Aufgabenstellung

Julia nimmt am Hirschauer Spitzberglauf teil. Die Laufstrecke beträgt 13,1 km. Ihre Laufgeschwindigkeit wird durch die Funktion \(f\) modelliert:

\[f(t) = 300 \cdot e^{-0,012t}\]

Dabei ist: * \(t\): Zeit in Minuten (\(min\)) * \(f(t)\): Geschwindigkeit in Metern pro Minute (\(\frac{m}{min}\))

Visualisierung der Geschwindigkeit

Bevor wir rechnen, schauen wir uns den Verlauf der Geschwindigkeit an:

# Definition der Funktion
f <- function(t) 300 * exp(-0.012 * t)

# Plotten der Funktion von t=0 bis t=70 Minuten
curve(f, from=0, to=70, 
      xlab="Zeit (min)", ylab="Geschwindigkeit (m/min)",
      main="Geschwindigkeitsverlauf von Julia", col="blue", lwd=2)
grid()

# Integration mit R
dist_30 <- integrate(f, lower = 0, upper = 30)
dist_30$value
## [1] 7558.092
# Wir suchen die Nullstelle der Funktion: Integral(t) - 13100
target_function <- function(T_final) {
  integrate(f, lower = 0, upper = T_final)$value - 13100
}

# Numerische Suche nach der Zeit T
result_b <- uniroot(target_function, lower = 0, upper = 100)
result_b$root
## [1] 61.86145