Diketahui fungsi survival suatu individu diberikan oleh:
\[S(x) = e^{-0.02x^2}, x \ge 0\] Tentukan:
Fungsi distribusi kumulatif \(F(x)\)
Fungsi densitas probabilitas \(đť‘“(đť‘Ą)\)
force of mortality \(𝜇_x\)
hitung probabilitas seseorang berusia 30 tahun dapat bertahan hidup hingga usia 40 tahun
# --- PENGATURAN AWAL ---
x_val <- 30
# 1. Definisi Fungsi Survival S(x)
S_expr <- expression(exp(-0.02 * x^2))
# --- JAWABAN SOAL 1 ---
# a) Fungsi Distribusi Kumulatif F(x) = 1 - S(x)
F_expr <- expression(1 - exp(-0.02 * x^2))
F_hasil <- eval(F_expr, list(x = x_val))
cat("--- SOAL A ---\n")## --- SOAL A ---cat("Formula F(x) : "); print(F_expr)## Formula F(x) :## expression(1 - exp(-0.02 * x^2))cat("Hasil F(30) :", F_hasil, "\n\n")## Hasil F(30) : 1# b) Fungsi Densitas Probabilitas f(x) = turunan dari F(x)
f_expr <- D(F_expr, "x")
f_hasil <- eval(f_expr, list(x = x_val))
cat("--- SOAL B ---\n")## --- SOAL B ---cat("Formula f(x) : "); print(f_expr)## Formula f(x) :## exp(-0.02 * x^2) * (0.02 * (2 * x))cat("Hasil f(30) :", f_hasil, "\n\n")## Hasil f(30) : 1.827598e-08# c) Force of Mortality (mu_x) = f(x) / S(x)
# mu_x secara matematis adalah 0.04 * x
S_hasil <- eval(S_expr, list(x = x_val))
mu_hasil <- f_hasil / S_hasil
cat("--- SOAL C ---\n")## --- SOAL C ---cat("Keterangan : mu_x dihitung dari f(x) / S(x)\n")## Keterangan : mu_x dihitung dari f(x) / S(x)cat("Hasil mu_30 :", mu_hasil, "\n\n")## Hasil mu_30 : 1.2# d) Probabilitas bertahan hidup 10 tahun untuk usia 30 (10p30)
# Rumus: S(40) / S(30)
S_40 <- eval(S_expr, list(x = 40))
S_30 <- eval(S_expr, list(x = 30))
prob_10p30 <- S_40 / S_30
cat("--- SOAL D ---\n")## --- SOAL D ---cat("Probabilitas 10p30 (S(40)/S(30)) adalah:", prob_10p30, "\n")## Probabilitas 10p30 (S(40)/S(30)) adalah: 8.315287e-07\(F(x)\) melambangkan probabilitas (peluang) seseorang meninggal dunia sebelum mencapai usia \(x\). Hasil 1 di sini berarti 100%. Dalam konteks model soal Anda, probabilitas seseorang meninggal sebelum mencapai usia 30 tahun adalah nyaris mutlak 100%. (Secara matematis nilainya adalah \(1 - e^{-18}\), yang angkanya sangat mendekati 1 sehingga R membulatkannya menjadi 1).
\(f(x)\) mengukur “kepadatan” peluang kematian yang terjadi tepat pada saat usia \(x\). Angka 1.82e-08 adalah nilai yang sangat kecil (0.0000000182). Secara logika aktuaria ini masuk akal: karena hampir 100% populasi diprediksi sudah meninggal sebelum usia 30 (berdasarkan poin A), maka sangat jarang atau hampir tidak ada orang yang tersisa untuk meninggal tepat di usia ke-30.
