Brock e Hommes 1998 Demystified
Introduzione
Questo file ha lo scopo di chiarire come replicare correttamente il modello di Brock e Hommes 1998, spiegando nel dettaglio tutti i passaggi e la logica degli stessi.
La struttura del documento cerca di accompagnare il lettore attraverso un processo di comprensione prima teorico (la parte facile) e successivamente implementativo.
Pre-requisiti
Per affrontare con consapevolezza maggiore le successive righe il consiglio è quello di leggere i seguenti documenti (e di rileggerli per fissare meglio alcuni concetti):
Brock e Hommes, Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simple asset pricing model, 1998
- Il modello originale, ad una prima lettura non capirete nulla (rileggetelo di nuovo alla fine dopo aver letto tutto il resto;
Carl Hommes, Behavioural Rationality and Heterogeneous Expectations in Complex Economic Systems, 2013
Al capitolo 6 “An asset pricing model with heterogeneous belief” trovate una spiegazione del modello base da cui attingere per capire meglio quello spiegato nel paper originale
A pag. 168 c’è una rappresentazione delle formule che vi fa capire che il modello base ha bisogno di 3 istanti temporali istanzializzati (formule 6.32, 6.33 e 6.34)
A pag. 169 invece viene detto esplicitamente che è il sistema al tempo “t” poggia sui tre tempi precedenti.
F.Lamperti et al., Agent-Based Model Calibration using Machine Learning Surrogates, 2017
- All’interno del paper c’è un riassunto semplificato di Brock e Hommes 1998
M.Coccia, Introducing weighted-variance risk-measures in the class of Brock-Hommes asset pricing modelsIntroducing weighted-variance risk-measures in the class of Brock-Hommes asset pricing models, 2018-2019
Una tesi di laurea magistrale dove viene spiegato come semplificare il calcolo della state variable m[t]
Una volta letta tutta questa roba (rileggendo due volte il primo paper) potete proseguire con quanto indicato sotto.
Il Modello
Sostanzialmente il modello dice che la dinamica evolutiva del prezzo di un asset rischioso è generata dalla presenza, nello stesso mercato, di schemi aspettative eterogenei. In parole povere la presenza di più idee rispetto a come evolverà il prezzo di un asset finanziario contribuisce a far si che il prezzo NON converga verso un valore stabile.
Il modello definisce dapprima come evolve la ricchezza degli agenti (wealth dynamics), descrive il processo di massimizzazione (mean-variance nella sua versione più semplice) che guida la quantificazione della domanda tra risky asset e risk-free asset e infine, assumendo zero supply of outside shares, fornisce la formula che consente di trovare il prezzo di equilibrio: il famigerato pt.
Per citare il capovaloro del 1995 di Kassovits “fino a qui tutto bene”.
Quest’ultimo in realtà non serve praticamente a nulla (o quasi). Ai fini dell’implementazione BH definisce invece cos’è l’equilibrium price pt* che invece serve a comprendere (oltre alla base teorica di riferimento) come utilizzare il concetto di deviation (che è quello su cui effettivamente si lavora all’interno del modello).
\[x_t = p_t - p_t^*\]
La deviation serve a rendere più “trattabile” matematicamente il modello, e di per se diventerà rilevante più avanti per via del fatto che ci troviamo all’interno di un sistema dinamico che va inizializzato (vd. dopo).
Oltre alla deviation altro tema fondamentale è definire cosa si intende per schemi aspettative eterogenei. Per chiarirle subito, la cosa più semplice a mio avviso e fare il confronto con lo schema di aspettative omogenee (i.e. tutti la pensano allo stesso modo).
\[Inserire formula schema omogeneo\]
\[Inserire formula schema eterogeneo\]
Nel primo caso l’individuazione del prezzo (o della deviation) è ottenuta da un singolo tipo di aspettativa, nel secondo invece abbiamo una somma pesata di aspettative. I pesi sono la porzione di agenti che la pensa in un determinato modo circa l’evoluzione del prezzo (deviation).
Una precisazione è qui fondamentale per capire il modello (e il codice di seguito): quando parliamo di agenti nel contesto di BH non stiamo parlando del singolo tizio che agisce (non c’è nessun i all’interno delle formule), ma di un valore aggregato che rappresenta una moltitudine di agenti che hanno in comune una determinata aspettativa. Questa cosa può trarre in inganno perchè negli ABM “classici” si parla quasi sempre di agenti singoli e di proprietà emergenti che, appunto, emergono dalla loro interazione all’interno di un ambiente (in questo caso un mercato). Qui è quindi più opportuno parlare di un confronto tra strategie (le aspettative rispetto all’evoluzione del prezzo hanno questo ruolo) che attraggono una certa percentuale di agenti (che non vedremo mai se non in forma aggregata).
Chiarito questo punto, per poter definire le aspettative eterogenee il modello fa tre assuzioni:
La varianza \(\sigma^2\) dell’asset rischioso è considerata costante per tutte le stretegie (i.e. per tutti gli agenti coinvolti) e per tutte le iterazioni del modello (i.e. la variabilità del prezzo non ha effetti sulla scelta di adottare l’una o l’altra strategia)
Il valore atteso dei dividendi \(E_{ht}\) è uguale per tutte le strategia \(E_{t}\) (n.b. questa informazione diventa rilevante solo quando introduciamo il noise, vd. sotto)
Le aspettative eterogenee hanno tutte una parte comune e una parte specialistica, i.e.
\(E_{ht}[p^*_{t+1}]=E_{t}[p^*_{t+1}]+f_h(x_{t-1},x_{t-2},...x_{t-L})\)
La parte \(f_h(x_{t-1},x_{t-2},...x_{t-L})\) rappresenta un modello del mercato che definisce in che modo la strategia h crede che il prezzo devierà dal p* comune condiviso. Questa è la componente che materialmente verrà inserita all’interno del codice.
La formula di equilibrio finale, codificata, sarà:
\[formula 6.16\]
Dinamica Evolutiva
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