Olá, futuros engenheiros eletricistas!
Estas notas cobrem as técnicas de integração essenciais que vocês utilizarão em disciplinas posteriores, como Circuitos Elétricos, Sinais e Sistemas e Eletromagnetismo. O foco é não apenas calcular, mas entender qual técnica aplicar em cada situação.
Nesta seção inicial, introduziremos o conceito de integral indefinida e os procedimentos básicos de integração, operação essencialmente inversa à derivação, já estudada em Cálculo I. Para cada técnica, apresentaremos exemplos resolvidos e exercícios propostos, visando familiarizar o aluno com esse conteúdo fundamental do cálculo diferencial e integral.
No curso de Cálculo I, recebemos uma função \(f(x)\) e buscamos sua derivada. A partir de agora, invertemos o processo: dada \(f(x)\), perguntamos qual função foi diferenciada para obtê-la.
Vejamos um exemplo inicial para ilustrar.
Agora, precisamos começar a pensar em como realmente calculamos integrais indefinidas. Começaremos com algumas das integrais indefinidas básicas.
A primeira integral que vamos analisar é a integral de uma potência de \(x\).
\[\int x^n dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + c, \quad n \neq -1. \]
A regra geral para integrar uma potência de \(x\) é adicionar uma unidade ao expoente e depois dividir pelo novo expoente. É evidente (esperamos) que precisamos evitar \(n = -1\) nesta fórmula. Se permitirmos \(n = -1\), o resultado será uma divisão por zero. Abordaremos esse caso em breve.
A seguir, temos uma das integrais mais fáceis, mas que sempre parece causar problemas para as pessoas. \[\int k dx = kx + c. \] Se você se lembrar que tudo o que estamos perguntando é o que diferenciamos para obter o integrando, isso é bem simples, mas parece causar problemas ocasionalmente.
As funções obtidas pelos procedimentos anteriores são nomeadas de , que definimos formalmente por \(\ref{def1}\).
A primitiva de uma função também é conhecida como antiderivada, pois obtê-la implica em reverter o processo de diferenciação.
Trivial.
Sejam \(x, y \in I,\quad x < y\). Como \(f\) é derivável em \(I\), \(f\) é contínua em \([x, y]\) e derivável em \((x, y)\). Pelo Teorema do Valor Médio, existe \(t \in (x, y)\), tal que \[f'(t) = \dfrac{f(y) - f(x)}{y - x}, \] e como \(\forall t \in I, f'(t) = 0\), então, \(f(y) - f(x) = 0\), ou seja, \(f(x) = f(y)\), portanto, \(f\) é constante em \(I\).
em que Da definição \(\ref{def2}\), da integral indefinida, temos queÀs vezes, uma integral parece complicada porque a função dentro dela é composta. O serve para simplificar essas expressões, trocando uma parte da função por uma nova varivável (letra), geralmente \(u\).
Este processo é o inverso da da derivação. Se você tem uma função composta onde a derivada da parte interna também aparece na integral, você pode simplificá-la.