Force of mortality mengukur tingkat bahaya (kematian) sesaat atau hazard rate pada usia tersebut. Nilai 1.2 adalah angka yang sangat besar dan ekstrem dalam dunia asuransi jiwa (di dunia nyata, laju kematian usia 30 tahun biasanya di kisaran 0.001 atau lebih kecil). Angka 1.2 ini menunjukkan bahwa jika seseorang berhasil mencapai usia 30 tahun, laju risiko kematian yang mengintainya di detik/momen tersebut sangatlah ganas dan intens.
Ini adalah peluang bersyarat bahwa seseorang yang saat ini sudah berusia 30 tahun, mampu bertahan hidup 10 tahun lagi hingga usianya 40 tahun. Angka \(8.31e-07\) setara dengan 0.000083%. Artinya, peluang orang tersebut untuk merayakan ulang tahunnya yang ke-40 sangatlah nyaris mustahil berdasarkan model matematis ini.
Diasumsikan mortalita mengikuti distribusi Weibull dengan fungsi survival:
\[S(x) = e^{-(x/80)^3}, 0 \le x \le 100\]
# Parameter awal
l0 <- 500000
age <- 0:60
# Fungsi survival Weibull
S_weibull <- function(x) { exp(-(x/80)^3) }
# Membuat Life Table
life_table <- data.frame(x = age)
life_table$lx <- l0 * S_weibull(life_table$x) # Jumlah yang hidup pada usia x
# Menghitung dx (jumlah kematian antara x dan x+1)
# Untuk baris terakhir (60), kita asumsikan selisih dengan usia 61
lx_plus_1 <- c(life_table$lx[-1], l0 * S_weibull(61))
life_table$dx <- life_table$lx - lx_plus_1
# Menghitung qx (peluang meninggal) dan px (peluang hidup)
life_table$qx <- life_table$dx / life_table$lx
life_table$px <- 1 - life_table$qx
# Menampilkan 61 tabel
head(life_table, 61)## x lx dx qx px
## 1 0 500000.0 0.9765615 1.953123e-06 0.9999980
## 2 1 499999.0 6.8358774 1.367178e-05 0.9999863
## 3 2 499992.2 18.5540533 3.710869e-05 0.9999629
## 4 3 499973.6 36.1296016 7.226301e-05 0.9999277
## 5 4 499937.5 59.5593186 1.191335e-04 0.9998809
## 6 5 499877.9 88.8375991 1.777186e-04 0.9998223
## 7 6 499789.1 123.9557521 2.480161e-04 0.9997520
## 8 7 499665.2 164.9013196 3.300237e-04 0.9996700
## 9 8 499500.2 211.6573980 4.237383e-04 0.9995763
## 10 9 499288.6 264.2019649 5.291568e-04 0.9994708
## 11 10 499024.4 322.5072121 6.462754e-04 0.9993537
## 12 11 498701.9 386.5388863 7.750901e-04 0.9992249
## 13 12 498315.3 456.2556411 9.155962e-04 0.9990844
## 14 13 497859.1 531.6084000 1.067789e-03 0.9989322
## 15 14 497327.5 612.5397347 1.231663e-03 0.9987683
## 16 15 496714.9 698.9832610 1.407212e-03 0.9985928
## 17 16 496016.0 790.8630542 1.594431e-03 0.9984056
## 18 17 495225.1 888.0930876 1.793312e-03 0.9982067
## 19 18 494337.0 990.5766975 2.003849e-03 0.9979962
## 20 19 493346.4 1098.2060765 2.226034e-03 0.9977740
## 21 20 492248.2 1210.8618004 2.459860e-03 0.9975401
## 22 21 491037.4 1328.4123903 2.705318e-03 0.9972947
## 23 22 489708.9 1450.7139148 2.962400e-03 0.9970376
## 24 23 488258.2 1577.6096351 3.231097e-03 0.9967689
## 25 24 486680.6 1708.9296965 3.511399e-03 0.9964886
## 26 25 