En este ejercicio se eligio la accion Tesla, Inc. (TSLA), del indice S&P 500, por su alta liquidez en el mercado de opciones y su elevada volatilidad implicita, lo que facilita trabajar con datos confiables y observar con claridad el efecto de la convexidad en derivados.
El objetivo es aplicar herramientas de ingenieria financiera para analizar una opcion call con vencimiento cercano a un ano, simulando escenarios de precios y volatilidad, construyendo la tabla y figura de convexidad para cada vencimiento mensual, y calculando las principales sensibilidades (griegas) para el primer, sexto y ultimo vencimiento.
De esta manera, el analisis integra teoria y practica para comprender mejor el impacto del riesgo y la dinamica de precios en activos tecnologicos relevantes como TSLA.
| Parametro | Valor |
|---|---|
| Subyacente | TSLA - Tesla, Inc. |
| Precio Spot (S0) | $400.62 |
| Strike (K) | $400 |
| Vencimiento (T) | 252 dias habiles |
| Tasa libre de riesgo (r) | 3.691% |
| Volatilidad implicita final | 55% |
En este ejercicio se adopta el ano comercial de 252 dias habiles, estandar en finanzas. Una quincena comercial corresponde a maximo 11 dias, y 30 dias calendario equivalen a 22 dias laborales. Usar esta medida asegura que los calculos reflejen la realidad del mercado: el valor temporal de una opcion solo se desgasta en los dias en que el mercado esta abierto, no en fines de semana ni festivos. Para un inversionista, este detalle es clave para valorar posiciones con mayor precision y tomar decisiones ajustadas al ritmo real de negociacion.
| Plazo_meses | Tasa |
|---|---|
| 1 | 0.03661 |
| 3 | 0.03675 |
| 6 | 0.03688 |
| 12 | 0.03691 |
## [1] 0.03691La tasa libre de riesgo utilizada en este ejercicio proviene de la curva CME Term SOFR publicada el 16 de abril de 2026. Esta curva recoge las tasas para plazos de 1, 3, 6 y 12 meses, y constituye el referente estandar para derivados denominados en dolares desde la transicion del LIBOR al SOFR.
Para obtener la tasa correspondiente a un vencimiento de 12 meses, se aplico una interpolacion lineal entre los nodos disponibles de la curva. El resultado arroja una tasa anualizada de 3.691%, coherente con el nivel actual de politica monetaria de la Reserva Federal.
Utilizar la tasa correctamente interpolada es clave para valorar la opcion con precision. Una tasa subestimada reduciria el valor presente del strike y sobrevaluaria la prima, mientras que una tasa sobreestimada tendria el efecto contrario. La interpolacion lineal es ampliamente aceptada cuando los nodos de la curva son cercanos entre si.
| Mes | Volatilidad |
|---|---|
| 0 | 0.31 |
| 1 | 0.33 |
| 2 | 0.35 |
| 3 | 0.37 |
| 4 | 0.39 |
| 5 | 0.41 |
| 6 | 0.43 |
| 7 | 0.45 |
| 8 | 0.47 |
| 9 | 0.49 |
| 10 | 0.51 |
| 11 | 0.53 |
| 12 | 0.55 |
El Strike de $400 se selecciono por ser la opcion ATM (At-The-Money) mas cercana al precio spot de $400.62 en la fecha de valoracion. Operar ATM permite observar con mayor claridad el efecto de la convexidad, ya que en ese punto el Gamma alcanza su maximo y la sensibilidad de la opcion a los movimientos del subyacente es maxima.
La volatilidad implicita se ajusta linealmente desde 31% en el mes 0 hasta 55% al vencimiento final, con un incremento de 2% mensual. Este perfil ascendente refleja que las opciones de mayor plazo incorporan mayor incertidumbre acumulada sobre el precio de TSLA.
Desde el punto de vista practico, este ajuste modela el term structure de la volatilidad: la prima no es constante en el tiempo, sino que crece a medida que el horizonte se alarga. Para el inversionista, esto implica que las estrategias de largo plazo sobre TSLA son inherentemente mas costosas pero ofrecen mayor proteccion ante escenarios extremos.
La simulacion del precio de TSLA a un ano permite establecer un rango de posibles trayectorias. El escenario alcista refleja una tendencia positiva con choques de volatilidad favorables; el escenario lateral muestra oscilaciones menores alrededor del spot; y el escenario bajista incorpora presion negativa sostenida. La linea roja punteada indica el Strike de $400.
