1 ๐ PARCIAL 2 - PARTE 2 - CรLCULO INTEGRAL
1.1 ๐งฎ Integraciรณn por Fracciones Parciales
๐ FACULTAD DE CIENCIAS BรSICAS
Cรกlculo Integral โ Evaluaciรณn 2, Parte 2 โ Corte II
Docente: Wendy Cardona Gรณmez | Tiempo: 50 min
1.2 ๐ MODELO 1
1.2.1 ๐ท Ejercicio 1
1.2.1.1 \[\int_{2}^{4} \frac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} \, dx\]
๐ Paso 1: Descomponemos en fracciones parciales
simples.
\[\frac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x
- 1} + \frac{B}{x + 2}\]
๐ Paso 2: Multiplicamos por \((x - 1)(x + 2)\):
\[3x + 5 = A(x + 2) + B(x - 1) = (A + B)x +
(2A - B)\]
๐ Paso 3: Igualamos coeficientes:
\[\begin{cases} A + B = 3 \\ 2A - B = 5
\end{cases}\]
Sumando: \(3A = 8 \Rightarrow A =
\frac{8}{3}\), luego \(B = 3 -
\frac{8}{3} = \frac{1}{3}\).
๐ Paso 4: La integral se convierte en:
\[\int_{2}^{4} \left( \frac{8/3}{x - 1} +
\frac{1/3}{x + 2} \right) dx\]
๐ Paso 5: Integramos:
\[\left[ \frac{8}{3} \ln|x - 1| + \frac{1}{3}
\ln|x + 2| \right]_{2}^{4}\]
๐ Paso 6: Evaluamos:
\[\frac{8}{3} \ln(3) + \frac{1}{3} \ln(6) -
\left( \frac{8}{3} \ln(1) + \frac{1}{3} \ln(4) \right)\]
\[= \frac{8}{3} \ln 3 + \frac{1}{3} (\ln 2 +
\ln 3) - \frac{1}{3} \ln 4\]
\[= \frac{8}{3} \ln 3 + \frac{1}{3} \ln 2 +
\frac{1}{3} \ln 3 - \frac{1}{3} \cdot 2\ln 2\]
\[= 3 \ln 3 + \left( \frac{1}{3} -
\frac{2}{3} \right) \ln 2\]
\[= 3 \ln 3 - \frac{1}{3} \ln 2\]
โ
Respuesta final:
\[\boxed{3\ln 3 - \frac{1}{3}\ln
2}\]
1.2.2 ๐ท Ejercicio 2
1.2.2.1 \[\int \frac{x^2 + 2x + 3}{(x - 1)(x + 1)^2} \, dx\]
๐ Paso 1: Planteamos fracciones parciales:
\[\frac{x^2 + 2x + 3}{(x - 1)(x + 1)^2} =
\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{(x + 1)^2}\]
๐ Paso 2: Multiplicamos por \((x - 1)(x + 1)^2\):
\[x^2 + 2x + 3 = A(x + 1)^2 + B(x - 1)(x + 1)
+ C(x - 1)\]
๐ Paso 3: Expandemos:
\[= A(x^2 + 2x + 1) + B(x^2 - 1) + Cx -
C\]
\[= (A + B)x^2 + (2A + C)x + (A - B -
C)\]
๐ Paso 4: Igualamos coeficientes:
\[\begin{cases} A + B = 1 \\ 2A + C = 2 \\ A
- B - C = 3 \end{cases}\]
De la primera: \(B = 1 - A\).
Sumamos primera y tercera: \(2A - C =
4\).
Junto con \(2A + C = 2\): sumamos \(4A = 6 \Rightarrow A = \frac{3}{2}\).
Entonces \(B = 1 - \frac{3}{2} =
-\frac{1}{2}\), y \(2A + C = 3 + C = 2
\Rightarrow C = -1\).
๐ Paso 5: Integramos:
\[\int \frac{3/2}{x - 1} dx = \frac{3}{2}
\ln|x - 1|\]
\[\int \frac{-1/2}{x + 1} dx = -\frac{1}{2}
\ln|x + 1|\]
\[\int \frac{-1}{(x + 1)^2} dx = \frac{1}{x +
1}\]
โ
Respuesta final:
\[\boxed{\frac{3}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2}
\ln|x + 1| + \frac{1}{x + 1} + C}\]
1.3 ๐ MODELO 2
1.3.1 ๐ท Ejercicio 1
1.3.1.1 \[\int_{2}^{4} \frac{2x - 1}{(x - 1)(x - 2)(2x - 3)} \, dx\]
๐ Paso 1: Fracciones parciales:
\[\frac{2x - 1}{(x - 1)(x - 2)(2x - 3)} =
\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{2x - 3}\]
๐ Paso 2: Multiplicamos por el denominador:
\[2x - 1 = A(x - 2)(2x - 3) + B(x - 1)(2x -
3) + C(x - 1)(x - 2)\]
๐ Paso 3: Evaluamos:
- \(x = 1\): \(2(1) - 1 = 1 = A(-1)(-1) = A \Rightarrow A =
1\)
- \(x = 2\): \(4 - 1 = 3 = B(1)(1) = B \Rightarrow B =
3\)
- \(x = \frac{3}{2}\): \(3 - 1 = 2 =
C\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}C
\Rightarrow C = -8\)
๐ Paso 4: Integral:
\[\int_{2}^{4} \left( \frac{1}{x - 1} +
\frac{3}{x - 2} - \frac{8}{2x - 3} \right) dx\]
๐ Paso 5: Primitiva:
\[\ln|x - 1| + 3\ln|x - 2| - 4\ln|2x -
3|\]
๐ Paso 6: Evaluamos de 2 a 4.
En \(x = 2\), \(\ln|0|\) es divergente (asรญntota vertical
dentro del intervalo).
