0.1 Introducción

En el presente informe se analiza la convexidad de una opción financiera sobre la acción de Microsoft Corporation (MSFT), empresa perteneciente al índice S&P 500, con ticker MSFT en NASDAQ.

El análisis incorpora:

  • Un vencimiento real de mercado cercano a un año (LEAPS).
  • Escenarios mensuales construidos con año comercial de 252 días hábiles.
  • Interpolación lineal de la tasa libre de riesgo a partir de los nodos CME Term SOFR publicados en global-rates.com.
  • Una estructura temporal de volatilidad implícita con decremento lineal de 2% por mes desde la fecha inicial hasta el vencimiento.
  • Valoración bajo el modelo Black-Scholes con griegas correctamente escaladas.

0.2 Descarga de datos y selección del contrato

## [1] "MSFT"
Tabla 1. Resumen del contrato base seleccionado — MSFT
Campo Valor
Ticker MSFT
Fecha inicial 2026-04-18
Precio spot S₀ $422.79
Strike K $420
Vencimiento elegido 2027-03-19
Días calendario al vencimiento 335
IV de referencia (final) 35.53%

Nota. Elaboración propia con base en datos de Yahoo Finance al 18/04/2026. La volatilidad implícita (IV) corresponde a la opción call más cercana al precio spot (ATM) para el vencimiento seleccionado y se usa como punto de referencia final de la estructura temporal.

0.3 Año comercial y vencimientos mensuales

Tabla 2. Escenarios mensuales — Año comercial 252 días hábiles
Escenario Fecha_Escenario Dias_Habiles_Restantes T_Anios
Mes 1 2026-04-20 239 0.9484
Mes 2 2026-05-18 219 0.8690
Mes 3 2026-06-18 196 0.7778
Mes 4 2026-07-20 174 0.6905
Mes 5 2026-08-18 153 0.6071
Mes 6 2026-09-18 130 0.5159
Mes 7 2026-10-19 109 0.4325
Mes 8 2026-11-18 87 0.3452
Mes 9 2026-12-18 65 0.2579
Mes 10 2027-01-18 44 0.1746
Mes 11 2027-02-18 21 0.0833
Mes 12 2027-03-18 1 0.0040
Mes 13 2027-03-19 0 0.0040

Nota. Elaboración propia. Una quincena comercial equivale a máximo 11 días hábiles; 30 días calendario equivalen a aproximadamente 22 días laborales. Los días hábiles restantes se calculan desde cada fecha escenario hasta la fecha de vencimiento del contrato.

0.4 Tasa libre de riesgo: interpolación CME Term SOFR

Tabla 3. Tasas CME Term SOFR interpoladas por vencimiento
Escenario Fecha Meses_Equiv T_Anios Tasa_SOFR_pct
Mes 1 2026-04-20 11.38 0.9484 3.6906%
Mes 2 2026-05-18 10.43 0.8690 3.6901%
Mes 3 2026-06-18 9.33 0.7778 3.6895%
Mes 4 2026-07-20 8.29 0.6905 3.6889%
Mes 5 2026-08-18 7.29 0.6071 3.6884%
Mes 6 2026-09-18 6.19 0.5159 3.6878%
Mes 7 2026-10-19 5.19 0.4325 3.6836%
Mes 8 2026-11-18 4.14 0.3452 3.6783%
Mes 9 2026-12-18 3.10 0.2579 3.673%
Mes 10 2027-01-18 2.10 0.1746 3.6673%
Mes 11 2027-02-18 1.00 0.0833 3.661%
Mes 12 2027-03-18 0.08 0.0040 3.661%
Mes 13 2027-03-19 0.08 0.0040 3.661%

Nota. Nodos de interpolación: 1M = 3.6610%, 3M = 3.6725%, 6M = 3.6877%, 12M = 3.6909%. Fuente: global-rates.com, CME Term SOFR. Se aplica interpolación lineal entre fechas para obtener la tasa correspondiente a cada escenario de vencimiento.

