Este informe estudia una opción call europea sobre Apple (AAPL) con vencimiento cercano a un año, valorada con el modelo Black-Scholes-Merton. La elección de AAPL permite trabajar con un activo líquido y con mercado de opciones suficientemente profundo, mientras que el strike de $260 deja la posición en una zona casi at-the-money, lo que hace más visible el comportamiento de la convexidad y de las griegas.
Además, la valoración se apoya en la estructura de tasas CME Term SOFR, que en este ejercicio se mueve alrededor de 3.68%, y en una volatilidad implícita ajustada mensualmente según lo solicitado en el enunciado. La idea no es solo calcular la prima, sino entender cómo cambia la sensibilidad de la opción cuando se mueve el precio de la acción, cuando pasa el tiempo y cuando cambian la volatilidad y la tasa libre de riesgo.
Para una call europea sin dividendos:
\[ C = S N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) \]
con
\[ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + 0.5\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} \]
Griegas usadas en el informe:
\[ \Delta = N(d_1) \]
\[ \Gamma = \frac{\phi(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}} \]
\[ \Theta = -\frac{S\phi(d_1)\sigma}{2\sqrt{T}} - rKe^{-rT}N(d_2) \]
\[ \text{Vega} = S\phi(d_1)\sqrt{T} \]
\[ \rho = KTe^{-rT}N(d_2) \]
En las tablas y gráficas se reporta Theta diaria \((\Theta/252)\), Vega por 1% y Rho por 1% para facilitar la lectura.
En esta sección se definen las funciones que usa el informe para:
En esta parte se construyen 12 escenarios mensuales desde la fecha actual hasta el vencimiento. Para cada escenario se calcula el tiempo remanente en días hábiles, la tasa libre de riesgo interpolada y la volatilidad ajustada con el decremento lineal exigido en el enunciado.
La parametrización elegida deja a la opción en una zona muy útil para el análisis. Con un precio inicial de AAPL de $263.40 y un strike de $260, la call parte casi en el dinero, así que pequeñas variaciones en el subyacente generan cambios relevantes en la prima. Ese punto de partida es importante porque la región ATM es justamente donde más se siente la curvatura de la opción y donde varias de las griegas alcanzan niveles más interesantes.
Por el lado de tasas, la curva SOFR se mantiene bastante estable entre 3.66% y 3.69%, así que el efecto de la tasa existe, pero no domina frente al precio de la acción o la volatilidad. En cambio, la volatilidad sí introduce una diferencia clara entre escenarios, porque se va ajustando mes a mes y eso cambia tanto el valor temporal como la sensibilidad del contrato.
La simulación del precio final de AAPL permite construir un rango razonable para evaluar la opción sin quedarse solo con el precio actual. En lugar de usar extremos poco probables, se tomó como referencia el intervalo definido por los percentiles 2.5% y 97.5% de la distribución simulada. Eso deja una malla de precios suficientemente amplia para ver cómo responde la call cuando el activo cae bastante, cuando permanece cerca del strike y cuando sube con fuerza.
Este paso es importante porque la convexidad de una opción no se aprecia bien con uno o dos puntos aislados. Se necesita observar cómo cambia la prima a lo largo de muchos niveles del subyacente. Al mover el precio en intervalos de $2, el informe logra mostrar la forma de la curva de manera continua y permite comparar ese comportamiento para cada vencimiento mensual.
La convexidad de la call se ve claramente en la forma de las curvas. Cuando el precio de AAPL está muy por debajo del strike, la opción vale poco porque la posibilidad de terminar con ejercicio favorable es reducida. En esa zona la curva es casi plana. A medida que el precio se acerca a $260, la prima empieza a reaccionar con más fuerza y la pendiente aumenta. Después del strike, el valor de la opción crece de forma más acelerada, que es justamente el comportamiento convexo esperado en una call.
También se nota que la forma de la curva cambia con el tiempo al vencimiento. En los primeros meses la curva es más suave porque todavía existe valor temporal y la opción conserva posibilidades de recuperarse incluso si el precio no está claramente por encima del strike. En los meses cercanos al vencimiento, la curvatura se concentra mucho más alrededor de la zona ATM. Eso significa que la opción se vuelve más sensible justo donde el mercado está “decidiendo” si termina dentro o fuera del dinero.
Aquí la Gamma tiene un papel central, porque es la griega que mide qué tan rápido cambia la Delta. Por eso, cuando la convexidad se vuelve más marcada, normalmente también aparece un aumento de Gamma cerca del strike. En términos económicos, esto quiere decir que una call casi ATM puede pasar de comportarse como una posición relativamente estable a una mucho más reactiva cuando le queda poco tiempo de vida.
Después de ver la forma convexa de la prima, el siguiente paso es analizar las griegas, porque ellas muestran con más detalle cómo cambia la sensibilidad de la opción en distintos momentos de su vida. Para esto se comparan tres puntos del horizonte: mes 1, mes 6 y mes 12, lo que permite ver el efecto combinado del precio, el tiempo restante, la volatilidad y la tasa libre de riesgo.
