Nomor 1

Diketahui fungsi survival suatu individu diberikan oleh: \(𝑆(𝑥) = 𝑒^{−(0.02)*𝑥^2}, 𝑥 ≥ 0\)

Tentukan:

  1. fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑥)

  2. fungsi densitas probabilitas 𝑓(𝑥)

  3. force of mortality \(𝜇_𝑥\)

  4. hitung probabilitas seseorang berusia 30 tahun dapat bertahan hidup hingga usia 40 tahun

# ==========================================================
# JAWABAN SOAL NOMOR 1
# ==========================================================

# Diketahui: S(x) = exp(-0.02 * x^2)

# --- a) Fungsi Distribusi Kumulatif F(x) ---
# Rumus: F(x) = 1 - S(x)
cat("a) Fungsi Distribusi Kumulatif F(x):\n")
## a) Fungsi Distribusi Kumulatif F(x):
cat("   F(x) = 1 - exp(-0.02 * x^2)\n\n")
##    F(x) = 1 - exp(-0.02 * x^2)
# --- b) Fungsi Densitas Probabilitas f(x) ---
# Rumus: f(x) = d/dx F(x) atau f(x) = -d/dx S(x)
S_expr <- expression(exp(-0.02 * x^2))
f_x <- D(expression(1 - exp(-0.02 * x^2)), "x")

cat("b) Fungsi Densitas Probabilitas f(x):\n")
## b) Fungsi Densitas Probabilitas f(x):
print(f_x) 
## exp(-0.02 * x^2) * (0.02 * (2 * x))
# Output: exp(-0.02 * x^2) * (0.02 * (2 * x))
# Atau disederhanakan menjadi: 0.04 * x * exp(-0.02 * x^2)
cat("\n")
# --- c) Force of Mortality (mu_x) ---
# Rumus: mu_x = f(x) / S(x)
# f(x) = 0.04 * x * exp(-0.02 * x^2)
# S(x) = exp(-0.02 * x^2)
# mu_x = (0.04 * x * exp(-0.02 * x^2)) / exp(-0.02 * x^2)
cat("c) Force of Mortality mu_x:\n")
## c) Force of Mortality mu_x:
cat("   mu_x = 0.04 * x\n\n")
##    mu_x = 0.04 * x
# --- d) Menghitung Probabilitas 10p30 ---
# Rumus: tpx = S(x+t) / S(x)
# Mencari probabilitas usia 30 bertahan sampai 40 (t=10, x=30)

# Definisikan fungsi survival dalam R
Sx <- function(x) {
  exp(-0.02 * x^2)
}

x_awal <- 30
t_tahun <- 10
x_akhir <- x_awal + t_tahun

prob_10p30 <- Sx(x_akhir) / Sx(x_awal)

cat("d) Hitung Probabilitas 10p30:\n")
## d) Hitung Probabilitas 10p30:
cat("   Hasil Perhitungan:", prob_10p30, "\n")
##    Hasil Perhitungan: 8.315287e-07

Nomor 2

Diketahui:Mortalita mengikuti distribusi Weibull dengan fungsi survival: \(S(x) = e^{-(x/80)^3}\) untuk \(0 \le x \le 100\).Jumlah populasi awal pada usia 0 tahun (\(l_0\)) adalah 500.000.

Ditanya:Buatlah life table untuk usia 0-60 tahun yang memuat kolom: \(x, l_x, d_x, p_x, q_x\).Jawab:Dalam pengerjaan ini, digunakan perangkat lunak R untuk menghitung setiap komponen tabel berdasarkan rumus:\(l_x = l_0 \cdot S(x)\)\(d_x = l_x - l_{x+1}\)\(p_x = \frac{l_{x+1}}{l_x}\)\(q_x = 1 - p_x\)

# ==========================================================
# JAWABAN SOAL NOMOR 2
# ==========================================================

# 1. Definisikan parameter awal
l0 <- 500000
usia <- 0:60

# 2. Definisikan Fungsi Survival Weibull sesuai soal
Sx_weibull <- function(x) {
  exp(-(x/80)^3)
}

# 3. Menghitung lx (Jumlah orang hidup)
# Kita hitung sampai usia 61 agar bisa mendapatkan selisih untuk dx pada usia 60
lx_data <- l0 * Sx_weibull(0:61)

# 4. Menghitung komponen tabel lainnya
lx <- lx_data[1:61]             # lx dari usia 0-60
lx_plus_1 <- lx_data[2:62]      # lx+1 dari usia 1-61

dx <- lx - lx_plus_1            # Jumlah kematian
px <- lx_plus_1 / lx            # Probabilitas bertahan hidup
qx <- 1 - px                    # Probabilitas meninggal

# 5. Menggabungkan data ke dalam tabel (Data Frame)
life_table <- data.frame(
  x = usia,
  lx = round(lx, 2),
  dx = round(dx, 2),
  px = round(px, 6),
  qx = round(qx, 6)
)

# 6. Menampilkan tabel
# Menampilkan semua baris (0-60)
print(life_table)
##     x       lx      dx       px       qx
## 1   0 500000.0    0.98 0.999998 0.000002
## 2   1 499999.0    6.84 0.999986 0.000014
## 3   2 499992.2   18.55 0.999963 0.000037
## 4   3 499973.6   36.13 0.999928 0.000072
## 5   4 499937.5   59.56 0.999881 0.000119
## 6   5 499877.9   88.84 0.999822 0.000178
## 7   6 499789.1  123.96 0.999752 0.000248
## 8   7 499665.2  164.90 0.999670 0.000330
## 9   8 499500.2  211.66 0.999576 0.000424
## 10  9 499288.6  264.20 0.999471 0.000529
## 11 10 499024.4  322.51 0.999354 0.000646
## 12 11 498701.9  386.54 0.999225 0.000775
## 13 12 498315.3  456.26 0.999084 0.000916
## 14 13 497859.1  531.61 0.998932 0.001068
## 15 14 497327.5  612.54 0.998768 0.001232
## 16 15 496714.9  698.98 0.998593 0.001407
## 17 16 496016.0  790.86 0.998406 0.001594
## 18 17 495225.1  888.09 0.998207 0.001793
## 19 18 494337.0  990.58 0.997996 0.002004
## 20 19 493346.4 1098.21 0.997774 0.002226
## 21 20 492248.2 1210.86 0.997540 0.002460
## 22 21 491037.4 1328.41 0.997295 0.002705
## 23 22 489708.9 1450.71 0.997038 0.002962
## 24 23 488258.2 1577.61 0.996769 0.003231
## 25 24 486680.6 1708.93 0.996489 0.003511
## 26 25 484971.7 1844.49 0.996197 0.003803
## 27 26 483127.2 1984.10 0.995893 0.004107
## 28 27 481143.1 2127.54 0.995578 0.004422
## 29 28 479015.6 2274.58 0.995252 0.004748
## 30 29 476741.0 2425.00 0.994913 0.005087
## 31 30 474316.0 2578.54 0.994564 0.005436
## 32 31 471737.4 2734.94 0.994202 0.005798
## 33 32 469002.5 2893.90 0.993830 0.006170
## 34 33 466108.6 3055.15 0.993445 0.006555
## 35 34 463053.4 3218.38 0.993050 0.006950
## 36 35 459835.1 3383.27 0.992642 0.007358
## 37 36 456451.8 3549.48 0.992224 0.007776
## 38 37 452902.3 3716.69 0.991794 0.008206
## 39 38 449185.6 3884.53 0.991352 0.008648
## 40 39 445301.1 4052.65 0.990899 0.009101
## 41 40 441248.5 4220.67 0.990435 0.009565
## 42 41 437027.8 4388.22 0.989959 0.010041
## 43 42 432639.6 4554.90 0.989472 0.010528
## 44 43 428084.7 4720.34 0.988973 0.011027
## 45 44 423364.3 4884.12 0.988464 0.011536
## 46 45 418480.2 5045.86 0.987942 0.012058
## 47 46 413434.3 5205.14 0.987410 0.012590
## 48 47 408229.2 5361.56 0.986866 0.013134
## 49 48 402867.7 5514.71 0.986311 0.013689
## 50 49 397352.9 5664.20 0.985745 0.014255
## 51 50 391688.7 5809.63 0.985168 0.014832
## 52 51 385879.1 5950.59 0.984579 0.015421
## 53 52 379928.5 6086.71 0.983979 0.016021
## 54 53 373841.8 6217.60 0.983368 0.016632
## 55 54 367624.2 6342.88 0.982746 0.017254
## 56 55 361281.3 6462.21 0.982113 0.017887
## 57 56 354819.1 6575.23 0.981469 0.018531
## 58 57 348243.9 6681.61 0.980813 0.019187
## 59 58 341562.3 6781.04 0.980147 0.019853
## 60 59 334781.2 6873.21 0.979470 0.020530
## 61 60 327908.0 6957.85 0.978781 0.021219
# 7. Membuat Visualisasi Grafik lx (Opsional namun disarankan)
plot(usia, lx, type="o", col="red", pch=16, cex=0.5,
     main="Grafik Penurunan Populasi (lx) Usia 0-60",
     xlab="Usia (x)", ylab="Jumlah Penduduk (lx)")
grid()

Nomor 3

Diketahui:Model mortalita: \(l_{x} = 1000 - 8x\) untuk \(0 \le x \le 100\).Tingkat suku bunga kontinu: \(\delta = 0.04\).

Ditanya:

  1. Anuitas jiwa seumur hidup kontinu untuk usia 40 tahun (\(\bar{a}_{40}\)).

  2. Anuitas jiwa berjangka 20 tahun kontinu untuk usia 50 tahun (\(\bar{a}_{50:\overline{20|}}\)).

  3. Anuitas jiwa tertunda 10 tahun berjangka 15 tahun untuk usia 35 tahun (\({}_{10|}\bar{a}_{35:\overline{15|}}\)).

  4. Interpretasi perbedaan hasil dari ketiga model anuitas

# ==========================================================
# JAWABAN SOAL NOMOR 3
# ==========================================================

# 1. Parameter Dasar
delta <- 0.04
lx_func <- function(x) { 1000 - 8*x }
tpx <- function(t, x) {
  lx_func(x + t) / lx_func(x)
}
integrand <- function(t, x) {
  exp(-delta * t) * tpx(t, x)
}

# --- a) Anuitas jiwa seumur hidup kontinu (x=40) ---
# Batas atas integrasi adalah usia maksimal (100) dikurangi usia sekarang (40)
res_a <- integrate(integrand, lower = 0, upper = 60, x = 40)
a_bar_40 <- res_a$value

# --- b) Anuitas jiwa berjangka 20 tahun kontinu (x=50, n=20) ---
res_b <- integrate(integrand, lower = 0, upper = 20, x = 50)
a_bar_50_20 <- res_b$value

# --- c) Anuitas jiwa tertunda 10 tahun berjangka 15 tahun (x=35, n=15, m=10) ---
# Integrasi dilakukan dari masa tunda (10) sampai (10 + 15)
res_c <- integrate(integrand, lower = 10, upper = 25, x = 35)
a_bar_deferred <- res_c$value

# Menampilkan Hasil
cat("Hasil Perhitungan Nomor 3:\n")
## Hasil Perhitungan Nomor 3:
cat("a) Anuitas Seumur Hidup (40 thn)       :", a_bar_40, "\n")
## a) Anuitas Seumur Hidup (40 thn)       : 17.64706
cat("b) Anuitas Berjangka 20 thn (50 thn)    :", a_bar_50_20, "\n")
## b) Anuitas Berjangka 20 thn (50 thn)    : 12.17338
cat("c) Anuitas Tertunda 10 thn (35 thn)     :", a_bar_deferred, "\n")
## c) Anuitas Tertunda 10 thn (35 thn)     : 6.153451
  1. Intepretasi: Anuitas Seumur Hidup (\(\bar{a}_{40}\)): Memberikan nilai sekarang tertinggi karena pembayaran dilakukan selama tertanggung masih hidup tanpa vatasan waktu tertentu (hingga usia maksimalnya tercapai). Anuitas Berjangka 20 Tahun (\(\bar{a}_{50:\overline{20}}\)): Nilainya lebih terbatas dibandingkan seumur hidup karena ada batasan durasi pembayaran (maksimal 20 tahun). Meskipun dimulai pada usia yang lebih tua (50 tahun), batasan waktu ini membuat nilai cadangan atau premi yang diperlukan lebih rendah daripada model seumur hidup. Anuitas Tertunda 10 Tahun Berjangka 15 Tahun (\({}{10|}\bar{a}_{35:\overline{15|}}\)): Model ini memiliki nilai sekarang yang dipengaruhi oleh dua faktor: masa tunda (di mana tidak ada pembayaran dilakukan selama 10 tahun pertama) dan batasan durasi (pembayaran hanya selama 15 tahun). Penundaan pembayaran secara signifikan mendiskon nilai sekarang dari manfaat tersebut karena adanya faktor bunga dan risiko kematian selama masa tunggu.