Examen final
Convocatoria ordinaria 2026
Máster Universitario en Dirección y Planificación Financiera
Universidad Europea Miguel de Cervantes
Autor/a
Profesor Alberto Bernat González
Fecha de publicación
12 de abril de 2026
ENUNCIADO
Primera parte
Importante: máximo de media página por pregunta.
Pregunta de respuesta corta 1
Suponga que un inversor racional debe construir una cartera eficiente combinando un activo libre de riesgo y una cartera de activos riesgosos.
Explique cómo se determina la combinación óptima de activos en este contexto a partir del teorema de separación de Tobin y de su relación con la línea del mercado de capitales. En su respuesta, debe:
- Describir el papel de la línea del mercado de capitales.
- Explicar cómo se identifica la cartera de mercado.
- Indicar cómo influye el nivel de aversión al riesgo del inversor en la selección final de la cartera.
- Justificar por qué todos los inversores, bajo los supuestos del modelo, invierten en una misma cartera de activos riesgosos.
Pregunta de respuesta corta 2
Una inversora desea adquirir una cartera de acciones por un valor total de 80.000 euros. Para financiar parte de la operación, solicita un préstamo de 50.000 euros, a un plazo de 24 meses, con un tipo de interés nominal anual del 6,00 % y una comisión de apertura del 1,00 % sobre el importe financiado.
Se pide:
- Calcular la Tasa Anual Equivalente (TAE) de la operación y explicar brevemente por qué esta medida es relevante.
- Calcular la cuota fija mensual conforme al sistema francés de amortización.
- Estimar el grado de apalancamiento financiero inicial de la operación e interpretar, brevemente, cómo puede afectar a la rentabilidad de la inversión en un escenario favorable y en un escenario desfavorable.
Segunda parte
Importante: máximo de dos páginas por pregunta.
Pregunta de desarrollo 1
Análisis de fondos de inversión en renta variable
Una clienta está valorando invertir en fondos de renta variable con exposición al mercado estadounidense como parte de su estrategia de diversificación a medio plazo. Para ello, está considerando dos alternativas: el Fondo X y el Fondo Y. Ambos productos presentan rentabilidades atractivas, aunque con distintos niveles de riesgo y distinta sensibilidad al mercado.
A continuación se presentan los datos disponibles:
| Indicador | Fondo X | Fondo Y | Índice de referencia | Activo libre de riesgo |
|---|---|---|---|---|
| Rentabilidad anualizada (%) | 8,40 | 9,20 | 8,00 | 2,00 |
| Volatilidad anualizada (%) | 12,00 | 16,00 | 10,00 | 0,00 |
| Beta respecto al índice de referencia | 0,80 | 1,20 | 1,00 | 0,00 |
| Correlación con el índice de referencia | 0,85 | 0,90 | 1,00 | — |
Nota: Las rentabilidades y volatilidades están anualizadas a 3 años. El activo libre de riesgo se aproxima mediante la rentabilidad de un Treasury note estadounidense a 3 años, por estar denominado en la misma divisa que la cartera y ser coherente con el horizonte temporal del análisis. A efectos del cálculo del ratio de información, el índice de referencia actuará como referencia comparativa (benchmark).
Se pide:
- Rentabilidad esperada y volatilidad de una cartera combinada
- Calcular la rentabilidad esperada de una cartera compuesta por un 60 % en el Fondo X y un 40 % en el Fondo Y.
- Calcular, con esta misma asignación, la volatilidad de la cartera, teniendo en cuenta que la correlación entre ambos fondos es de 0,50.
- Ratios de desempeño ajustados al riesgo
Calcular para cada uno de los fondos:
- Ratio de Sharpe.
- Ratio de Treynor.
- Ratio de información, tomando como referencia comparativa el índice de referencia.
- Alfa de Jensen
- Calcular el alfa de Jensen para ambos fondos, en relación con el índice de referencia y el activo libre de riesgo.
- Comentar brevemente el significado de los resultados en términos de gestión activa o pasiva.
- Correlación con el mercado y potencial de diversificación
- Analizar si alguno de los fondos ofrece un mayor potencial de diversificación con respecto al índice de referencia, justificando su respuesta a partir del coeficiente de correlación.
