suppressMessages(library(knitr, warn.conflicts=FALSE))

1 Legenda

As respostas das questões podem apresentar uma ou mais soluções em:
\(~~~\) Algébrica
\(~~~\) WolframAlpha
\(~~~\) R
\(~~~\) R com força bruta
\(~~~\) SciLab
\(~~~\) ref. APEx

2 Material

  • HTML de Rmarkdown em RPubs

3 8.1.10: Endogamia

(ref. APEx 15850)

Em estudos de genética populacional, a endogamia é um fenômeno importante que pode influenciar a variabilidade genética e a saúde de uma população. O coeficiente de endogamia, \(F_n\), representa a probabilidade de dois alelos em um indivíduo serem idênticos por descendência (IBD), refletindo o nível de cruzamento entre parentes em uma população.

Considere uma população inicial com um coeficiente de endogamia \(F_0\) e uma probabilidade \(s\) de cruzamento entre parentes em cada geração, onde \(0 < s < 1\). A relação entre as gerações e seus respectivos coeficientes de endogamia pode ser modelada pela seguinte equação recursiva proposta por Kempthorne (1957):

\[ F_n = \dfrac{s}{2-s}\left(1-\left(\dfrac{s}{2}\right)^n\right) + \left(\dfrac{s}{2}\right)^n F_0 \]

sendo que \(n\) representa o número da geração subsequente.

Questão:

  1. Determine e discuta o comportamento limite do coeficiente de endogamia \(F_n\) quando o número de gerações \(n\) tende ao infinito. Explique o significado biológico desse limite no contexto da saúde genética e da diversidade de uma população.

  2. Calcule \(F_5\) para uma população onde \(s = 0.2\) e \(F_0 = 0.1\). Interprete o resultado no contexto do problema.

Esta questão tem como objetivo não apenas avaliar a capacidade do estudante de manipular e analisar equações matemáticas, mas também de compreender conceitos fundamentais de genética populacional e as implicações práticas da endogamia. A discussão sobre o limite de \(F_n\) proporciona uma oportunidade para explorar as consequências a longo prazo de cruzamentos entre parentes, enquanto o cálculo de \(F_5\) aplica esses conceitos de forma prática, destacando as mudanças no coeficiente de endogamia ao longo de várias gerações.

limit of s/(2-s)((1-(s/2)^n))+((s/2)^n*F_0) as n -> infinity, 0<s<1

Resultado: \(\dfrac{s}{2-s}\).

Uma das formas alternativas é \(\dfrac{2}{2-s}-1\), mais fácil de ver que se trata de uma hipérbole (similar à que vimos antes como 1/x, mas com dois deslocamentos em relação à origem. O WolframAlpha mostra o gráfico, desrespeitando a restrição \(0<s<1\).

Podemos observar:
q8.1.10b.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

# s/(2-s) ((1-(s/2)^n))+((s/2)^n*F_0)
# assumindo que F0 = F(n=0), 
# (1-(s.aux/2)^n) == 0
# ((s.aux/2)^n) == 1
F0 <- 1 # sempre 1
s <- seq(0.1,0.9,by=0.1)
plot(NA, 
     xlim=c(0,10), ylim=c(0,1),
     xlab="n", ylab="F(n)",
     axes=FALSE)
axis(1)
axis(2)
lasts <- c()
lastF <- c()
for (s.aux in s)
{
  n <- seq(0,10.8,length.out=1000)
  F <- s.aux/(2-s.aux)*(1-(s.aux/2)^n)+((s.aux/2)^n)*F0
  lines(n,F)
  text(n[length(n)]-1.5,F[length(F)],paste0("s=",s.aux,
                                          ", F=",round(F[length(F)],3)),
                                          pos=3, cex=0.8)
  lasts <- c(lasts,s.aux)
  lastF <- c(lastF,F[length(F)])
}

source("q8.1.10.R")
points(lasts,lastF,pch=16)
text(lasts,lastF,paste0("(",lasts,",",round(lastF,3),")"),pos=3)

Vamos responder às duas questões propostas, analisando matematicamente o modelo e interpretando os resultados no contexto da genética populacional.

