Solución paso a paso de los Ejercicios Secadores

Fórmulas Generales del Diseño en Cuadro Latino (DCL)

Para ambos ejercicios con \(k=4\) (16 observaciones en total), las fórmulas a aplicar son:

  • Término de Corrección (TC): \[TC = \frac{(Y_{..})^2}{k^2}\]
  • Suma de Cuadrados Total (SCT): \[SCT = \sum (Y_{ij(t)})^2 - TC\]
  • Suma de Cuadrados Filas (SCF): \[SCF = \frac{\sum (Y_{i.})^2}{k} - TC\]
  • Suma de Cuadrados Columnas (SCC): \[SCC = \frac{\sum (Y_{.j})^2}{k} - TC\]
  • Suma de Cuadrados Tratamientos (SCTr): \[SCTr = \frac{\sum (Y_{..t})^2}{k} - TC\]
  • Suma de Cuadrados del Error (SCE): \[SCE = SCT - SCF - SCC - SCTr\]

Ejercicio 1: Secador Solar de Convección Natural

Datos Obtenidos (Eficiencia %):

Horario C1 C2 C3 C4
F1 25 (A) 37 (B) 42 (C) 33 (D)
F2 35 (B) 46 (C) 35 (D) 36 (A)
F3 48 (C) 37 (D) 39 (A) 48 (B)
F4 36 (D) 41 (A) 47 (B) 55 (C)

Paso 1: Cálculo de Totales

  • Gran Total (\(Y_{..}\)): \[Y_{..} = 25+37+42+33+35+46+35+36+48+37+39+48+36+41+47+55 = 640\]
  • Totales por Fila (\(Y_{i.}\)):
    • \(F1 = 25 + 37 + 42 + 33 = 137\)
    • \(F2 = 35 + 46 + 35 + 36 = 152\)
    • \(F3 = 48 + 37 + 39 + 48 = 172\)
    • \(F4 = 36 + 41 + 47 + 55 = 179\)
  • Totales por Columna (\(Y_{.j}\)):
    • \(C1 = 25 + 35 + 48 + 36 = 144\)
    • \(C2 = 37 + 46 + 37 + 41 = 161\)
    • \(C3 = 42 + 35 + 39 + 47 = 163\)
    • \(C4 = 33 + 36 + 48 + 55 = 172\)
  • Totales por Tratamiento (\(Y_{..t}\)):
    • \(A = 25 + 36 + 39 + 41 = 141\)
    • \(B = 37 + 35 + 48 + 47 = 167\)
    • \(C = 42 + 46 + 48 + 55 = 191\)
    • \(D = 33 + 35 + 37 + 36 = 141\)

Paso 2: Cálculo de Sumas de Cuadrados

  • Término de Corrección (TC): \[TC = \frac{(640)^2}{16} = \frac{409600}{16} = 25600\]
  • Suma de Cuadrados Total (SCT): \[SCT = (25^2 + 37^2 + \dots + 55^2) - 25600\] \[SCT = 26418 - 25600 = 818\]
  • Suma de Cuadrados de las Filas (SCF): \[SCF = \frac{137^2 + 152^2 + 172^2 + 179^2}{4} - 25600\] \[SCF = \frac{18769 + 23104 + 29584 + 32041}{4} - 25600 = \frac{103498}{4} - 25600 = 25874.5 - 25600 = 274.5\]
  • Suma de Cuadrados de las Columnas (SCC): \[SCC = \frac{144^2 + 161^2 + 163^2 + 172^2}{4} - 25600\] \[SCC = \frac{20736 + 25921 + 26569 + 29584}{4} - 25600 = \frac{102810}{4} - 25600 = 25702.5 - 25600 = 102.5\]
  • Suma de Cuadrados de los Tratamientos (SCTr): \[SCTr = \frac{141^2 + 167^2 + 191^2 + 141^2}{4} - 25600\] \[SCTr = \frac{19881 + 27889 + 36481 + 19881}{4} - 25600 = \frac{104132}{4} - 25600 = 26033 - 25600 = 433\]
  • Suma de Cuadrados del Error (SCE): \[SCE = 818 - 274.5 - 102.5 - 433 = 8\]

Paso 3: Tabla ANOVA (Ejercicio 1)

Fuente de Variación Suma de Cuadrados (SC) Grados de Libertad (gl) Cuadrado Medio (CM) F calculado
Filas (Horarios) 274.5 3 \(274.5 / 3 = 91.5\) \(91.5 / 1.333 = 68.625\)
Columnas (Posición) 102.5 3 \(102.5 / 3 = 34.167\) \(34.167 / 1.333 = 25.625\)
Tratamientos (Mat.) 433.0 3 \(433.0 / 3 = 144.333\) \(144.333 / 1.333 = 108.25\)
Error 8.0 6 \(8 / 6 = 1.333\)
Total 818.0 15
  • Conclusión Técnica: Dado que el \(F_{calculado}\) para los tratamientos (108.25) es abismalmente mayor que el \(F_{critico}\) (4.76), se rechaza \(H_0\). El material Carbón Vegetal (Tratamiento C) maximiza de manera significativa la eficiencia térmica. Además, los altos valores de F para filas y columnas confirman estadísticamente que el doble bloqueo del DCL evitó el enmascaramiento del error.

