Taller 3.2.1 - Distribuciones de Probabilidad Discretas

Problema 1 — Distribución Binomial: \(X \sim binom(n=10,\ p=0.5)\)

n <- 10
p <- 0.5

# Función de masa de probabilidad f_X(x)
x_vals <- 0:n
pmf <- dbinom(x_vals, size = n, prob = p)
tabla_p1 <- data.frame(x = x_vals, `f_X(x)` = round(pmf, 6))
knitr::kable(tabla_p1, caption = "Función de distribución de X ~ Binom(10, 0.5)")

Función de distribución de X ~ Binom(10, 0.5)
x	f_X.x.
0	0.000977
1	0.009766
2	0.043945
3	0.117188
4	0.205078
5	0.246094
6	0.205078
7	0.117188
8	0.043945
9	0.009766
10	0.000977

cat("P(X = 5)       =", dbinom(5, n, p), "\n")

## P(X = 5)       = 0.2460938

cat("P(X ≤ 2)       =", pbinom(2, n, p), "\n")

## P(X ≤ 2)       = 0.0546875

cat("P(3 ≤ X < 5)   =", pbinom(4, n, p) - pbinom(2, n, p), "\n")

## P(3 ≤ X < 5)   = 0.3222656

cat("P(X ≥ 8)       =", pbinom(7, n, p, lower.tail = FALSE), "\n")

## P(X ≥ 8)       = 0.0546875

barplot(
  pmf,
  names.arg = x_vals,
  col       = "#2c7bb6",
  border    = "white",
  xlab      = "x",
  ylab      = expression(f[X](x)),
  main      = expression(paste("Distribución Binomial  ", X %~% binom(10, 0.5)))
)

Función de masa de probabilidad — Binomial(10, 0.5)

Problema 2 — Distribución Poisson: \(X \sim pois(\lambda=4)\)

lambda <- 4

cat("P(X = 0)  =", dpois(0, lambda), "\n")

## P(X = 0)  = 0.01831564

cat("P(X = 4)  =", dpois(4, lambda), "\n")

## P(X = 4)  = 0.1953668

cat("P(X ≥ 2)  =", ppois(1, lambda, lower.tail = FALSE), "\n")

## P(X ≥ 2)  = 0.9084218

cat("P(X ≤ 2)  =", ppois(2, lambda), "\n")

## P(X ≤ 2)  = 0.2381033

x_p <- 0:15
barplot(
  dpois(x_p, lambda),
  names.arg = x_p,
  col       = "#1a9641",
  border    = "white",
  xlab      = "x",
  ylab      = expression(f[X](x)),
  main      = expression(paste("Distribución Poisson  ", X %~% pois(lambda == 4)))
)

Función de masa de probabilidad — Poisson(λ=4)

Problema 3 — Distribución Binomial Negativa: \(X \sim nbinom(n=5,\ p=0.20)\)

Con N=100 y K=20 éxitos en la población, la probabilidad de éxito es \(p = K/N = 20/100 = 0.20\). En R, nbinom modela el número de fracasos antes de obtener size éxitos.

size <- 5
prob <- 20 / 100   # K/N = 0.20

cat("P(X = 0)   =", dnbinom(0,  size, prob), "\n")

## P(X = 0)   = 0.00032

cat("P(X = 6)   =", dnbinom(6,  size, prob), "\n")

## P(X = 6)   = 0.01761608

cat("P(X ≥ 10)  =", pnbinom(9,  size, prob, lower.tail = FALSE), "\n")

## P(X ≥ 10)  = 0.8701604

cat("P(X ≤ 12)  =", pnbinom(12, size, prob), "\n")

## P(X ≤ 12)  = 0.2417768

cat("E[X]       =", size * (1 - prob) / prob, "\n")

## E[X]       = 20

cat("V[X]       =", size * (1 - prob) / prob^2, "\n")

## V[X]       = 100

x_nb <- 0:50
barplot(
  dnbinom(x_nb, size, prob),
  names.arg = x_nb,
  col       = "#d7191c",
  border    = "white",
  xlab      = "x (número de fracasos)",
  ylab      = expression(f[X](x)),
  main      = "Distribución Binomial Negativa  (size=5, p=0.20)"
)

Función de masa de probabilidad — Binomial Negativa(5, 0.20)

Problema 4 — Llantas con imperfecciones: \(X \sim binom(n=4,\ p=0.05)\)

n4 <- 4
p4 <- 0.05

cat("P(X = 0) — ninguna llanta con imperfección      =", dbinom(0, n4, p4), "\n")

## P(X = 0) — ninguna llanta con imperfección      = 0.8145062

cat("P(X = 1) — exactamente una llanta               =", dbinom(1, n4, p4), "\n")

## P(X = 1) — exactamente una llanta               = 0.171475

cat("P(X ≥ 1) — una o más llantas con imperfección   =", pbinom(0, n4, p4, lower.tail = FALSE), "\n")

## P(X ≥ 1) — una o más llantas con imperfección   = 0.1854938

Problema 5 — Clientes en tienda: \(X \sim pois(\lambda = 8/\text{hora})\)

lambda_h <- 8  # clientes por hora

# a) Entre 8 AM y 9 AM → 1 hora → lambda = 8, exactamente 5 clientes
cat("a) P(X = 5)  [1 hora,  λ=8]           =", dpois(5, lambda_h), "\n")

## a) P(X = 5)  [1 hora,  λ=8]           = 0.09160366

# b) Entre 2:30 PM y 3:30 PM → 1 hora → λ = 8, no más de 3 → P(X ≤ 3)
cat("b) P(X ≤ 3)  [1 hora,  λ=8]           =", ppois(3, lambda_h), "\n")

## b) P(X ≤ 3)  [1 hora,  λ=8]           = 0.04238011

# c) Intervalo de 2 horas → λ = 8 × 2 = 16, exactamente 2 clientes
cat("c) P(X = 2)  [2 horas, λ=16]          =", dpois(2, lambda_h * 2), "\n")

## c) P(X = 2)  [2 horas, λ=16]          = 1.44045e-05

# d) Entre 2 PM y 4:30 PM → 2.5 horas → E[X] = 8 × 2.5
cat("d) E[X]      [2.5 horas, λ=20]        =", lambda_h * 2.5, "clientes\n")

## d) E[X]      [2.5 horas, λ=20]        = 20 clientes

Problema 6 — Aerolínea: \(X \sim binom(n=105,\ p=0.90)\)

La aerolínea vende 105 tiquetes para un avión de 100 asientos. Cada pasajero llega con probabilidad 0.90. Todos tienen asiento si \(X \leq 100\).

cat("P(X ≤ 100) con n=105, p=0.90  =", pbinom(100, size = 105, prob = 0.90), "\n")

## P(X ≤ 100) con n=105, p=0.90  = 0.9832837

Interpretación: la probabilidad de que todas las personas que se presentan tengan asiento disponible es aproximadamente 98.33%.

Taller elaborado en R con distribuciones dbinom, pbinom, dpois, ppois, dnbinom, pnbinom.