- Indicar qué implicaciones tiene esto para un inversor que ya está expuesto al mercado estadounidense a través de un ETF del S&P 500.
Pregunta de desarrollo 2
Análisis avanzado de un fondo frente a su índice de referencia
Un fondo de inversión ha publicado su informe de resultados correspondiente a los últimos 36 meses. Un cliente, interesado en invertir en este producto, acude a ti como asesor financiero para comprender mejor la relación entre riesgo y rentabilidad del fondo en comparación con su índice de referencia.
A continuación se presentan los datos clave:
| Indicador | Valor |
|---|---|
| Rentabilidad del fondo | 9,00 % |
| Rentabilidad del índice de referencia | 8,00 % |
| Volatilidad del fondo | 15,00 % |
| Volatilidad del índice de referencia | 12,00 % |
| Ratio de Sharpe | 0,40 |
| Ratio de Treynor | 0,060 |
| Rentabilidad del activo libre de riesgo | 3,00 % |
Se pide:
- Beta del fondo
- Estimar la beta del fondo.
- Alfa del fondo
- Calcular el alfa de Jensen del fondo.
- Tracking error
- Estimar el error de seguimiento como medida de la desviación del fondo respecto al índice de referencia.
- Ratio de información
- Calcular el ratio de información del fondo, interpretándolo como la relación entre el exceso de rentabilidad sobre el índice de referencia y el tracking error.
- Explicación al cliente
A partir de los resultados obtenidos, el alumno debe interpretarlos y explicarlos como si fuera un asesor financiero. En particular, deberá comentar:
- el significado de la beta y qué indica sobre la sensibilidad del fondo al mercado;
- si el alfa obtenido refleja una rentabilidad superior o inferior a la que cabría esperar por su nivel de riesgo sistemático;
- qué implica el valor del tracking error en términos de gestión activa;
- qué indica el ratio de información sobre el desempeño ajustado por el riesgo activo;
- y si el fondo resulta o no adecuado para el perfil del cliente, justificando brevemente su respuesta.
RESOLUCIÓN PLANTEADA
Nota técnica: el tracking error y la beta
Esta nota técnica se incluye porque en la segunda pregunta de desarrollo del examen aparece el cálculo del tracking error y conviene precisar el criterio adoptado en esta resolución.
1. Definición fundamental
El tracking error (TE) se define como la volatilidad de la diferencia de rentabilidades entre una cartera y su índice de referencia. Es decir, mide cuánto se desvía el fondo respecto a su índice de referencia o benchmark.
Matemáticamente:
\[ TE = \sigma_{(R_p - R_b)} = \sqrt{\operatorname{Var}(R_p - R_b)} \]
Desarrollando la varianza de la diferencia, obtenemos la fórmula general:
\[ TE = \sqrt{\sigma_p^2 + \sigma_b^2 - 2 \rho_{pb}\sigma_p\sigma_b} \]
donde:
- \(\sigma_p\) es la volatilidad del fondo.
- \(\sigma_b\) es la volatilidad del índice de referencia.
- \(\rho_{pb}\) es la correlación entre el fondo y el índice.
2. Caso particular: \(\beta = 1\)
Cuando un fondo presenta una beta igual a 1, su sensibilidad al mercado coincide con la del índice de referencia. En ese caso, la desviación respecto al índice no procede de una mayor o menor exposición sistemática al mercado, sino principalmente de la selección de valores y de las decisiones específicas de gestión activa.
En el marco del modelo de mercado:
\[ R_p = \alpha + \beta R_b + \varepsilon \]
Si \(\beta = 1\), entonces:
\[ R_p - R_b = \alpha + \varepsilon \]
En este contexto, el tracking error puede identificarse, como aproximación, con la volatilidad residual o riesgo específico.
La expresión general del riesgo residual es:
\[ \sigma_{\varepsilon} = \sqrt{\sigma_p^2 - \beta^2 \sigma_b^2} \]
Por tanto, si \(\beta = 1\), queda:
\[ TE \approx \sigma_{\varepsilon} = \sqrt{\sigma_p^2 - \sigma_b^2} \]
En esta resolución utilizamos esta expresión como aproximación operativa en el caso particular en que \(\beta = 1\), siguiendo el marco del modelo de mercado y asumiendo que la desviación respecto al índice procede principalmente del componente residual.