484971.7 1844.4908705 3.803296e-03 0.9961967
## 27 26 483127.2 1984.0963509 4.106778e-03 0.9958932
## 28 27 481143.1 2127.5356069 4.421835e-03 0.9955782
## 29 28 479015.6 2274.5842972 4.748456e-03 0.9952515
## 30 29 476741.0 2425.0042486 5.086628e-03 0.9949134
## 31 30 474316.0 2578.5435013 5.436341e-03 0.9945637
## 32 31 471737.4 2734.9364250 5.797582e-03 0.9942024
## 33 32 469002.5 2893.9039079 6.170338e-03 0.9938297
## 34 33 466108.6 3055.1536209 6.554596e-03 0.9934454
## 35 34 463053.4 3218.3803599 6.950343e-03 0.9930497
## 36 35 459835.1 3383.2664677 7.357565e-03 0.9926424
## 37 36 456451.8 3549.4823364 7.776248e-03 0.9922238
## 38 37 452902.3 3716.6869921 8.206377e-03 0.9917936
## 39 38 449185.6 3884.5287623 8.647936e-03 0.9913521
## 40 39 445301.1 4052.6460260 9.100912e-03 0.9908991
## 41 40 441248.5 4220.6680460 9.565287e-03 0.9904347
## 42 41 437027.8 4388.2158827 1.004105e-02 0.9899590
## 43 42 432639.6 4554.9033876 1.052817e-02 0.9894718
## 44 43 428084.7 4720.3382749 1.102665e-02 0.9889734
## 45 44 423364.3 4884.1232676 1.153645e-02 0.9884635
## 46 45 418480.2 5045.8573162 1.205758e-02 0.9879424
## 47 46 413434.3 5205.1368840 1.259000e-02 0.9874100
## 48 47 408229.2 5361.5572964 1.313369e-02 0.9868663
## 49 48 402867.7 5514.7141474 1.368865e-02 0.9863114
## 50 49 397352.9 5664.2047589 1.425485e-02 0.9857452
## 51 50 391688.7 5809.6296847 1.483226e-02 0.9851677
## 52 51 385879.1 5950.5942531 1.542088e-02 0.9845791
## 53 52 379928.5 6086.7101403 1.602067e-02 0.9839793
## 54 53 373841.8 6217.5969667 1.663163e-02 0.9833684
## 55 54 367624.2 6342.8839059 1.725372e-02 0.9827463
## 56 55 361281.3 6462.2112996 1.788692e-02 0.9821131
## 57 56 354819.1 6575.2322665 1.853122e-02 0.9814688
## 58 57 348243.9 6681.6142975 1.918660e-02 0.9808134
## 59 58 341562.3 6781.0408246 1.985302e-02 0.9801470
## 60 59 334781.2 6873.2127557 2.053046e-02 0.9794695
## 61 60 327908.0 6957.8499623 2.121891e-02 0.9787811Usia (\(x\)): Kolom ini menunjukkan usia pasti (exact age) dari suatu kelompok populasi (kohort). Tabel sekarang mencakup siklus hidup mulai dari bayi baru lahir (\(x=0\)) hingga tepat berusia 60 tahun (\(x=60\)).
Jumlah Populasi yang Bertahan Hidup (\(l_x\)): Kolom ini melambangkan jumlah orang yang masih hidup saat mencapai usia \(x\).
Awal Kohort (\(l_0\)): Sesuai parameter soal, populasi dimulai dengan 500.000 jiwa.
Usia Pertengahan (\(l_{30}\)): Saat populasi mencapai usia 30 tahun, jumlah yang bertahan hidup adalah 474.316 jiwa. Artinya, selama 30 tahun pertama, hanya ada sekitar 25.684 kematian kumulatif.
Usia Akhir Observasi (\(l_{60}\)): Pada usia 60 tahun, populasi yang tersisa adalah 327.908 jiwa. Penurunan dari usia 30 ke 60 jauh lebih curam dibandingkan dari usia 0 ke 30.
Jumlah Kematian (\(d_x\)): Ini adalah estimasi jumlah orang yang akan meninggal dalam rentang usia \(x\) hingga \(x+1\).
