Exemplo
Supondo o sorteio ao acaso de uma pessoa em um grupo de 40.
É possível obter a probabilidade da pessoa torcer para o Fortaleza?
Como poderia ser obtido o resultado?
Exemplo
Supondo o sorteio ao acaso de uma pessoa em um grupo de 40.
É possível obter a probabilidade da pessoa torcer para o Fortaleza?
Como poderia ser obtido o resultado?
Seja \(E_1\) um experimento com \(m_1\) possibilidades
e \(E_2\) outro experimento com \(m_2\) possibilidades para cada uma das \(m_1\) iniciais.
\(E_1\) e \(E_2\) independentes.
Então, os dois experimentos em conjunto possuem \(m_1 \times m_2\) possibilidades.
Seja \(E_1\) um experimento com \(m_1\) possibilidades
e \(E_2\) outro experimento com \(m_2\) possibilidades para cada uma das \(m_1\) iniciais.
Então, os dois experimentos em conjunto possuem \(m_1 \times m_2\) possibilidades.
Um estudante pode escolher entre 5 disciplinas optativa.
Cada optativa tem opção de 2 horários diferentes, para ser ministrada.
Quantas opções o estutante tem, para a escolha da disciplina e horário?
Seja \(E_1\) um experimento com \(m_1\) possibilidades
e \(E_2\) outro experimento com \(m_2\) possibilidades para cada uma das \(m_1\) iniciais.
Então, os dois experimentos em conjunto possuem \(m_1 \times m_2\) possibilidades.
Um estudante pode escolher entre 5 disciplinas optativa.
Cada optativa tem opção de 2 horários diferentes, para ser ministrada.
Quantas opções diferentes de horários o estutante tem, se cada disciplina será ministrada em horários diferentes?
Resposta: \(5 \times 2 = 10\) combinações diferentes.
Sejam \(E_1, \cdots, E_n\) um experimentos com \(m_1, \cdots, m_n\) possibilidades, respectivamente.
Então, os experimentos em conjunto possuem \(m_1 \times m_2\times m_3\times \cdots m_n\) possibilidades.
Sejam \(E_1, \cdots, E_n\) um experimentos com \(m_1, \cdots, m_n\) possibilidades, respectivamente.
Então, os experimentos em conjunto possuem \(m_1 \times m_2\times m_3\times \cdots m_n\) possibilidades.
Um sistema de comunicação formado por 4 antenas aparentemente idênticas devem ser alinhadas em sequência.
O sistema resultante será capaz de receber qualquer sinal e será chamado de funcional desde que duas antenas consecutivas não apresentem defeito.
Se exatamente 2 das 4 antenas apresentarem defeito, de quantas maneiras é possível um sistema ser funcional?
Qual a probabilidade de o sistema continuar funcionando, mesmo com 2 antenas apresentando defeito?
Para o caso de n antenas, das quais m são defeituosas, qual é a probabilidade do sistema continuar funcionando?
Dados n elementos distintos em um conjunto, de quantos modos podemos ordena-los?
Sejam \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\), três objetos distintos.
De quantas maneiras podemos ornena-los?
Vamos pensar em três experimentos, um para cada seleção de um objeto para a ordenação.
Então, podemos aplicar o pricípio básico da contagem.
Dados n elementos distintos em um conjunto, de quantos modos podemos ordena-los?
Sejam \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\), três objetos distintos.
De quantas maneiras podemos ordená-los esses objetos?
Vamos pensar em três experimentos, um para cada seleção de um objeto para a ordenação.
Então, podemos aplicar o pricípio básico da contagem.
De um modo geral, o número de permutações (ou ordenações) de n objetos distintos é dado pela função:
\[ P(n)=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times ... \times 3 \times 2 \times 1=n!\]
Ou seja, n fatorial.
Observação: mais exemplos nas Notas de Aulas, página 49.
Sejam \(P_1\), \(P_2\),\(P_2\),\(P_2\) e \(P_3\), cinco objetos, sendo um considerado três vezes (três repetições do mesmo).
De quantas maneiras podemos ornena-los?
Note que a permutação de \(P_2\) com ele mesmo, não deve ser levada em conta.
Sejam \(P_1\), \(P_2\),\(P_2\),\(P_2\) e \(P_3\), cinco objetos, sendo um considerado três vezes (três repetições do mesmo).
De quantas maneiras podemos ornena-los?
Note que a permutação de \(P_2\) com ele mesmo, não deve ser levada em conta.
Sejam \(P_1\), \(P_2\),\(P_2\),\(P_2\) e \(P_3\), cinco objetos, sendo um considerado três vezes (três repetições do mesmo).
De quantas maneiras podemos ornena-los?
Note que a permutação de \(P_2\) com ele mesmo, não deve ser levada em conta.
De um modo geral, temos: \(P(n)=\frac{n!}{n_1! n_2! ...n_r!}\)
em que \(n_j\) é o número de repetição do j-ésimo objeto
Dados n objetos distintos \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\) em um conjunto.
