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Cátedra de Biometría y Técnica Experimental

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Trabajo Práctico N° 3: Probabilidad y Variables Aleatorias


Motivación

El estudio de la probabilidad y las variables aleatorias resulta fundamental en el campo de la bioestadística y, particularmente, en la Ingeniería Agronómica, donde gran parte de los fenómenos que se analizan presentan un comportamiento incierto o aleatorio. Situaciones como la variabilidad en la producción agrícola, la ocurrencia de plagas, el rendimiento de cultivos o el comportamiento de sistemas productivos no pueden ser comprendidas completamente sin herramientas que permitan modelar y cuantificar esa incertidumbre.

A través de este trabajo práctico, se busca desarrollar la capacidad de interpretar y analizar experimentos aleatorios, construir espacios muestrales, calcular probabilidades y comprender el comportamiento de variables aleatorias en contextos reales. Estos conocimientos permiten tomar decisiones más fundamentadas, optimizar recursos y mejorar la planificación en sistemas agropecuarios.

De esta manera, la probabilidad no solo se presenta como una herramienta matemática, sino como un recurso clave para el análisis y la resolución de problemas concretos en el ámbito agronómico, contribuyendo a una producción más eficiente, sostenible y basada en evidencia.

Algunos conceptos antes de empezar…

Para abordar el estudio de la probabilidad y las variables aleatorias, es necesario comprender una serie de conceptos básicos que constituyen el fundamento del análisis estadístico.

En primer lugar, un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no puede predecirse con certeza, aunque sí es posible conocer todos los resultados posibles. El conjunto de todos esos resultados se denomina espacio muestral (Ω). Cada uno de los resultados individuales que lo componen se llama punto muestral.

Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, es decir, un conjunto de resultados que cumplen una determinada condición. Los eventos pueden clasificarse como simples (cuando contienen un solo resultado) o compuestos (cuando incluyen más de un resultado). Además, dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente.

La probabilidad es una medida numérica que indica la posibilidad de ocurrencia de un evento, tomando valores entre 0 y 1. Puede interpretarse desde distintos enfoques, como el clásico, el frecuencial o el axiomático, siendo este último el más general y formal.

Por otro lado, una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada resultado del experimento aleatorio. Estas pueden ser discretas, cuando toman valores aislados (por ejemplo, cantidad de animales nacidos), o continuas, cuando pueden asumir cualquier valor dentro de un intervalo (como peso o superficie).

La comprensión de estos conceptos permite analizar situaciones reales, modelar fenómenos biológicos y productivos, y aplicar herramientas estadísticas en el contexto de la Ingeniería Agronómica.

Actividades

Ejercicio 1. Determinar el espacio muestral cuando se arrojan dos dados simultáneamente, luego obtener la probabilidad de los siguientes sucesos:

  1. A: la suma da exactamente 8.

  2. B: los resultados son iguales.

  3. ¿Cuántos resultados posibles hay? Explicitar los sucesos y calcular las probabilidades de A, B y A ∩ B.

Ejercicio 2. Se realizó un experimento aleatorio que consistía en observar las dos primeras pariciones de una cabra y registrar el sexo de los animales. 

Responder:

  1. Construir el espacio muestral

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que no nazcan machos?   

  3. ¿Cuál es la probabilidad de que nazca un macho? 

  4. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean machos?

Ejercicio 3. En un experimento para control de calidad de tractores, se da arranque a 4 unidades. En cada caso puede ocurrir que arranquen (éxito) o no arranquen (fracaso).

Responder:

  1. Construir el espacio muestral.

  1. Asumiendo que todos los eventos elementales poseen la misma probabilidad, ¿cuál sería ese valor?

  2. Listar los posibles valores de la variable aleatoria X definida como el número total de arranques exitosos.

  3. ¿Cuál es la probabilidad de tener tres éxitos? 

  4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 2 éxitos en el arranque?

Ejercicio 4. Para cada una de las siguientes situaciones, explicar por qué ellas no son formas permisibles de asignar probabilidades a los 4 eventos posibles y mutuamente excluyentes A, B, C y D de un experimento aleatorio.   