El rango de precios para la convexidad se construye tomando los percentiles 2.5% y 97.5% de la distribucion lognormal a un ano, avanzando de $2 en $2. Para cada vencimiento mensual se calcula el valor de la opcion call bajo Black-Scholes-Merton con la volatilidad implicita correspondiente.
| Precio | Venc.1 | Venc.2 | Venc.3 | Venc.4 | Venc.5 | Venc.6 | Venc.7 | Venc.8 | Venc.9 | Venc.10 | Venc.11 | Venc.12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 120 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.001 | 0.005 | 0.024 | 0.075 | 0.185 | 0.383 | 0.699 |
| 204 | 0.000 | 0.000 | 0.002 | 0.030 | 0.156 | 0.475 | 1.071 | 1.999 | 3.281 | 4.920 | 6.903 | 9.207 |
| 290 | 0.003 | 0.232 | 1.176 | 2.948 | 5.445 | 8.536 | 12.108 | 16.073 | 20.364 | 24.926 | 29.718 | 34.706 |
| 374 | 5.495 | 12.170 | 18.602 | 24.932 | 31.240 | 37.568 | 43.938 | 50.361 | 56.845 | 63.389 | 69.993 | 76.655 |
| 458 | 60.552 | 65.615 | 71.432 | 77.574 | 83.923 | 90.432 | 97.078 | 103.847 | 110.729 | 117.713 | 124.793 | 131.959 |
| 544 | 145.235 | 146.782 | 149.195 | 152.535 | 156.662 | 161.428 | 166.713 | 172.427 | 178.499 | 184.875 | 191.510 | 198.370 |
| 628 | 229.228 | 230.466 | 231.865 | 233.701 | 236.155 | 239.278 | 243.052 | 247.423 | 252.329 | 257.711 | 263.512 | 269.681 |
| 714 | 315.228 | 316.453 | 317.693 | 319.050 | 320.699 | 322.796 | 325.437 | 328.660 | 332.462 | 336.819 | 341.690 | 347.035 |
| 798 | 399.228 | 400.453 | 401.676 | 402.922 | 404.278 | 405.876 | 407.846 | 410.285 | 413.249 | 416.758 | 420.808 | 425.380 |
| 882 | 483.228 | 484.453 | 485.674 | 486.897 | 488.155 | 489.527 | 491.126 | 493.063 | 495.427 | 498.278 | 501.647 | 505.541 |
| 968 | 569.228 | 570.453 | 571.674 | 572.892 | 574.119 | 575.394 | 576.795 | 578.420 | 580.369 | 582.724 | 585.542 | 588.858 |
| 1052 | 653.228 | 654.453 | 655.674 | 656.891 | 658.109 | 659.345 | 660.648 | 662.096 | 663.778 | 665.786 | 668.192 | 671.052 |
A partir del rango de precios construido, se calcula el valor de la opcion en cada punto para cada uno de los 12 vencimientos mensuales. El grafico muestra claramente que el valor de la opcion no crece de manera lineal con el precio del subyacente: la curva se encorva hacia arriba, generando lo que llamamos convexidad positiva.
A medida que aumenta el tiempo al vencimiento (curvas de menor a mayor), la opcion vale mas para el mismo precio del subyacente porque hay mas tiempo para que el precio supere el strike. El pico de las curvas se desplaza y se amplifica conforme la volatilidad implicita aumenta de mes en mes.
Para el inversionista, la convexidad significa que los movimientos grandes del subyacente benefician al tenedor del call: las ganancias son ilimitadas mientras que la perdida maxima esta acotada a la prima pagada. Por eso las opciones TSLA, con alta volatilidad implicita, exhiben una convexidad especialmente pronunciada.
Las griegas se calculan usando el mismo rango de precios (de $120 a $1052, paso $2) para el primer vencimiento (21 dias habiles), el sexto vencimiento (126 dias habiles) y el ultimo vencimiento (252 dias habiles).
| Precio | Delta | Gamma | Theta | Vega | Rho |
|---|---|---|---|---|---|
| 120 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 |
| 204 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 |
| 290 | 0.0005 | 0.0001 | -0.0012 | 0.0015 | 0.0001 |
| 374 | 0.2658 | 0.0092 | -0.2920 | 0.3542 | 0.0783 |
| 458 | 0.9334 | 0.0030 | -0.1880 | 0.1709 | 0.3058 |
| 544 | 0.9995 | 0.0000 | -0.0604 | 0.0026 | 0.3321 |
| 628 | 1.0000 | 0.0000 | -0.0584 | 0.0000 | 0.3323 |
| 714 | 1.0000 | 0.0000 | -0.0584 | 0.0000 | 0.3323 |
| 798 | 1.0000 | 0.0000 | -0.0584 | 0.0000 | 0.3323 |
| 882 | 1.0000 | 0.0000 | -0.0584 | 0.0000 | 0.3323 |
| 968 | 1.0000 | 0.0000 | -0.0584 | 0.0000 | 0.3323 |
| 1052 | 1.0000 | 0.0000 | -0.0584 | 0.0000 | 0.3323 |
| Precio | Delta | Gamma | Theta | Vega | Rho |
|---|---|---|---|---|---|
| 120 | 0.0001 | 0.0000 | -0.0001 | 0.0003 | 0.0001 |
| 204 | 0.0227 | 0.0009 | -0.0138 | 0.0776 | 0.0207 |
| 290 | 0.1991 | 0.0032 | -0.1049 | 0.5725 | 0.2460 |