0.5 Estructura temporal de volatilidad implícita

Tabla 4. Estructura temporal de volatilidad implícita (decremento de 2% por mes)
Escenario Fecha IV_pct Tasa_r_pct
Mes 1 2026-04-20 59.5% 3.6906%
Mes 2 2026-05-18 57.5% 3.6901%
Mes 3 2026-06-18 55.5% 3.6895%
Mes 4 2026-07-20 53.5% 3.6889%
Mes 5 2026-08-18 51.5% 3.6884%
Mes 6 2026-09-18 49.5% 3.6878%
Mes 7 2026-10-19 47.5% 3.6836%
Mes 8 2026-11-18 45.5% 3.6783%
Mes 9 2026-12-18 43.5% 3.673%
Mes 10 2027-01-18 41.5% 3.6673%
Mes 11 2027-02-18 39.5% 3.661%
Mes 12 2027-03-18 37.5% 3.661%
Mes 13 2027-03-19 35.5% 3.661%

Nota. La volatilidad implícita parte del nivel más alto en la fecha inicial y decrece linealmente 2% por mes hasta alcanzar la IV de referencia del contrato en la fecha de vencimiento. Este comportamiento es consistente con la estructura temporal de volatilidad observada en opciones de largo plazo.

0.6 Simulación del subyacente y rango de precios

Tabla 5. Parámetros de la simulación log-normal (100,000 trayectorias)
Concepto Valor
Deriva utilizada (r neutral al riesgo) 3.691%
Volatilidad (IV de referencia final) 35.5%
Número de simulaciones 1e+05
Percentil 2.5% → S_min $204.88 → $204
Percentil 97.5% → S_max $827.27 → $828
Paso de la grilla $2
Número de puntos en la grilla 313

Nota. La simulación se realiza bajo la medida neutral al riesgo (usando la tasa SOFR como deriva), lo que es consistente con el modelo Black-Scholes para valoración de opciones. El rango de precios queda definido por los percentiles extremos de la distribución.

0.7 Funciones Black-Scholes y griegas

0.8 Tablas de convexidad por vencimiento

Tabla 6. Vista parcial de la tabla de convexidad (primeros 15 registros — Mes 1)
Escenario Fecha_Escenario Dias_Habiles_Restantes S Call Put
Mes 1 2026-04-20 239 204 9.3727 210.9263
Mes 1 2026-04-20 239 206 9.7478 209.3013
Mes 1 2026-04-20 239 208 10.1320 207.6855
Mes 1 2026-04-20 239 210 10.5252 206.0788
Mes 1 2026-04-20 239 212 10.9277 204.4812
Mes 1 2026-04-20 239 214 11.3394 202.8929
Mes 1 2026-04-20 239 216 11.7603 201.3138
Mes 1 2026-04-20 239 218 12.1905 199.7440
Mes 1 2026-04-20 239 220 12.6299 198.1835
Mes 1 2026-04-20 239 222 13.0788 196.6323
Mes 1 2026-04-20 239 224 13.5370 195.0905
Mes 1 2026-04-20 239 226 14.0045 193.5581
Mes 1 2026-04-20 239 228 14.4815 192.0351
Mes 1 2026-04-20 239 230 14.9679 190.5215
Mes 1 2026-04-20 239 232 15.4638 189.0173

Nota. Se presenta una vista parcial de la tabla. La tabla completa contiene 4069 registros correspondientes a 13 escenarios mensuales × 313 puntos de precio (paso de $2 desde $204 hasta $828).

0.9 Figuras dinámicas de convexidad

Figura 1. Convexidad de la opción call sobre MSFT en los distintos escenarios de vencimiento. Cada curva corresponde a un escenario mensual con su respectiva IV y tasa SOFR interpolada. La línea roja punteada indica el precio spot actual S₀.

Figura 2. Convexidad de la opción put sobre MSFT en los distintos escenarios de vencimiento. La línea roja punteada indica el precio spot actual S₀.

