Odgovorite na postavljene zadatke, interpretirajte sve rezultate i odgovarajuće veličine efekata.
1. Odaberite varijablu čije vrijednosti možete sučeliti s poznatom ili poželjnom vrijednošću pa napravite usporedbu uzorka s danom mjerom u populaciji (one sample t-test) ili odabranom konstantom.
Odabrana varijabla: Hemoglobin (Hgb)
Istraživačko pitanje:
Razlikuje li se razina hemoglobina u ispitivanih bolesnika od referentne vrijednosti od 130 g/L?
H₀: Srednja razina hemoglobina u ispitivanih bolesnika ne razlikuje se od referentne vrijednosti (μ = 130 g/L)
H₁: Srednja razina hemoglobina u ispitivanih bolesnika razlikuje se od referentne vrijednosti (μ = 130 g/L)
# Histogramggplot(df1, aes(x = Hgb)) +geom_histogram(bins =20, fill ="#2E86C1",color ="white", alpha =0.8) +geom_vline(xintercept =130, linetype ="dashed",color ="#E74C3C", linewidth =1) +annotate("text", x =133, y =15,label ="Ref = 130", color ="#E74C3C", size =4) +labs(title ="Distribucija hemoglobina",subtitle ="Crvena linija = referentna vrijednost (130 g/L)",x ="Hemoglobin (g/L)", y ="Frekvencija") +theme_minimal(base_size =12)
# One sample t-testt.test(df1$Hgb, mu =130)
One Sample t-test
data: df1$Hgb
t = 4.2939, df = 119, p-value = 3.602e-05
alternative hypothesis: true mean is not equal to 130
95 percent confidence interval:
133.0490 138.2676
sample estimates:
mean of x
135.6583
Shapiro-Wilk test pokazao je da je hemoglobin normalno distribuiran (p = 0,401, ne odbacujemo H₀ da su podaci normalno distribuirani) → uvjet za primjenu t-testa je zadovoljen
Deskriptivna statistika:
n = 120
Mean = 135,658 g/L
SD = 14,435 g/L
Median = 137,500 g/L
Rezultati:
Studentov t-test za jedan uzorak (one sample t-test), s kriterijem statističke značajnosti α=0,05 (5%); ako je p>α, H0 se prihvaća
Mjera
Vrijednost
t
4,294
df
119
p
< 0,001
95% CI
133,049 – 138,268 g/L
Veličina efekta:
Cohen’s d = 0,392 → mali do srednji efekt
Zaključak:
One sample t-test pokazao je statistički značajnu razliku između srednje razine hemoglobina u ispitivanih bolesnika (M = 135,658 g/L; SD = 14,435) i referentne vrijednosti od 130 g/L (t(119) = 4,294; p < 0,001). Interval pouzdanosti (133,049 – 138,268 g/L) ne uključuje referentnu vrijednost od 130 g/L, što dodatno potvrđuje statističku značajnost. Veličina efekta je mala do srednja (Cohen’s d = 0,392). Odbacujemo H₀ i prihvaćamo alternativnu hipotezu — razina hemoglobina u ispitivanih bolesnika uključenih u ovo istraživanje statistički se značajno razlikuje od referentne vrijednosti.
2. Usporedite dva nezavisna uzorka pomoću t-testa (odaberite jednu odgovarajuću numeričku kontinuiranu varijablu i jednu kategoričku koja će služiti za grupiranje u dva uzorka).
Odabrana kategorička varijabla: Skupina (Lijek/Placebo)
Odabrana numerička varijabla: Dob
Istraživačko pitanje:
Postoji li statistički značajna razlika u dobi ispitanika između skupine koja prima lijek i placebo skupine?
