INTRODUCCIÓN
Para este ejercicio se seleccionó la acción de Microsoft (MSFT), ya que es una empresa reconocida en el mercado y cuenta con una amplia cantidad de opciones disponibles en diferentes precios strike y fechas de vencimiento. Esto facilita trabajar con información real y realizar un análisis más completo.
Se decidió analizar una opción Call con vencimiento cercano a un año, porque este plazo permite observar mejor el efecto del tiempo, la volatilidad y los cambios en el precio de la acción sobre el valor de la opción.
Además, se escogió un precio strike cercano al valor actual de la acción, buscando una opción de riesgo moderado y adecuada para estudiar la convexidad y las principales griegas: Delta, Gamma, Theta, Vega y Rho.
La información utilizada para el precio de la acción, cadena de opciones, strike y volatilidad implícita fue tomada de la plataforma Yahoo Finance, mientras que para la tasa libre de riesgo se utilizó como referencia la CME Term SOFR.
Para el desarrollo del ejercicio se utilizó el modelo de Black-Scholes, con el fin de valorar la opción y analizar su comportamiento bajo diferentes escenarios mensuales hasta la fecha de vencimiento.
DATOS INICIALES
| Concepto | Valor |
|---|---|
| Precio Spot | 422.7900000 |
| Strike | 420.0000000 |
| Volatilidad Implícita | 0.3690000 |
| Días al Vencimiento | 284.0000000 |
| Tiempo en Años | 1.1269841 |
| Tasa Libre Riesgo | 0.0369088 |
MODELO BLACK-SCHOLES
ESCENARIOS MENSUALES En esta tabla se muestran los escenarios trabajados mes a mes hasta el vencimiento de la opción. Se tuvo en cuenta la disminución de días, el tiempo restante, la volatilidad y la tasa libre de riesgo, con el fin de analizar el comportamiento de la opción en cada periodo.
| Mes | Dias | T | Sigma | r |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 284 | 1.1269841 | 0.150 | 0.0360000 |
| 1 | 262 | 1.0396825 | 0.150 | 0.0360757 |
| 2 | 240 | 0.9523810 | 0.169 | 0.0361515 |
| 3 | 218 | 0.8650794 | 0.189 | 0.0362272 |
| 4 | 196 | 0.7777778 | 0.209 | 0.0363029 |
| 5 | 174 | 0.6904762 | 0.229 | 0.0363787 |
| 6 | 152 | 0.6031746 | 0.249 | 0.0364544 |
| 7 | 130 | 0.5158730 | 0.269 | 0.0365301 |
| 8 | 108 | 0.4285714 | 0.289 | 0.0366059 |
| 9 | 86 | 0.3412698 | 0.309 | 0.0366816 |
| 10 | 64 | 0.2539683 | 0.329 | 0.0367573 |
| 11 | 42 | 0.1666667 | 0.349 | 0.0368331 |
| 12 | 20 | 0.0793651 | 0.369 | 0.0369088 |
SIMULACIÓN PRECIO FUTURO Para estimar posibles movimientos del precio de la acción de Microsoft en un recorrido de un año, se realizó una simulación basada en la volatilidad observada y las condiciones actuales del mercado. A partir de esta distribución se tomaron los percentiles 2.5% y 97.5%, los cuales representan escenarios extremos razonables de precio mínimo y máximo esperado.
Estos valores se utilizaron como límites para construir el rango de precios sobre el cual se evaluó la convexidad de la opción y el comportamiento de las griegas en los diferentes vencimientos.
| Percentil | Precio |
|---|---|
| 2.5% | 188.1410 |
| 97.5% | 876.6077 |
CONVEXIDAD Con los precios obtenidos en la simulación, se elaboró la siguiente tabla para mostrar cómo cambia el valor de la opción Call de Microsoft cuando el precio de la acción sube o baja en movimientos de 2 dólares.
En la tabla se puede observar que, a medida que aumenta el precio de la acción, también aumenta el valor de la opción, pero no de manera constante. Esto demuestra la convexidad de la opción, ya que los cambios positivos en el precio generan aumentos cada vez mayores en el valor de la Call.
| Precio | Call | Mes |
|---|---|---|
| 188 | 0.0000069 | Mes 0 |
| 190 | 0.0000098 | Mes 0 |
| 192 | 0.0000138 | Mes 0 |
| 194 | 0.0000192 | Mes 0 |
| 196 | 0.0000266 | Mes 0 |
| 198 | 0.0000365 | Mes 0 |
| 200 | 0.0000498 | Mes 0 |
| 202 | 0.0000674 | Mes 0 |
| 204 | 0.0000907 | Mes 0 |
| 206 | 0.0001213 | Mes 0 |
| 208 | 0.0001611 | Mes 0 |
| 210 | 0.0002128 | Mes 0 |
| 212 | 0.0002794 | Mes 0 |
| 214 | 0.0003648 | Mes 0 |
| 216 | 0.0004735 | Mes 0 |
| 218 | 0.0006114 | Mes 0 |
| 220 | 0.0007851 | Mes 0 |
| 222 | 0.0010029 | Mes 0 |
| 224 | 0.0012747 | Mes 0 |
| 226 | 0.0016121 | Mes 0 |
FIGURA GENERAR CONVEXIDAD En la siguiente gráfica se observa el comportamiento del valor de la opción Call de Microsoft para los diferentes escenarios mensuales analizados.
