計量経済I：復習テスト3

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト 1～8 を順に重ねて左上でホチキス止めし，中間テスト実施日（6月9日の予定）に提出すること．

1. 次の確率変数を考える．

X:=\begin{cases} 1 & \text{with pr.\ 1/2} \\ 0 & \text{with pr.\ 1/2} \\ \end{cases}

1. X の累積分布関数を式とグラフで表しなさい．

2. X の確率質量関数を式とグラフで表しなさい．

解答例

F_X(x)=\begin{cases} 0 & \text{for $x<0$} \\ 1/2 & \text{for $0 \le x<1$} \\ 1 & \text{for $1 \le x$} \\ \end{cases}

p_X(x)=\begin{cases} 1/2 & \text{for $x=0,1$} \\ 0 & \text{elsewhere} \\ \end{cases}

2. 次の確率変数を考える．

X:=\begin{cases} 1 & \text{with pr.\ $p$} \\ 0 & \text{with pr.\ $1-p$} \\ \end{cases}

1. \operatorname{E}(X) を求めなさい．

2. \operatorname{E}\left(X^2\right) を求めなさい．

3. \operatorname{var}(X) を求めなさい．

解答例

\begin{align*} \operatorname{E}(X) & :=1 \cdot p+0 \cdot (1-p) \\ & =p \end{align*}

\begin{align*} \operatorname{E}\left(X^2\right) & :=1^2 \cdot p+0^2 \cdot (1-p) \\ & =p \end{align*}

3. \operatorname{E}(X)=p より

\begin{align*} \operatorname{var}(X) & :=(1-p)^2 \cdot p+(0-p)^2 \cdot (1-p) \\ & =p(1-p)^2+p^2(1-p) \\ & =p(1-p)[(1-p)+p] \\ & =p(1-p) \end{align*}

3. 確率変数 X について，以下の公式が成り立つことを示しなさい．

1. 線形変換の期待値（期待値の線形性）

\operatorname{E}(aX+b)=a\operatorname{E}(X)+b

2. 線形変換の分散

\operatorname{var}(aX+b)=a^2\operatorname{var}(X)

3. 分散の計算公式

\operatorname{var}(X)=\operatorname{E}\left(X^2\right)-\operatorname{E}(X)^2

解答例

1. X が離散なら

\begin{align*} \operatorname{E}(aX+b) & :=\sum_x(ax+b)p_X(x) \\ & =\sum_x(axp_X(x)+bp_X(x)) \\ & =\sum_xaxp_X(x)+\sum_xbp_X(x) \\ & =a\sum_xxp_X(x)+b\sum_xp_X(x) \\ & =a\operatorname{E}(X)+b \end{align*}

X が連続なら

\begin{align*} \operatorname{E}(aX+b) & :=\int_{-\infty}^{\infty}(ax+b)f_X(x)\mathrm{d}x \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}(axf_X(x)+bf_X(x))\mathrm{d}x \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}axf_X(x)\mathrm{d}x+\int_{-\infty}^{\infty}bf_X(x)\mathrm{d}x \\ & =a\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)\mathrm{d}x+b\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\mathrm{d}x \\ & =a\operatorname{E}(X)+b \end{align*}

2. 期待値の線形性より

\begin{align*} \operatorname{var}(aX+b) & :=\operatorname{E}\left((aX+b-\operatorname{E}(aX+b))^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left([aX+b-(a\operatorname{E}(X)+b)]^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left([a(X-\operatorname{E}(X))]^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left(a^2(X-\operatorname{E}(X))^2\right) \\ & =a^2\operatorname{E}\left((X-\operatorname{E}(X))^2\right) \\ & =a^2\operatorname{var}(X) \end{align*}

3. 期待値の線形性より

\begin{align*} \operatorname{var}(X) & :=\operatorname{E}\left((X-\mu_X)^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left(X^2-2\mu_XX+\mu_X^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left(X^2\right)-2\mu_X\operatorname{E}(X)+\mu_X^2 \\ & =\operatorname{E}\left(X^2\right)-2\mu_X^2+\mu_X^2 \\ & =\operatorname{E}\left(X^2\right)-\mu_X^2 \end{align*}