H₀: Ne postoji razlika u dobi između skupine koja je primila lijek i one koje je primila placebo (μ₁ = μ₂)
H₁: Postoji razlika u dobi između skupine koja je primila lijek i one koje je primila placebo (μ₁ ≠ μ₂)
# Deskriptivna statistika po skupinamacat("Lijek: n =", length(df1$Dob[df1$Skupina =="Lijek"]),"| Mean =", round(mean(df1$Dob[df1$Skupina =="Lijek"], na.rm =TRUE), 3),"| SD =", round(sd(df1$Dob[df1$Skupina =="Lijek"], na.rm =TRUE), 3), "\n")
Lijek: n = 57 | Mean = 66.812 | SD = 7.737
cat("Placebo: n =", length(df1$Dob[df1$Skupina =="Placebo"]),"| Mean =", round(mean(df1$Dob[df1$Skupina =="Placebo"], na.rm =TRUE), 3),"| SD =", round(sd(df1$Dob[df1$Skupina =="Placebo"], na.rm =TRUE), 3), "\n")
Placebo: n = 63 | Mean = 67.021 | SD = 9.964
# Provjera normalnostisw_dob <-shapiro.test(df1$Dob)sw_l <-shapiro.test(df1$Dob[df1$Skupina =="Lijek"])sw_p <-shapiro.test(df1$Dob[df1$Skupina =="Placebo"])cat("Dob: W =", round(sw_dob$statistic, 3), "| p =", round(sw_dob$p.value, 3), "\n")
Dob: W = 0.982 | p = 0.102
cat("Lijek: W =", round(sw_l$statistic, 3), "| p =", round(sw_l$p.value, 3), "\n")
Lijek: W = 0.991 | p = 0.947
cat("Placebo: W =", round(sw_p$statistic, 3), "| p =", round(sw_p$p.value, 3), "\n")
Placebo: W = 0.966 | p = 0.076
# Leveneov testleveneTest(Dob ~ Skupina, data = df1)
Warning in leveneTest.default(y = y, group = group, ...): group coerced to
factor.
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
Df F value Pr(>F)
group 1 3.7674 0.05465 .
118
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
# Boxplotggplot(df1, aes(x = Skupina, y = Dob, fill = Skupina)) +geom_boxplot(alpha =0.7) +geom_jitter(width =0.1, alpha =0.3, size =1.5) +scale_fill_manual(values =c("Lijek"="#2E86C1", "Placebo"="#E74C3C")) +labs(title ="Dob prema skupini",subtitle ="Usporedba Lijek i Placebo grupe",x ="Skupina", y ="Dob (godine)",fill ="Skupina") +theme_minimal(base_size =12)
# Independent samples t-testt.test(Dob ~ Skupina, data = df1, var.equal =TRUE)
Two Sample t-test
data: Dob by Skupina
t = -0.12712, df = 118, p-value = 0.8991
alternative hypothesis: true difference in means between group Lijek and group Placebo is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-3.457900 3.040718
sample estimates:
mean in group Lijek mean in group Placebo
66.81219 67.02078
Normalna distribucija varijable “Dob” (i cijele varijable i po skupinama) dokazana je koristeći Shapiro-Wilk test kojim smo prihvatili nul hipotezu da su podaci normalno distribuirani.
Homogenost varijanci (Leveneov test):
p = 0,055→ varijance su homogene (ne odbacujemo H₀ da su varijance homogene)
Koristimo standardni t-test (var.equal = TRUE)
Deskriptivna statistika:
Skupina
n
Mean
SD
Lijek
57
66,812 godina
7,737
Placebo
63
67,021 godina
9,964
Rezultati:
Studentov t-test za dva uzorka s kriterijem statističke značajnosti α=0,05 (5%); ako je p>α, H0 se prihvaća
Mjera
Vrijednost
t
-0,127
df
118
p
0,899
95% CI razlike
-3,458-3,041 godina
Veličina efekta:
Cohen’s d = -0,023 (gledamo apsolutnu vrijednost)
Zaključak:
Independent samples t-test nije pokazao statistički značajnu razliku u dobi između Lijek grupe (M = 66,812 godina; SD = 7,737) i Placebo grupe (M = 67,021 godina; SD = 9,964) (t(118) = -0,127; p = 0,899). Veličina efekta je mala/zanemariva (|Cohen’s d| = 0,023). Ne odbacujemo H₀ što znači da ne postoji statistički značajna razlika u dobi između skupina, i potvrđuje da su grupe ujednačene po dobi te da je randomizacija u tom pogledu bila uspješna. Veličina efekta je izračunata, ali budući da je nul-hipoteza prihvaćena i da ne postoji statistički značajna razlika, nije ju potrebno interpretirati.