Esta es la fórmula simplificada que utilizamos cuando analizamos fondos que replican la estructura general del mercado, pero aspiran a generar alfa mediante gestión activa.
3. Caso general: \(\beta \neq 1\)
Si la beta es distinta de 1, el tracking error ya no refleja solo riesgo específico o selección de valores. También incorpora el efecto de una sensibilidad distinta al mercado.
En ese caso, la desviación respecto al índice puede proceder de dos fuentes:
- Riesgo de selección, derivado de escoger activos distintos de los del índice.
- Riesgo de exposición al mercado, derivado de asumir una beta superior o inferior a 1.
Por ello, si \(\beta \neq 1\), no debe utilizarse sin más la fórmula simplificada:
\[ TE \approx \sqrt{\sigma_p^2 - \sigma_b^2} \]
porque esa expresión deja fuera parte del riesgo activo total que soporta realmente el cliente.
4. Por qué es importante esta distinción
Esta diferencia es esencial en asesoramiento financiero.
Un fondo puede desviarse del índice por dos motivos distintos:
- porque el gestor selecciona valores diferentes y genera un alfa potencial;
- o porque el fondo está tomando más o menos riesgo de mercado que el índice de referencia.
Desde el punto de vista del cliente, ambos casos implican desviación respecto al índice, pero no significan lo mismo.
- Si la beta es cercana a 1, el tracking error refleja sobre todo la habilidad del gestor para añadir valor sin alterar apenas la exposición sistemática.
- Si la beta se aleja de 1, una parte de la desviación del fondo se debe a que el producto se mueve de forma más agresiva o más defensiva que el índice.
5. Resumen comparativo
| Concepto | Si \(\beta = 1\) | Si \(\beta \neq 1\) |
|---|---|---|
| Origen principal del tracking error | Selección de valores y gestión activa específica | Selección de valores + distinta sensibilidad al mercado |
| Relación con el riesgo residual | Puede aproximarse al riesgo residual | No coincide necesariamente con el riesgo residual |
| Interpretación del ratio de información | Se aproxima a una medida de eficiencia del alfa | Refleja la eficiencia de la gestión activa total |
| Uso de la fórmula simplificada | Puede utilizarse como aproximación | No debe utilizarse sin más |
Conclusión para el asesor financiero
Si un cliente busca una estrategia de réplica mejorada o indexación activa, interesa que la beta del fondo sea cercana a 1. Así, el tracking error reflejará sobre todo la capacidad del gestor para generar alfa.
Si la beta se aleja de 1, el asesor debe advertir que el fondo puede desviarse del índice no solo por selección de valores, sino también por asumir una exposición distinta al mercado.
Solución: Pregunta de respuesta corta 1
Esta pregunta evalúa la comprensión del teorema de separación de Tobin y de su conexión con la línea del mercado de capitales dentro del marco de la teoría moderna de carteras.
1. El papel de la línea del mercado de capitales
La línea del mercado de capitales representa la nueva frontera eficiente cuando se introduce la posibilidad de invertir en un activo libre de riesgo. A diferencia de la frontera eficiente de Markowitz, formada exclusivamente por activos riesgosos, la línea del mercado de capitales es una recta que muestra la mejor combinación posible entre rentabilidad esperada y riesgo total.
Muestra combinaciones que dominan a las carteras eficientes formadas solo por activos riesgosos, ya que permiten obtener una mayor rentabilidad esperada para un mismo nivel de riesgo.
Su ecuación es:
\[ E(R_p)=R_f+\frac{E(R_m)-R_f}{\sigma_m}\cdot \sigma_p \]
Representación gráfica de la línea del mercado de capitales
El gráfico muestra cómo la línea del mercado de capitales domina a la frontera eficiente de activos exclusivamente riesgosos y cómo el punto de tangencia identifica la cartera de mercado.
2. Identificación de la cartera de mercado
La cartera de mercado se identifica como el punto de tangencia entre la línea que parte del activo libre de riesgo y la frontera eficiente de activos riesgosos.