Di usia 0 tahun (\(d_0\)), tingkat kematian sangat rendah, yaitu sekitar 0.97 (hanya sekitar 1 orang dari 500.000 populasi).
Namun, seiring bertambahnya usia, laju kematian meningkat secara eksponensial. Pada usia 60 tahun (\(d_{60}\)), jumlah orang yang diperkirakan meninggal sebelum mencapai usia 61 tahun mencapai angka tertingginya dalam tabel ini, yaitu 6.957,8 jiwa.
Probabilitas Kematian dalam 1 Tahun (\(q_x\)): Kolom ini mengukur risiko mortalitas tahunan; peluang seseorang yang tepat berusia \(x\) akan meninggal sebelum ulang tahunnya yang ke \(x+1\).
Usia Muda: Di usia 0 hingga 10 tahun, risikonya nyaris mendekati nol (\(q_0 = 0.00019\%\)).
Usia Paruh Baya: Masuk usia 41 tahun, probabilitasnya menyentuh angka 1% (\(q_{41} = 0.01004\)).
Usia Lanjut: Saat mencapai usia 60 tahun (\(q_{60}\)), probabilitas kematian melesat menjadi 2,12% (\(0.0212\)).
Probabilitas Bertahan Hidup dalam 1 Tahun (\(p_x\)): Kolom ini adalah komplemen dari \(q_x\) (\(1 - q_x\)), yang menunjukkan peluang merayakan ulang tahun berikutnya.
Karena risiko kematian (\(q_x\)) meningkat seiring waktu, peluang bertahan hidup (\(p_x\)) otomatis akan terus menyusut dari atas ke bawah.
Jika di usia 0 tahun peluang bertahan hidupnya mencapai 99,99% (\(0.999998\)), di usia 60 tahun peluang seseorang untuk bisa hidup satu tahun lagi (mencapai usia 61) turun menjadi 97,87% (\(0.978781\))
Kesimpulan: Tabel ini memvisualisasikan dengan sangat baik sifat dari Distribusi Weibull yang digunakan pada soal. Distribusi ini mensimulasikan efek “keausan” (wear-and-tear) pada tubuh manusia. Di masa kanak-kanak hingga dewasa muda, kematian adalah peristiwa yang sangat langka. Namun, ketika populasi melewati batas usia tertentu (dalam hal ini, mulai terlihat signifikan di atas 40-50 tahun), kecepatan berkurangnya populasi (\(d_x\)) terjadi jauh lebih agresif.
Diasumsikan mortalita mengikuti model: \[l_x = 1000 - 8x, 0 \le x \le 100\] Tingkat suku bunga kontinu: \[𝛿 = 0.04\] hitung:
anuitas jiwa seumur hidup kontinu untuk seseorang berusia 40 tahun
anuitas jiwa berjangka 20 tahun kontinu untuk usia 50 tahun
anuitas jiwa tertunda 10 tahun berjangka 15 tahun untuk usia 35 tahun
interpretasikan perbedaan hasil dari ketiga model anuitas
# Parameter
delta <- 0.04
lx <- function(x) { 1000 - 8 * x }
# Fungsi integran untuk anuitas kontinu: e^(-delta * t) * tpx
# tpx = l(x+t) / l(x)
integran <- function(t, x) {
exp(-delta * t) * (lx(x + t) / lx(x))
}
# a) Anuitas jiwa seumur hidup kontinu untuk usia 40 tahun
# Batas atas integrasi adalah saat lx = 0 (yaitu x = 125), maka t_max = 125 - 40
ax_40 <- integrate(integran, lower = 0, upper = 85, x = 40)$value
# b) Anuitas jiwa berjangka 20 tahun untuk usia 50 tahun
ax_50_20 <- integrate(integran, lower = 0, upper = 20, x = 50)$value
# c) Anuitas jiwa tertunda 10 tahun berjangka 15 tahun untuk usia 35 tahun
# Integrasi dilakukan dari t=10 sampai t=10+15=25
ax_35_10_15 <- integrate(integran, lower = 10, upper = 25, x = 35)$value
# Menampilkan hasil
print(paste("Anuitas Seumur Hidup (40th):", round(ax_40, 4)))## [1] "Anuitas Seumur Hidup (40th): 17.8925"print(paste("Anuitas Berjangka 20th (50th):", round(ax_50_20, 4)))## [1] "Anuitas Berjangka 20th (50th): 12.1734"print(paste("Anuitas Tertunda 10th Berjangka 15th (35th):", round(ax_35_10_15, 4)))## [1] "Anuitas Tertunda 10th Berjangka 15th (35th): 6.1535"Output: 17.8925
Interpretasi: Jika seseorang berusia 40 tahun membeli produk anuitas ini, perusahaan asuransi harus menyiapkan dana (cadangan) saat ini sebesar 17.89 kali dari nominal pembayaran tahunan.