3.1 Questão a: Comportamento Limite de \(F_n\) quando \(n\) tende ao infinito

Como já discutimos anteriormente, a expressão para \(F_n\) é:

\[ F_n = \frac{s}{2-s}\left(1-\left(\frac{s}{2}\right)^n\right) + \left(\frac{s}{2}\right)^n F_0 \]

Análise do Limite:

  • O termo \(\left(\dfrac{s}{2}\right)^n\) tende a zero conforme \(n\) se aproxima do infinito, pois \(0 < s < 1\) e, portanto, \(\dfrac{s}{2} < 1\).

  • Portanto, \(\left(\dfrac{s}{2}\right)^n F_0\) também tende a zero.

  • O termo \(\left(1-\left(\dfrac{s}{2}\right)^n\right)\) tende a 1.

  • Assim, o comportamento limite de \(F_n\) é dado por \(\dfrac{s}{2-s}\).

Interpretação Biológica:

O limite \(\dfrac{s}{2-s}\) representa o coeficiente de endogamia estabilizado após muitas gerações, assumindo uma constante probabilidade \(s\) de cruzamento entre parentes. Isso indica a proporção de alelos idênticos por descendência na população à medida que as gerações passam. Esse limite é particularmente importante, pois uma alta taxa de endogamia pode levar a um aumento de doenças genéticas e redução da diversidade genética, impactando negativamente a viabilidade da população.

3.2 Questão b: Cálculo de \(F_5\) para \(s = 0.2\) e \(F_0 = 0.1\)

Substituindo \(s = 0.2\) e \(F_0 = 0.1\) na fórmula de \(F_n\):

\[ F_5 = \dfrac{0.2}{2-0.2}\left(1-\left(\dfrac{0.2}{2}\right)^5\right) + \left(\dfrac{0.2}{2}\right)^5 \times 0.1 \]

Vamos calcular o valor:

  • Primeiro, calcule \(\dfrac{0.2}{2-0.2} = \dfrac{0.2}{1.8} \approx 0.1111\).

  • Em seguida, calcule \(\left(\dfrac{0.2}{2}\right)^5 = \left(0.1\right)^5 = 0.1^5 = 0.00001\).

  • Portanto,

\[ \begin{align} F_5 &= 0.1111 \cdot \left(1 - 0.00001\right) + 0.00001 \cdot 0.1 \\ &=0.1111 \cdot 0.99999 + 0.000001 \\ &= 0.111099 + 0.000001 \\ F_5&= 0.1111 \end{align} \]

Interpretação do Resultado:

O valor de \(F_5 \approx 0.1111\) indica que, após cinco gerações, o coeficiente de endogamia da população é aproximadamente 0.1111, sugerindo que aproximadamente 11.11% dos alelos em um indivíduo típico são idênticos por descendência devido ao cruzamento entre parentes. Esse valor reflete uma ligeira elevação em relação ao coeficiente inicial de endogamia \(F_0 = 0.1\), mostrando um aumento progressivo da endogamia ao longo das gerações.

Essas respostas oferecem insights importantes sobre as dinâmicas genéticas e as consequências da endogamia em populações fechadas.

4 8.3.5: Tempo de Vida de Gene Prejudicial

(ref. APEx 15851)

Em um estudo sobre a genética populacional, o pesquisador Li (1961, p. 150) investiga o impacto de um gene prejudicial ao longo de várias gerações. Durante sua análise, ele desenvolve uma série para calcular o tempo médio de vida esperado de um gene prejudicial antes de ser eliminado por seleção natural. A série é expressa da seguinte forma:

\[ U = 1 + 2w + 3w^2 + 4w^3 + \cdots \]

sendo que \(0 < w < 1\) é a probabilidade de transmissão do gene de uma geração para a seguinte.

