.452
94   48.38949 1521.093 1143.890 1898.295
95   48.40551 1521.361 1144.583 1898.139
96   48.42152 1521.629 1145.275 1897.983
97   48.43754 1521.897 1145.966 1897.829
98   48.45355 1522.166 1146.656 1897.675
99   48.46957 1522.434 1147.345 1897.523
100  48.48559 1522.702 1148.034 1897.371
101  48.50160 1522.971 1148.721 1897.220
102  48.51762 1523.239 1149.407 1897.071
103  48.53363 1523.507 1150.092 1896.922
104  48.54965 1523.775 1150.776 1896.775
105  48.56567 1524.044 1151.459 1896.628
106  48.58168 1524.312 1152.142 1896.482
107  48.59770 1524.580 1152.823 1896.338
108  48.61371 1524.849 1153.503 1896.194
109  48.62973 1525.117 1154.182 1896.052
110  48.64575 1525.385 1154.860 1895.910
111  48.66176 1525.653 1155.537 1895.770
112  48.67778 1525.922 1156.213 1895.630
113  48.69379 1526.190 1156.888 1895.492
114  48.70981 1526.458 1157.562 1895.354
115  48.72583 1526.727 1158.235 1895.218
116  48.74184 1526.995 1158.907 1895.082
117  48.75786 1527.263 1159.578 1894.948
118  48.77387 1527.532 1160.248 1894.815
119  48.78989 1527.800 1160.917 1894.683
120  48.80591 1528.068 1161.585 1894.551
121  48.82192 1528.336 1162.252 1894.421
122  48.83794 1528.605 1162.917 1894.292
123  48.85395 1528.873 1163.582 1894.164
124  48.86997 1529.141 1164.245 1894.037
125  48.88599 1529.410 1164.908 1893.911
126  48.90200 1529.678 1165.569 1893.786
127  48.91802 1529.946 1166.230 1893.663
128  48.93403 1530.214 1166.889 1893.540
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142  49.15826 1533.970 1176.003 1891.938
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314  51.91301 1580.116 1266.901 1893.332
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503  54.94004 1630.823 1310.969 1950.677
504  54.95606 1631.091 1311.041 1951.142
505  54.97207 1631.360 1311.111 1951.609
506  54.98809 1631.628 1311.179 1952.077
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508  55.02012 1632.165 1311.311 1953.018
509  55.03614 1632.433 1311.375 1953.491
510  55.05215 1632.701 1311.437 1953.965
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512  55.08418 1633.238 1311.557 1954.919
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518  55.18028 1634.848 1311.878 1957.817
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877  60.93003 1731.164 1256.347 2205.980
878  60.94605 1731.432 1256.054 2206.810
879  60.96206 1731.700 1255.760 2207.641
880  60.97808 1731.969 1255.466 2208.472
881  60.99409 1732.237 1255.171 2209.303
882  61.01011 1732.505 1254.875 2210.135
883  61.02613 1732.773 1254.579 2210.967
884  61.04214 1733.042 1254.283 2211.800
885  61.05816 1733.310 1253.986 2212.634
886  61.07417 1733.578 1253.689 2213.467
887  61.09019 1733.847 1253.391 2214.302
888  61.10621 1734.115 1253.093 2215.137
889  61.12222 1734.383 1252.794 2215.972
890  61.13824 1734.651 1252.495 2216.808
891  61.15425 1734.920 1252.196 2217.644
892  61.17027 1735.188 1251.896 2218.480
893  61.18629 1735.456 1251.595 2219.317
894  61.20230 1735.725 1251.294 2220.155
895  61.21832 1735.993 1250.993 2220.993
896  61.23433 1736.261 1250.691 2221.831
897  61.25035 1736.529 1250.388 2222.670
898  61.26637 1736.798 1250.086 2223.510
899  61.28238 1737.066 1249.782 2224.350
900  61.29840 1737.334 1249.479 2225.190
901  61.31441 1737.603 1249.175 2226.031
902  61.33043 1737.871 1248.870 2226.872
903  61.34645 1738.139 1248.565 2227.713
904  61.36246 1738.407 1248.260 2228.555
905  61.37848 1738.676 1247.954 2229.398
906  61.39449 1738.944 1247.647 2230.241
907  61.41051 1739.212 1247.341 2231.084
908  61.42653 1739.481 1247.033 2231.928
909  61.44254 1739.749 1246.726 2232.772
910  61.45856 1740.017 1246.418 2233.617
