Un Ingenio azucarero produce lotes de 2.000 empaques de 500g de azúcar refinada. De acuerdo a un estudio de calidad realizado hace algunos años, se tiene estimado que el contenido de dichos empaques se comporta como una variable aleatoria distribuida normalmente y que tiene un parámetro de media μ= 500.05g y de varianza σ2= 0.0625. Si el ingenio ha establecido que para ofrecer una excelente calidad, el contenido debe ser de 500±0.5 gramos.
Datos del problema
a. ¿Qué proporción de bolsas se espera obtener dentro de las especificaciones?
Calculamos valores de Z
\[ Z_1= \frac{499.5-500.05}{0.25}=-2.2 \]
\[ Z_2= \frac{500.5-500.05}{0.25}=1.8 \]
Probabilidad
\[ P(-2.2<Z<1.8) \]
\[ P(Z<1.8)=0.9641 \] \[ P(Z<-2.2)=0.0139 \]
\[ P(Z<1.8)-P(Z<-2.2) = 0.9641 - 0.0139 = 0.9502 \]
# Proporción de bolsas que se esperan obtener dentro de las especificaciones:
# P(499.5 <= X <= 500.5)
proporcion_a <- pnorm(limite_superior, mean = media_a, sd = desviacion_estandar_a) -
pnorm(limite_inferior, mean = media_a, sd = desviacion_estandar_a)
proporcion_a## [1] 0.9501662La proporción de bolsas que se espera obtener dentro de las especificaciones es del 95.02%
b. El ingenio estudia lanzar una promoción llamada “Dulce ñapita” que consiste en adicionar un empaque de 125g al de 500g, y se conoce que el contenido de ésta sigue una distribución normal con media μ= 124.95g y de varianza σ2= 0.0225, ¿qué proporción de empaques promocionales se puede esperar que supere los 625.5g?
Datos del problema
media_a <- 500.05
varianza_a <- 0.0625
desviacion_estandar_a <- sqrt(varianza_a)
media_b <- 124.95
varianza_b <- 0.0225
desviacion_estandar_b <- sqrt(varianza_b)
valor_limite_b <- 625.5Calculamos valores de Z
media_promocion <- media_a + media_b
varianza_promocion <- varianza_a + varianza_b
desviacion_estandar_promocion <- sqrt(varianza_promocion)\[ Z= \frac{625.5-625}{0.2915}=1.715 \]
Probabilidad
# proporción de empaques promocionales que supera los 625.5g
proporcion_b <- 1 - pnorm(valor_limite_b, mean = media_promocion, sd = desviacion_estandar_promocion)
proporcion_b## [1] 0.04317391\[ P(X>625.5)=1-P(Z<1.715) \]
\[ P=1-0.9568 \]
\[ P=0.0432 \]
El 4.32% de empaques promocionales supera los 625.5g.
c. El ingenio tiene dudas sobre si lanzar o no dicha promoción. Para resolverlas, quiere estimar el resultado de una prueba que consistiría en realizar un muestreo donde se seleccionan aleatoriamente 60 unidades de un lote de la promoción, si se encuentran 6 o más unidades de promoción por encima de los 625.5g, se cancelará el lanzamiento de esta promoción. ¿Cuál es la probabilidad de que “Dulce ñapita” salga al mercado?
Datos del problema
La promoción se lanza al mercado si el número de unidades por encima de los 625.5g es menor a 6
\[ P(X \leq 5) \]
Distribución binomial \[ P(X) = \binom{n}{x} \, p^x \, q^{n-x} \]
## [1] 0.9555198La probabilidad de que la promoción “Dulce ñapita” salga al mercado es del 95.52%
Un comprador está negociando la adquisición de una materia prima con un nuevo proveedor. El comprador sabe que un nivel de calidad límite de 7.5% es bastante perjudicial para el proceso productivo, para lo cual le ha pedido al director de calidad que diseñe un plan que evite con una alta probabilidad que se acepten lotes con estas características. El director le informa que dicho plan es el siguiente:
Se toma una muestra de tamaño n=50 y se acepta hasta con 1 unidades y se rechaza con 2 o más.
