Sea B el conjunto de todos los libros de la Biblioteca UCSH. Considere la función proposicional \(L(x) := “el \ libro \ x \ de \ la \ biblioteca \ está \ prestado”\), donde \(x ∈ B\) (en este contexto, x representa el t´ıtulo de un libro perteneciente a la biblioteca). Usando cuantificadores, el conjunto B y la función proposicional L(x), exprese simbólicamente la proposición lógica: “ningún libro está prestado”.Además, describa la negación de la proposición previa tanto en lenguaje simbólico como en lenguaje natural.
“Ningún libro está prestado” escrito simbólicamente es:
\[\forall x \in B, \neg L(x)\]
La negación de la proposición (simbólica) previa es:
\[\exists \ x \in B \ t.q. L(x)\]
la cual dice en lenguaje natural lo siguiente:
\[Existe \ un \ libro \ de \ la \ biblioteca \ que \ está \ prestado.\]
En la mansión Tudor, el Sr. Black ha sido asesinado. Se sabe que el asesino es uno de los siguientes sospechosos: Coronel Mostaza, Srta. Amapola o Profesor Ciruela. De este modo, definimos las siguientes proposiciones:
Evidencias: Se ha determinado que las siguientes afirmaciones son verdaderas:
Finalmente, la evidencia forense indica que “el arma homicida no fue un cuchillo…” y se pudo determinar que el asesino actuó solo.
Las cinco premisas, en lenguaje natural y lógico proposicional son:
“La Srta. Amapola es inocente si y solo si el arma homicida fue un candelabro”. \[¬p_2 <=> q_1…(1)\] “Si el arma homicida fue un cuchillo, entonces el Profesor Ciruela es inocente”. \[q_2=>¬p_3...(2)\] “El Coronel Mostaza es culpable si y solo si el arma homicida fue una tubería de plomo”. \[p_1<=>q_3…(3)\] “El arma homicida no fue un cuchillo”. \[q_2 = F…(4)\] “El asesino actuó solo”. \[(p_1 \land \neg p_2 \land \neg p_3) \lor (\neg p_1 \land p_2 \land \neg p_3) \lor (\neg p_1 \land \neg p_2 \land p_3)...(5)\] Dicho de manera más simple, solamente uno de los \(p_1, p_2, p_3\) puede ser verdadero.
Una forma más concisa y elegante de decirlo es: \[\sum_{i=1}^3 \delta (p_i) = 1\] donde: \[\delta(p_i) = \left\{ \begin{matrix}1 & cuando\ p_i=V \\ 0 & cuando\ p_i=F \end{matrix} \right\}\]
En palabras:
Si la Srta. Amapola es culpable, entonces el arma no fue el candelabro. Además sabemos que el arma no fue el cuchillo. Entonces, por descarte el arma usado fue la tubería de plomo, lo cual implica que el Coronel Mostaza también es culpable. Pero esto contradice la premisa que el asesino actuó solo. En conclusión, asumir que la Srta. Amapola es culpable conduce a una contradicción, y por ende se descarta esta premisa.
Matemáticamente:
Suponemos que: \[p_2=V\] Usamos la premisa (1):
\[¬p_2 <=> q_1…(1)\] Un corolario es: \[q_1 => \neg p_2\] Ahora usamos modus tollens y \(p_2=V \equiv \neg(\neg p_2)\):
\[q_1 = F\] Entonces el arma no fue el candelabro. Además, sabemos que no fue el cuchillo, por la premisa (4). Entonces, por descarte, fue la tubería de plomo: \[q_3 = V\] Ahora aplicamos modus ponens a la premisa (3): \[p_1 = V\] Entonces el Coronel Mostaza es el asesino. Pero hemos supuesto que la Srta. Amapola es culpable; entonces hay dos asesinos, lo cual contradice la premisa (5), que hay un solo asesino. \(=><=\)
Entonces, se concluye que \(p_2=V\) no es consistente con la evidencia.
En palabras:
Si la Srta. Amapola es inocente, entonces el arma fue el candelabro. Como el arma usado no fue la tubería de plomo, esto implica que el Coronel Mostaza también es inocente. Por descarte, el Profesor Ciruela es el asesino. Esto no contradice ninguna otra premisa, en particular, no contradice el hecho que el arma usado no fue el cuchillo. (Si se hubiera usado, el Profesor Ciruela sería inocente). En conclusión, asumir que la Srta. Amapola es inocente es consistente con los hechos y permite concluir que el Profesor Ciruela es el culpable.
Matemáticamente:
Suponemos que: \[p_2=F\] Usamos la premisa (1) \(\neg p_2 <=> q_1\) y aplicamos modus tollens: \[q_1 = T\] Esto es, el arma fue el candelabro. Entonces, \(q_3 = F\), (el arma no fue la tubería de plomo) porque solamente un \(q_j\) puede ser verdadero.
Ahora aplicamos modus ponens a la premisa (3) \(p_1<=>q_3\): \[p_1 = F\] O sea, el Coronel Mostaza es inocente. Por descarte, solamente queda el Profesor Ciruela como culpable.
Conclusión: No se producen inconsistencias con la evidencia. El asesino es el Profesor Ciruela.