1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Tabel kontingensi merupakan salah satu alat analisis paling fundamental dalam statistika inferensial, khususnya untuk mempelajari hubungan antara dua variabel kategorikal. Dalam kehidupan nyata, banyak pertanyaan penelitian yang berkaitan dengan apakah dua faktor kategorikal saling berkaitan — misalnya, apakah kebiasaan tertentu berhubungan dengan suatu penyakit, atau apakah karakteristik demografis memengaruhi preferensi seseorang.

Tugas ini bertujuan untuk melakukan inferensi statistik secara menyeluruh pada tabel kontingensi dua arah menggunakan dua kasus nyata yang berbeda dimensi. Analisis mencakup estimasi titik, interval kepercayaan, berbagai ukuran asosiasi, serta uji hipotesis formal.

1.2 Kasus yang Dianalisis

Kasus 1 — Tabel \(2 \times 2\): Kebiasaan Merokok dan Kanker Paru

Kasus ini mengeksplorasi hubungan antara dua variabel biner: status merokok (Smoker vs Non-Smoker) dan kejadian kanker paru (Cancer (+) vs Control (−)). Ukuran asosiasi yang dihitung meliputi Risk Difference (RD), Relative Risk (RR), dan Odds Ratio (OR), dilengkapi dengan empat uji hipotesis: uji dua proporsi, chi-square, likelihood ratio, dan Fisher exact test.

Kasus 2 — Tabel \(2 \times 3\): Gender dan Identifikasi Partai Politik

Kasus ini mengeksplorasi hubungan antara gender (Female vs Male) dan preferensi partai politik (Democrat, Republican, Independent). Analisis meliputi uji chi-square independensi, residual Pearson dan standardized residual, serta partisi chi-square untuk mengidentifikasi kontras mana yang paling berkontribusi pada ketidakindependenan.

1.3 Pendekatan Analisis

Setiap kasus diselesaikan dengan dua cara yang saling melengkapi:

  1. Perhitungan manual — menggunakan rumus statistik langkah demi langkah untuk membangun pemahaman konseptual yang kuat.
  2. Verifikasi dengan R — menggunakan fungsi bawaan R (chisq.test, fisher.test, prop.test, dll.) untuk mengkonfirmasi kebenaran perhitungan manual dan menghasilkan output yang lebih lengkap.

Taraf signifikansi yang digunakan pada seluruh pengujian adalah \(\alpha = 0{,}05\).

2 Kasus 1: Tabel Kontingensi \(2 \times 2\)

2.1 Data dan Penyusunan Tabel

data_k1 <- matrix(
  c(688, 650, 21, 59),
  nrow = 2, byrow = TRUE,
  dimnames = list(
    "Status Merokok" = c("Smoker", "Non-Smoker"),
    "Status"         = c("Cancer (+)", "Control (-)")
  )
)
addmargins(data_k1)
##               Status
## Status Merokok Cancer (+) Control (-)  Sum
##     Smoker            688         650 1338
##     Non-Smoker         21          59   80
##     Sum               709         709 1418

Notasi sel tabel \(2 \times 2\):

Cancer (+) Control (−) Total
Smoker \(n_{11} = 688\) \(n_{12} = 650\) \(n_{1+} = 1338\)
Non-Smoker \(n_{21} = 21\) \(n_{22} = 59\) \(n_{2+} = 80\)
Total \(n_{+1} = 709\) \(n_{+2} = 709\) \(n = 1418\) 
n11 <- data_k1[1, 1]; n12 <- data_k1[1, 2]
n21 <- data_k1[2, 1]; n22 <- data_k1[2, 2]

R_k1 <- rowSums(data_k1)   # Smoker=1338, Non-Smoker=80
C_k1 <- colSums(data_k1)   # Cancer(+)=709, Control(-)=709
n    <- sum(data_k1)        # 1418

n1  <- R_k1[1]; n2  <- R_k1[2]   # total marginal baris
nc1 <- C_k1[1]; nc2 <- C_k1[2]   # total marginal kolom