Datos de problema
a. Encuentre el riesgo del comprador que se tendría con el plan propuesto por el director de calidad. ¿Es apropiado?
El riesgo del comprador es la probabilidad de aceptar un lote de mala calidad, siendo:
\[ \beta = P(\text{aceptar lote} \mid p = 0.075) \] Se acepta el lote si: \[ P_a = P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) \]
Usando la distribución binomial:
## [1] 0.1025006El riesgo del comprador (probabilidad de aceptar un lote de mala calidad) es: \[ \beta \approx 0.1025 \; (10.25\%) \] ¿Es apropiado?
Sí es apropiado. Aunque el riesgo del comprador es 10.25% y supera un poco el 10%, sigue siendo un valor cercano y se puede considerar aceptable. Esto significa que aproximadamente 1 de cada 10 lotes defectuosos podría ser aceptado, lo cual no es tan crítico dependiendo del proceso. En tal caso si se quisiera disminuir el riesgo del comprador, la solución más efectiva sería aumentar el tamaño de muestra n, pero en este caso la disminución del riesgo es menor y además tocaría usar más recursos.
b. Entre aumentar el tamaño de la muestra a 60 conservando el número de aceptación y conservar la muestra de 50 pero aceptando 0 defectos; ¿Cuál le recomendaría usted al director? Justifique su respuesta teniendo en cuenta criterios de probabilidad, costos, tiempo, y calidad de su proceso.
Se evalúa el riesgo del comprador para ambas alternativas con p=0.075
1: Aumentar la muestra a n=60, manteniendo c=1
## [1] 0.05454588El riesgo del comprador (probabilidad de aceptar un lote de mala calidad) es: \[ \beta \approx 0.0546 \; (5.46\%) \]
2: Opción 2: Mantener n=50, pero aceptar c=0
## [1] 0.02028087El riesgo del comprador (probabilidad de aceptar un lote de mala calidad) es: \[ \beta \approx 0.0203 \; (2.03\%) \]
Se recomienda la opción 1: n=60,c=1.
Justificación:
La opción 2 ofrece el menor riesgo para el comprador (2.03%), pero es un plan demasiado estricto. Los planes donde el número de aceptación es c=o tienen una curva CO que cae muy rápido, es decir que cualquier lote con un mínimo de defectos será rechazado, aumentando significativamente el riesgo del productor.
La Opción 1 reduce el riesgo del comprador de 10.25% a 5.46%. En términos de costos, claramente aumentan debido a que tocaría revisar más unidades, pero sería un aumento mínimo comparado con los costos que tocaría asumir el rechazar frecuentemente los lotes por detalles mínimos, como sucedería con el plan 2. Adicionalmente también se sabe que al aumentar la muestra también implicaría un aumento en los tiempos de inspección y en cuanto a la calidad del proceso, habría un control más confiable puesto que se evita aceptar lotes defectuosos y, además, no se hacen rechazos innecesarios, por detalles mínimos.
Su proveedor estrella le ha pedido que cambie el nivel de inspección que maneja para sus productos, es decir, que se pase de inspección normal a inspección reducida. Actualmente se maneja un sistema de muestreo usando la MIL STD 105E y se ha establecido un AQL de 1.0%, el tamaño de los lotes es de 5.000 unidades, y el nivel general de inspección es el II. Si el proveedor asegura que su fracción disconforme es del 0.7%, ¿Cuál es la probabilidad de que se rebaje el nivel de inspección basado sólo en el criterio de 10 lotes consecutivos aceptados?