Pergunta: Derive uma expressão fechada para \(U\), que representa o tempo médio de vida do gene prejudicial.

Dicas: Considere manipulações algébricas e técnicas de séries infinitas para encontrar a expressão fechada.

(Dica: determine primeiro a diferença \(U - wU\).)

Solução:

\[ U=\dfrac{1}{(1-w)^2} \]

O mesmo resultado pode ser encontrado colocando o início da soma no WolframAlpha:

1+2w+3w^2+4w^3+...

Podemos conferir a solução de que a soma da série converge para \(U=\dfrac{1}{(1-w)^2}\) para vários valores de \(w\).
q8.3.5.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

n <- 100
j <- 1:n

a <- rep(NA,n)
w.seq <- seq(0.1,0.9,by=0.1)
for (w in w.seq)
{
  for (k in j)
  {
    a[k] <- k*w^(k-1)
  }
  s <- rep(NA,n)
  for (k in j)
  {
    s[k] <- sum(a[1:k]) 
  }
  
  # exibe o grafico
  ymin <- min(c(a,s),na.rm=TRUE)
  ymax <- max(c(a,s),na.rm=TRUE)
  title <- latex2exp::TeX(sprintf(r'($a_j = jw^{j-1}, w=%f$)',w))
  plot(NA,
       main=title,
       xlab="j", ylab="",
       xlim=c(0,n*1.1),
       ylim=c(ymin,ymax*1.1),
       axes=FALSE)
  axis(1, pos=0)
  axis(2, pos=0)
  points(j,s, pch=1,col="brown")
  lines(j,s,lty=2,lwd=0.7,col="brown")
  text(n,s[n],"s(a)",pos=1,col="brown")
  points(j,a, pch=4)
  lines(j,a,lty=2,lwd=0.7)
  text(n,a[n],"a",pos=1)
  
  # conferindo a solução do Wolfram|Alpha
  U <- 1/((1-w)^2)
  u.txt <- latex2exp::TeX(sprintf(r'($U = \frac{1}{(1-%f)^2}$)',w))
  points(j[length(j)],U,pch=16)
  text(j[length(j)],U,u.txt,pos=3,cex=0.5)
} # for w.seq

5 8.3.8: Óleo mineral mundial

(ref. APEx 14983)

Em 1972, o consumo mundial de óleo mineral foi de 2.7 × 109 t (toneladas métricas). O aumento anual foi de 5.1%. As reservas totais de petróleo bruto na terra (incluindo conhecidas e não descobertas) são estimadas em 700 × 109 t. Se o aumento anual permanecesse constante, quando a reserva se esgotaria?

Solução:

De acordo com as previsões de 1972, encontramos:
q8.3.8.R 

Reservas devem ser esgotadas entre 2024 e 2025.

6 8.3.8 (B): Óleo mineral mundial, nova estimativa

(ref. APEx 16461)

As estimativas precisam ser corrigidas com os dados que temos atualmente. Os Dados de consumo obtidos em 2023 de Our World in Data trazem o total de energia do petróleo consumido a partir de diferentes combustíveis fósseis. Nosso interesse reside no total mundial. Os dados estão em TWh (teraWatt-hora). É possível ajustar uma curva mostrando o crescimento anual do consumo de petróleo (adote um modelo linear usando o consumo a partir de 1981, inclusive).

Se o rendimento fosse 100%, um litro de óleo combustível liberaria energia térmica de aproximadamente 9.8 kWh. Também sabemos que um barril de petróleo tem cerca de 159 litros. Estima-se que em 2021 as reservas totais sejam de 1.7 trilhões de barris.

Supondo que o crescimento do consumo continue a aumentar linearmente, qual é a nova estimativa da duração das reservas mundiais de petróleo?