0.10 Selección de vencimientos para griegas

Tabla 7. Vencimientos seleccionados para el análisis de griegas
Vencimiento Fecha_Escenario Dias_Habiles_Restantes T_Anios IV Tasa_r
Primer 2026-04-20 239 0.9484 59.5% 3.6906%
Sexto 2026-09-18 130 0.5159 49.5% 3.6878%
Último 2027-03-19 0 0.0040 35.5% 3.661%

Nota. Elaboración propia. Se seleccionan el primer, sexto y último vencimiento mensual para el análisis detallado de griegas, permitiendo comparar la dinámica del riesgo en distintos horizontes temporales.

0.11 Tablas de griegas

Tabla 8. Vista parcial de griegas (6 registros por vencimiento)
Escenario Fecha S Delta_Call Delta_Put Gamma Vega Theta_Call Theta_Put Rho_Call Rho_Put
Primer 2026-04-20 204 0.185275 -0.814725 0.002259 0.530793 -0.070264 -0.010870 0.269570 -3.576751
Primer 2026-04-20 206 0.189805 -0.810195 0.002271 0.544059 -0.072052 -0.012658 0.278378 -3.567943
Primer 2026-04-20 208 0.194358 -0.805642 0.002282 0.557367 -0.073847 -0.014454 0.287317 -3.559005
Primer 2026-04-20 210 0.198932 -0.801068 0.002292 0.570712 -0.075649 -0.016256 0.296384 -3.549937
Primer 2026-04-20 212 0.203526 -0.796474 0.002302 0.584089 -0.077457 -0.018063 0.305578 -3.540743
Primer 2026-04-20 214 0.208140 -0.791860 0.002311 0.597493 -0.079270 -0.019876 0.314897 -3.531425
Primer 2026-04-20 216 0.212770 -0.787230 0.002319 0.610916 -0.081088 -0.021694 0.324339 -3.521983
Primer 2026-04-20 218 0.217416 -0.782584 0.002327 0.624355 -0.082909 -0.023515 0.333901 -3.512420
Primer 2026-04-20 220 0.222078 -0.777922 0.002334 0.637803 -0.084733 -0.025339 0.343583 -3.502738
Primer 2026-04-20 222 0.226753 -0.773247 0.002341 0.651256 -0.086560 -0.027166 0.353382 -3.492940
Primer 2026-04-20 224 0.231440 -0.768560 0.002347 0.664709 -0.088388 -0.028994 0.363295 -3.483026
Primer 2026-04-20 226 0.236138 -0.763862 0.002352 0.678156 -0.090218 -0.030824 0.373321 -3.473000
Primer 2026-04-20 228 0.240847 -0.759153 0.002357 0.691592 -0.092047 -0.032654 0.383458 -3.462863
Primer 2026-04-20 230 0.245564 -0.754436 0.002361 0.705013 -0.093877 -0.034483 0.393703 -3.452618
Primer 2026-04-20 232 0.250289 -0.749711 0.002364 0.718414 -0.095706 -0.036312 0.404055 -3.442267
Primer 2026-04-20 234 0.255021 -0.744979 0.002367 0.731790 -0.097533 -0.038139 0.414510 -3.431811
Primer 2026-04-20 236 0.259758 -0.740242 0.002370 0.745137 -0.099358 -0.039964 0.425068 -3.421253
Primer 2026-04-20 238 0.264499 -0.735501 0.002372 0.758450 -0.101181 -0.041787 0.435726 -3.410595

Nota. Theta expresada en cambio por día hábil (÷252). Vega en cambio por 1% de variación en volatilidad (÷100). Rho en cambio por 1% de variación en tasa (÷100). Delta Put es negativa por definición.

0.12 Figuras dinámicas de griegas

Figura 3. Griegas de las opciones Call (línea sólida) y Put (línea punteada) sobre MSFT para el primer, sexto y último vencimiento mensual. Verde = primer vencimiento, Naranja = sexto, Azul = último.