2.2 Estimasi Titik Proporsi

2.2.1 Rumus

\[\hat{p}_1 = \frac{n_{11}}{n_{1+}} = \frac{688}{1338}, \qquad \hat{p}_2 = \frac{n_{21}}{n_{2+}} = \frac{21}{80}\]

2.2.2 Perhitungan Manual

\[\hat{p}_1 = \frac{688}{1338} = 0{,}5143\]

\[\hat{p}_2 = \frac{21}{80} = 0{,}2625\]

p1 <- n11 / n1
p2 <- n21 / n2
cat("p1 (Smoker)    :", round(p1, 4), "\n")
## p1 (Smoker)    : 0.5142
cat("p2 (Non-Smoker):", round(p2, 4), "\n")
## p2 (Non-Smoker): 0.2625

Interpretasi: Sekitar 51,43% perokok mengalami kanker paru, sedangkan pada non-perokok hanya 26,25%.

2.3 Interval Kepercayaan 95%

2.3.1 CI untuk Proporsi Smoker

Rumus Wald:

\[CI_{95\%}(\hat{p}_1) = \hat{p}_1 \pm z_{0{,}025} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}}\]

Perhitungan Manual:

\[SE(\hat{p}_1) = \sqrt{\frac{0{,}5143 \times 0{,}4857}{1338}} = \sqrt{\frac{0{,}2498}{1338}} = \sqrt{0{,}000187} = 0{,}01367\]

\[CI_{95\%} = 0{,}5143 \pm 1{,}96 \times 0{,}01367 = 0{,}5143 \pm 0{,}02679\]

\[CI_{95\%} = [0{,}4875 \;;\; 0{,}5411]\]

z   <- qnorm(0.975)
se1 <- sqrt(p1 * (1 - p1) / n1)
ci1 <- c(p1 - z * se1, p1 + z * se1)
cat("SE(p1)      :", round(se1, 5), "\n")
## SE(p1)      : 0.01366
cat("CI 95% p1   : [", round(ci1[1], 4), ";", round(ci1[2], 4), "]\n")
## CI 95% p1   : [ 0.4874 ; 0.541 ]

2.3.2 CI untuk Proporsi Non-Smoker

Perhitungan Manual:

\[SE(\hat{p}_2) = \sqrt{\frac{0{,}2625 \times 0{,}7375}{80}} = \sqrt{\frac{0{,}1936}{80}} = \sqrt{0{,}002420} = 0{,}04920\]

\[CI_{95\%} = 0{,}2625 \pm 1{,}96 \times 0{,}04920 = 0{,}2625 \pm 0{,}09643\]

\[CI_{95\%} = [0{,}1661 \;;\; 0{,}3589]\]

se2 <- sqrt(p2 * (1 - p2) / n2)
ci2 <- c(p2 - z * se2, p2 + z * se2)
cat("SE(p2)      :", round(se2, 5), "\n")
## SE(p2)      : 0.04919
cat("CI 95% p2   : [", round(ci2[1], 4), ";", round(ci2[2], 4), "]\n")
## CI 95% p2   : [ 0.1661 ; 0.3589 ]

2.3.3 Risk Difference (RD)

Rumus:

\[RD = \hat{p}_1 - \hat{p}_2\]

\[SE(RD) = \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}\]

\[CI_{95\%}(RD) = RD \pm z_{0{,}025} \cdot SE(RD)\]

Perhitungan Manual:

\[RD = 0{,}5143 - 0{,}2625 = 0{,}2518\]

\[SE(RD) = \sqrt{\frac{0{,}5143 \times 0{,}4857}{1338} + \frac{0{,}2625 \times 0{,}7375}{80}}\]

\[SE(RD) = \sqrt{0{,}000187 + 0{,}002420} = \sqrt{0{,}002607} = 0{,}05106\]

\[CI_{95\%}(RD) = 0{,}2518 \pm 1{,}96 \times 0{,}05106 = 0{,}2518 \pm 0{,}1001\]

\[CI_{95\%}(RD) = [0{,}1517 \;;\; 0{,}3519]\]