911  61.47457 1740.286 1246.109 2234.462
912  61.49059 1740.554 1245.800 2235.307
913  61.50661 1740.822 1245.491 2236.153
914  61.52262 1741.090 1245.181 2237.000
915  61.53864 1741.359 1244.871 2237.847
916  61.55465 1741.627 1244.560 2238.694
917  61.57067 1741.895 1244.249 2239.542
918  61.58669 1742.164 1243.938 2240.390
919  61.60270 1742.432 1243.626 2241.238
920  61.61872 1742.700 1243.313 2242.087
921  61.63473 1742.968 1243.001 2242.936
922  61.65075 1743.237 1242.687 2243.786
923  61.66677 1743.505 1242.374 2244.636
924  61.68278 1743.773 1242.060 2245.487
925  61.69880 1744.042 1241.745 2246.338
926  61.71481 1744.310 1241.431 2247.189
927  61.73083 1744.578 1241.115 2248.041
928  61.74685 1744.846 1240.800 2248.893
929  61.76286 1745.115 1240.484 2249.746
930  61.77888 1745.383 1240.167 2250.599
931  61.79489 1745.651 1239.850 2251.452
932  61.81091 1745.920 1239.533 2252.306
933  61.82693 1746.188 1239.216 2253.160
934  61.84294 1746.456 1238.898 2254.015
935  61.85896 1746.724 1238.579 2254.870
936  61.87497 1746.993 1238.260 2255.725
937  61.89099 1747.261 1237.941 2256.581
938  61.90701 1747.529 1237.621 2257.437
939  61.92302 1747.798 1237.301 2258.294
940  61.93904 1748.066 1236.981 2259.151
941  61.95506 1748.334 1236.660 2260.008
942  61.97107 1748.603 1236.339 2260.866
943  61.98709 1748.871 1236.018 2261.724
944  62.00310 1749.139 1235.696 2262.583
945  62.01912 1749.407 1235.373 2263.441
946  62.03514 1749.676 1235.051 2264.301
947  62.05115 1749.944 1234.728 2265.160
948  62.06717 1750.212 1234.404 2266.020
949  62.08318 1750.481 1234.080 2266.881
950  62.09920 1750.749 1233.756 2267.742
951  62.11522 1751.017 1233.431 2268.603
952  62.13123 1751.285 1233.106 2269.464
953  62.14725 1751.554 1232.781 2270.326
954  62.16326 1751.822 1232.455 2271.189
955  62.17928 1752.090 1232.129 2272.051
956  62.19530 1752.359 1231.803 2272.914
957  62.21131 1752.627 1231.476 2273.778
958  62.22733 1752.895 1231.149 2274.641
959  62.24334 1753.163 1230.821 2275.506
960  62.25936 1753.432 1230.493 2276.370
961  62.27538 1753.700 1230.165 2277.235
962  62.29139 1753.968 1229.837 2278.100
963  62.30741 1754.237 1229.508 2278.966
964  62.32342 1754.505 1229.178 2279.832
965  62.33944 1754.773 1228.848 2280.698
966  62.35546 1755.041 1228.518 2281.565
967  62.37147 1755.310 1228.188 2282.432
968  62.38749 1755.578 1227.857 2283.299
969  62.40350 1755.846 1227.526 2284.167
970  62.41952 1756.115 1227.195 2285.035
971  62.43554 1756.383 1226.863 2285.903
972  62.45155 1756.651 1226.531 2286.772
973  62.46757 1756.919 1226.198 2287.641
974  62.48358 1757.188 1225.865 2288.510
975  62.49960 1757.456 1225.532 2289.380
976  62.51562 1757.724 1225.198 2290.250
977  62.53163 1757.993 1224.864 2291.121
978  62.54765 1758.261 1224.530 2291.992
979  62.56366 1758.529 1224.196 2292.863
980  62.57968 1758.798 1223.861 2293.734
981  62.59570 1759.066 1223.525 2294.606
982  62.61171 1759.334 1223.190 2295.478
983  62.62773 1759.602 1222.854 2296.351
984  62.64374 1759.871 1222.518 2297.224
985  62.65976 1760.139 1222.181 2298.097
986  62.67578 1760.407 1221.844 2298.971
987  62.69179 1760.676 1221.507 2299.844
988  62.70781 1760.944 1221.169 2300.719
989  62.72382 1761.212 1220.831 2301.593
990  62.73984 1761.480 1220.493 2302.468
991  62.75586 1761.749 1220.154 2303.343
992  62.77187 1762.017 1219.815 2304.219
993  62.78789 1762.285 1219.476 2305.095
994  62.80390 1762.554 1219.136 2305.971
995  62.81992 1762.822 1218.797 2306.847
996  62.83594 1763.090 1218.456 2307.724
997  62.85195 1763.358 1218.116 2308.601
998  62.86797 1763.627 1217.775 2309.479
999  62.88398 1763.895 1217.434 2310.356
1000 62.90000 1764.163 1217.092 2311.234