3. Usporedite dva nezavisna uzorka pomoću neparametrijske inačice t-testa: MannWhitney U-test (isto kao pod 2).
Kategorička varjabla: Skupina (Lijek/Placebo)
Numerička varijabla: Glukoza
Istraživačko pitanje:
Razlikuje li se razina glukoze između Lijek i Placebo grupe?
H₀: Ne postoji razlika u razini glukoze između Lijek i Placebo grupe
H₁: Postoji razlika u razini glukoze između Lijek i Placebo grupe
cat("Placebo: n =", length(df1$Glukoza[df1$Skupina =="Placebo"]),"| Median =", round(median(df1$Glukoza[df1$Skupina =="Placebo"], na.rm =TRUE), 3),"| IQR =", round(IQR(df1$Glukoza[df1$Skupina =="Placebo"], na.rm =TRUE), 3), "\n")
Placebo: n = 63 | Median = 5.8 | IQR = 1.5
# Provjera normalnostisw_l <-shapiro.test(df1$Glukoza[df1$Skupina =="Lijek"])sw_p <-shapiro.test(df1$Glukoza[df1$Skupina =="Placebo"])cat("Lijek: W =", round(sw_l$statistic, 3), "| p =", round(sw_l$p.value, 4), "\n")
Lijek: W = 0.957 | p = 0.0404
cat("Placebo: W =", round(sw_p$statistic, 3), "| p =", round(sw_p$p.value, 4), "\n")
Placebo: W = 0.617 | p = 0
cat("→ distribucija nije normalna → Mann-Whitney U-test\n")
→ distribucija nije normalna → Mann-Whitney U-test
# Boxplotggplot(df1, aes(x = Skupina, y = Glukoza, fill = Skupina)) +geom_boxplot(alpha =0.7) +geom_jitter(width =0.1, alpha =0.3, size =1.5) +scale_fill_manual(values =c("Lijek"="#2E86C1", "Placebo"="#E74C3C")) +labs(title ="Glukoza prema skupini",x ="Skupina", y ="Glukoza (mmol/L)",fill ="Skupina") +theme_minimal(base_size =12)
# Mann-Whitney U-testwilcox.test(Glukoza ~ Skupina, data = df1, exact =FALSE)
Wilcoxon rank sum test with continuity correction
data: Glukoza by Skupina
W = 1814.5, p-value = 0.9225
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
r <-abs(eff$effsize)if (r <0.1) cat("zanemariv efekt\n")
zanemariv efekt
if (r >=0.1& r <0.3) cat("mali efekt\n")if (r >=0.3& r <0.5) cat("srednji efekt\n")if (r >=0.5) cat("veliki efekt\n")
Provjera uvjeta:
Normalnost (Shapiro-Wilk):
Lijek: W = 0,957; p = 0,040 → nije normalna
Placebo: W = 0,617; p < 0,001 → nije normalna
Budući da distribucija nije normalna u obje grupe → primjenjujemo Mann-Whitney U-test.
Teoretski nismo trebali provjeravati normalnost jer neparametrijski testovi nemaju preduvjete.
Deskriptivna statistika:
Skupina
n
Median
IQR
Lijek
57
5,800 mmol/L
1,500
Placebo
63
5,800 mmol/L
1,500
Rezultati:
Mann Whitney U-test s kriterijem statističke značajnosti α=0,05 (5%); ako je p>α, H0 se prihvaća.