RD    <- p1 - p2
se_RD <- sqrt(p1*(1-p1)/n1 + p2*(1-p2)/n2)
ci_RD <- c(RD - z*se_RD, RD + z*se_RD)
cat("RD       :", round(RD, 4), "\n")
## RD       : 0.2517
cat("SE(RD)   :", round(se_RD, 5), "\n")
## SE(RD)   : 0.05106
cat("CI 95% RD: [", round(ci_RD[1], 4), ";", round(ci_RD[2], 4), "]\n")
## CI 95% RD: [ 0.1516 ; 0.3518 ]

Interpretasi: RD = 0,2518 artinya risiko kanker paru pada perokok lebih tinggi 25,18 poin persentase dibanding non-perokok. CI 95% tidak mencakup 0, menunjukkan perbedaan signifikan.

2.3.4 Relative Risk (RR)

Rumus:

\[RR = \frac{\hat{p}_1}{\hat{p}_2}\]

\[SE(\ln RR) = \sqrt{\frac{1 - \hat{p}_1}{n_1 \hat{p}_1} + \frac{1 - \hat{p}_2}{n_2 \hat{p}_2}}\]

\[CI_{95\%}(RR) = \exp\!\left(\ln RR \pm z_{0{,}025} \cdot SE(\ln RR)\right)\]

Perhitungan Manual:

\[RR = \frac{0{,}5143}{0{,}2625} = 1{,}9592\]

\[SE(\ln RR) = \sqrt{\frac{0{,}4857}{1338 \times 0{,}5143} + \frac{0{,}7375}{80 \times 0{,}2625}}\]

\[= \sqrt{\frac{0{,}4857}{688} + \frac{0{,}7375}{21}} = \sqrt{0{,}000706 + 0{,}035119} = \sqrt{0{,}035825} = 0{,}18927\]

\[\ln RR = \ln(1{,}9592) = 0{,}6729\]

\[CI_{95\%}(\ln RR) = 0{,}6729 \pm 1{,}96 \times 0{,}18927 = [0{,}3020 \;;\; 1{,}0439]\]

\[CI_{95\%}(RR) = \left[e^{0{,}3020} \;;\; e^{1{,}0439}\right] = [1{,}3527 \;;\; 2{,}8397]\]

RR      <- p1 / p2
se_lnRR <- sqrt((1-p1)/(n1*p1) + (1-p2)/(n2*p2))
ci_RR   <- exp(c(log(RR) - z*se_lnRR, log(RR) + z*se_lnRR))
cat("RR          :", round(RR, 4), "\n")
## RR          : 1.9589
cat("ln(RR)      :", round(log(RR), 4), "\n")
## ln(RR)      : 0.6724
cat("SE(ln RR)   :", round(se_lnRR, 5), "\n")
## SE(ln RR)   : 0.18928
cat("CI 95% RR   : [", round(ci_RR[1], 4), ";", round(ci_RR[2], 4), "]\n")
## CI 95% RR   : [ 1.3517 ; 2.8387 ]

Interpretasi: RR = 1,9592 berarti perokok memiliki risiko kanker paru hampir 2 kali lebih besar dibanding non-perokok. CI 95% tidak mencakup 1.

2.3.5 Odds Ratio (OR)

Rumus:

\[OR = \frac{n_{11} \cdot n_{22}}{n_{12} \cdot n_{21}}\]

\[SE(\ln OR) = \sqrt{\frac{1}{n_{11}} + \frac{1}{n_{12}} + \frac{1}{n_{21}} + \frac{1}{n_{22}}}\]

\[CI_{95\%}(OR) = \exp\!\left(\ln OR \pm z_{0{,}025} \cdot SE(\ln OR)\right)\]

