Cátedra de Biometría y Técnica Experimental
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Trabajo Práctico N° 4: Distribución Binomial y Distribución Poisson
Motivación
En el ámbito de la Ingeniería Agronómica, la toma de decisiones se basa cada vez más en el análisis cuantitativo de los fenómenos biológicos y productivos. Procesos como la germinación de semillas, la presencia de plagas, la ocurrencia de enfermedades o la distribución de eventos en cultivos presentan un comportamiento aleatorio que requiere ser modelado mediante herramientas estadísticas adecuadas.
El estudio de las distribuciones de probabilidad, particularmente la binomial y la de Poisson, permite describir y predecir estos fenómenos con mayor precisión. A través de estos modelos, es posible estimar probabilidades, calcular valores esperados y evaluar riesgos, lo cual resulta fundamental para la planificación y optimización de sistemas productivos.
Este trabajo práctico tiene como objetivo aplicar dichos modelos en situaciones reales del ámbito agronómico, fortaleciendo la capacidad de análisis y la interpretación de resultados en contextos vinculados a la producción agrícola y el manejo de recursos naturales.
Para tener en cuenta
En estadística, una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada resultado posible de un experimento aleatorio. Estas variables pueden clasificarse en discretas o continuas, siendo las primeras aquellas que toman valores enteros y contables, como el número de semillas germinadas o la cantidad de plantas afectadas por una plaga.
Dentro de las variables aleatorias discretas, dos modelos de gran importancia son la distribución binomial y la distribución de Poisson.
La distribución binomial se aplica cuando se realizan una cantidad fija de ensayos independientes, donde cada uno tiene solo dos resultados posibles (éxito o fracaso), y la probabilidad de éxito se mantiene constante. Este modelo es adecuado para situaciones como evaluar la germinación de semillas o la presencia/ausencia de una característica en una población. Sus parámetros son el número de ensayos “n” y la probabilidad de éxito “𝑝”. A partir de ellos, se pueden calcular medidas como la esperanza y la Varienza
E(X)=n⋅p
Var(X)=n⋅p⋅(1−p)
Por otro lado, la distribución de Poisson se utiliza para modelar la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo de tiempo, espacio o volumen, cuando estos eventos ocurren de manera independiente y con una tasa promedio constante. Es especialmente útil en agronomía para describir fenómenos como la cantidad de plagas en una planta, el número de parásitos en un órgano o la frecuencia de eventos poco frecuentes. Su parámetro principal es “𝜆”, que representa la media o tasa de ocurrencia del evento.
Ambas distribuciones permiten no solo calcular probabilidades específicas, sino también interpretar el comportamiento de los fenómenos estudiados, facilitando la toma de decisiones en sistemas productivos reales.
ACTIVIDADES
Ejercicio 1. Se denomina poder germinativo, a la proporción de las semillas de un lote que germinan cuando se las coloca en condiciones apropiadas de humedad y temperatura. La etiqueta de una bolsa de semillas dice que su poder germinativo es del 98,0 %. Para evaluar esta especificación, tomaremos de la bolsa 10 semillas al azar y las mantendremos por separado en condiciones adecuadas para la germinación. Al cabo de 7 días, contaremos y registraremos el número de semillas que hayan germinado. La variable de interés es “Número de semillas germinadas”.
Responder:
¿Por qué X es una variable aleatoria? ¿Qué valores puede tomar la v.a.?
¿Qué modelo de distribución de probabilidad corresponde a la variable aleatoria X?
Grafique adecuadamente y saque conclusiones del gráfico.
¿Qué valores deben tener la esperanza y la desviación estándar de X? ¿Cómo interpreta estos valores?
¿Qué valor debe tener la probabilidad de que germinen todas las semillas?
¿Qué valor debe tener la probabilidad de que quede una semilla sin germinar?
¿Qué valor debe tener la probabilidad de que germinen más de 8 semillas?
¿Cuál es la probabilidad de que no germine ninguna?
Si no germinara ninguna y suponiendo que usted va a sembrar en su campo esas semillas. ¿Tomaría la decisión de comprar esa semilla o de no adquirirla?
Ejercicio 2.Supóngase que se toman 10 semillas de Panicum maximum Jacq. y se registra el evento “germinó” o “no germinó” después de 5 días desde su implantación. En este experimento las semillas están suficientemente aisladas como para asegurar respuestas independientes. Si la probabilidad de germinación es (para todas las semillas) igual a 0.25 calculemos:
Probabilidad que germinen 7 de las 10 semillas,
Probabilidad que germinen al menos 3 de las 10 semillas,
Probabilidad que germinen a lo sumo 5 semillas.
Calcular la esperanza de esta variable aleatoria.
Calcular la varianza de la variable aleatoria..
Ejercicio 3. Se conoce por experiencias anteriores que, en una finca citrícola, el 30,0 % de las plantas de naranja Valencia (Citrus sinensis “Valencia”), son atacadas por un insecto denominado cochinilla roja australiana (Aonidiella aurantii Maskell). Está plaga, es considerada como una plaga clave de los cítricos en la región del Noroeste Argentino (NOA), que afecta al cultivo. Si se toma una muestra de 15 frutas en una finca. ¿Cuál será la probabilidad de que?:
Todas se encuentren sin ataque
A lo sumo 3 plantas sean atacadas.
Más de diez plantas sean atacadas.
Al menos 1 planta esa atacada
Más de 1 pero menos de 5 plantas sean atacadas.
¿Cuál es el número esperados de árboles enfermos en la muestra? Interpretar. ¡Cuál es la varianza?
Nota: utilice la tabla de probabilidades binomiales disponible en el libro “Estadística y Biometría”.
Ejercicio 5. La distribución de parásitos en 1 cm³ de hígado de cerdos, se comporta de acuerdo al modelo de Poisson con media número de parásitos/cm³ = 0,05. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos 1 parásito en un hígado de volumen 50 cm³?
Ejercicio 6.Si el número promedio de picaduras de gorgojo por semilla es 0.2 (es decir, por ejemplo, que, en promedio, cada 100 semillas se cuentan 20 picaduras),
¿cuántas de 100 semillas no tendrán picaduras?,
¿cuántas 1 picaduras?
¿cuántas 2 o más?
Ejercicio 7. Un dosificador de ácido altamente concentrado, libera 20 gotas por minuto de dicho ácido en el agua de riego, con el fin de realizar la limpieza de los goteros y evitar que se obstruyan.
Responder las siguientes preguntas:
¿Qué modelo de distribución de probabilidades puede emplearse para calcular probabilidades?
¿Cuál es la probabilidad de que se liberen 10 gotas en un minuto?
¿Cuál es el valor esperado de la media?
¿Cuál es la probabilidad de que se liberen 30 gotas en un minuto?
¿Cuál es la probabilidad de que se liberen como máximo 10 gotas en un minuto?
¿Cuál es la probabilidad de que se liberen 10 gotas en un medio minuto?
Ejercicio 8. Si los grupos de huevos de chinche sobre las hojas de un cultivo tienen distribución de Poisson con parámetro = 0,5; calcular la probabilidad de que una hoja tenga:
Ningún grupo de huevos.
Al menos un grupo de huevos.
Dos grupos de huevos.
Más de tres grupos.