El índice Dow Jones Industrial Average está compuesto por 30 empresas grandes (“blue chips”) de EE. UU.

En esta oportunidad se escogio Microsoft (MSFT)

1. Parámetros iniciales

S0 <- 420
K <- 420
r <- 0.04
sigma_final <- 0.22
dias_anio <- 252

2. Convexidad (Gráfica principal)

3. Tablas de Griegas (Mes 1, 6, 12)

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## Mes: 1 
##          S Delta Gamma Theta Vega Rho
## 1 276.1806     0   NaN     0    0   0
## 2 278.1806     0   NaN     0    0   0
## 3 280.1806     0   NaN     0    0   0
## 4 282.1806     0   NaN     0    0   0
## 5 284.1806     0   NaN     0    0   0
## 6 286.1806     0   NaN     0    0   0
## 
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## Mes: 6 
##          S        Delta        Gamma         Theta         Vega          Rho
## 1 276.1806 1.010578e-08 2.990282e-09 -1.250756e-06 1.140430e-05 1.379084e-06
## 2 278.1806 1.813251e-08 5.235312e-09 -2.225009e-06 2.025659e-05 2.491884e-06
## 3 280.1806 3.207583e-08 9.035595e-09 -3.901633e-06 3.546524e-05 4.438868e-06
## 4 282.1806 5.595672e-08 1.537712e-08 -6.745871e-06 6.122083e-05 7.797341e-06
## 5 284.1806 9.629425e-08 2.581155e-08 -1.150336e-05 1.042253e-04 1.351048e-05
## 6 286.1806 1.635080e-07 4.274532e-08 -1.935185e-05 1.750407e-04 2.309732e-05
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## Mes: 12 
##          S      Delta       Gamma     Theta     Vega      Rho
## 1 276.1806 0.05330332 0.001786004 -3.835113 29.97032 13.45943
## 2 278.1806 0.05695766 0.001868528 -4.078095 31.81091 14.47237
## 3 280.1806 0.06077817 0.001952155 -4.330125 33.71422 15.53901
## 4 282.1806 0.06476693 0.002036751 -4.591135 35.67919 16.66060
## 5 284.1806 0.06892573 0.002122181 -4.861036 37.70457 17.83832
## 6 286.1806 0.07325611 0.002208304 -5.139711 39.78890 19.07329

4. Gráfica de Delta (Mes 6)

5. Gráfica de Gamma (Mes 6)

6. Gráfica de Vega (Mes 6)

7. Conclusiónes generales

El análisis desarrollado para la opción Call sobre Microsoft (MSFT) permite evidenciar de manera clara la relación no lineal entre el precio del activo subyacente y el valor de la opción, lo cual constituye el concepto fundamental de convexidad en instrumentos derivados.

Para capturar adecuadamente la convexidad, se realizó una simulación del precio del activo a un horizonte de un año bajo un proceso lognormal. Este enfoque permite modelar de forma consistente la dinámica estocástica del precio, incorporando volatilidad y crecimiento esperado.

A partir de esta simulación:

Estos percentiles representan un intervalo de confianza del 95%, el cual delimita un rango realista de posibles precios futuros del activo.

Posteriormente, se construyó una grilla de precios dentro de este rango con incrementos constantes de 2 USD, lo cual permite:

Este procedimiento es fundamental, ya que define el dominio sobre el cual se observa la convexidad.

Con la grilla definida, se procedió a calcular el valor de la opción para cada nivel de precio del subyacente utilizando el modelo de Black-Scholes.

Esto permitió construir una tabla estructurada donde:

Esta tabla es la base para el análisis de convexidad, ya que muestra cómo cambia el precio de la opción ante variaciones del subyacente.

La convexidad se evidencia al graficar:

Para cada uno de los 12 vencimientos simulados.

Los resultados muestran que:

Esto confirma que el valor de la opción responde de forma acelerada ante cambios en el subyacente, especialmente cerca del precio strike.

Al analizar la convexidad para cada uno de los vencimientos mensuales, se observan patrones importantes:

La convexidad observada en las gráficas está directamente relacionada con la Gamma, que mide la segunda derivada del precio de la opción respecto al subyacente.

Se identifica que:

Esto explica por qué la curvatura es más pronunciada cerca del strike y en horizontes cercanos al vencimiento.

El uso de los percentiles 2.5% y 97.5% no es arbitrario, sino que cumple un rol clave:

Además, garantiza que la gráfica no esté sesgada por outliers, mejorando la interpretación económica.

El ejercicio demuestra que: