Aktuaria

cat("--- SOAL 1 ---\n")

## --- SOAL 1 ---

S_expr <- expression(exp(-0.02 * x^2))

F_expr <- call("-", 1, S_expr)
cat("a) Ekspresi Fungsi Distribusi Kumulatif F(x):\n")

## a) Ekspresi Fungsi Distribusi Kumulatif F(x):

print(F_expr)

## 1 - expression(exp(-0.02 * x^2))

f_expr <- D(F_expr, "x")
cat("\nb) Ekspresi Fungsi Densitas Probabilitas f(x):\n")

## 
## b) Ekspresi Fungsi Densitas Probabilitas f(x):

print(f_expr)

## -NA_real_

cat("\nc) Force of Mortality mu(x) adalah rasio f(x) terhadap S(x).\n")

## 
## c) Force of Mortality mu(x) adalah rasio f(x) terhadap S(x).

cat("Secara matematis: (0.04 * x * exp(-0.02 * x^2)) / exp(-0.02 * x^2) = 0.04 * x\n")

## Secara matematis: (0.04 * x * exp(-0.02 * x^2)) / exp(-0.02 * x^2) = 0.04 * x

S_func <- function(x) { exp(-0.02 * x^2) }
prob_10p30 <- S_func(40) / S_func(30)
cat("\nd) Probabilitas 10p30 (bertahan hidup dari usia 30 ke 40 tahun):\n")

## 
## d) Probabilitas 10p30 (bertahan hidup dari usia 30 ke 40 tahun):

print(prob_10p30)

## [1] 8.315287e-07

cat("\n\n--- SOAL 2 ---\n")

## 
## 
## --- SOAL 2 ---

x_seq <- 0:60
l_0 <- 500000

S_weibull <- function(x) { exp(-(x/80)^3) }
l_x <- l_0 * S_weibull(x_seq)
l_x_plus_1 <- l_0 * S_weibull(x_seq + 1)
d_x <- l_x - l_x_plus_1
p_x <- l_x_plus_1 / l_x
q_x <- 1 - p_x

life_table <- data.frame(
  x = x_seq,
  l_x = round(l_x, 0),
  d_x = round(d_x, 0),
  q_x = round(q_x, 5),
  p_x = round(p_x, 5)
)

cat("Menampilkan 10 baris pertama Life Table:\n")

## Menampilkan 10 baris pertama Life Table:

print(head(life_table, 10))

##    x    l_x d_x     q_x     p_x
## 1  0 500000   1 0.00000 1.00000
## 2  1 499999   7 0.00001 0.99999
## 3  2 499992  19 0.00004 0.99996
## 4  3 499974  36 0.00007 0.99993
## 5  4 499938  60 0.00012 0.99988
## 6  5 499878  89 0.00018 0.99982
## 7  6 499789 124 0.00025 0.99975
## 8  7 499665 165 0.00033 0.99967
## 9  8 499500 212 0.00042 0.99958
## 10 9 499289 264 0.00053 0.99947

cat("\nMenampilkan 5 baris terakhir Life Table (hingga x=60):\n")

## 
## Menampilkan 5 baris terakhir Life Table (hingga x=60):

print(tail(life_table, 5))

##     x    l_x  d_x     q_x     p_x
## 57 56 354819 6575 0.01853 0.98147
## 58 57 348244 6682 0.01919 0.98081
## 59 58 341562 6781 0.01985 0.98015
## 60 59 334781 6873 0.02053 0.97947
## 61 60 327908 6958 0.02122 0.97878

cat("\n\n--- SOAL 3 ---\n")

## 
## 
## --- SOAL 3 ---

delta <- 0.04

p_x_t <- function(t, x) {
  (1000 - 8*(x+t)) / (1000 - 8*x)
}

integrand_a <- function(t) { exp(-delta * t) * p_x_t(t, 40) }
a_40 <- integrate(integrand_a, lower = 0, upper = 85)$value
cat("a) Anuitas jiwa seumur hidup (usia 40):", a_40, "\n")

## a) Anuitas jiwa seumur hidup (usia 40): 17.89245

integrand_b <- function(t) { exp(-delta * t) * p_x_t(t, 50) }
a_50_20 <- integrate(integrand_b, lower = 0, upper = 20)$value
cat("b) Anuitas berjangka 20 tahun (usia 50):", a_50_20, "\n")

## b) Anuitas berjangka 20 tahun (usia 50): 12.17338

integrand_c <- function(t) { exp(-delta * t) * p_x_t(t, 35) }
a_35_10_15 <- integrate(integrand_c, lower = 10, upper = 25)$value
cat("c) Anuitas tertunda 10 thn berjangka 15 thn (usia 35):", a_35_10_15, "\n")

## c) Anuitas tertunda 10 thn berjangka 15 thn (usia 35): 6.153451

cat("\nd) Interpretasi Perbedaan Hasil Anuitas:\n")

## 
## d) Interpretasi Perbedaan Hasil Anuitas:

cat("1. Anuitas a_bar_40 memiliki nilai paling komprehensif karena mencakup pembayaran seumur hidup (risiko terbesar pihak pembayar).\n")

## 1. Anuitas a_bar_40 memiliki nilai paling komprehensif karena mencakup pembayaran seumur hidup (risiko terbesar pihak pembayar).

cat("2. Anuitas a_bar_50_20 memiliki risiko dan nilai yang lebih terukur karena proteksi dibatasi maksimal hanya 20 tahun saja.\n")

## 2. Anuitas a_bar_50_20 memiliki risiko dan nilai yang lebih terukur karena proteksi dibatasi maksimal hanya 20 tahun saja.

cat("3. Anuitas tertunda memiliki nilai terkecil karena terkena efek diskonto ganda: penerima harus bertahan hidup selama 10 tahun pertama tanpa menerima pembayaran, dan durasi pembayarannya pun relatif singkat (15 tahun).\n")

## 3. Anuitas tertunda memiliki nilai terkecil karena terkena efek diskonto ganda: penerima harus bertahan hidup selama 10 tahun pertama tanpa menerima pembayaran, dan durasi pembayarannya pun relatif singkat (15 tahun).