Um arranjo simples é qualquer ordenação de qualquer subconjunto de r elementos distintos do conjunto dado.
Nesse caso, dizemos que temos um arranjo dos elementos do conjunto, tomados r a r (\(r\leq n\)).
Dados n objetos distintos \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\) em um conjunto.
Um arranjo simples é qualquer ordenação de qualquer subconjunto de r elementos distintos do conjunto dado.
Nesse caso, dizemos que temos um arranjo dos elementos do conjunto, tomados r a r (\(r\leq n\)).
Exemplo: Maria tem 5 carros, mas apenas 3 garagens. De quantas maneiras distintas Maria pode guardar 3 de seus 5 carros nessas garagens?
Dados n objetos distintos \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\) em um conjunto.
Um arranjo simples é qualquer ordenação de qualquer subconjunto de r elementos distintos do conjunto dado.
Nesse caso, dizemos que temos um arranjo dos elementos do conjunto, tomados r a r (\(r\leq n\)).
Exemplo: Maria tem 7 carros, mas apenas 3 garagens. De quantas maneiras distintas Maria pode guardar 3 de seus 7 carros nessas garagens?
- Dados n objetos distintos \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\) em um conjunto.
Um arranjo simples é qualquer ordenação de qualquer subconjunto de r elementos distintos do conjunto dado.
Nesse caso, dizemos que temos um arranjo dos elementos do conjunto, tomados r a r (\(r\leq n\)).
Exemplo: Maria tem 5 carros, mas apenas 3 garagens. De quantas maneiras distintas Maria pode guardar 3 de seus 5 carros nessas garagens?
De um modo geral, temos: \(A(n)=n\times [n-1]\times [n-2]\cdots\times [n-(r-1)]\)
\[A(n)=\frac{n\times [n-1]\times [n-2]\cdots\times [n-(r-1)] (n-r)!}{(n-r)!}= \frac{n!}{(n-r)!}\]
A combinação de n elementos, \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\), tomados r a r, com 1 ≤ r ≤ n, é a escolha de qualquer subconjunto de tamanho r desses n elementos, de modo que a ordem dos objetos no subconjunto não implica em conjuntos distintos.
A combinação de n elementos, \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\), tomados r a r, com 1 ≤ r ≤ n, é a escolha de qualquer subconjunto de tamanho r desses n elementos, de modo que a ordem dos objetos no subconjunto não implica em conjuntos distintos.
Exemplo: Em uma turma de 30 alunos, considere que serão selecionados três para fazerem parte de uma comissão. Considere as pessoas desse grupo como sendo \(P_1, P_2\) e \(P_3\). De quantas maneiras diferentes pode ser formada essa equipe?
A combinação de n elementos, \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\), tomados r a r, com 1 ≤ r ≤ n, é a escolha de qualquer subconjunto de tamanho r desses n elementos, de modo que a ordem dos objetos no subconjunto não implica em conjuntos distintos.
Exemplo: Em uma turma de 30 alunos, considere que serão selecionados três para fazerem parte de uma comissão. Considere as pessoas desse grupo como sendo \(P_1, P_2\) e \(P_3\). De quantas maneiras diferentes pode ser formada essa equipe?
A combinação de n elementos, \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\), tomados r a r, com 1 ≤ r ≤ n, é a escolha de qualquer subconjunto de tamanho r desses n elementos, de modo que a ordem dos objetos no subconjunto não implica em conjuntos distintos.
Exemplo: Em uma turma de 30 alunos, considere que serão selecionados três para fazerem parte de uma comissão. Considere as pessoas desse grupo como sendo \(P_1, P_2\) e \(P_3\). De quantas maneiras diferentes pode ser formada essa equipe?
\(\begin{align*}C(n)&= \\\end{align*}\)
\(\begin{align*}C(n)&=\frac{n \times [n-1]\times [n-2]\times \cdots [n-r+2] \times [n-(r-1)]}{r!}\\ &= \frac{n \times [n-1]\times [n-2]\times \cdots [n-(r-2)] \times [n-(r-1)]\times [n-r]!}{r![n-r]!}\\&= \frac{n!}{r![n-r]!}\end{align*}\)
\(0!=1\)
Uma conbinação de n elementos tomados r a r será denotada por: \(\begin{align*} {n \choose r} &= \frac{n!}{r!(n-r)!}\end{align*}\)
\({n \choose r}\) é denominado Coeficiente Binomial
\({n\choose 0}={n\choose n}=1\)
Se \(i<0\) ou \(i> n\) então \({n\choose i}=0\)
Observação: mais exemplos nas Notas de Aulas, página 49.
A produção de um dia de operação de uma máquina foi investigada, tendo sido identificadas 50 peças com algum defeito em um total de 1000 peças produzidas. Suponha que um orgão que fiscaliza a qualidade dos itens produzidos irá realizar um sorteio aleatório de 10 peças, que serão investigadas pelo controle de qualidade.