Se trata de la cartera que presenta el mayor ratio de Sharpe y, bajo los supuestos del modelo, contiene todos los activos con riesgo ponderados por su valor de mercado.
3. Influencia de la aversión al riesgo del inversor
La aversión al riesgo no altera la composición de la cartera óptima de activos riesgosos, sino únicamente la proporción en la que el inversor combina esa cartera con el activo libre de riesgo.
- Un inversor con mayor aversión al riesgo asignará una parte más elevada de su patrimonio al activo libre de riesgo.
- Un inversor con menor aversión al riesgo asignará un peso mayor a la cartera de mercado e incluso podrá endeudarse para invertir más del 100 % en ella.
4. Justificación de la cartera única
Bajo los supuestos de expectativas homogéneas y mercados perfectos, todos los inversores observan la misma frontera eficiente y, en consecuencia, identifican la misma cartera tangente.
Esto implica que el proceso de inversión se divide en dos decisiones separadas:
- Identificar la cartera óptima de activos riesgosos.
- Elegir cuánto invertir en ella y cuánto mantener en el activo libre de riesgo en función de las preferencias individuales.
En consecuencia, todos los inversores comparten la misma cartera óptima de activos riesgosos, y lo único que varía es la proporción en la que la combinan con el activo libre de riesgo.
Criterio de corrección
Se valorará que el alumno distinga claramente que la aversión al riesgo determina la posición sobre la recta, pero no su pendiente ni la composición de la cartera de activos con riesgo.
Solución: Pregunta de respuesta corta 2
1. Cálculo de la cuota mensual mediante el sistema francés
Para calcular la cuota fija mensual, primero se determina el tipo de interés mensual a partir del TIN del 6,00 %:
\[ i_m=\frac{0,06}{12}=0,005 \]
Aplicamos la fórmula de la renta constante o cuota del sistema francés:
\[ a=V_0\cdot \frac{i_m}{1-(1+i_m)^{-n}} \]
Sustituyendo:
\[ a=50.000\cdot \frac{0,005}{1-(1,005)^{-24}}=\mathbf{2.216,03} \]
La cuota fija mensual es, por tanto, de 2.216,03 euros.
2. Cálculo de la TAE y relevancia de esta medida
Para calcular la TAE debe tenerse en cuenta el flujo neto realmente recibido por la inversora. Dado que existe una comisión de apertura del 1,00 %, el importe neto recibido no es de 50.000 euros, sino de 49.500 euros.
El tipo mensual efectivo es aquel que iguala el capital neto recibido con el valor actual de las cuotas del préstamo:
\[ 49.500=2.216,03\cdot \frac{1-(1+i_e)^{-24}}{i_e} \]
Resolviendo por iteración o mediante calculadora financiera, se obtiene aproximadamente:
\[ i_e \approx 0,005827 \]
La TAE será:
\[ TAE=(1+i_e)^{12}-1=(1,005827)^{12}-1 \approx \mathbf{7,22 \%} \]
La TAE es relevante porque recoge el coste financiero efectivo de la operación, incorporando no solo el tipo de interés nominal, sino también las comisiones asociadas. Por ello, permite comparar con mayor precisión distintas ofertas de financiación.
3. Apalancamiento financiero
El grado de apalancamiento financiero inicial se calcula como la relación entre la inversión total y el capital propio aportado.
- Inversión total: 80.000 euros.
- Deuda: 50.000 euros.
- Capital propio: 30.000 euros.
\[ GAF=\frac{80.000}{30.000}=\mathbf{2,67} \]
Esto significa que por cada euro de recursos propios, la inversora está controlando 2,67 euros de inversión total. En este contexto, el apalancamiento se expresa de forma más adecuada en veces, no en porcentaje.
Interpretación:
- En un escenario favorable, si la rentabilidad de la cartera de acciones supera el coste efectivo de la deuda, el apalancamiento amplifica la rentabilidad sobre los recursos propios.
- En un escenario desfavorable, si la rentabilidad de la inversión resulta inferior al coste de la financiación o incluso negativa, las pérdidas también se amplifican.
