Proceso de convexidad de una opción Call sobre AMZN
El presente trabajo analiza el proceso de convexidad del precio de una opción call europea escrita sobre la acción Amazon.com Inc. (AMZN), la cual hace parte del índice S&P 500. El objetivo es estudiar el comportamiento no lineal del precio de la opción frente a variaciones en el precio del activo subyacente, utilizando herramientas de simulación financiera y visualizaciones dinámicas. El análisis se desarrolla bajo un enfoque cuantitativo, empleando el modelo de valoración de Black–Scholes, simulaciones estocásticas del precio del activo y representaciones gráficas dinámicas construidas con Plotly, cumpliendo con los criterios metodológicos establecidos en el enunciado del ejercicio.
Se selecciona una opción Call europea sobre AMZN con las siguientes características: Activo subyacente: Amazon (AMZN) Tipo de opción: Call europea Fecha de vencimiento: 17 de abril de 2026 (vencimiento cercano a un año) Precio de ejercicio (Strike): USD 210 Criterio de selección del strike: cercano al precio spot del activo, representando un nivel de riesgo moderado Volatilidad implícita de referencia: 163.28%, obtenida del mercado de opciones
El análisis se desarrolla bajo los siguientes supuestos:
Se utiliza un año comercial de 252 días Cada mes comercial equivale a 22 días laborales La simulación se realiza con frecuencia mensual, desde la fecha inicial (hoy) hasta el vencimiento de la opción El proceso de valoración se realiza bajo el supuesto de mercados eficientes y ausencia de arbitraje
Esta estructura temporal garantiza coherencia entre el calendario financiero y el horizonte de la opción.
## [1] "AMZN"## [1] 249.7La volatilidad implícita del contrato se utiliza como punto de referencia final (en la fecha de vencimiento). A partir de este valor, se aplica un ajuste lineal decreciente del 2% por mes hacia la fecha inicial. Este tratamiento permite capturar la evolución temporal de la incertidumbre del mercado y evita suponer una volatilidad constante, dotando al análisis de mayor realismo financiero.
Para la tasa libre de riesgo se emplean las tasas CME Term SOFR, publicadas por la Chicago Mercantile Exchange. Se utilizan las tasas correspondientes a los vencimientos de 1, 3, 6 y 12 meses. Dado que el vencimiento de la opción no coincide exactamente con ninguno de estos puntos, se realiza una interpolación lineal de la estructura temporal de tasas, obteniendo una tasa libre de riesgo consistente con el horizonte de un año. Esta tasa se emplea de forma uniforme en la valoración de la opción.
El precio del activo subyacente se modela mediante un Movimiento Geométrico Browniano, usando la volatilidad implícita de referencia y la tasa libre de riesgo estimada. A partir de la distribución simulada del precio de AMZN a un año, se seleccionan los valores correspondientes a los percentiles 2.5% y 97.5%, los cuales definen el rango de precios extremos considerados en el análisis de convexidad. Dentro de este rango, el precio del activo se mueve en incrementos de USD 2, garantizando una granularidad adecuada para la construcción de tablas y figuras.
Para cada vencimiento mensual restante hasta la fecha de expiración, se calcula el precio de la opción call utilizando el modelo de Black–Scholes, empleando el tiempo al vencimiento y la volatilidad implícita correspondientes a cada periodo. Los resultados se presentan mediante:
Tablas de convexidad, que relacionan el precio del activo subyacente con el precio de la opción Figuras dinámicas interactivas, que permiten visualizar claramente la curvatura del precio de la opción frente a cambios en el subyacente
El análisis muestra que el precio de la opción presenta una convexidad positiva, característica fundamental de las opciones call, donde las ganancias potenciales aumentan de manera no lineal ante incrementos en el precio del activo, mientras que las pérdidas permanecen acotadas.
## Precio_Accion Precio_Opcion Mes
## 1 121.9668 0.5823191 Mes 1
## 2 123.9668 0.6630046 Mes 1
## 3 125.9668 0.7520164 Mes 1
## 4 127.9668 0.8498846 Mes 1
## 5 129.9668 0.9571453 Mes 1
## 6 131.9668 1.0743378 Mes 1Se calculan las principales griegas de la opción: Delta, Gamma, Theta, Vega y Rho, utilizando el mismo rango de precios del activo definido previamente. Las griegas se analizan en tres momentos específicos:
Primer vencimiento mensual Sexto vencimiento mensual Último vencimiento (cercano a la expiración)
Para cada uno de estos periodos se construyen tablas y figuras dinámicas que muestran la sensibilidad del precio de la opción frente a variaciones en el precio del subyacente, el tiempo, la volatilidad y la tasa de interés. Los resultados evidencian un aumento de la Gamma y una aceleración del efecto Theta a medida que se aproxima la fecha de vencimiento, especialmente cuando el precio de la acción se encuentra cercano al strike.
## Precio Delta Gamma Theta Vega Rho Mes
## 1 121.9668 0.03834874 0.001950577 -1.928368 10.15580 4.094952 Mes 1
## 2 123.9668 0.04238038 0.002081404 -2.128573 11.19528 4.590754 Mes 1
## 3 125.9668 0.04667555 0.002214027 -2.341002 12.29597 5.127552 Mes 1
## 4 127.9668 0.05123740 0.002348012 -2.565634 13.45745 5.706799 Mes 1
## 5 129.9668 0.05606821 0.002482918 -2.802388 14.67895 6.329859 Mes 1
## 6 131.9668 0.06116939 0.002618309 -3.051130 15.95945 6.997989 Mes 1a representación dinámica mediante Plotly permite observar la evolución temporal de la convexidad, evidenciando cómo la curvatura se intensifica conforme disminuye el tiempo al vencimiento, lo cual es consistente con el comportamiento teórico de las opciones europeas.
El análisis realizado confirma el carácter no lineal y convexo del precio de una opción call sobre AMZN. La convexidad se intensifica a medida que el vencimiento se aproxima y cuando el precio del activo se sitúa cerca del precio de ejercicio. La incorporación de una volatilidad implícita dependiente del tiempo y una tasa libre de riesgo interpolada desde datos reales refuerza la consistencia financiera del ejercicio. Asimismo, el estudio de las griegas permite comprender de forma integral los distintos riesgos a los que se encuentra expuesto el tenedor de la opción. En conjunto, los resultados muestran cómo las opciones financieras constituyen instrumentos altamente sensibles a múltiples factores de mercado, y cómo su análisis dinámico es fundamental para la correcta gestión del riesgo financiero.