| 374 | 0.4967 | 0.0035 | -0.2017 | 1.0550 | 0.7410 |
| 458 | 0.7447 | 0.0023 | -0.2143 | 1.0405 | 1.2533 |
| 544 | 0.8895 | 0.0011 | -0.1710 | 0.7256 | 1.6124 |
| 628 | 0.9551 | 0.0005 | -0.1245 | 0.4203 | 1.8026 |
| 714 | 0.9829 | 0.0002 | -0.0920 | 0.2136 | 1.8951 |
| 798 | 0.9935 | 0.0001 | -0.0742 | 0.1029 | 1.9347 |
| 882 | 0.9975 | 0.0000 | -0.0653 | 0.0476 | 1.9516 |
| 968 | 0.9991 | 0.0000 | -0.0610 | 0.0211 | 1.9586 |
| 1052 | 0.9997 | 0.0000 | -0.0591 | 0.0094 | 1.9615 |
| Precio | Delta | Gamma | Theta | Vega | Rho |
|---|---|---|---|---|---|
| 120 | 0.0324 | 0.0011 | -0.0100 | 0.0870 | 0.0319 |
| 204 | 0.1888 | 0.0024 | -0.0645 | 0.5515 | 0.2932 |
| 290 | 0.4042 | 0.0024 | -0.1347 | 1.1234 | 0.8250 |
| 374 | 0.5870 | 0.0019 | -0.1799 | 1.4564 | 1.4289 |
| 458 | 0.7218 | 0.0013 | -0.1968 | 1.5368 | 1.9864 |
| 544 | 0.8163 | 0.0009 | -0.1938 | 1.4460 | 2.4567 |
| 628 | 0.8774 | 0.0006 | -0.1804 | 1.2751 | 2.8135 |
| 714 | 0.9186 | 0.0004 | -0.1626 | 1.0757 | 3.0883 |
| 798 | 0.9450 | 0.0003 | -0.1451 | 0.8882 | 3.2870 |
| 882 | 0.9624 | 0.0002 | -0.1291 | 0.7220 | 3.4334 |
| 968 | 0.9743 | 0.0001 | -0.1150 | 0.5780 | 3.5431 |
| 1052 | 0.9821 | 0.0001 | -0.1035 | 0.4625 | 3.6217 |
A continuacion se interpretan las griegas para los tres vencimientos seleccionados:
Primer vencimiento (21 dias habiles, vol=33%): La opcion esta muy cerca del vencimiento con baja volatilidad. Theta es muy negativo en la zona ATM: el valor temporal se erosiona rapidamente. Gamma es alto cerca del strike, indicando que el Delta cambia con fuerza ante pequenos movimientos del precio. Delta salta bruscamente alrededor de K=$400.
Sexto vencimiento (126 dias habiles, vol=43%): La sensibilidad se estabiliza. Delta muestra una transicion mas suave entre 0 y 1. Gamma y Theta se moderan porque hay mas tiempo para absorber los movimientos del subyacente. Vega aumenta reflejando mayor sensibilidad a cambios en volatilidad implicita.
Ultimo vencimiento (252 dias, vol=55%): Con el mayor horizonte temporal y mayor volatilidad implicita, Vega alcanza sus valores maximos. Delta es mas gradual, Gamma es mas plano, y Theta (aunque negativo) es menos pronunciado porque el tiempo restante es amplio. Rho positiva indica sensibilidad moderada a la tasa SOFR, mayor que en vencimientos cortos.
El analisis de convexidad sobre la opcion call de Tesla, Inc. (TSLA) con vencimiento al 17/04/2027 permite extraer las siguientes conclusiones:
La convexidad positiva queda evidenciada en todas las curvas: el valor de la opcion BSM siempre supera la aproximacion lineal por delta, confirmando que el tenedor del call se beneficia de movimientos grandes del precio en cualquier direccion. Esta propiedad es especialmente valiosa en TSLA dado su elevado nivel de volatilidad implicita (55% al vencimiento).
La tabla y figura de convexidad para cada vencimiento muestran como las curvas se desplazan hacia arriba y se amplian conforme aumenta el plazo, debido al incremento de la volatilidad implicita de 2% mensual. Para cada mes, el rango de precios (percentiles 2.5%/97.5%, paso $2 USD) captura con rigor la distribucion de posibles precios del subyacente.
La simulacion de escenarios mensuales muestra que bajo trayectorias alcistas el precio supera ampliamente el strike ($400), generando valor intrinseco creciente. En escenarios bajistas, la perdida maxima queda acotada a la prima pagada, ilustrando la asimetria caracteristica de las opciones call.
Respecto a las griegas, Delta aumenta progresivamente al superar el precio el strike; Gamma alcanza su pico ATM en $400, indicando maxima sensibilidad del Delta; Theta es negativa reflejando erosion del valor temporal, mas pronunciada en el primer vencimiento; Vega positiva confirma beneficio ante aumentos de volatilidad implicita; Rho positiva indica sensibilidad moderada y creciente con el plazo a la tasa SOFR.
En conjunto, la opcion call sobre TSLA representa un instrumento con perfil de riesgo-retorno asimetrico favorable para el inversionista que anticipa movimientos significativos en el precio de la accion durante el proximo ano.