Nota para la corrección
Es importante que el alumno no confunda el TIN con la TAE al analizar la conveniencia de la financiación y que comprenda que el apalancamiento intensifica tanto la rentabilidad potencial como el riesgo asumido sobre el capital propio.
Solución: Pregunta de desarrollo 1
a) Cartera combinada (60 % Fondo X / 40 % Fondo Y)
Rentabilidad esperada
\[ E(R_p)=0,60\cdot 8,40+0,40\cdot 9,20=5,04+3,68=\mathbf{8,72 \%} \]
Volatilidad de la cartera
La volatilidad de una cartera compuesta por dos fondos se calcula a partir de la covarianza entre ambos activos:
\[ \sigma_p=\sqrt{w_x^2\sigma_x^2+w_y^2\sigma_y^2+2w_xw_y\sigma_x\sigma_y\rho_{xy}} \]
\[ \sigma_p=\sqrt{(0,6^2\cdot 12^2)+(0,4^2\cdot 16^2)+2(0,6\cdot 0,4\cdot 12\cdot 16\cdot 0,5)} \]
\[ \sigma_p=\sqrt{51,84+40,96+46,08}=\sqrt{138,88}\approx \mathbf{11,78 \%} \]
Representación gráfica de la cartera 60/40
La cartera combinada presenta una rentabilidad intermedia y una volatilidad inferior a la de los fondos individuales. Esto refleja el beneficio de la diversificación cuando la correlación entre activos es inferior a 1.
b) Ratios de desempeño ajustados al riesgo
| Ratio | Fórmula | Fondo X | Fondo Y |
|---|---|---|---|
| Sharpe | \(\frac{R_p-R_f}{\sigma_p}\) | \(\frac{8,4-2}{12}=\mathbf{0,533}\) | \(\frac{9,2-2}{16}=\mathbf{0,450}\) |
| Treynor | \(\frac{R_p-R_f}{\beta_p}\) | \(\frac{8,4-2}{0,8}=\mathbf{0,080}\) | \(\frac{9,2-2}{1,2}=\mathbf{0,060}\) |
Ratio de información
El ratio de información relaciona el exceso de rentabilidad del fondo sobre el índice de referencia con el tracking error, es decir, con la volatilidad de esa desviación respecto al propio índice.
Primero calculamos el tracking error de cada fondo frente al índice:
\[ TE=\sqrt{\sigma_p^2+\sigma_b^2-2\rho_{pb}\sigma_p\sigma_b} \]
Para el Fondo X:
\[ TE_X=\sqrt{12^2+10^2-2(0,85\cdot 12\cdot 10)}=\sqrt{144+100-204}=\sqrt{40}\approx \mathbf{6,32 \%} \]
Para el Fondo Y:
\[ TE_Y=\sqrt{16^2+10^2-2(0,90\cdot 16\cdot 10)}=\sqrt{256+100-288}=\sqrt{68}\approx \mathbf{8,25 \%} \]
A partir de ahí:
\[ RI_X=\frac{8,4-8,0}{6,32}=\mathbf{0,063} \]
\[ RI_Y=\frac{9,2-8,0}{8,25}=\mathbf{0,145} \]
El Fondo Y presenta un ratio de información superior, lo que indica que obtiene más exceso de rentabilidad relativa por unidad de riesgo activo frente al índice. No obstante, este resultado debe interpretarse junto con el alfa de Jensen, que en este caso es nulo.
c) Alfa de Jensen
\[ \alpha_p=R_p-\left[R_f+\beta_p(R_m-R_f)\right] \]
Para el Fondo X:
\[ \alpha_X=8,4-[2+0,8(8-2)]=8,4-6,8=\mathbf{1,60 \%} \]
Para el Fondo Y:
\[ \alpha_Y=9,2-[2+1,2(8-2)]=9,2-9,2=\mathbf{0,00 \%} \]
Interpretación:
- El Fondo X presenta un alfa positivo y, por tanto, genera rentabilidad por encima de la exigida por su nivel de riesgo sistemático.
