Aufgabenstellung

Die Geschwindigkeit eines Boots bei einer Ruderregatta wird mithilfe der Funktion \(v\) mit folgender Gleichung modelliert:

\[v(t) = 0,25 \cdot \sin(2\pi \cdot t) + 7,25\]

Dabei ist: * \(t\) die Zeit in Sekunden (\(s\)). * \(v(t)\) die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde (\(m/s\)).

Fragen: a) Welche Strecke hat das Boot in den ersten \(10\,s\) zurückgelegt? Ist dieser Wert realistisch? b) Das Boot hatte im Ziel eine Zeit von \(1\,\min\, 8,966\,s\). Wie lang war die Strecke?

Mathematische Grundlagen

Um die zurückgelegte Strecke \(s\) aus einer Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) zu berechnen, nutzen wir das bestimmte Integral. Physikalisch gesehen ist die Strecke das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit:

\[s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt\]

In einem Graphen entspricht dies der Fläche unter der Kurve im Zeitintervall \([t_1; t_2]\).

Lösung Teil a)

1. Ansatz

Wir integrieren die Funktion \(v(t)\) von \(t=0\) bis \(t=10\):

\[s(10) = \int_{0}^{10} \left( 0,25 \cdot \sin(2\pi \cdot t) + 7,25 \right) \, dt\]

2. Stammfunktion bilden

Die Stammfunktion \(V(t)\) wird komponentenweise gebildet: * Der Term \(7,25\) wird zu \(7,25t\). * Für den Sinus-Term nutzen wir die Kettenregel “rückwärts” (lineare Substitution): \(\int \sin(ax+b) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b)\).

\[V(t) = 0,25 \cdot \left( -\frac{1}{2\pi} \cos(2\pi \cdot t) \right) + 7,25t = -\frac{0,25}{2\pi} \cos(2\pi \cdot t) + 7,25t\]

3. Berechnung

\[s(10) = \left[ -\frac{0,25}{2\pi} \cos(2\pi \cdot t) + 7,25t \right]_{0}^{10}\]

Da \(\cos(20\pi) = 1\) und \(\cos(0) = 1\), ergibt sich: \[s(10) = \left( -\frac{0,25}{2\pi} \cdot 1 + 72,5 \right) - \left( -\frac{0,25}{2\pi} \cdot 1 + 0 \right) = 72,5\]

Ergebnis: Das Boot hat 72,5 Meter zurückgelegt.

4. Realitätscheck

Eine Strecke von 72,5 m in 10 s entspricht einer Durchschnittsgeschwindigkeit von \(7,25\,m/s\) (ca. \(26\,km/h\)). Dies ist für ein Profi-Ruderboot (z.B. ein Achter) absolut realistisch. Die Sinus-Schwingung modelliert dabei die rhythmische Beschleunigung durch die Ruderschläge.

Lösung Teil b)

1. Zeit umrechnen

\[t_{Ziel} = 1\,\min + 8,966\,s = 68,966\,s\]

2. Berechnung der Gesamtstrecke

Wir setzen die obere Grenze \(t = 68,966\) in unsere Stammfunktion ein:

\[s(68,966) = \left[ -\frac{0,25}{2\pi} \cos(2\pi \cdot t) + 7,25t \right]_{0}^{68,966}\]

Berechnung der Werte: * \(7,25 \cdot 68,966 = 500,0035\) * \(-\frac{0,25}{2\pi} \cos(2\pi \cdot 68,966) \approx -0,0366\) * Abzug der Untergrenze: \(-(-\frac{0,25}{2\pi}) \approx +0,0398\)

\[s_{Gesamt} \approx -0,0366 + 500,0035 + 0,0398 = 500,0067\]

Ergebnis: Die Regattastrecke war 500 Meter lang.

Visualisierung in R

Hier kannst du den Verlauf der Geschwindigkeit in R-Studio plotten:

v <- function(t) 0.25 * sin(2 * pi * t) + 7.25
curve(v, from=0, to=10, xname="t", 
      main="Geschwindigkeit des Ruderboots",
      xlab="Zeit (s)", ylab="v (m/s)", col="blue", lwd=2)
abline(h=7.25, lty=2, col="red") # Durchschnittsgeschwindigkeit