Mjera
Vrijednost
W
1814,5
p
0,923
Veličina efekta:
r = 0,009 → zanemariv efekt
Zaključak:
Mann-Whitney U-test nije pokazao statistički značajnu razliku u razini glukoze između grupe ispitanika koja je primila lijek (Median = 5,800 mmol/L; IQR = 1,500) i grupe koja je primila placebo (Median = 5,800 mmol/L; IQR = 1,500) (W = 1814,5; p = 0,923). Već je prema grafičkom prikazu jasno da nema razlike u medijalnim vrijednostima između skupina. Veličina efekta je zanemariva (r = 0,009). Ne odbacujemo H₀ što znači da ne postoji statistički značajna razlika u razini glukoze između skupina.
4. Usporedite t-testom za zavisne uzorke dva prikladna uzorka (dvije kontinuirane numeričke varijable koje predstavljaju zavisne uzorke).
Tražim prikladne uzorke - provjera normalnosti razlika za parove:
Paired t-test
data: df1$Mg_G1_num and df1$Mg_G2_num
t = 3.3042, df = 119, p-value = 0.001259
alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.2052250 0.8190132
sample estimates:
mean difference
0.5121191
Normalnost razlike — Shapiro-Wilk: W = 0,984; p = 0,159 → razlika je normalno distribuirana
Deskriptivna statistika:
Mjerenje
Mean
SD
Median
Mg_G1
18,938 mg/L
1,514
19,040
Mg_G2
18,426 mg/L
1,656
18,437
Razlika
0,512
1,698
—
Rezultati:
Studentov t-test za dva zavisna uzorka s kriterijem statističke značajnosti α=0,05 (5%); ako je p>α, H0 se prihvaća
Mjera
Vrijednost
t
3,304
df
119
p
0,001
95% CI razlike
0,205 – 0,819 mg/L
Veličina efekta:
η² = 0,084 → srednji efekt
Zaključak:
Paired t-test pokazao je statistički značajnu razliku između razine magnezija u prvoj (M = 18,938 mg/L; SD = 1,514) i drugoj godini mjerenja (M = 18,426 mg/L; SD = 1,656) (t(119) = 3,304; p = 0,001). Veličina efekta je srednja (η² = 0,084), što znači da vremenska točka mjerenja objašnjava 8,4% varijance razine magnezija. Odbacujemo H₀; postoji statistički značajna razlika u razini magnezija između prve i druge godine mjerenja, ali je mala.
5. Usporedite Wilcoxon testom dva prikladna uzorka (isto kao pod 4).
Odabrane varijable: Zn_G1 i Zn_G2
Istraživačko pitanje:
Razlikuje li se razina cinka između prve i druge godine mjerenja u ispitivanih bolesnika?
H₀: Ne postoji razlika u razini cinka između G1 i G2
Wilcoxon signed rank test with continuity correction
data: df1$Zn_G1_num and df1$Zn_G2_num
V = 3220, p-value = 0.6346
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
# A tibble: 1 × 7
.y. group1 group2 effsize n1 n2 magnitude
* <chr> <chr> <chr> <dbl> <int> <int> <ord>
1 vrijednost Zn_G1 Zn_G2 0.0394 120 120 small
cat("r =", round(eff$effsize, 3), "\n")
r = 0.039
cat("Interpretacija: ")
Interpretacija:
r <-abs(eff$effsize)if (r <0.1) cat("zanemariv efekt\n")
zanemariv efekt
if (r >=0.1& r <0.3) cat("mali efekt\n")if (r >=0.3& r <0.5) cat("srednji efekt\n")if (r >=0.5) cat("veliki efekt\n")
Provjera uvjeta:
Shapiro-Wilk test pokazao je da razlika nije normalno distribuirana (W = 0,971; p = 0,011) → primjenjujemo Wilcoxon signed-rank test.