Perhitungan Manual:

\[OR = \frac{688 \times 59}{650 \times 21} = \frac{40592}{13650} = 2{,}9736\]

\[SE(\ln OR) = \sqrt{\frac{1}{688} + \frac{1}{650} + \frac{1}{21} + \frac{1}{59}}\]

\[= \sqrt{0{,}001453 + 0{,}001538 + 0{,}047619 + 0{,}016949} = \sqrt{0{,}067559} = 0{,}25992\]

\[\ln OR = \ln(2{,}9736) = 1{,}0997\]

\[CI_{95\%}(\ln OR) = 1{,}0997 \pm 1{,}96 \times 0{,}25992 = [0{,}5902 \;;\; 1{,}6091]\]

\[CI_{95\%}(OR) = \left[e^{0{,}5902} \;;\; e^{1{,}6091}\right] = [1{,}8041 \;;\; 4{,}9990]\]

OR      <- (n11 * n22) / (n12 * n21)
se_lnOR <- sqrt(1/n11 + 1/n12 + 1/n21 + 1/n22)
ci_OR   <- exp(c(log(OR) - z*se_lnOR, log(OR) + z*se_lnOR))
cat("OR          :", round(OR, 4), "\n")
## OR          : 2.9738
cat("ln(OR)      :", round(log(OR), 4), "\n")
## ln(OR)      : 1.0898
cat("SE(ln OR)   :", round(se_lnOR, 5), "\n")
## SE(ln OR)   : 0.25992
cat("CI 95% OR   : [", round(ci_OR[1], 4), ";", round(ci_OR[2], 4), "]\n")
## CI 95% OR   : [ 1.7867 ; 4.9494 ]

Interpretasi: OR = 2,9736 berarti odds kanker paru pada perokok hampir 3 kali lebih besar dibanding non-perokok. CI 95% tidak mencakup 1.

# Verifikasi menggunakan paket epitools
if (!require(epitools)) install.packages("epitools")
library(epitools)

# Odds Ratio dengan epitools
cat("=== Verifikasi OR dengan epitools ===\n")
## === Verifikasi OR dengan epitools ===
oddsratio(data_k1, method = "wald", rev = "both")
## $data
##               Status
## Status Merokok Control (-) Cancer (+) Total
##     Non-Smoker          59         21    80
##     Smoker             650        688  1338
##     Total              709        709  1418
## 
## $measure
##               odds ratio with 95% C.I.
## Status Merokok estimate    lower    upper
##     Non-Smoker 1.000000       NA       NA
##     Smoker     2.973773 1.786737 4.949427
## 
## $p.value
##               two-sided
## Status Merokok   midp.exact fisher.exact   chi.square
##     Non-Smoker           NA           NA           NA
##     Smoker     9.747013e-06 1.476303e-05 1.221601e-05
## 
## $correction
## [1] FALSE
## 
## attr(,"method")
## [1] "Unconditional MLE & normal approximation (Wald) CI"
# Risk Ratio dengan epitools
cat("\n=== Verifikasi RR dengan epitools ===\n")
## 
## === Verifikasi RR dengan epitools ===
riskratio(data_k1, method = "wald", rev = "both")
## $data
##               Status
## Status Merokok Control (-) Cancer (+) Total
##     Non-Smoker          59         21    80
##     Smoker             650        688  1338
##     Total              709        709  1418
## 
## $measure
##               risk ratio with 95% C.I.
## Status Merokok estimate    lower    upper
##     Non-Smoker 1.000000       NA       NA
##     Smoker     1.958858 1.351735 2.838667
## 
## $p.value
##               two-sided
## Status Merokok   midp.exact fisher.exact   chi.square
##     Non-Smoker           NA           NA           NA
##     Smoker     9.747013e-06 1.476303e-05 1.221601e-05
## 
## $correction
## [1] FALSE
## 
## attr(,"method")
## [1] "Unconditional MLE & normal approximation (Wald) CI"
# Visualisasi 
library(vcd)

# Mosaic Plot untuk melihat asosiasi
mosaic(data_k1, shade = TRUE, legend = TRUE,
       main = "Mosaic Plot: Kebiasaan Merokok vs Kanker Paru")

# Barplot untuk melihat perbedaan proporsi
prop_k1 <- prop.table(data_k1, margin = 1)
barplot(t(prop_k1), beside = TRUE, 
        col = c("firebrick", "darkblue"),
        legend = colnames(data_k1),
        main = "Proporsi Status Kesehatan: Perokok vs Bukan Perokok",
        xlab = "Kebiasaan Merokok", ylab = "Proporsi")