La Delta muestra cuánto cambia el valor de la call cuando AAPL sube o baja un dólar. Como la opción parte casi at-the-money, la Delta inicial se ubica en una zona intermedia. Cerca del strike, en el mes 1, la Delta ronda 0.518, lo que indica una sensibilidad direccional moderada: la opción ya responde al movimiento del subyacente, pero todavía no se comporta como una posición casi segura.
A medida que se acerca el vencimiento, la forma de la Delta cambia bastante. Con más tiempo restante, la transición entre 0 y 1 es más suave, porque todavía existe incertidumbre sobre el resultado final. En cambio, cerca del vencimiento la curva se vuelve mucho más vertical alrededor del strike. Por debajo de $260 la Delta cae rápido hacia 0 y por encima sube rápido hacia 1. Eso refleja que, cuando ya no queda tiempo, la opción depende mucho más del nivel exacto en el que se encuentre la acción.
La Gamma mide la velocidad con la que cambia la Delta, y por eso es la griega que mejor conecta con la idea de convexidad. En la zona cercana al strike, la Gamma alcanza sus niveles más altos. En el mes 1, alrededor del punto ATM, aparece cerca de 0.0188, lo que ya indica una sensibilidad importante de la Delta frente a pequeños movimientos del subyacente.
Cuando el vencimiento está más cerca, el pico de Gamma se vuelve más estrecho y más intenso. Eso significa que, si AAPL se mueve unos pocos dólares alrededor de $260, la sensibilidad de la opción cambia muy rápido. En términos prácticos, esta es la zona más delicada para una call casi ATM, porque pequeños movimientos del activo pueden modificar de manera fuerte la exposición de la posición.
La Theta representa el efecto del paso del tiempo sobre la prima. En una call, ese efecto suele ser negativo, porque cada día que pasa reduce el valor temporal de la opción. Lo importante aquí es que esa pérdida no ocurre de manera uniforme. Al inicio del horizonte existe desgaste, pero todavía hay tiempo suficiente para que el activo se mueva a favor. Cerca del vencimiento, en cambio, el tiempo empieza a “pesar” mucho más.
Eso se ve con claridad en el mes 12, donde la Theta diaria alrededor del strike llega a valores cercanos a -0.228, bastante más agresivos que en el mes 1. La intuición es sencilla: cuando la opción está casi ATM, una parte importante de su valor viene de la posibilidad de que algo ocurra antes de expirar. Si ya no queda tiempo, esa posibilidad desaparece rápido y la prima empieza a desinflarse con más fuerza.
La Vega mide cuánto cambia el valor de la opción cuando cambia la volatilidad implícita. Su efecto es más fuerte cuando la opción está cerca del strike y cuando todavía queda tiempo al vencimiento. Eso tiene sentido porque una mayor volatilidad amplía la posibilidad de que AAPL termine bastante por encima de $260, y ese beneficio vale más cuando el mercado todavía tiene tiempo para moverse.
En los escenarios cercanos al vencimiento, la Vega cae de manera importante. Aunque la volatilidad siga siendo relevante, ya no existe suficiente horizonte para que esa incertidumbre adicional se traduzca en un cambio tan grande en el precio final de la opción. Por eso, la sensibilidad a volatilidad es mucho más visible en los primeros meses que en el último tramo de vida del contrato.
La Rho recoge el impacto de cambios en la tasa libre de riesgo sobre el valor de la call. En este ejercicio, la curva SOFR se mantiene relativamente estable alrededor de 3.68%, así que su efecto no domina el análisis, pero sí aporta una sensibilidad adicional que vale la pena interpretar. En general, una tasa más alta favorece ligeramente el valor de una call porque reduce, en términos presentes, el peso del strike que se pagaría al vencimiento.
Ese efecto se nota más cuando falta más tiempo, porque el descuento del pago futuro es más relevante. En cambio, cuando la opción está muy cerca de vencer, un cambio en la tasa ya no altera demasiado el valor presente del strike. Por eso la Rho tiene más presencia en horizontes largos y pierde importancia en el último mes.
En conjunto, los resultados muestran un comportamiento coherente con una call europea casi ATM sobre AAPL. La prima presenta una relación claramente convexa con el precio de la acción, y esa convexidad se vuelve más intensa alrededor del strike cuando el vencimiento está cerca. La Gamma explica esa curvatura creciente, la Delta muestra cómo la opción pasa de una sensibilidad intermedia a una respuesta casi binaria alrededor del strike, y la Theta deja claro que el valor temporal se deteriora con mucha más fuerza en la etapa final de la vida del contrato.
Por su parte, Vega y Rho completan la lectura del riesgo. La volatilidad tiene mayor impacto cuando todavía queda tiempo para que el mercado se mueva, mientras que la tasa libre de riesgo afecta más a la opción en horizontes largos que en los meses finales. En términos prácticos, la call analizada gana valor de forma convexa cuando sube AAPL, pero al acercarse el vencimiento esa sensibilidad se vuelve más concentrada, más rápida y más exigente de interpretar.