  1. 2040
  2. 2045
  3. 2050
  4. 2055
  5. 2060

Solução:

Os dados fornecem o consumo anual de petróleo em TWh/ano, que representam a energia do petróleo consumido. A conversão para barris por ano utiliza apenas a energia térmica do combustível:

\[ \text{barris/ano} = \frac{\text{TWh} \cdot 10^{9}}{9.8 \cdot 159} \]

A seguir, ajusta-se um modelo linear para o consumo anual a partir de 1981:

\[ C(t) = a + b t \]

onde \(C(t)\) é o consumo anual em barris e \(t\) representa o ano.

Projetando o modelo para \(t \ge 2021\), calcula-se o consumo acumulado:

\[ S(T) = \sum_{t=2021}^{T} C(t) \]

O primeiro ano \(T\) para o qual

\[ S(T) \ge 1.7 \times 10^{12} \]

fornece a estimativa do esgotamento das reservas mundiais de petróleo.

Aplicando o procedimento com a série do Our World in Data, obtém-se

\[ T \approx 2050 \; (\pm 1 \text{ ano}) \]

Caso não tenha algum erro de implementação, obtém-se:
q8.3.8b.R 


A proporção de aumento de consumo mediano é de 0.004679039 ao ano.
Reservas devem ser esgotadas entre 2049 e 2050.

7 8.3.9: Epidemia de envenenamento por metilmercúrio

(ref. APEx 14985)

No Iraque, uma epidemia de envenenamento por metilmercúrio matou 459 pessoas em 1972. Os seres humanos foram expostos ao veneno quando comeram pão caseiro acidentalmente preparado a partir de sementes de trigo tratadas com um fungicida metilmercurial. Os sintomas apareceram apenas após semanas de exposição. Para simplificar, suponha que uma pessoa tome uma dose diária constante d do veneno e que uma certa porcentagem p do veneno acumulado seja excretada a cada dia. Encontre uma fórmula que relacione a quantidade de veneno armazenada no corpo com o número de dias.

Solução:

\[ q=1-p/100 \]

Acumulação total de veneno = \(d+dq+\cdots+dq^n=d\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

Para obter a soma infinita:

sum d p^n, n=0 to infinity

Para obter a soma para um período de tempo (a solução desta pergunta):

sum d p^k, k=0 to n

8 8.3.9 (B): Para outros venenos ou qualquer remédio

(ref. APEx 14986)

O que vale para o veneno acumulando-se no organismo, vale para qualquer outra droga. Podemos nos inspirar em Paracelso, médico, alquimista e astrólogo suiço do século XVI, que disse:

“A diferença entre o remédio e o veneno é a dose.”

Suponha que seja um antidepressivo, um anti-inflamatório ou um antibiótico. Suponha que a meia vida da droga circulante (i.e., o tempo que leva para que metade da dose recebida seja eliminada) seja de 8 horas, e que o médico prescreva uma dose a cada 8 horas.

Qual o número mínimo de doses que precisarão ser ingeridas para que o paciente atinja 99% da dose máxima que circulará em seu organismo?

Solução:

Quando o tempo entre as doses coincide com a meia vida, obtemos:
q8.3.9.R

9 8.4.3: Limiar de ativação

(ref. APEx 14987)

O tecido vivo só pode ser excitado por uma corrente elétrica se a corrente atingir ou exceder um certo limite que denotamos por i. O limite i depende da duração t do fluxo de corrente.

A lei de Weiss afirma que \(i = a/t + b\) com constantes positivas a e b.

Descreva o comportamento do limiar i quando t se aproxima de zero e quando t tende para o infinito.

Solução:

Para \(t\to \infty\), \(i \to b\).

Para \(t\to 0\), \(i \to \infty\).

lim a/t+b as t -> infinity

retorna \(b\) como solução.

lim a/t+b as t -> 0

retorna “(two-sided limit does not exist)”, mas encontra \(-\infty\) quando aproxima pela esquerda (solução que não nos interessa porque \(t \ge 0\) por definição) e \(\infty\) quando aproxima pela direita.