Deskriptivna statistika:
Mjerenje
Median
IQR
Zn_G1
678,650 mg/L
128,987
Zn_G2
686,999 mg/L
122,282
Rezultati:
Wilcoxon test s kriterijem statističke značajnosti α=0,05 (5%); ako je p>α, H0 se prihvaća
Mjera
Vrijednost
V
3220
p
0,635
Veličina efekta:
r = 0,039 → zanemariv efekt
Zaključak:
Wilcoxon signed-rank test nije pokazao statistički značajnu razliku između razine cinka u prvoj (Median = 678,650 mg/L; IQR = 128,987) i drugoj godini mjerenja (Median = 686,999 mg/L; IQR = 122,282) (V = 3220; p = 0,635). Veličina efekta je zanemariva (r = 0,039). Ne odbacujemo H₀; ne postoji statistički značajna razlika u razini cinka između prve i druge godine mjerenja, što upućuje da se razina cinka nije značajno promijenila kroz promatrano razdoblje.
6. Usporedite određeno odgovarajuće obilježje među skupinama parametrijskim ANOVA testom i napravite odgovarajuću post hoc analizu.
Odabrana numerička varijabla: Mg_G2
Odabrana kategorička varijabla: Stupanj
Istraživačko pitanje:
Razlikuje li se razina magnezija (Godina 2) kod ispitanika s različitim stupnjevima bolesti?
H₀: Ne postoji razlika u razini magnezija između stupnjeva bolesti (μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄)
H₁: Postoji razlika u razini magnezija između barem dva stupnja bolesti
# Pretvori u numeričkudf1$Mg_G2_num <-suppressWarnings(as.numeric(df1$Mg_G2))df1$Stupanj <-as.factor(df1$Stupanj)# Deskriptivna statistika po stupnjevimafor (s inlevels(df1$Stupanj)) { x <- df1$Mg_G2_num[df1$Stupanj == s]cat("Stupanj", s, "| n =", sum(!is.na(x)),"| Mean =", round(mean(x, na.rm =TRUE), 3),"| SD =", round(sd(x, na.rm =TRUE), 3),"| Median =", round(median(x, na.rm =TRUE), 3), "\n")}
Stupanj 1 | n = 28 | Mean = 18.527 | SD = 1.142 | Median = 18.588
Stupanj 2 | n = 35 | Mean = 18.254 | SD = 1.862 | Median = 17.9
Stupanj 3 | n = 38 | Mean = 18.428 | SD = 1.894 | Median = 18.27
Stupanj 4 | n = 19 | Mean = 18.588 | SD = 1.468 | Median = 18.637
# Provjera normalnosti Mg_G2 - cijeli uzoraksw_ukupno <-shapiro.test(df1$Mg_G2_num)cat("W =", round(sw_ukupno$statistic, 3),"| p =", round(sw_ukupno$p.value, 3), "\n")
Cijeli uzorak: W = 0,990; p = 0,547 → normalna distribucija
Stupanj 1: W = 0,978; p = 0,798 → normalna distribucija
Stupanj 2: W = 0,980; p = 0,744 → normalna distribucija
Stupanj 3: W = 0,985; p = 0,889 → normalna distribucija
Stupanj 4: W = 0,944; p = 0,314 → normalna distribucija
Normalna distribucija varijable “Mg_G2” (i cijele varijable i po skupinama) dokazana je koristeći Shapiro-Wilk test kojim smo prihvatili nul hipotezu da su podaci noramlno distribuirani.