Ejercicio 2: Secador de Túnel de Convección Forzada

Datos de Pérdida de Humedad (% tras 6 horas):

Densidad L1 L2 L3 L4
D1 44 (V1) 51 (V2) 62 (V3) 63 (V4)
D2 45 (V2) 56 (V3) 59 (V4) 48 (V1)
D3 42 (V3) 53 (V4) 40 (V1) 48 (V2)
D4 49 (V4) 36 (V1) 47 (V2) 52 (V3)

Paso 1: Cálculo de Totales

  • Gran Total (\(Y_{..}\)): \[Y_{..} = 44+51+62+63+45+56+59+48+42+53+40+48+49+36+47+52 = 795\]
  • Totales por Fila (Densidad, \(Y_{i.}\)):
    • \(D1 = 44 + 51 + 62 + 63 = 220\)
    • \(D2 = 45 + 56 + 59 + 48 = 208\)
    • \(D3 = 42 + 53 + 40 + 48 = 183\)
    • \(D4 = 49 + 36 + 47 + 52 = 184\)
  • Totales por Columna (Lote, \(Y_{.j}\)):
    • \(L1 = 44 + 45 + 42 + 49 = 180\)
    • \(L2 = 51 + 56 + 53 + 36 = 196\)
    • \(L3 = 62 + 59 + 40 + 47 = 208\)
    • \(L4 = 63 + 48 + 48 + 52 = 211\)
  • Totales por Tratamiento (Velocidad, \(Y_{..t}\)):
    • \(V1 = 44 + 48 + 40 + 36 = 168\)
    • \(V2 = 51 + 45 + 48 + 47 = 191\)
    • \(V3 = 62 + 56 + 42 + 52 = 212\)
    • \(V4 = 63 + 59 + 53 + 49 = 224\)

Paso 2: Cálculo de Sumas de Cuadrados

  • Término de Corrección (TC): \[TC = \frac{(795)^2}{16} = \frac{632025}{16} = 39501.5625\]
  • Suma de Cuadrados Total (SCT): \[SCT = (44^2 + 51^2 + \dots + 52^2) - 39501.5625\] \[SCT = 40383 - 39501.5625 = 881.4375\]
  • Suma de Cuadrados de las Filas (SCF): \[SCF = \frac{220^2 + 208^2 + 183^2 + 184^2}{4} - 39501.5625\] \[SCF = \frac{48400 + 43264 + 33489 + 33856}{4} - 39501.5625 = \frac{158989}{4} - 39501.5625 = 39747.25 - 39501.5625 = 245.6875\]
  • Suma de Cuadrados de las Columnas (SCC): \[SCC = \frac{180^2 + 196^2 + 208^2 + 211^2}{4} - 39501.5625\] \[SCC = \frac{32400 + 38416 + 43264 + 44521}{4} - 39501.5625 = \frac{158601}{4} - 39501.5625 = 39650.25 - 39501.5625 = 148.6875\]
  • Suma de Cuadrados de los Tratamientos (SCTr): \[SCTr = \frac{168^2 + 191^2 + 212^2 + 224^2}{4} - 39501.5625\] \[SCTr = \frac{28224 + 36481 + 44944 + 50176}{4} - 39501.5625 = \frac{159825}{4} - 39501.5625 = 39956.25 - 39501.5625 = 454.6875\]
  • Suma de Cuadrados del Error (SCE): \[SCE = 881.4375 - 245.6875 - 148.6875 - 454.6875 = 32.375\]

Paso 3: Tabla ANOVA (Ejercicio 2)

Fuente de Variación Suma de Cuadrados (SC) Grados de Libertad (gl) Cuadrado Medio (CM) F calculado
Filas (Densidad) 245.6875 3 \(245.6875 / 3 = 81.8958\) \(81.8958 / 5.3958 = 15.178\)
Columnas (Lote) 148.6875 3 \(148.6875 / 3 = 49.5625\) \(49.5625 / 5.3958 = 9.185\)
Tratamientos (Vel.) 454.6875 3 \(454.6875 / 3 = 151.5625\) \(151.5625 / 5.3958 = 28.089\)
Error 32.375 6 \(32.375 / 6 = 5.3958\)
Total 881.4375 15
  • Conclusión Técnica: Con un \(F_{calculado}\) para los tratamientos de 28.089 frente al tabulado de 4.76, se concluye con alta significancia que la velocidad de flujo del aire afecta la pérdida de humedad. El tratamiento V4 (2.5 m/s) genera la mayor pérdida de humedad. La densidad y el lote demostraron ser fuentes significativas de variación, justificando plenamente el diseño en Cuadro Latino.