1 📚 CORTE 3 - CÁLCULO INTEGRAL

2 🧮 Volúmenes por Discos y Arandelas: Nuestra Región

🎓 Mi Curso de Cálculo Integral

Tematica 1 - Corte 3: — Volúmenes de Sólidos de Revolución

Docente: Julio Hurtado Máruez

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2.1 📄 EJERCICIOS 19-30 (OJO TIENES QUE ESTUDIAR MEJOR)

2.1.1 🔷 Ejercicio 19 — R₁ alrededor de OA (eje X)

Región R₁: Bajo la curva \(y = x^3\) desde \(x=0\) hasta \(x=1\)
Eje de rotación: OA (eje X, \(y=0\))
Método: Discos

📌 Paso 1: Identificamos la función
\[f(x) = x^3, \quad x \in [0,1]\]

📌 Paso 2: Fórmula del volumen por discos
\[V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx\]

📌 Paso 3: Sustituimos
\[V = \pi \int_{0}^{1} (x^3)^2 dx = \pi \int_{0}^{1} x^6 \, dx\]

📌 Paso 4: Integramos
\[\pi \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{7}\]

✅ Respuesta final:
\[\boxed{V = \frac{\pi}{7} \approx 0.4488 \text{ unidades cúbicas}}\]

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2.2 📌 CONFIGURACIÓN GENERAL DE LA REGION Y EL SOLIDO OBTENIDO

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2.2.1 🔷 Ejercicio 20 — R₁ alrededor de OC (eje Y)

Región R₁: Bajo la curva \(y = x^3\) desde \(x=0\) hasta \(x=1\)
Eje de rotación: OC (eje Y, \(x=0\))
Método: Discos

📌 Paso 1: Expresamos \(x\) en función de \(y\)
\[y = x^3 \Rightarrow x = y^{1/3}\]

📌 Paso 2: Límites en \(y\): desde \(y=0\) hasta \(y=1\)

📌 Paso 3: Fórmula del volumen
\[V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 \, dy = \pi \int_{0}^{1} (y^{1/3})^2 dy = \pi \int_{0}^{1} y^{2/3} dy\]

📌 Paso 4: Integramos
\[V = \pi \left[ \frac{3}{5} y^{5/3} \right]_{0}^{1} = \frac{3\pi}{5}\]

✅ Respuesta final:
\[\boxed{V = \frac{3\pi}{5} \approx 1.88496 \text{ unidades cúbicas}}\]

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🐍 Código Python - Dibujo de la región R₁ con eje Y

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2.2.2 🔷 Ejercicio 21 — R₁ alrededor de AB (\(x=1\))

Región R₁: Bajo \(y = x^3\), \(x \in [0,1]\)
Eje de rotación: AB (recta vertical \(x=1\))
Método: Arandelas

📌 Paso 1: Identificamos los radios
Radio externo: \(R = 1 - 0 = 1\)
Radio interno: \(r = 1 - x = 1 - y^{1/3}\)

📌 Paso 2: Fórmula del volumen
\[V = \pi \int_{0}^{1} [R^2 - r^2] \, dy = \pi \int_{0}^{1} [1 - (1 - y^{1/3})^2] \, dy\]

📌 Paso 3: Expandimos
\[V = \pi \int_{0}^{1} [1 - (1 - 2y^{1/3} + y^{2/3})] dy = \pi \int_{0}^{1} (2y^{1/3} - y^{2/3}) dy\]

📌 Paso 4: Integramos
\[V = \pi \left[ 2 \cdot \frac{3}{4} y^{4/3} - \frac{3}{5} y^{5/3} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{3}{2} - \frac{3}{5} \right) = \pi \left( \frac{15}{10} - \frac{6}{10} \right) = \frac{9\pi}{10}\]

✅ Respuesta final:
\[\boxed{V = \frac{9\pi}{10} \approx 2.82743 \text{ unidades cúbicas}}\]

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🐍 Código Python - Dibujo de la región con eje \(x=1\)

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2.2.3 🔷 Ejercicio 22 — R₁ alrededor de BC (\(y=1\))

Región R₁: Bajo \(y = x^3\), \(x \in [0,1]\)
Eje de rotación: BC (recta horizontal \(y=1\))
Método: Arandelas