Se puede notar que, cuando el precio de la acción aumenta, el valor de la opción también sube y lo hace de forma curva, no en línea recta. Esto representa la convexidad de la opción. Además, a medida que se acerca el vencimiento, las curvas cambian, mostrando cómo el tiempo también influye en el precio de la opción.
COMPARACIÓN TEMPORAL En esta gráfica se comparan los valores de la opción Call en tres momentos diferentes: inicio del análisis (Mes 0), un punto intermedio (Mes 6) y cerca del vencimiento (Mes 12).
Se observa que, aunque las tres curvas mantienen la forma convexa, el valor de la opción cambia con el paso del tiempo. A medida que se acerca la fecha de vencimiento, la opción pierde parte de su valor temporal, especialmente en precios cercanos al strike. Esto permite evidenciar el efecto del tiempo sobre el precio de la opción.
GRIEGAS
GRIEGAS MES INICIAL En la siguiente figura se muestran las principales griegas de la opción Call de Microsoft para el mes inicial del análisis. Estas medidas permiten identificar cómo cambia el valor de la opción frente a variaciones en el precio de la acción, la volatilidad, el paso del tiempo y la tasa de interés.
Se observa que la Delta aumenta cuando el precio de la acción supera el strike, indicando mayor sensibilidad del precio de la opción. La Gamma alcanza su mayor valor cerca del strike, donde pequeños movimientos del activo generan mayores cambios en Delta. La Theta refleja la pérdida de valor por el paso del tiempo, mientras que la Vega muestra mayor sensibilidad cerca del strike ante cambios en volatilidad. Finalmente, la Rho aumenta a medida que sube el precio de la acción, mostrando el efecto de la tasa libre de riesgo sobre la opción.
GRIEGAS MES SEXTO En esta figura se presentan las griegas de la opción Call de Microsoft en el sexto mes del análisis. En este punto ya ha transcurrido parte importante del tiempo al vencimiento, por lo que algunas sensibilidades cambian frente al mes inicial.
Se observa que la Delta continúa aumentando cuando el precio supera el strike, mientras que la Gamma sigue concentrándose cerca de ese nivel. La Theta muestra una mayor pérdida de valor por el paso del tiempo, ya que el vencimiento está más cerca. La Vega disminuye gradualmente, indicando menor sensibilidad a cambios en la volatilidad. Por su parte, la Rho mantiene una relación positiva con el precio de la acción.
GRIEGAS MES FINAL En la siguiente figura se presentan las griegas de la opción Call en el mes final, es decir, cerca de la fecha de vencimiento. En este momento las sensibilidades de la opción son más marcadas, especialmente alrededor del precio strike.
La Delta cambia de forma más rápida entre 0 y 1, mientras que la Gamma alcanza su mayor concentración cerca del strike. La Theta muestra una pérdida de valor más fuerte por el poco tiempo restante. La Vega disminuye, reflejando menor impacto de la volatilidad al acercarse el vencimiento. Finalmente, la Rho se estabiliza, mostrando un efecto más limitado de la tasa de interés en esta etapa final.
CONCLUSIONES Se pudo aplicar de forma práctica el modelo de Black-Scholes para valorar una opción Call sobre Microsoft, utilizando datos reales del mercado como precio spot, strike, volatilidad implícita y tasa libre de riesgo.
Al analizar la convexidad, se observó que el valor de la opción aumenta cuando sube el precio de la acción, pero no de manera lineal, lo que confirma el comportamiento propio de una opción Call.
También se evidenció que el paso del tiempo afecta el valor de la opción, ya que a medida que se acerca el vencimiento disminuye su valor temporal.
En cuanto a las griegas, se identificó cómo cada una mide diferentes riesgos: cambios en precio, volatilidad, tiempo y tasas de interés, lo que ayuda a entender mejor el comportamiento de la opción.
Finalmente, trabajar con Microsoft fue adecuado porque tiene alta liquidez y muchas opciones disponibles, lo que permitió desarrollar un análisis más completo y cercano a la realidad del mercado.