regMc <- lm(TaxaMetab ~ scale(MassaMagra, scale=FALSE),
            data=Dados.M)
print(summary(regMc))


Call:
lm(formula = TaxaMetab ~ scale(MassaMagra, scale = FALSE), data = Dados.M)

Residuals:
      1       2       7      10      13      18      19 
  42.91  -98.16 -142.52   87.71 -119.90  287.10  -57.14 

Coefficients:
                                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)                       1600.00      63.14  25.339 1.79e-06 ***
scale(MassaMagra, scale = FALSE)    16.75      10.20   1.643    0.161    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 167.1 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.3505,    Adjusted R-squared:  0.2206 
F-statistic: 2.699 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.1614

regFc <- lm(TaxaMetab ~ scale(MassaMagra, scale=FALSE),
            data=Dados.F)
print(summary(regFc))


Call:
lm(formula = TaxaMetab ~ scale(MassaMagra, scale = FALSE), data = Dados.F)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-122.93  -63.54   10.30   35.94  197.54 

Coefficients:
                                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)                      1235.083     25.736   47.99 3.72e-13 ***
scale(MassaMagra, scale = FALSE)   27.414      4.386    6.25 9.51e-05 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 89.15 on 10 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7962,    Adjusted R-squared:  0.7758 
F-statistic: 39.06 on 1 and 10 DF,  p-value: 9.507e-05

car::confidenceEllipse(lm(TaxaMetab~MassaMagra, data=Dados.M),
                       main="Elipse de confianca de 95% Bonferroni
M:blue F:red",
                       col="blue",
                       levels=1-alfa, 
                       Scheffe=FALSE,
                       center.cex=1,
                       grid=FALSE,
                       fill=TRUE,
                       fill.alpha=0.05)

car::confidenceEllipse(lm(TaxaMetab~MassaMagra, data=Dados.F),
                       col="red",
                       levels=1-alfa,
                       Scheffe=FALSE,
                       center.cex=1,
                       grid=FALSE,
                       fill=TRUE,
                       fill.alpha=0.05,
                       add=TRUE)

abline(h=0, v=0, lty=2)

cat("\n# Teste de paralelismo (igualdade de inclinacoes)\n")


# Teste de paralelismo (igualdade de inclinacoes)

modelo_com_interacao <- lm(TaxaMetab ~ MassaMagra * Sexo, data=Dados)
print(summary(modelo_com_interacao))


Call:
lm(formula = TaxaMetab ~ MassaMagra * Sexo, data = Dados)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-142.517  -80.942    5.468   40.027  287.102 

Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        69.084    255.264   0.271 0.790360    
MassaMagra         27.414      5.945   4.611 0.000339 ***
SexoM             641.419    469.717   1.366 0.192211    
MassaMagra:SexoM  -10.662      9.473  -1.126 0.278061    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 120.8 on 15 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8165,    Adjusted R-squared:  0.7798 
F-statistic: 22.25 on 3 and 15 DF,  p-value: 8.911e-06

modelo_sem_interacao <- lm(TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo, data=Dados)
print(anova(modelo_sem_interacao, modelo_com_interacao))

Analysis of Variance Table

Model 1: TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo
Model 2: TaxaMetab ~ MassaMagra * Sexo
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     16 237530                           
2     15 219033  1     18498 1.2668 0.2781

cat("\n# Teste de igualdade das retas de regressão: interceptos iguais supondo paralelismo\n")