Podemos verificar que o limiar tende a \(b\) quando o tempo \(t \to \infty\):
q8.4.3.R

Para ver o que acontece quando \(t \to 0\), podemos recuar o tempo cada vez mais. No gráfico com escala log-log vemos que segue em uma linha reta na direção do canto superior-esquerdo quanto menor for o valor de \(t\):
q8.4.3b.R

10 FC.Cap3.Q8: PA, PG ou nenhuma delas?

(ref. APEx 14988, 14989, 14990, 14991, 14992)

Verifique se as seguintes sequências são PA, PG ou nenhuma delas:

A. \(3,\, 15/4,\, 9/2,\, \dots\)

B. \(0,\, \ln(2),\, \ln(3),\, \dots\)

C. \(0.1,\, 0.11,\, 0.111,\, \dots\)

D. \(0,\, 0,\, 0,\, \dots\)

E. \(1,\, 1,\, 1,\, \dots\)

Solução:

Vamos verificar cada sequência para determinar se é uma progressão aritmética (PA), uma progressão geométrica (PG) ou nenhuma delas.

  1. Sequência: 3, 15/4, 9/2, …
    • PA: Calculamos a diferença comum \(d\). \[ d = \dfrac{15}{4} - 3 = \dfrac{3}{4} \] \[ d = \dfrac{9}{2} - \dfrac{15}{4} = \dfrac{3}{4} \] A diferença é constante, então é uma PA.
    • PG: Calculamos a razão comum \(r\). \[ r = \dfrac{\dfrac{15}{4}}{3} = \dfrac{5}{4} \] \[ r = \dfrac{\dfrac{9}{2}}{\dfrac{15}{4}} = \dfrac{6}{5} \] A razão não é constante, então não é uma PG.
  2. Sequência: 0, (2), (3), …
    • PA: Calculamos a diferença comum \(d\). \[ d = \ln(3) - \ln(2) = \ln\left(\dfrac{3}{2}\right) \] Se a diferença entre os termos subsequentes for sempre \(\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\), então não é constante. Portanto, não é uma PA.
    • PG: Calculamos a razão comum \(r\). \[ r = \dfrac{\ln(3)}{\ln(2)} \] Como \(\ln(n)\) não forma razões constantes para incrementos de \(n\), não é uma PG.
  3. Sequência: 0.1, 0.11, 0.111, …
    • PA: Calculamos a diferença comum \(d\). \[ d = 0.11 - 0.1 = 0.01 \] \[ d = 0.111 - 0.11 = 0.001 \] A diferença não é constante, então não é uma PA.
    • PG: Verificamos a razão. \[ r = \dfrac{0.11}{0.1} = 1.1 \] \[ r = \dfrac{0.111}{0.11} \approx 1.009 \] A razão não é constante, então não é uma PG.
  4. Sequência: 0, 0, 0, …
    • PA: Como todos os termos são iguais, a diferença é 0. \[ d = 0 - 0 = 0 \] Esta é uma PA.
    • PG: Como todos os termos são iguais, a razão é 1. \[ r = \frac{0}{0} \text{ (indeterminado, mas consideramos \(r = 1\) para PG constante)} \] Esta é uma PG.
  5. Sequência: 1, 1, 1, …
    • PA: Como todos os termos são iguais, a diferença é 0. \[ d = 1 - 1 = 0 \] Esta é uma PA.
    • PG: Como todos os termos são iguais, a razão é 1. \[ r = \dfrac{1}{1} = 1 \] Esta é uma PG.