📌 Paso 1: Identificamos los radios
Radio externo: \(R = 1 - 0 = 1\)
Radio interno: \(r = 1 - y = 1 - x^3\)

📌 Paso 2: Fórmula del volumen
\[V = \pi \int_{0}^{1} [R^2 - r^2] \, dx = \pi \int_{0}^{1} [1 - (1 - x^3)^2] dx\]

📌 Paso 3: Expandimos
\[V = \pi \int_{0}^{1} [1 - (1 - 2x^3 + x^6)] dx = \pi \int_{0}^{1} (2x^3 - x^6) dx\]

📌 Paso 4: Integramos
\[V = \pi \left[ \frac{2x^4}{4} - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{7} \right) = \pi \left( \frac{7}{14} - \frac{2}{14} \right) = \frac{5\pi}{14}\]

✅ Respuesta final:
\[\boxed{V = \frac{5\pi}{14} \approx 1.12207 \text{ unidades cúbicas}}\]

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🐍 Código Python - Cálculo y animación

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2.2.4 🔷 Ejercicio 23 — R₂ alrededor de OA (eje X)

Región R₂: A la izquierda de \(x = y^2\) (equivalente a \(y = \sqrt{x}\)), \(y \in [0,1]\)
Eje de rotación: OA (eje X)
Método: Discos

📌 Paso 1: Expresamos \(y\) en función de \(x\)
\[y = \sqrt{x}, \quad x \in [0,1]\]

📌 Paso 2: Fórmula del volumen
\[V = \pi \int_{0}^{1} [f(x)]^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 dx\]

📌 Paso 3: Integramos
\[V = \pi \int_{0}^{1} x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2}\]

✅ Respuesta final:
\[\boxed{V = \frac{\pi}{2} \approx 1.57080 \text{ unidades cúbicas}}\]

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🐍 Código Python - Dibujo de la región R₂

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2.2.5 🔷 Ejercicio 24 — R₂ alrededor de OC (eje Y)

Región R₂: A la izquierda de \(x = y^2\)
Eje de rotación: OC (eje Y)
Método: Discos

📌 Paso 1: Función en términos de \(y\)
\[x = y^2, \quad y \in [0,1]\]

📌 Paso 2: Fórmula del volumen
\[V = \pi \int_{0}^{1} [g(y)]^2 \, dy = \pi \int_{0}^{1} (y^2)^2 dy = \pi \int_{0}^{1} y^4 dy\]

📌 Paso 3: Integramos
\[\pi \left[ \frac{y^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{5}\]

✅ Respuesta final:
\[\boxed{V = \frac{\pi}{5} \approx 0.62832 \text{ unidades cúbicas}}\]

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2.2.6 🔷 Ejercicio 25 — R₂ alrededor de AB (\(x=1\))

Región R₂: A la izquierda de \(x = y^2\)
Eje de rotación: AB (\(x=1\))
Método: Arandelas

📌 Paso 1: Identificamos los radios
Radio externo: \(R = 1\)
Radio interno: \(r = 1 - y^2\)

📌 Paso 2: Fórmula del volumen
\[V = \pi \int_{0}^{1} [1^2 - (1 - y^2)^2] dy\]

📌 Paso 3: Expandimos
\[V = \pi \int_{0}^{1} [1 - (1 - 2y^2 + y^4)] dy = \pi \int_{0}^{1} (2y^2 - y^4) dy\]

📌 Paso 4: Integramos
\[V = \pi \left[ \frac{2y^3}{3} - \frac{y^5}{5} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{10}{15} - \frac{3}{15} \right) = \frac{7\pi}{15}\]

✅ Respuesta final:
\[\boxed{V = \frac{7\pi}{15} \approx 1.46608 \text{ unidades cúbicas}}\]

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2.2.7 🔷 Ejercicio 26 — R₂ alrededor de BC (\(y=1\))

Región R₂: Bajo \(y = \sqrt{x}\)
Eje de rotación: BC (\(y=1\))
Método: Arandelas

📌 Paso 1: Identificamos los radios
Radio externo: \(R = 1\)
Radio interno: \(r = 1 - \sqrt{x}\)

📌 Paso 2: Fórmula del volumen
\[V = \pi \int_{0}^{1} [1^2 - (1 - \sqrt{x})^2] dx\]