# Teste de igualdade das retas de regressão: interceptos iguais supondo paralelismo

modelo_diferentes_interceptos <- lm(TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo, data=Dados)
print(summary(modelo_diferentes_interceptos))


Call:
lm(formula = TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo, data = Dados)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-161.502  -96.915   -0.131   42.351  294.857 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  247.693    201.601   1.229 0.236977    
MassaMagra    23.215      4.667   4.974 0.000138 ***
SexoM        119.617     76.092   1.572 0.135515    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 121.8 on 16 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.801, Adjusted R-squared:  0.7761 
F-statistic:  32.2 on 2 and 16 DF,  p-value: 2.461e-06

modelo_intercepto_comum <- lm(TaxaMetab ~ MassaMagra, data=Dados)
print(anova(modelo_intercepto_comum, modelo_diferentes_interceptos))

Analysis of Variance Table

Model 1: TaxaMetab ~ MassaMagra
Model 2: TaxaMetab ~ MassaMagra + Sexo
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1     17 274217                           
2     16 237530  1     36686 2.4712 0.1355

cat("Teste de correlacoes em duas condicoes independentes\n")

Teste de correlacoes em duas condicoes independentes

Dados$MassaMagra.z[Dados$Sexo=="F"] <- scale(Dados$MassaMagra[Dados$Sexo=="F"])
Dados$TaxaMetab.z[Dados$Sexo=="F"] <- scale(Dados$TaxaMetab[Dados$Sexo=="F"])
Dados$MassaMagra.z[Dados$Sexo=="M"] <- scale(Dados$MassaMagra[Dados$Sexo=="M"])
Dados$TaxaMetab.z[Dados$Sexo=="M"] <- scale(Dados$TaxaMetab[Dados$Sexo=="M"])

n.F <- nrow(Dados.F)
n.M <- nrow(Dados.M)
n <- n.F + n.M

car::dataEllipse(Dados$MassaMagra.z, Dados$TaxaMetab.z,
                 groups=Dados$Sexo,
                 group.labels=c("F", "M"),
                 levels=c(1-alfa.Bonf),
                 robust=TRUE,
                 asp=1,
                 main=paste("Elipses de predição 95% Bonferroni
n=",n," (Fem=",n.F,", Masc=",n.M,")", sep=""),
                 xlab="Massa corporal magra (z)",
                 ylab="Taxa metabolica (z)",
                 xlim=c(-4,4), ylim=c(-4,4))

cor.F <- cor(Dados.F$MassaMagra, Dados.F$TaxaMetab)
cor.M <- cor(Dados.M$MassaMagra, Dados.M$TaxaMetab)

cat("\nCorrelacao de Massa Magra e Taxa Metabolica (Feminino) = ", 
    round(cor.F,2), "\n", sep="")


Correlacao de Massa Magra e Taxa Metabolica (Feminino) = 0.89

cat("\nCorrelacao de Massa Magra e Taxa Metabolica (Masculino) = ", 
    round(cor.M,2), "\n\n", sep="")


Correlacao de Massa Magra e Taxa Metabolica (Masculino) = 0.59

cor_test <- psych::r.test(n=n.F, r12=cor.F, n2=n.M, r34=cor.M)

print(cor_test, digits=4)

Correlation tests 
Call:psych::r.test(n = n.F, r12 = cor.F, r34 = cor.M, n2 = n.M)
Test of difference between two independent correlations 
 z value 1.2517    with probability  0.2107

\(t\)	\(X\)	\(Y\)
1	10	0
2	9	1
3	8	2
4	7	3
5	6	4
6	5	5
7	4	6
8	3	7
9	2	8
10	1	9
11	0	10
12	-1	-10
13	-2	-9
14	-3	-8
15	-4	-7
16	-5	-6
17	-6	-5
18	-7	-4
19	-8	-3
20	-9	-2
21	-10	-1

\(t\)	\(X\)	\(Y\)
1	10	0
2	9	1
3	8	2
4	7	3
5	6	4
6	5	5
7	4	6
8	3	7
9	2	8
10	1	9
11	0	10
12	-1	-10
13	-2	-9
14	-3	-8
15	-4	-7
16	-5	-6
17	-6	-5
18	-7	-4
19	-8	-3
20	-9	-2
21	-10	-1

Questões: Análise de Correlação e Regressão Linear SimplesSoluções

MAN5728: Tópicos Essenciais da BioestatísticaMÓDULO 8 - ESTATÍSTICA APLICADA II:ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE DADOS