Interpretasi: Berdasarkan Mosaic Plot, terdapat asosiasi kuat antara kebiasaan merokok dan kanker paru, di mana sel Smoker-Cancer(+) berwarna biru pekat yang menunjukkan frekuensi observasi jauh melampaui frekuensi harapan (residual positif signifikan). Hal ini diperkuat dengan nilai Relative Risk (RR) sebesar 1,96, yang artinya perokok memiliki risiko 1,96 kali lebih besar (hampir dua kali lipat) untuk terkena kanker paru dibandingkan kelompok non-perokok. Dengan nilai \(p < 0,05\), dapat disimpulkan bahwa hubungan ini signifikan secara statistik.

2.4 Uji Dua Proporsi

Hipotesis:

\[H_0: p_1 = p_2 \qquad \text{vs} \qquad H_1: p_1 \neq p_2\]

Statistik uji:

\[Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)}}, \qquad \hat{p} = \frac{n_{11} + n_{21}}{n}\]

Daerah penolakan: Tolak \(H_0\) jika \(|Z| > z_{0{,}025} = 1{,}96\), atau \(p\text{-value} < 0{,}05\).

Perhitungan Manual:

\[\hat{p} = \frac{688 + 21}{1418} = \frac{709}{1418} = 0{,}5000\]

\[SE = \sqrt{0{,}5000 \times 0{,}5000 \times \left(\frac{1}{1338} + \frac{1}{80}\right)} = \sqrt{0{,}25 \times 0{,}013297} = \sqrt{0{,}003324} = 0{,}05766\]

\[Z = \frac{0{,}5143 - 0{,}2625}{0{,}05766} = \frac{0{,}2518}{0{,}05766} = 4{,}367\]

\[p\text{-value} = 2 \times P(Z > 4{,}367) = 2 \times 6{,}29 \times 10^{-6} \approx 1{,}26 \times 10^{-5}\]

p_pool <- (n11 + n21) / n
SE_z   <- sqrt(p_pool * (1 - p_pool) * (1/n1 + 1/n2))
Z_stat <- (p1 - p2) / SE_z
pval_z <- 2 * pnorm(-abs(Z_stat))

cat("p_pool (gabungan):", round(p_pool, 4), "\n")
## p_pool (gabungan): 0.5
cat("SE               :", round(SE_z, 5),  "\n")
## SE               : 0.05755
cat("Statistik Z      :", round(Z_stat, 4),"\n")
## Statistik Z      : 4.3737
cat("Z^2              :", round(Z_stat^2, 4), "\n")
## Z^2              : 19.1292
cat("P-value          :", format(pval_z, scientific=TRUE, digits=4), "\n")
## P-value          : 1.222e-05
# Verifikasi dengan fungsi R
prop.test(c(n11, n21), c(n1, n2), correct = FALSE, alternative = "two.sided")
## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity correction
## 
## data:  c(n11, n21) out of c(n1, n2)
## X-squared = 19.129, df = 1, p-value = 1.222e-05
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  0.1516343 0.3517663
## sample estimates:
##    prop 1    prop 2 
## 0.5142003 0.2625000

Keputusan: \(|Z| = 4{,}367 > 1{,}96\), dan \(p\text{-value} \approx 1{,}26 \times 10^{-5} < 0{,}05\). Tolak \(H_0\).

2.5 Uji Chi-Square Independensi

Hipotesis:

\[H_0: \text{Status merokok dan kanker paru saling independen} \qquad \text{vs} \qquad H_1: \text{Keduanya berasosiasi}\]

Frekuensi harapan:

\[E_{ij} = \frac{n_{i+} \cdot n_{+j}}{n}\]

Statistik uji:

\[\chi^2 = \sum_{i}\sum_{j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} \sim \chi^2_{(r-1)(c-1)}\]

Daerah penolakan: Tolak \(H_0\) jika \(\chi^2 > \chi^2_{0{,}05; 1} = 3{,}841\), atau \(p\text{-value} < 0{,}05\).