📌 Paso 3: Expandimos
\[V = \pi \int_{0}^{1} [1 - (1 - 2\sqrt{x} + x)] dx = \pi \int_{0}^{1} (2\sqrt{x} - x) dx\]

📌 Paso 4: Integramos
\[V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{4}{3} - \frac{1}{2} \right) = \pi \left( \frac{8}{6} - \frac{3}{6} \right) = \frac{5\pi}{6}\]

✅ Respuesta final:
\[\boxed{V = \frac{5\pi}{6} \approx 2.61799 \text{ unidades cúbicas}}\]

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2.2.8 🔷 Ejercicio 27 — R₃ alrededor de OA (eje X)

Región R₃: Entre \(y = x^3\) (abajo) y \(y = \sqrt{x}\) (arriba)
Eje de rotación: OA (eje X)
Método: Arandelas

📌 Paso 1: Identificamos las funciones
\[f_{\text{sup}}(x) = \sqrt{x}, \quad f_{\text{inf}}(x) = x^3, \quad x \in [0,1]\]

📌 Paso 2: Fórmula del volumen
\[V = \pi \int_{0}^{1} [f_{\text{sup}}(x)^2 - f_{\text{inf}}(x)^2] \, dx\]

📌 Paso 3: Sustituimos
\[V = \pi \int_{0}^{1} \left[ (\sqrt{x})^2 - (x^3)^2 \right] dx = \pi \int_{0}^{1} \left( x - x^6 \right) dx\]

📌 Paso 4: Integramos
\[\pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{7} \right) = \pi \left( \frac{7}{14} - \frac{2}{14} \right) = \frac{5\pi}{14}\]

✅ Respuesta final:
\[\boxed{V = \frac{5\pi}{14} \approx 1.12207 \text{ unidades cúbicas}}\]

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🐍 Código Python - Dibujo de la región R₃

# Dibujo de la región R₃
x_plot = np.linspace(0, 1, 200)
y_sup = f1(x_plot)
y_inf = f2(x_plot)

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.fill_between(x_plot, y_inf, y_sup, alpha=0.3, color='purple', label='R₃')
plt.plot(x_plot, y_sup, 'g-', linewidth=2, label='y = √x')
plt.plot(x_plot, y_inf, 'b-', linewidth=2, label='y = x³')
plt.axhline(y=0, color='black', linestyle='-', linewidth=1)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Región R₃ - entre y = x³ y y = √x')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

# Cálculo del volumen
def integrand_ej27(x):
    return f1(x)**2 - f2(x)**2

volumen, error = quad(integrand_ej27, 0, 1)
volumen = volumen * np.pi
print(f"Volumen Ejercicio 27: {volumen:.4f}")
print(f"Valor exacto: 5π/14 = {5*np.pi/14:.4f}")

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2.2.9 🔷 Ejercicio 28 — R₃ alrededor de OC (eje Y)

Región R₃: Entre \(x = y^{1/3}\) y \(x = y^2\)
Eje de rotación: OC (eje Y)
Método: Arandelas

📌 Paso 1: Identificamos las funciones
\[x_{\text{der}}(y) = y^2, \quad x_{\text{izq}}(y) = y^{1/3}, \quad y \in [0,1]\]

📌 Paso 2: Fórmula del volumen
\[V = \pi \int_{0}^{1} [x_{\text{der}}(y)^2 - x_{\text{izq}}(y)^2] \, dy\]

📌 Paso 3: Sustituimos
\[V = \pi \int_{0}^{1} [(y^2)^2 - (y^{1/3})^2] dy = \pi \int_{0}^{1} (y^4 - y^{2/3}) dy\]

📌 Paso 4: Integramos
\[\pi \left[ \frac{y^5}{5} - \frac{3}{5} y^{5/3} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{5} - \frac{3}{5} \right) = -\frac{2\pi}{5}\]

✅ Respuesta final (tomando valor absoluto):
\[\boxed{V = \frac{2\pi}{5} \approx 1.25664 \text{ unidades cúbicas}}\]

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2.2.10 🔷 Ejercicio 29 — R₃ alrededor de AB (\(x=1\))

Región R₃: Entre \(x = y^{1/3}\) y \(x = y^2\)
Eje de rotación: AB (\(x=1\))
Método: Arandelas (diferencia de volúmenes)

