Problema 1

La decisión de fabricar un componente mecánico depende de si el análisis estructural es positivo y si la demanda de mercado justifica la producción.

Considere la siguiente frase en lenguaje natural:

Si el análisis es positivo y la demanda es alta, se fabricará el componente. Si el análisis es negativo, no importa la demanda, el componente no se fabricará.

  1. Identifique las proposiciones simples y asígneles una letra p, q, r, etc. [5 puntos]
  2. Escriba la frase en lenguaje lógico matemático con las letras definidas.[5 puntos]
  3. Suponga que el análisis estructural es negativo, pero la demanda de mercado es alta. ¿Es la proposición compuesta verdadera o falsa? Explique su razonamiento apoyándose en una tabla de verdad. [10 puntos]
  4. Suponga que el análisis es positivo y la demanda es baja. ¿Cómo afecta esto a la proposición compuesta y qué implicaciones tendría para la producción? [10 puntos]

Respuesta

Parte 1

Sean las proposiciones simples:

p = el análisis es positivo
q = la demanda es alta
r = se fabricará el componente

Parte 2

\[(p \land q) => r\]

Parte 3

Si el análisis estructural es negativo, se tiene que \(p \land q \equiv F\), independiente de la demanda.

Ahora consideremos la tabla de verdad de la implicancia con las proposiciones \(p \land q\) y \(r\):

\(p \land q\) r \((p \land q) => r\)
V V V
V F F
F V V
F F V

Se observa que cuando \(p \land q\) es falso, la proposición \((p \land q) => r\) es verdadero siempre, independiente del valor de verdad de r. Por lo tanto, podemos concluir que la proposición compuesta es verdadera.

Parte 4

Si análisis es positivo y la demanda es baja, \(p \land q\) sigue siendo falso. Por lo tanto, por el mismo argumento que en la parte (3), la proposición compuesta sigue siendo verdadera.

Problema 2

Considere la siguiente frase en lenguaje natural:

Decidimos comprar material para la construcción si y solo si el precio del material es razonable y el proveedor tiene disponibilidad. Si el precio es alto, no compraremos material, aunque el proveedor tenga disponibilidad. Si el proveedor no tiene disponibilidad, no importa el precio, no compraremos material.

  1. Identifique las proposiciones simples y asígneles una letra p, q, r,etc.
  2. Escriba la frase en lenguaje lógico matemático con las letras definidas.
  3. Suponga que el precio del material es alto y el proveedor tiene disponibilidad. ¿Es la proposición compuesta verdadera o falsa? Explique su razonamiento apoyándose en una tabla de verdad.
  4. Suponga que el precio del material es razonable y el proveedor no tiene disponibilidad. ¿Es la proposición compuesta verdadera o falsa? Explique su razonamiento apoyándose en una tabla de verdad.

Parte 1

Sean las proposiciones simples:

p = Decidimos comprar material para la construcción
q = el precio del material es razonable
r = el proveedor tiene disponibilidad

Parte 2

\[p <=> (q \land r)\]

Parte 3

Consideremos la tabla de verdad de la doble implicancia:

p \(q \land r\) \(p <=> (q \land r)\)
V V V
V F F
F V F
F F V

Si el precio del material es alto (o sea, no razonable), \(q \land r\) es falso, independiente de la disponibilidad del proveedor, r. Esto corresponde a las filas 2 y 4 de la tabla de verdad. En estos casos, el valor de verdad de la proposición compuesta \(p <=> (q \land r)\) depende de nuestra decisión. Si decidimos comprar el material (\(p \equiv V\)), la proposición será falsa. Si decidimos no comprar el material (\(p \equiv F\)), la proposición será verdadera.

Parte 4

Si el proveedor no tiene disponibilidad, \(q \land r\) sigue siendo falso, independiente del precio del material. Entonces el valor de verdad de la proposición compuesta \(p <=> (q \land r)\) sigue dependiendo de nuestra decisión, igual que en la parte (3).