Mengapa nilainya paling besar? Karena ini adalah anuitas seumur hidup. Perusahaan asuransi menanggung risiko “umur panjang” (longevity risk). Pembayaran akan terus dilakukan tanpa batas waktu selama klien masih hidup. Oleh karena itu, nilainya paling mahal/tinggi di antara ketiga model.
Output: 12.1734
Interpretasi: Untuk klien usia 50 tahun, nilai sekarang dari anuitas ini adalah 12.17 kali dari pembayaran tahunannya.
Mengapa nilainya lebih rendah dari (a)? Ada dua alasan. Pertama, pembayarannya dibatasi (berjangka) hanya 20 tahun. Meskipun klien hidup hingga usia 80 atau 90 tahun, pembayaran akan otomatis berhenti saat ia mencapai usia 70 tahun. Kedua, usia awalnya lebih tua (50 tahun), sehingga risiko mortalitasnya lebih tinggi dibanding usia 40 tahun, yang membuat peluang perusahaan asuransi membayarkan klaim secara penuh menjadi lebih kecil.
Output: 6.1535
Interpretasi: Nilai sekarang anuitas ini sangat kecil, hanya 6.15 kali dari pembayaran tahunannya. Klien berusia 35 tahun ini baru akan mulai menerima uang saat ia berusia 45 tahun (karena ditunda 10 tahun), dan pembayarannya hanya berlangsung maksimal selama 15 tahun (hingga usia 60 tahun).
Mengapa nilainya paling kecil?
Faktor Diskonto Waktu (Bunga): Uang baru akan dibayarkan 10 tahun lagi di masa depan, sehingga nilai sekarangnya ditarik mundur (didiskonto) dengan bunga selama 10 tahun tersebut.
Faktor Mortalitas (Peluang Hidup): Ada risiko klien meninggal dunia dalam masa tunggu (usia 35 hingga 45 tahun). Jika klien meninggal di masa tunggu ini, perusahaan asuransi tidak perlu membayar manfaat anuitasnya sama sekali.
Durasi Pertanggungan: Semakin panjang durasi jaminan pembayaran yang diberikan oleh perusahaan asuransi (seumur hidup vs 20 tahun vs 15 tahun), maka semakin besar Nilai Sekarang yang harus disiapkan.
Masa Tunggu (Deferral): Model yang memiliki masa tunggu atau deferred (poin c) akan selalu memangkas Nilai Sekarang secara drastis. Hal ini karena nilai uang masa depan menjadi lebih kecil saat dinilai sekarang (efek suku bunga), ditambah adanya probabilitas klien gagal bertahan hidup untuk melewati masa tunggu tersebut.
Risiko Finansial: Bagi perusahaan asuransi, produk (a) membawa liabilitas (kewajiban) finansial terbesar, sedangkan produk (c) adalah yang paling murah atau memiliki beban kewajiban terkecil saat diterbitkan.