José Siqueira (siqueira@usp.br) Paulo Silveira (silveira@usp.br)

21 abril 2026 14:30h

1 Gabarito

1.1 Análise de Correlação

1.2 Regressão Linear Simples

2 Análise de Correlação

2.1 APEx 7710: Motivação, desempenho e QI

2.2 APEx 7712: H0

2.3 APEx 7713: Nível de mensuração

2.4 APEx 7715: % Variância compartilhada

2.5 APEx 7717: Variáveis dicotômicas

2.6 APEx 7718: Suposição I

2.7 APEx 7824: Duas series temporais

2.8 APEx 7828: Renda e educação

2.9 APEx 7843: PCC

2.10 APEx 10525: Playboy & Estupro

2.11 APEx 10526: Teste de correlação sem dados brutos

2.12 APEx 10527: Teste de correlação sem dados brutos - II

2.13 APEx 13341: Medidas repetidas

2.14 APEx 11136: Correlação

2.15 APEx 11141: Correlação

2.16 APEx 11143: Correlação

2.17 APEx 16280: Mais associadas por Pearson

2.18 APEx 16279: Mais associadas por Spearman

2.19 APEx 16278: Menos associadas por Pearson

2.20 APEx 16276: Menos associadas por Spearman

2.21 APEx 16275: Menos associadas por Pearson

2.22 APEx 16218: Item Likert

2.23 APEx 16269: Taxa metabólica e massa corporal total: correlação

3 Regressão Linear Simples

3.1 APEx 8044: Resíduo

3.2 APEx 8046: VE - II

3.3 APEx 8047: Beta não-padronizado

3.4 APEx 8048: Beta padronizado

3.5 APEx 8049: Coeficiente de determinação

3.6 APEx 8050: Eta²

3.7 APEx 8051: Intercepto

3.8 APEx 8052: Escores-z

3.9 APEx 8053: Centradas

3.10 APEx 8054: SSE

3.11 APEx 8056: Coeficiente de determinação

3.12 APEx 8059: Coeficientes de determinação e de correlação

3.13 APEx 8179: GL - I

3.14 APEx 8180: GL - II

3.15 APEx 8181: GL - III

3.16 APEx 8182: Cúbito de Galton

3.17 APEx 9603: VE - I

3.18 APEx 9604: Distribuição da VD

3.19 APEx 10144: Regressão Linear Simples

3.20 APEx 10145: Regressão Linear Simples

3.21 APEx 11142: Correlação

3.22 APEx 11144: Correlação

3.23 APEx 11810: Resíduos

3.24 APEx 16281: \(R^2\) e significância de inclinação

3.25 APEx 15307: Distúrbio do sono - II

3.26 APEx 12432: Distúrbio do sono – II

3.26.1 Teste da inclinação com VI dicotômica usando estatísticas-resumo

3.26.1.1 1) OLS homocedástico (equivalente ao teste t de Student)

3.26.1.2 2) Teste \(t\) de Student (diferença de médias)

3.26.1.3 3) Teste \(t\) de Welch (variâncias desiguais)

3.27 APEx 14871: A reta da ruína do rim

3.28 APEx 14871: A reta da ruína do rim

3.29 APEx 16274: Elasticidade

3.30 APEx 16273: Elasticidade

3.31 APEx 16272: Elasticidade

3.32 APEx 16271: Taxa metabólica e massa corporal total: inclinação

3.33 APEx 16270: Taxa metabólica e massa corporal total: intercepto

Questões: Análise de Correlação e Regressão Linear Simples
Soluções

MAN5728: Tópicos Essenciais da Bioestatística
MÓDULO 8 - ESTATÍSTICA APLICADA II:
ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE DADOS

José Siqueira (siqueira@usp.br)
Paulo Silveira (silveira@usp.br)

2.2 APEx 7712: H₀

\(t\)	\(X\)	\(Y\)
1	10	0
2	9	1
3	8	2
4	7	3
5	6	4
6	5	5
7	4	6
8	3	7
9	2	8
10	1	9
11	0	10
12	-1	-10
13	-2	-9
14	-3	-8
15	-4	-7
16	-5	-6
17	-6	-5
18	-7	-4
19	-8	-3
20	-9	-2
21	-10	-1