Para este caso se trabajara con el activo NVIDIA Corporation del S&P500
Tiene altísima volatilidad implícita (ideal para convexidad)
Opciones muy líquidas
## speed dist
## Min. : 4.0 Min. : 2.00
## 1st Qu.:12.0 1st Qu.: 26.00
## Median :15.0 Median : 36.00
## Mean :15.4 Mean : 42.98
## 3rd Qu.:19.0 3rd Qu.: 56.00
## Max. :25.0 Max. :120.00## Precio Mes_0 Mes_1 Mes_2 Mes_3 Mes_4 Mes_5
## 1 350 1.552189 0.7914465 0.3452832 0.1215304 0.03152058 0.005204316
## 2 352 1.612170 0.8266725 0.3632533 0.1290598 0.03389588 0.005694181
## 3 354 1.673889 0.8631155 0.3819736 0.1369752 0.03642375 0.006224445
## 4 356 1.737377 0.9008039 0.4014671 0.1452921 0.03911219 0.006797939
## 5 358 1.802667 0.9397665 0.4217567 0.1540261 0.04196948 0.007417657
## 6 360 1.869788 0.9800323 0.4428661 0.1631933 0.04500423 0.008086758
## Mes_6 Mes_7 Mes_8 Mes_9 Mes_10 Mes_11
## 1 0.0004259304 1.089623e-05 3.399332e-08 1.387099e-12 8.470159e-22 1.274477e-50
## 2 0.0004777323 1.268765e-05 4.205256e-08 1.912888e-12 1.474440e-21 4.657733e-50
## 3 0.0005351945 1.474975e-05 5.190300e-08 2.628686e-12 2.550836e-21 1.677585e-49
## 4 0.0005988625 1.711970e-05 6.391574e-08 3.599785e-12 4.386280e-21 5.955947e-49
## 5 0.0006693268 1.983926e-05 7.853306e-08 4.912747e-12 7.497307e-21 2.084784e-48
## 6 0.0007472261 2.295526e-05 9.628089e-08 6.681949e-12 1.273931e-20 7.196172e-48
## Mes_12
## 1 0
## 2 0
## 3 0
## 4 0
## 5 0
## 6 0## Precio Delta Gamma Vega Theta Rho
## 1 350 0.02956091 0.0004267600 23.52515 -5.715276 8.794131
## 2 352 0.03042223 0.0004345630 24.22984 -5.888344 9.096456
## 3 354 0.03129918 0.0004423929 24.94751 -6.064679 9.406023
## 4 356 0.03219182 0.0004502478 25.67817 -6.244289 9.722911
## 5 358 0.03310019 0.0004581258 26.42186 -6.427183 10.047202
## 6 360 0.03402434 0.0004660250 27.17858 -6.613370 10.378974Datos para el ejercicio
Resultados
El ejercicio se desarrolló utilizando una opción call europea sobre NVIDIA Corporation, considerando un precio spot inicial S_0=950 USD y un precio de ejercicio K=950 USD, lo cual ubica la opción en condición At The Money (ATM) al inicio.
Se utilizó una tasa libre de riesgo de r=4.8% y una volatilidad implícita inicial de σ=45%, consistente con activos tecnológicos de alta variabilidad. El horizonte temporal considerado fue de T=252 días hábiles.
Convexidad
Los resultados muestran que el precio de la opción presenta una relación no lineal (convexa) frente al precio del activo subyacente. En particular:
Para valores bajos del activo (S<600), la opción tiene un valor cercano a cero, lo cual refleja que se encuentra Out of The Money (OTM). En niveles cercanos al strike (S≈950), se observa una alta curvatura, lo que indica mayor sensibilidad del precio ante pequeños cambios del subyacente. Para valores altos (S>1400), la función tiende a comportarse de forma casi lineal, donde la opción ya está profundamente In The Money (ITM).
Simulacion del activo
Se modeló el precio del activo bajo una distribución lognormal, obteniendo:
Esto implica un rango amplio de posibles escenarios, coherente con la alta volatilidad del activo.
El análisis confirma que la convexidad de las opciones es más pronunciada en escenarios de alta volatilidad y mayor tiempo al vencimiento. A medida que el tiempo avanza, el valor de la opción converge a su valor intrínseco, reduciendo su sensibilidad.
Este comportamiento es fundamental en la gestión de derivados, ya que permite entender cómo evoluciona el riesgo y la rentabilidad de una posición en opciones bajo distintos escenarios de mercado.
Delta (Δ)
La delta muestra una transición suave, lo cual es consistente con la naturaleza probabilística del modelo de Black-Scholes.
Gamma (Γ)
La gamma indica que el mayor riesgo de cambios bruscos en la delta ocurre cuando el precio está cerca del strike.
Vega (ν)
La volatilidad tiene mayor impacto cuando existe mayor incertidumbre sobre si la opción terminará en el dinero.
Theta (θ)
La theta refleja el deterioro del valor temporal, siendo más crítico en los últimos periodos.
Rho (ρ)
Un aumento en la tasa de interés incrementa el valor de la opción call, debido al efecto de descuento del strike.