Homogenost varijanci (Leveneov test):
F(3, 116) = 2,575; p = 0,057 → varijance su homogene (p > 0,05, prihvaćamo nul hipotezu da su varijance homogene)
Deskriptivna statistika:
Stupanj
n
Mean
SD
Median
1
28
18,527 mg/L
1,142
18,588
2
35
18,254 mg/L
1,862
17,900
3
38
18,428 mg/L
1,894
18,270
4
19
18,588 mg/L
1,468
18,637
Rezultati:
One-way ANOVA test s kriterijem statističke značajnosti α=0,05 (5%)
Mjera
Vrijednost
F(3, 116)
0,216
p
0,885
Veličina efekta:
η² = 0,006 → zanemariv efekt
Post hoc analiza (Tukey HSD):
Obično se provodi u slučaju odbacivanja nul-hipoteze (potrebno je provjeriti među kojim skupinama postoje statistički značajna odstupanja)
Usporedba
Razlika
95% CI
p
2 vs 1
-0,272
-1,378 – 0,834
0,918
3 vs 1
-0,099
-1,185 – 0,987
0,995
4 vs 1
0,062
-1,234 – 1,358
0,999
3 vs 2
0,173
-0,848 – 1,195
0,971
4 vs 2
0,334
-0,909 – 1,577
0,897
4 vs 3
0,161
-1,065 – 1,386
0,986
Zaključak:
One-way ANOVA nije pokazala statistički značajnu razliku u razini magnezija između četiri stupnja bolesti (F(3, 116) = 0,216; p = 0,885). Veličina efekta je zanemariva (η² = 0,006) — stupanj bolesti objašnjava samo 0,6% varijance razine magnezija.
Logično je da onda i post hoc analiza (Tukey HSD) potvrđuje da niti jedan par stupnjeva nije statistički značajno različit (sve p > 0,05). Srednje vrijednosti magnezija su vrlo slične između svih stupnjeva (raspon 18,254 – 18,588 mg/L).
Ne odbacujemo H₀ što znači da ne postoji statistički značajna razlika u razini magnezija između stupnjeva bolesti.
7. Odaberite prikladnu varijablu i napravite analizu neparametrijskom inačicom ANOVA testa (Kruskal-Wallis), uz odgovarajuću post hoc analizu.
Odabrana numerička varijabla: Beta1_G1
Odabrana kategorička varijabla: Skupina
Istraživačko pitanje:
Razlikuje li se razina markera koštane razgradnje (Betacross laps 1) u 1. godini kod ispitanika s različitim stupnjevima bolesti?
H₀: Ne postoji razlika u razini Beta1_G1 između stupnjeva bolesti
H₁: Postoji razlika u razini Beta1_G1 između barem dva stupnja bolesti
# Stupanj kao faktordf1$Stupanj <-as.factor(df1$Stupanj)# Pretvori u numeričkudf1$Beta1_G1_num <-suppressWarnings(as.numeric(df1$Beta1_G1))# Deskriptivna statistika po stupnjevimafor (s inlevels(df1$Stupanj)) { x <- df1$Beta1_G1_num[df1$Stupanj == s]cat("Stupanj", s, "| n =", sum(!is.na(x)),"| Median =", round(median(x, na.rm =TRUE), 3),"| IQR =", round(IQR(x, na.rm =TRUE), 3), "\n")}
Stupanj 1 | n = 28 | Median = 0.23 | IQR = 0.152
Stupanj 2 | n = 35 | Median = 0.35 | IQR = 0.135
Stupanj 3 | n = 38 | Median = 0.24 | IQR = 0.18
Stupanj 4 | n = 19 | Median = 0.26 | IQR = 0.275
e <-abs(eff$effsize)if (e <0.01) cat("zanemariv efekt\n")if (e >=0.01& e <0.06) cat("mali efekt\n")if (e >=0.06& e <0.14) cat("srednji efekt\n")
srednji efekt
if (e >=0.14) cat("veliki efekt\n")# Post hoc analizadunn_rezultat <-dunn_test(df1, Beta1_G1_num ~ Stupanj,p.adjust.method ="bonferroni")print(dunn_rezultat[, c("group1", "group2", "statistic", "p", "p.adj")])
Shapiro-Wilk test pokazao je da Beta1_G1 nije normalno distribuiran (W = 0,874; p < 0,001) → primjenjujemo Kruskal-Wallis test.