0.13 Resultados puntuales en S₀

Tabla 9. Valores puntuales en S₀ = $422.79 — Strike K = $420
Vencimiento Primer Sexto Último
Fecha 2026-04-20 2026-09-18 2027-03-19
IV 59.5% 49.5% 35.5%
r_SOFR 3.691% 3.688% 3.661%
T_anios 0.9484 0.5159 0.0040
Call_en_S0 103.3164 64.4329 5.3581
Put_en_S0 86.0800 53.7281 2.5071
Delta_Call 0.6412 0.5987 0.6231
Delta_Put -0.3588 -0.4013 -0.3769
Gamma 0.001525 0.002571 0.040141
Vega 1.5386 1.1742 0.1012
Theta_Call -0.2162 -0.2513 -1.8344
Rho_Call 1.5912 0.9734 0.0102

Nota. Elaboración propia. Valores calculados exactamente en el precio spot actual S₀. Theta expresada por día hábil; Vega por 1% de cambio en volatilidad; Rho por 1% de cambio en tasa.

0.14 Análisis financiero

0.14.1 Convexidad de la opción

La relación entre el precio del subyacente y el valor de la opción es no lineal, característica conocida como convexidad. Para la opción call sobre MSFT, el precio aumenta de forma acelerada cuando el subyacente supera el strike, mientras que las pérdidas están limitadas a la prima pagada cuando el precio cae. Esta asimetría es el fundamento económico de la convexidad.

En la zona at-the-money (cercana a K = $420), la curvatura es más pronunciada, lo que indica que pequeñas variaciones en el precio de MSFT generan cambios relativamente más grandes en el valor de la opción.

0.14.2 Efecto del tiempo y la volatilidad

A medida que el tiempo al vencimiento disminuye, la curva de convexidad se estrecha alrededor del strike. Los vencimientos más lejanos presentan curvas más amplias y suaves debido a la mayor probabilidad de movimiento del subyacente. La estructura de volatilidad decreciente (IV más alta en el corto plazo) amplifica el valor temporal de las opciones cercanas.

0.14.3 Interpretación de las griegas

  • Delta: mide la sensibilidad directa al precio. La call tiene Delta entre 0 y 1 (positiva); la put entre -1 y 0. En ATM, Delta ≈ 0.5 para la call y ≈ -0.5 para la put.
  • Gamma: mide la velocidad de cambio de Delta. Alcanza su máximo en la zona ATM y es mayor en vencimientos cortos, donde la convexidad se concentra.
  • Theta: negativa para ambas opciones, refleja la pérdida de valor temporal por cada día hábil transcurrido. Su magnitud es mayor cerca del vencimiento.
  • Vega: positiva para call y put. Es mayor en vencimientos largos, donde la volatilidad tiene más tiempo para impactar el precio. Indica cuánto cambia el precio de la opción ante un 1% de cambio en la IV.
  • Rho: positivo para la call y negativo para la put. Refleja el efecto de la tasa de interés: tasas más altas favorecen las calls (mayor valor presente del strike diferido) y perjudican las puts.

0.15 Conclusión

El análisis de convexidad sobre MSFT confirma los principios fundamentales de la valoración de opciones bajo el modelo Black-Scholes. La naturaleza no lineal del instrumento queda evidenciada en la curvatura de las figuras de convexidad, particularmente en la zona at-the-money donde la gamma alcanza su valor máximo.

La incorporación de una estructura temporal de volatilidad decreciente y la interpolación de tasas CME Term SOFR por vencimiento permiten una valoración más realista, alineada con las condiciones actuales del mercado. El comportamiento diferenciado de las griegas en el primer, sexto y último vencimiento ilustra cómo el perfil de riesgo de la opción evoluciona a medida que se acerca el vencimiento del contrato.

La gestión adecuada del riesgo en opciones requiere monitorear simultáneamente todas las griegas, ya que cada una captura una dimensión distinta de la exposición: precio (Delta), convexidad (Gamma), tiempo (Theta), volatilidad (Vega) y tasa de interés (Rho).