- El Fondo Y presenta un alfa nulo, lo que indica que su mayor rentabilidad se explica íntegramente por una mayor exposición al riesgo de mercado.
d) Diversificación y conclusiones
El Fondo X ofrece un mayor potencial de diversificación, ya que presenta una correlación menor con el índice de referencia (\(0,85\) frente a \(0,90\) en el Fondo Y). Esto implica que su comportamiento está algo menos ligado a los movimientos del mercado y, por tanto, puede aportar una mayor capacidad de diferenciación dentro de una cartera ya expuesta al índice de referencia.
Para un inversor que ya mantiene una posición en un ETF del S&P 500, el Fondo X aportaría una diversificación adicional algo mayor, al no replicar tan estrechamente el comportamiento del índice. El Fondo Y, en cambio, presenta una relación más estrecha con el mercado estadounidense y, por ello, ofrece una capacidad diversificadora menor.
Nota de corrección
Se valorará especialmente que el alumno detecte que el Fondo Y no genera alfa y que sepa distinguir entre mayor rentabilidad absoluta y mejor gestión ajustada al riesgo.
Solución: Pregunta de desarrollo 2
A continuación se detalla la resolución técnica del ejercicio con los datos propuestos, en coherencia con el enfoque trabajado en clase.
a) Cálculo de la beta del fondo
A partir del ratio de Treynor:
\[ Treynor=\frac{R_p-R_f}{\beta_p} \]
Despejando la beta:
\[ \beta_p=\frac{R_p-R_f}{Treynor}=\frac{0,09-0,03}{0,060}=\frac{0,06}{0,06}=\mathbf{1,00} \]
b) Cálculo del alfa de Jensen
\[ \alpha_p=R_p-\left[R_f+\beta_p(R_b-R_f)\right] \]
Sustituyendo los valores:
\[ \alpha_p=0,09-[0,03+1,00(0,08-0,03)]=0,09-0,08=\mathbf{0,01} \]
El fondo genera un alfa del 1,00 %.
c) Estimación del tracking error
Bajo el supuesto trabajado en clase de una cartera con beta igual a 1 respecto al índice de referencia, el tracking error puede aproximarse mediante la volatilidad residual del fondo:
\[ TE=\sqrt{\sigma_p^2-\beta_p^2\cdot \sigma_b^2} \]
\[ TE=\sqrt{15^2-(1,00)^2\cdot 12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=\mathbf{9,00 \%} \]
d) Cálculo del ratio de información
El ratio de información se calcula como la relación entre el exceso de rentabilidad del fondo sobre el índice de referencia y el tracking error:
\[ RI=\frac{R_p-R_b}{TE}=\frac{9-8}{9}=\mathbf{0,111} \]
e) Explicación al cliente
Ejemplo de redacción narrativa para el cliente
Desde el punto de vista del riesgo sistemático, el fondo presenta una beta de 1,00, lo que significa que su sensibilidad al mercado es equivalente a la del índice de referencia. En otras palabras, no estamos ante un producto ni más agresivo ni más defensivo que el mercado en términos de exposición general.
Ahora bien, el fondo no solo replica esa sensibilidad, sino que además genera un alfa positivo del 1,00 %. Esto indica que el gestor ha conseguido una rentabilidad superior a la que cabría exigir por el nivel de riesgo sistemático asumido. Por tanto, existe evidencia de valor añadido en la gestión.
Al mismo tiempo, el tracking error del 9,00 % pone de manifiesto que el fondo se aparta de forma relevante del índice de referencia. Esto sugiere que no estamos ante una mera réplica pasiva, sino ante una estrategia activa con decisiones propias de selección y composición de cartera.
Por su parte, el ratio de información es positivo, aunque moderado. Esto significa que el fondo sí obtiene un exceso de rentabilidad frente al índice, pero lo hace asumiendo un nivel apreciable de riesgo activo. Por ello, la gestión parece efectiva, aunque no exenta de desviaciones relevantes respecto al índice de referencia en el corto plazo.
En consecuencia, este fondo podría ser adecuado para un cliente que quiera mantener una exposición al mercado similar a la del índice, pero que al mismo tiempo aspire a obtener un rendimiento algo superior gracias a la gestión activa. No obstante, conviene advertir que esa expectativa de mejora implica aceptar una separación significativa respecto al comportamiento del índice en determinados momentos.