📌 Paso 1: Identificamos los radios
Radio externo para \(x = y^2\): \(R_1 = 1\), \(r_1 = 1 - y^2\)
Radio externo para \(x = y^{1/3}\): \(R_2 = 1\), \(r_2 = 1 - y^{1/3}\)

📌 Paso 2: Fórmula del volumen (diferencia)
\[V = \pi \int_{0}^{1} [R_1^2 - r_1^2] dy - \pi \int_{0}^{1} [R_2^2 - r_2^2] dy\]

📌 Paso 3: Calculamos la diferencia
\[V = \pi \int_{0}^{1} [(2y^2 - y^4) - (2y^{1/3} - y^{2/3})] dy\]

📌 Paso 4: Integramos
\[V = \pi \left[ \frac{2y^3}{3} - \frac{y^5}{5} - \frac{3}{2} y^{4/3} + \frac{3}{5} y^{5/3} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{5} - \frac{3}{2} + \frac{3}{5} \right) = \frac{13\pi}{30}\]

✅ Respuesta final:
\[\boxed{V = \frac{13\pi}{30} \approx 1.36136 \text{ unidades cúbicas}}\]

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2.2.11 🔷 Ejercicio 30 — R₃ alrededor de BC (\(y=1\))

Región R₃: Entre \(y = x^3\) y \(y = \sqrt{x}\)
Eje de rotación: BC (\(y=1\))
Método: Arandelas (diferencia de volúmenes)

📌 Paso 1: Identificamos los radios
Radio externo: \(R = 1\)
Radio interno para \(y = \sqrt{x}\): \(r_1 = 1 - \sqrt{x}\)
Radio interno para \(y = x^3\): \(r_2 = 1 - x^3\)

📌 Paso 2: Fórmula del volumen (diferencia)
\[V = \pi \int_{0}^{1} [1^2 - (1 - \sqrt{x})^2] dx - \pi \int_{0}^{1} [1^2 - (1 - x^3)^2] dx\]

📌 Paso 3: Calculamos la diferencia
\[V = \pi \int_{0}^{1} [(2\sqrt{x} - x) - (2x^3 - x^6)] dx\]

📌 Paso 4: Integramos
\[V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{4}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{7} \right) = \frac{10\pi}{21}\]

✅ Respuesta final:
\[\boxed{V = \frac{10\pi}{21} \approx 1.49580 \text{ unidades cúbicas}}\]

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2.3 🐍 CÓDIGO COMPLETO PARA TODOS LOS EJERCICIOS 19-30 (CORREGIDO)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.animation as animation
from scipy.integrate import quad

# ============================================
# DEFINICIÓN DE FUNCIONES CORRECTAS
# ============================================

def f_sup(x): return np.sqrt(x)   # y = √x
def f_inf(x): return x**3          # y = x³
def g_sup(y): return y**2          # x = y²
def g_inf(y): return y**(1/3)      # x = y^{1/3}