Deskriptivna statistika:
Stupanj
n
Median
IQR
1
28
0,230
0,152
2
35
0,350
0,135
3
38
0,240
0,180
4
19
0,260
0,275
Rezultati:
Kruskal-Wallis test s kriterijem statističke značajnosti α=0,05 (5%)
Mjera
Vrijednost
χ²
10,118
df
3
p
0,018
Veličina efekta:
η² = 0,061 → srednji efekt
Post hoc analiza (Dunn test s Bonferroni korekcijom):
Usporedba
Statistika
p
p.adj
1 vs 2
3,008
0,003
0,016
1 vs 3
0,877
0,380
1,000
1 vs 4
1,390
0,165
0,988
2 vs 3
-2,323
0,020
0,121
2 vs 4
-1,227
0,220
1,000
3 vs 4
0,692
0,489
1,000
Zaključak:
Kruskal-Wallis test pokazao je statistički značajnu razliku u razini markera koštane razgradnje (Beta1_G1) između četiri stupnja bolesti (χ²(3) = 10,118; p = 0,018). Veličina efekta je srednja (η² = 0,061).
Post hoc analiza (Dunn test s Bonferroni korekcijom) pokazala je da se jedino Stupanj 1 i Stupanj 2 statistički značajno razlikuju (p.adj = 0,016) — Stupanj 2 ima višu razinu markera koštane razgradnje (Median = 0,350) od Stupnja 1 (Median = 0,230) (na grafu označeno zvjezdicom). Ostali parovi nisu statistički značajno različiti.
Odbacujemo H₀ što znači da postoji statistički značajna razlika u razini markera koštane razgradnje između barem dva stupnja bolesti, i to kod Stupnja 1 i Stupnja 2.
8. Usporedite odgovarajuće obilježje na zavisnim uzorcima parametrijskim ANOVA testom (ANOVA za ponavljana mjerenja).
Odabrane varijable: BMD1_G1, BMD1_G2 i BMD1_G3
Istraživačko pitanje:
Razlikuje li se gustoća kostiju (BMD1) između tri godine mjerenja u ispitivanih bolesnika?
H₀: Ne postoji razlika u BMD1 između godina mjerenja (μG1 = μG2 = μG3)
H₁: Postoji razlika u BMD1 između barem dvije godine mjerenja
BMD1_G1: W = 0,992; p = 0,755 → normalna distribucija
BMD1_G2: W = 0,958; p = 0,001 → nenormalna distribucija
BMD1_G3: W = 0,984; p = 0,179 → normalna distribucija
BMD1_G2 nije normalno distribuiran — međutim ANOVA je robusna za n = 120
Deskriptivna statistika:
Mjerenje
Mean
SD
BMD1_G1
0,663 g/cm²
0,116
BMD1_G2
0,687 g/cm²
0,116
BMD1_G3
0,656 g/cm²
0,111
Rezultati:
ANOVA test za ponovljena mjerenja s kriterijem statističke značajnosti α=0,05 (5%)
Mjera
Vrijednost
F(2, 238)
4,977
p (bez korekcije)
0,008
p (GG korekcija)
0,013
ges
0,013
Veličina efekta:
ges (generalized eta squared)* = 0,013 → mali efekt
*output funkcije anova_test() za ponavljana mjerenja; ges je konzervativniji od parcijalnog η² jer u nazivnik dodaje i varijabilnost između ispitanika
Post hoc analiza (paired t-test s Bonferroni korekcijom):
Usporedba
t
df
p
p.adj
G1 vs G2
-1,954
119
0,053
0,159
G1 vs G3
0,659
119
0,511
1,000
G2 vs G3
3,941
119
< 0,001
< 0,001
Zaključak:
ANOVA za ponavljana mjerenja pokazala je statistički značajnu razliku u gustoći kostiju (BMD1) između godina mjerenja (F(2, 238) = 4,977; p = 0,013). Veličina efekta je mala (ges = 0,013).
Post hoc analiza pokazala je da se jedino G2 i G3 statistički značajno razlikuju (t(119) = 3,941; p.adj < 0,001) — BMD1 pada između druge i treće godine mjerenja. Razlike između G1 i G2 (p.adj = 0,159) te G1 i G3 (p.adj = 1,000) nisu statistički značajne.
Odbacujemo H₀ — postoji statistički značajna razlika u BMD1 između godina mjerenja, pad gustoće kostiju između druge i treće godine statistički značajan.