Portanto, temos:

A. \(3,\, 15/4,\, 9/2,\, \dots\) : PA

B. \(0,\, \ln(2),\, \ln(3),\, \dots\) : Nenhuma

C. \(0.1,\, 0.11,\, 0.111,\, \dots\) : Nenhuma

D. \(0,\, 0,\, 0,\, \dots\) : PA e PG

E. \(1,\, 1,\, 1,\, \dots\) : PA e PG

11 FC.Cap3.Q14: Qual igual é diferente? I

(ref. APEx 14993)

Qual(is) do(s) sinal(is) de igual está(ão) incorreto(s) na expressão considerada?

\[ \begin{align} \infty&=\\ 2-3/2+4/3-5/4+6/5-7/6+\cdots+(-1)^{n-1}(n+1)/n+\cdots&=\\ (2/1-3/2)+(4/3-5/4)+(6/5-7/6)+\cdots&=\\ 1/(1×2)+1/(3×4)+1/(5×6)+\cdots+1/(2n(2n-1)) +\cdots&=\\ &=\ln(2) \end{align} \]

Solução:

\(2−3/2+4/3−5/4+6/5−7/6+\cdots+(−1)n−1(n+1)/n+\cdots\) diverge, mas não é \(+\infty\).

2−3/2+4/3−5/4+6/5−7/6+⋯

\((2/1−3/2)+(4/3−5/4)+(6/5−7/6)+ \cdots\) é igual a \(\ln(2)\).

(2/1−3/2)+(4/3−5/4)+(6/5−7/6)+⋯

\(1/(1×2)+1/(3×4)+1/(5×6)+\cdots+1/(2n(2n-1)) +\cdots\) é igual a \(\ln(2)\approx0.69\).

1/(1×2)+1/(3×4)+1/(5×6)+...+1/(2n(2n-1)) +...

Portanto:

\[ \begin{align} \infty&\ne\\ 2-3/2+4/3-5/4+6/5-7/6+\cdots+(-1)^{n-1}(n+1)/n+\cdots&\ne\\ (2/1-3/2)+(4/3-5/4)+(6/5-7/6)+\cdots&=\\ 1/(1×2)+1/(3×4)+1/(5×6)+\cdots+1/(2n(2n-1)) +\cdots&=\\ &=\ln(2) \end{align} \]

12 FC.Cap3.Q16: Qual igual é diferente? II

(ref. APEx 14995)

Qual(is) do(s) sinal(is) de igual está(ão) incorreto(s) na expressão considerada?

\[ \begin{align} 1/9&=\\ 1/10+1/10^2+1/10^3+1/10^4+\cdots&=\\ (1-9/10)+(1-99/10^2)+(1-999/10^3)+(1-9999/10^4)+\cdots&=\\ 1-9/10+1-99/10^2+1-999/10^3+1-9999/10^4+\cdots&=\\ &=+\infty \end{align} \]

Solução:

Sobre a primeira igualdade: \(1/10+1/10^2+1/10^3+1/10^4+\cdots=1/9\) é verdadeira.

1/10+1/10^2+1/10^3+1/10^4+...=1/9

Sobre o segunda igualdade: \(1/10+1/10^2+1/10^3+1/10^4+\cdots = (1-9/10)+(1-99/10^2)+(1-999/10^3)+(1-9999/10^4)+\cdots\) é verdadeira.

1/10+1/10^2+1/10^3+1/10^4+... = (1-9/10)+(1-99/10^2)+(1-999/10^3)+(1-9999/10^4)+...

Sobre o terceira igualdade: \((1-9/10)+(1-99/10^2)+(1-999/10^3)+(1-9999/10^4)+\cdots = 1-9/10+1-99/10^2+1-999/10^3+1-9999/10^4+\cdots\) é falsa.

(1-9/10)+(1-99/10^2)+(1-999/10^3)+(1-9999/10^4)+... = 1-9/10+1-99/10^2+1-999/10^3+1-9999/10^4+...

Sobre o quarta igualdade: \(1-9/10+1-99/10^2+1-999/10^3+1-9999/10^4+\cdots=+\infty\) é falsa.