โ Conclusiรณn: La integral es divergente.
\[\boxed{\text{Divergente}}\]
1.3.2 ๐ท Ejercicio 2
1.3.2.1 \[\int_{1}^{4} \frac{x + 4}{(x - 2)^2} \, dx\]
๐ Paso 1: Reescribimos:
\[\frac{x + 4}{(x - 2)^2} = \frac{x - 2 +
6}{(x - 2)^2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{6}{(x - 2)^2}\]
๐ Paso 2: Integramos:
\[\int \frac{1}{x - 2} dx = \ln|x - 2|, \quad
\int \frac{6}{(x - 2)^2} dx = -\frac{6}{x - 2}\]
๐ Paso 3: Evaluamos de 1 a 4:
\[\left[ \ln|x - 2| - \frac{6}{x - 2}
\right]_{1}^{4}\]
En \(x = 4\): \(\ln 2 - 3\)
En \(x = 1\): \(\ln 1 - (-6) = 0 + 6 = 6\)
Resultado: \((\ln 2 - 3) - 6 = \ln 2 -
9\)
โ
Respuesta final:
\[\boxed{\ln 2 - 9}\]
1.4 ๐ MODELO 3
1.4.1 ๐ท Ejercicio 1
1.4.1.1 \[\int_{2}^{4} \frac{1}{x^2 - 9} \, dx\]
๐ Paso 1: Factorizamos \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\).
Fracciones parciales:
\[\frac{1}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{A}{x - 3}
+ \frac{B}{x + 3}\]
\[1 = A(x + 3) + B(x - 3)\]
\(x = 3\): \(1 = 6A \Rightarrow A = \frac{1}{6}\)
\(x = -3\): \(1 = -6B \Rightarrow B = -\frac{1}{6}\)
๐ Paso 2: Integramos:
\[\int \frac{1}{x^2 - 9} dx = \frac{1}{6}
\ln|x - 3| - \frac{1}{6} \ln|x + 3| = \frac{1}{6} \ln\left|\frac{x -
3}{x + 3}\right|\]
๐ Paso 3: Evaluamos de 2 a 4:
\[\frac{1}{6} \left[ \ln\left|\frac{4 - 3}{4
+ 3}\right| - \ln\left|\frac{2 - 3}{2 + 3}\right| \right] = \frac{1}{6}
\left[ \ln\left(\frac{1}{7}\right) - \ln\left(\frac{1}{5}\right)
\right]\]
\[= \frac{1}{6}
\ln\left(\frac{1/7}{1/5}\right) = \frac{1}{6}
\ln\left(\frac{5}{7}\right)\]
โ
Respuesta final:
\[\boxed{\frac{1}{6}
\ln\left(\frac{5}{7}\right)}\]
1.4.2 ๐ท Ejercicio 2
1.4.2.1 \[\int \frac{2x + 3}{(x + 2)(x - 1)^2} \, dx\]
๐ Paso 1: Planteamos:
\[\frac{2x + 3}{(x + 2)(x - 1)^2} =
\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{(x - 1)^2}\]
๐ Paso 2: Multiplicamos por \((x + 2)(x - 1)^2\):
\[2x + 3 = A(x - 1)^2 + B(x + 2)(x - 1) + C(x
+ 2)\]
๐ Paso 3: Expandemos:
\[= A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 + x - 2) + Cx +
2C\]
\[= (A + B)x^2 + (-2A + B + C)x + (A - 2B +
2C)\]
๐ Paso 4: Sistema:
\[\begin{cases} A + B = 0 \\ -2A + B + C = 2
\\ A - 2B + 2C = 3 \end{cases}\]
De \(A = -B\).
Segunda: \(-2(-B) + B + C = 2B + B + C = 3B +
C = 2\)
Tercera: \(-B - 2B + 2C = -3B + 2C =
3\)
Resolvemos: sumando \(3B + C = 2\) y
\(-3B + 2C = 3\): \(3C = 5 \Rightarrow C = \frac{5}{3}\).
Luego \(3B = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}
\Rightarrow B = \frac{1}{9}\), \(A =
-\frac{1}{9}\).
๐ Paso 5: Integramos:
\[\int \frac{-1/9}{x + 2} dx = -\frac{1}{9}
\ln|x + 2|\]
\[\int \frac{1/9}{x - 1} dx = \frac{1}{9}
\ln|x - 1|\]
\[\int \frac{5/3}{(x - 1)^2} dx = \frac{5}{3}
\cdot \frac{-1}{x - 1} = -\frac{5}{3(x - 1)}\]
โ
Respuesta final:
\[\boxed{-\frac{1}{9} \ln|x + 2| +
\frac{1}{9} \ln|x - 1| - \frac{5}{3(x - 1)} + C}\]
โจ Todos los modelos resueltos paso a paso โ Recuerda justificar cada paso en tu examen. ยกรxitos! โจ