Cátedra de Biometría y Técnica Experimental

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Trabajo Práctico N° 5: Distribución Normal

Motivación

En el ámbito de la ingeniería agronómica y la producción agropecuaria, muchas variables de interés —como el peso de los animales, el rendimiento de cultivos, la precipitación o la producción de leche— presentan comportamientos aleatorios, pero con patrones bien definidos. Comprender estos patrones es fundamental para la toma de decisiones, ya sea para optimizar la producción, evaluar riesgos o mejorar la eficiencia de los sistemas productivos.

La distribución normal es uno de los modelos más importantes en estadística, ya que describe una gran cantidad de fenómenos naturales y productivos. Su aplicación permite estimar probabilidades, analizar variabilidad y establecer criterios de selección en distintos contextos agronómicos.

En este trabajo práctico se busca aplicar los conceptos de la distribución normal a situaciones reales del ámbito agropecuario, favoreciendo la interpretación de resultados y el desarrollo de criterios técnicos para la toma de decisiones.

Función de densidad de la distribución normal

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua con distribución normal describe cómo se distribuyen los valores alrededor de la media.

Se expresa matemáticamente como:

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]

¿Qué significa cada término?

f(x): densidad de probabilidad en el valor x

μ: media de la distribución

σ: desviación estándar

e: número de Euler (≈ 2,718)

π: constante pi (≈ 3,1416)

Interpretación

La función tiene forma de campana simétrica centrada en la media.

Los valores cercanos a μ tienen mayor densidad (más probables).

A medida que nos alejamos de la media, la densidad disminuye.

El área bajo la curva es igual a 1, y representa el 100% de probabilidad.

ACTIVIDADES

Ejercicio 1. Calcular y graficar en un esquema las siguientes probabilidades:

iP (Z ≤ 1,3) ; ii) P (Z > -1,5) ; iii) P (-1 < Z ≤ 2)

Hallar el valor de Z tal que:

1. El área a la izquierda de z sea 0.05

2. El área a la derecha de z sea 0.01

3. El área entre –z y z sea 0.68

Ejercicio 2. Un productor de melones posee tres variedades de este fruto que pueden ser destinadas para la exportación. Son frutos exportables aquellos que su peso esté comprendido entre los 800 y 1000 gramos. Si las tres poblaciones tienen los siguientes parámetros:

• Población A μ_A = 910 σ_A = 65

• Población B μ_B = 870 σ_B = 85

• Población C μ_C = 910 σ_C = 105

Responder:

1. ¿En qué se diferencian las distribuciones de los tres cultivos?

2. ¿Cuál de los tres cultivos tiene mayor porcentaje de frutos exportables?

Ejercicio 3. En una empresa agrícola, la edad de los trabajadores se distribuye normalmente con media de 40 años y una desviación estándar de 9 años.

Responder:

1. ¿Qué porcentaje de los trabajadores tiene entre 40 y 55 años?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que, un trabajador elegido al azar, no sea mayor de 25 años?

3. El 25 % de los trabajadores más jóvenes se encuentra debajo de cierta edad ¿Cuál será la misma?

Ejercicio 4. Un productor ganadero, que realiza engorde a corral o “feed lot”, desea vender un lote de 300 animales, para ello, toma una muestra al azar de 40 vacunos y obtiene un peso promedio de 350 k, con un desvío estándar de 20 k. Si tomamos un animal al azar, cuál es la probabilidad de que:

Responder:

1. Pese menos de 320 k.

2. Pese entre 320 y 400 k.

3. Pese más de 400 k.

4. Si el peso mínimo permitido, a nivel nacional, para ser comercializado es de 350 k vivo ¿Qué porcentaje de animales no podrán ser vendidos? ¿Qué cantidad de animales representan?

Ejercicio 5. En una región de la República Argentina, se ha determinado que la sequía es el principal factor limitante de los cultivos de cereales de invierno como lo son el trigo (Triticum aestivum) y el centeno (Secale cereale). Se ha observado que si durante el período inverno-primaveral la precipitación es inferior a los 250 mm, disminuye fuertemente el rendimiento del cultivo de trigo. En cambio, el rendimiento del centeno, un cultivo más resistente a la sequía, se compromete si en dicho período llueve menos de 200 mm. En esta área, el total de lluvias invernoprimaverales (mm) en un año a tomar al azar es una variable aleatoria con distribución aproximadamente Normal con μ = 300 mm y σ = 100 mm.

Responder:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que en un año tomado al azar la sequía no limite el rendimiento del cultivo de trigo?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un año tomado al azar no limite el rendimiento del cultivo de centeno?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que en un año tomado al azar la sequía limite el rendimiento del cultivo de trigo, pero no el del cultivo de centeno?

4. ¿Cuál es la probabilidad de que en un año tomado al azar la sequía limite el rendimiento del cultivo de trigo, pero no el del cultivo de centeno?

5. Se conoce que, si las precipitaciones son superiores a los 550 mm durante el ciclo, ambos cultivos disminuyen notablemente los rendimientos llegando incluso a perder toda la producción ¿Cuál será la probabilidad de que, en un año tomado al azar, se obtenga un óptimo rendimiento en dichos cultivos?

Ejercicio 6. Un fabricante de pulverizadoras autopropulsadas informa que la vida útil de éstas, con uso adecuado, tiene una vida útil media de 7 años con una desviación estándar de 1 año. Si la vida útil de este modelo presenta distribución normal y el fabricante da garantía de dos años ¿qué porcentaje de las máquinas necesitarán reparación antes que finalice la garantía?