1-9/10+1-99/10^2+1-999/10^3+1-9999/10^4+\cdots=+\infty

1-9/10+1-99/10^2+1-999/10^3+1-9999/10^4+\cdots

\[ \begin{align} 1/9&=\\ 1/10+1/10^2+1/10^3+1/10^4+\cdots&=\\ (1-9/10)+(1-99/10^2)+(1-999/10^3)+(1-9999/10^4)+\cdots&\ne\\ 1-9/10+1-99/10^2+1-999/10^3+1-9999/10^4+\cdots&\ne+\infty \end{align} \]

13 FMQ.Cap1.Q8: Crescimento logístico

(ref. APEx 14996, 14997)

Estima-se que em t semanas após a divulgação de um factoide pela mídia a quantidade de pessoas em milhares que tomam conhecimento dele é dado pela função:

\[ P(t)=\dfrac{20}{1+19e^{-1.2t}} \]

  1. Quantas pessoas tomam conhecimento do factoide no momento de sua divulgação?
  2. Qual é a quantidade máxima de pessoas que tomam conhecimento do factoide?

Solução:

  1. Mil pessoas tomam conhecimento do factoide no momento de sua divulgação.

20/(1+19 e^(-1.2 t)) /. t = 0

  1. A quantidade máxima de pessoas que tomam conhecimento do factoide é vinte mil pessoas.

limit 20/(1+19 e^(-1.2 t)) as t -> infinity

14 FMQ.Cap1.Q8: Crescimento com perda periódica

(ref. APEx 14998, 14999, 15000)

  • Jones et al., 2009, p. 3-6: 1.2 Administration of drugs

Um paciente diabético baixa insulinemia de jejum. O médico receita insulina, a ser injetada diariamente. Sabe-se que a insulina é degradada exponencialmente com taxa de \(k > 0\) dia–1. O médico pretende prescrever \(Q\) μUI/dl de insulina diariamente.

  1. Expresse matematicamente a função da insulinemia ao longo do tempo;
  2. Determine a insulinemia quando o tempo tende para o infinito;
  3. Faça o gráfico da função para trinta dias usando \(k=0.25\) dia–1 e injeções diárias que levem a \(Q=5\) μUI/dl unidades de insulina (a meta é ter o paciente equilibrado com valores de referência entre 2 a 25 μUI/dl).

Solução:

* tempo 0: \(0\) * tempo 1: \(Q\) * tempo 2: \(Qe^{-k}\) (circulante) + \(Q\) (nova injeção) * tempo 3: \(\left( Qe^{-k} + Q \right)e^{-k} + Q =\) (circulante + nova injeção)
\(= Qe^{-2k} + Qe^{-k} + Q\) * tempo 4: \(\left( Qe^{-2k} + Qe^{-k} + Q \right)e^{-k} + Q =\)
\(= Qe^{-3k} + Qe^{-2k} + Qe^{-k} + Q\), etc. * tempo 5: \(Qe^{-4k} + Qe^{-3k} + Qe^{-2k} + Qe^{-k} + Q\), etc.

Genericamente, \(\sum_{j=1}^{i}{Qe^{-(j-1)k}}\)

  1. a insulinemia no i-ésimo dia é dada por:

sum Q exp(-(j-1) k), j from 1 to i

resulta:

\[ Q(i)=Q\dfrac{e^k -e^{k(1-i)}}{e^k-1} = Q\dfrac{e^k -e^{-k(i-1)}}{e^k-1} \]

  1. o tempo infinito (quando o paciente atingirá a insulinemia de equilíbrio) é

sum Q exp(-(j-1) k), j from 1 to infinity

que resulta:

\[ Q(\infty)=Q\dfrac{e^k}{e^{k}-1} = \frac{Q}{1-e^{-k}} \]

As soluções acima são uma forma discreta da insulinemia, dando o ponto de máximo em cada tempo \(t\). Para obter o decaimento em cada instante de tempo contínuo, temos:

\[ Q_i(t) = Q\dfrac{e^k -e^{-k(i-1)}}{e^k-1} e^{-k(t-i)}\\ t\in[i,i+1[\\ i=1,2,3,\dots \]

\[ Q_{\infty}(b)=Q(\infty)e^{-kb}=Q\dfrac{e^{-kb}}{1-e^{-k}}\\ b\in[0,1[ \]