Datos del problema
De la norma MIL-STD-105E, esto da:
Para definir en este caso en específico qué distribución utilizar se analiza la razón entre la muestra y el lote, obteniendo:
seleccionar_distribucion <- function(n, N) {
r <- n / N
# 1) Hipergeométrica: si n/N > 0.1
if (r > 0.1) {
return("Hipergeométrica")
}
# 2) Poisson: si n/N <= 0.1 y n*(n/N) > 1
# (esta regla se evalúa antes que la binomial, porque es un caso especial)
if (r <= 0.1 && n * r > 1) {
return("Poisson")
}
# 3) Binomial: si n/N <= 0.1
if (r <= 0.1) {
return("Binomial")
}
}
seleccionar_distribucion(200,5000)## [1] "Poisson"Se utiliza la distribución de Poisson
\[ P(X) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}, \quad \lambda = np \]
Entonces,
## [1] 1.4Ahora, la probabilidad de aceptar un lote está dada por:
\[ P_a = P(X \leq 5), \quad X \sim \text{Poisson}(\lambda = 1.4) \]
En ese sentido, la probabilidad de aceptación será la sumatoria de P (0) a P (5):
\[ P_a = \sum_{x=0}^{5} P(x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \]
Calculamos:
## [1] 0.9967989Ahora, para cambiar a inspección reducida, se necesitan 10 lotes consecutivos aceptados:
\[ P(\text{10 lotes consecutivos aceptados}) = (P_a)^{10} \]
Dado que la aceptación de cada lote puede modelarse como un evento independiente como probabilidad constante Pa, la probabilidad de aceptar 10 lotes consecutivos corresponde al producto de las probabilidades individuales.
\[ (P_a)^{10} = (0.9968)^{10} = 0.9684 \approx 0.97 \]
Así pues, la probabilidad de aceptar un lote bajo las condiciones dadas es del 99.68%. Dado que el criterio de pasar a inspección reducida exige la aceptación de 10 lotes consecutivos, y asumiendo independencia entre cada lote, se tiene que la probabilidad de que se rebaje el nivel de inspección es de aproximadamente 97%.
El ingenio azucarero quiere evitar enviar a sus clientes lotes con sacos bajos de peso. Un saco debe traer aproximadamente 50Kg y un saco con 49.8Kg se considera bajo de peso. Dado que inspeccionar cada uno de los sacos resulta muy costoso, además de dispendioso y puede provocar problemas a la salud de los trabajadores, se planea llevar a cabo un muestreo de aceptación diseñado para el peso. Siguiendo la MIL STD 414 y el método de la M, diseñe un plan de muestreo teniendo en cuenta que el tamaño de lote es igual a 2500 unidades, se requiere un nivel general de inspección IV y se ha definido un AQL de 0.15%.
Datos del problema:
N=2500, Nivel IV, AQL=0.15%, LIE=49.8 kg
N <- 2500
n <- 40 # Tabla 1: N=2500, Nivel IV → Letra L
M <- 0.566 # Tabla 2: Letra L, n=40, AQL=0.15%
LIE <- 49.8a. Enuncie el plan de muestreo correspondiente.
De la Tabla 1 de la MIL STD 414, con un tamaño de lote N=2500 (rango 1301 a 3200) y nivel general de inspección IV, se obtiene la letra L.
De la Tabla de Inspección Normal (método M, variabilidad desconocida), con letra L (n=40) y AQL= 0.15% se obtiene M=0.566%.
El plan de muestreo consiste en tomar una muestra aleatoria de n=40 sacos, medir el peso de cada uno, calcular X̄ y la desviación estándar muestral S, luego se calcula el índice de calidad:
\[ ZLIE = \frac{X - LIE}{S} \]
Con este valor y n= 40 se estima el porcentaje de no conformes p usando la tabla para estimar el porcentaje de defectuosos en el lote. Si p ≤ M = 0.566% se acepta el lote, de lo contrario se rechaza.
b. Si se realiza el muestreo de las n unidades indicado por el plan anterior y se encuentra que para un determinado lote la media de la muestra es de 50.05Kg y desviación estándar es de 0.1Kg. ¿Se acepta o no dicho lote?
Datos: X̄ = 50.05kg S = 0.1kg
\[ ZLIE = \frac{X - LIE}{S} = \frac{50.05-49.8}{0.1} =\frac{0.25}{0.1}=2.50 \]
De la tabla de estimación de porcentaje de defectuosos, tenemos que Z_LIE = 2.50 y n=40
\[ p=0.473 \]
Decisión:
\[ p=0.473 \leq M =0.566,\quad\text{entonces se acepta el lote} \]
El porcentaje estimado de sacos estimados por debajo de 49.8kg (0.473) se encuentra dentro del límite máximo permitido por el plan (0.566), por lo que el lote cumple con los requisitos de calidad establecidos.