# Límites CORRECTOS
a, b = 0, 1
c, d = 0, 1

# ============================================
# CÁLCULO DE VOLÚMENES
# ============================================

resultados = {}

# Ejercicio 19: R₁ alrededor eje X
V19, _ = quad(lambda x: f_inf(x)**2, a, b)
resultados[19] = V19 * np.pi

# Ejercicio 20: R₁ alrededor eje Y
V20, _ = quad(lambda y: g_inf(y)**2, c, d)
resultados[20] = V20 * np.pi

# Ejercicio 21: R₁ alrededor x=1
V21, _ = quad(lambda y: 1 - (1 - g_inf(y))**2, c, d)
resultados[21] = V21 * np.pi

# Ejercicio 22: R₁ alrededor y=1
V22, _ = quad(lambda x: 1 - (1 - f_inf(x))**2, a, b)
resultados[22] = V22 * np.pi

# Ejercicio 23: R₂ alrededor eje X
V23, _ = quad(lambda x: f_sup(x)**2, a, b)
resultados[23] = V23 * np.pi

# Ejercicio 24: R₂ alrededor eje Y
V24, _ = quad(lambda y: g_sup(y)**2, c, d)
resultados[24] = V24 * np.pi

# Ejercicio 25: R₂ alrededor x=1
V25, _ = quad(lambda y: 1 - (1 - g_sup(y))**2, c, d)
resultados[25] = V25 * np.pi

# Ejercicio 26: R₂ alrededor y=1
V26, _ = quad(lambda x: 1 - (1 - f_sup(x))**2, a, b)
resultados[26] = V26 * np.pi

# Ejercicio 27: R₃ alrededor eje X
V27, _ = quad(lambda x: f_sup(x)**2 - f_inf(x)**2, a, b)
resultados[27] = V27 * np.pi

# Ejercicio 28: R₃ alrededor eje Y
V28, _ = quad(lambda y: g_sup(y)**2 - g_inf(y)**2, c, d)
resultados[28] = abs(V28 * np.pi)

# Ejercicio 29: R₃ alrededor x=1
V29, _ = quad(lambda y: (1 - (1 - g_sup(y))**2) - (1 - (1 - g_inf(y))**2), c, d)
resultados[29] = abs(V29 * np.pi)

# Ejercicio 30: R₃ alrededor y=1
V30, _ = quad(lambda x: (1 - (1 - f_sup(x))**2) - (1 - (1 - f_inf(x))**2), a, b)
resultados[30] = V30 * np.pi

# ============================================
# IMPRESIÓN DE RESULTADOS
# ============================================

print("\n" + "="*70)
print("📊 VOLÚMENES CORREGIDOS - EJERCICIOS 19-30")
print("="*70)

resultados_exactos = {
    19: ("π/7", np.pi/7),
    20: ("3π/5", 3*np.pi/5),
    21: ("9π/10", 9*np.pi/10),
    22: ("5π/14", 5*np.pi/14),
    23: ("π/2", np.pi/2),
    24: ("π/5", np.pi/5),
    25: ("7π/15", 7*np.pi/15),
    26: ("5π/6", 5*np.pi/6),
    27: ("5π/14", 5*np.pi/14),
    28: ("2π/5", 2*np.pi/5),
    29: ("13π/30", 13*np.pi/30),
    30: ("10π/21", 10*np.pi/21)
}

print("\n┌─────┬────────────────────────────┬─────────────────────┬─────────────────┐")
print("│ Ej. │         Región/Eje         │   Volumen Exacto    │  Valor Numérico │")
print("├─────┼────────────────────────────┼─────────────────────┼─────────────────┤")
for ej in range(19, 31):
    descripciones = {
        19: "R₁ alrededor eje X",
        20: "R₁ alrededor eje Y",
        21: "R₁ alrededor x=1",
        22: "R₁ alrededor y=1",
        23: "R₂ alrededor eje X",
        24: "R₂ alrededor eje Y",
        25: "R₂ alrededor x=1",
        26: "R₂ alrededor y=1",
        27: "R₃ alrededor eje X",
        28: "R₃ alrededor eje Y",
        29: "R₃ alrededor x=1",
        30: "R₃ alrededor y=1"
    }
    exacto, valor_exacto = resultados_exactos[ej]
    print(f"│ {ej:2d} │ {descripciones[ej]:26} │ {exacto:19} │ {valor_exacto:15.6f} │")
print("└─────┴────────────────────────────┴─────────────────────┴─────────────────┘")

print("\n✅ VERIFICACIÓN: R₁ + R₃ = R₂")
print(f"   Volumen R₁ (eje X): {resultados[19]:.6f}")
print(f"   Volumen R₃ (eje X): {resultados[27]:.6f}")
print(f"   Suma: {resultados[19] + resultados[27]:.6f}")
print(f"   Volumen R₂ (eje X): {resultados[23]:.6f}")

2.4 📌 RESUMEN DE CORRECCIONES REALIZADAS

Elemento	Original (incorrecto)	Corregido
R₁	y = √x	y = x³
R₂	y = x/2	x = y² (y = √x)
Límites	[0, 4]	[0, 1]
Punto intersección	(4,2)	(1,1)
Volumen E19	8π	π/7
Volumen E20	32π/5	3π/5
Volumen E23	8π/3	π/2
Volumen E27	5π/14 (se mantiene)	5π/14

El formato visual con recuadros de colores, códigos Python integrados y la estructura paso a paso se ha mantenido exactamente igual al que me mostraste, solo cambié las funciones y los valores numéricos a los correctos según la definición de las regiones.