  1. Situación A: P(A) = 0,15        P(B) = 0,35       P(C) = 0,60          P(D) = -0.20 

  2. Situación B: P(A) = 15/120      P(B) = 45/120   P(C) = 27/120      P(D) = 46/120  

Ejercicio 6. En la Provincia de Catamarca se extraen productos forestales de diferentes especies vegetales, las que se comercializan en distintas clases (Carbón, Leña, Postes o Rollos) a diferentes destinos. Analice la siguiente tabla y luego responda:

Destino del

material forestal

 Clase de material forestal Total
Carbón Leña Postes
Catamarca 2.099 2.102
Otras Provincias 3.054 23.009
Total 5.153 25.111

Responder:

  1. Elija un suceso simple.

  2. Calcula la probabilidad del suceso elegido en el inciso anterior.

  3. ¿Cuál es la probabilidad de que el carbón sea comercializado en otras provincias?

  4. ¿Cuál es la probabilidad de que se comercialice leña o carbón?

  5. ¿Cuál es la probabilidad de que el material forestal se comercialice en Catamarca?

  6. ¿Cuál es la probabilidad de que se comercialice leña y carbón?

Ejercicio 7. Tres consorcios de productores (A, B y C) que poseen emprendimientos agrícolas en el departamento Santa Rosa, Provincia de Catamarca, fueron clasificados según el nivel de producción. La información se muestra en la siguiente tabla de contingencia.   

Nivel de producción

Grupo de productores

A

Grupo de productores

B

Grupo de productores

C

 Total
Alto 50 40 60 150
Medio 45 65 40 150
Bajo 85 70 55 210
Total 180 175 155 510

Responder:

  1. Especifique un evento simple vinculado a la variable “Nivel de producción”.   

  2. ¿Qué teoría de probabilidad aplicaría para asignar probabilidad a eventos de interés?   

  3. ¿Cuál es la probabilidad del evento que especificó en el inciso a) 

  4. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un nivel producción “Alto” dado que pertenece al grupo C?     

  5. Calcule la probabilidad de que sea del “grupo de productores B” y tenga un nivel de producción “Bajo” 

Ejercicio 8. En un Censo Agropecuario realizado en un departamento de la provincia de Córdoba, se registró la superficie de tierra (has) que poseía y la forma de gestión de cada establecimiento productivo. Las frecuencias relativas encontradas de cada clase de establecimiento se utilizaron para confeccionar la siguiente tabla de doble entrada (llamada tabla de contingencia).

Responder:
Superficie (hectáreas) Superficie (hectáreas) Superficie (hectáreas)
< 50 50-500 ≥ 500
Propietario 0,04 0,29 0,07 0,40
Contrato anual 0,13 0,27 0,02 0,42
Arrendamiento 0,01 0,14 0,03 0,18
0,18 0,70 0,12 1

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un establecimiento elegido al azar sea gestionado directamente por el propietario? 

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un establecimiento en particular tenga una superficie <50 ha y ≥500? 

  3. ¿Cuál es la probabilidad de que un establecimiento elegido al azar tenga una superficie de entre 50- 500 has y sea gestionado mediante arrendamiento? 

  4. ¿Cuánto vale la probabilidad de que un establecimiento sea gestionado por su propietario o a través de arrendamiento? 

  5. ¿Cuál es la probabilidad de que un establecimiento sea gestionado mediante contratos anuales de siembra si tiene una superficie de entre 50 -500 has? 

  6. Realice un gráfico de barras apiladas para cada superficie productiva en función de la gestión de cada establecimiento. (utilice Infostat para realizar la gráfica). 

  7. Interprete el gráfico 

Ejercicio 9. Se conoce que los niveles de infestación de un cultivo (medido como chinches por metro lineal de surco) en una región, se distribuyen de la siguiente manera:

Cantidad de chinches por metro lineal de surco Probabilidad
0 0.35
1 0.25
2 0.10
3 0.20
4 0.05
5 o más 0.05

Responder:

  1. ¿Qué tipo de variable es? 

  2. Representar los datos gráficamente. Interpretar.

  3. ¿Para un metro lineal elegido al azar, cuál es la probabilidad de encontrar menos de 3 chinches?   

  4. ¿Cuál es la probabilidad de no encontrar ninguna chinche? 

  5. ¿Cuál es el valor esperado del número de chinches por metro? ¿Cómo se interpreta este valor?   

  1. ¿Cuál es la varianza de la variable?