Graficamente, dia a dia, é assim que evolui a insulinemia do paciente:
qFMQ.Cap1.Q8.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

# quantidade inicial
Q0 <- 0 # mg/dl meta:20 (ref. 2 a 25 microUI/mL)
# quantidade injetada a cada intervalo
Q <- 5
# taxa de decaimento
k <- 0.25 # por dia

# t0 0
# t1 Q
# t2 Q*exp(-ki) + Q
# t3 (Q*exp(-ki) + Q)*exp(-ki) + Q =
#    = Q*exp(-2ki) + Q*exp(-ki) + Q
# t4 Q*exp(-3ki) + Q*exp(-2ki) + Q*exp(-ki) + Q

# força bruta
nomesins <- c("tempo","insulinemia")
dt_insulina <- data.frame(matrix(nrow=1,ncol=length(nomesins)))
names(dt_insulina) <- nomesins
dt_insulina$tempo <- 0
dt_insulina$insulinemia <- Q0
for (i in 1:30)
{
  r <- sum(dt_insulina$insulinemia[i]*exp(-k)) + Q
  dt_tmp <- data.frame(i,r)
  names(dt_tmp) <- nomesins
  dt_insulina <- rbind(dt_insulina,dt_tmp)
}
xmax <- max(dt_insulina$tempo)+1
ymax <- max(dt_insulina$insulinemia)*1.2
plot(dt_insulina,xlim=c(0,xmax),ylim=c(0,ymax),axes=0,
     pch=21,cex=0.6,col="black",bg="black")
axis(1)
axis(2)
for (i in 2:nrow(dt_insulina))
{
  v <- curve(dt_insulina$insulinemia[i]*exp(-k*x), from=0, to=1, add=TRUE, col="transparent")
  v$x <- v$x+dt_insulina$tempo[i]
  lines(v$x,v$y)
  points(v$x[length(v$x)],v$y[length(v$y)],pch=21,cex=0.6,col="black",bg="white")
}

# formula
for (i in 1:30)
{
  insulina <- Q*(exp(k)-exp(-k*(i-1)))/(exp(k)-1)  
  points(i,insulina,pch=21,col="deepskyblue3",bg="transparent",cex=1.2)
  t <- seq(i,i+1,length.out=100)
  q <- insulina*exp(-k*(t-i))
  lines(t,q, col="deepskyblue3")
  points(t[length(t)],q[length(q)],pch=21,col="deepskyblue3",bg="transparent",cex=1.2)
}
# titulo
title <- latex2exp::TeX(sprintf(r'(Crescimento com perda periódica: $Q=%f, k=%f$)',Q,k))
title(main=title)
# assíntotas
# superior
ul <- Q/(1-exp(-k))
abline(h=ul,col="deepskyblue3",lty=2,lwd=0.8)
eqtxt <- latex2exp::TeX(sprintf(r'($\frac{Q}{1-e^{-k}}=%f$)',round(ul,2)))
text(2,ul,eqtxt,pos=3,cex=0.6,col="deepskyblue3")
# inferior
b <- 1 # seq(0,1,length.out=100)
ll <- Q*((exp(-k*b))/(1-exp(-k)))
abline(h=ll,col="deepskyblue3",lty=2,lwd=0.8)
eqtxt <- latex2exp::TeX(sprintf(r'($Q\frac{e^{-kb}}{1-e^{-k}}=%f$)',round(ll,2)))
text(2,ll,eqtxt,pos=1,cex=0.6,col="deepskyblue3")

Em preto está o que obtivemos sem fórmula, apenas colocando os valores Q periodicamente e fazendo o decaimento a cada intervalo. Em azul está o previsto pelas equações acima. Coincidem: tudo parece certo.

15 Referências

Apud Batschelet (1979):

  • Kempthorne, O (1957) An intoduction to genetic statistics. NJ: Wiley.

  • Li, CC (1961) Human genetics. Principles and methods. NY: McGraw-Hill.