Perhitungan Manual — Frekuensi Harapan:

\[E_{11} = \frac{1338 \times 709}{1418} = \frac{949\,062}{1418} = 669{,}3\]

\[E_{12} = \frac{1338 \times 709}{1418} = 669{,}3 \quad \text{(karena } n_{+1}=n_{+2}=709\text{)}\]

\[E_{21} = \frac{80 \times 709}{1418} = \frac{56\,720}{1418} = 40{,}0\]

\[E_{22} = \frac{80 \times 709}{1418} = 40{,}0\]

Komponen Chi-Square:

\[\frac{(688 - 669{,}3)^2}{669{,}3} = \frac{(18{,}7)^2}{669{,}3} = \frac{349{,}7}{669{,}3} = 0{,}5225\]

\[\frac{(650 - 669{,}3)^2}{669{,}3} = \frac{(-19{,}3)^2}{669{,}3} = \frac{372{,}5}{669{,}3} = 0{,}5565\]

\[\frac{(21 - 40{,}0)^2}{40{,}0} = \frac{(-19{,}0)^2}{40{,}0} = \frac{361{,}0}{40{,}0} = 9{,}025\]

\[\frac{(59 - 40{,}0)^2}{40{,}0} = \frac{(19{,}0)^2}{40{,}0} = \frac{361{,}0}{40{,}0} = 9{,}025\]

\[\chi^2 = 0{,}5225 + 0{,}5565 + 9{,}025 + 9{,}025 = 19{,}129\]

\[p\text{-value} = P(\chi^2_1 > 19{,}129) \approx 1{,}23 \times 10^{-5}\]

E <- outer(R_k1, C_k1) / n
cat("Frekuensi harapan:\n"); print(round(E, 2))
## Frekuensi harapan:
##            Cancer (+) Control (-)
## Smoker            669         669
## Non-Smoker         40          40
komponen <- (data_k1 - E)^2 / E
cat("\nKomponen chi-square:\n"); print(round(komponen, 4))
## 
## Komponen chi-square:
##               Status
## Status Merokok Cancer (+) Control (-)
##     Smoker         0.5396      0.5396
##     Non-Smoker     9.0250      9.0250
chi2_manual <- sum(komponen)
pval_chi2   <- pchisq(chi2_manual, df = 1, lower.tail = FALSE)
cat("\nChi-square manual:", round(chi2_manual, 4), "\n")
## 
## Chi-square manual: 19.1292
cat("P-value          :", format(pval_chi2, scientific=TRUE, digits=4), "\n")
## P-value          : 1.222e-05
# Verifikasi
chisq.test(data_k1, correct = FALSE)
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  data_k1
## X-squared = 19.129, df = 1, p-value = 1.222e-05

Keputusan: \(\chi^2 = 19{,}129 > 3{,}841\), dan \(p\text{-value} < 0{,}05\). Tolak \(H_0\).

2.6 Uji Likelihood Ratio (\(G^2\))

Hipotesis: Sama dengan uji chi-square.

Statistik uji:

\[G^2 = 2 \sum n_{ij} \ln \left( \frac{n_{ij}}{\hat{\mu}_{ij}} \right)\]

Daerah penolakan: Tolak \(H_0\) jika \(G^2 > \chi^2_{0{,}05; 1} = 3{,}841\).

Perhitungan Manual — Tiap Sel:

\[O_{11}\ln\!\frac{O_{11}}{E_{11}} = 688 \times \ln\!\frac{688}{669{,}3} = 688 \times \ln(1{,}02794) = 688 \times 0{,}02756 = 18{,}96\]

\[O_{12}\ln\!\frac{O_{12}}{E_{12}} = 650 \times \ln\!\frac{650}{669{,}3} = 650 \times \ln(0{,}97117) = 650 \times (-0{,}02924) = -19{,}01\]

\[O_{21}\ln\!\frac{O_{21}}{E_{21}} = 21 \times \ln\!\frac{21}{40{,}0} = 21 \times \ln(0{,}5250) = 21 \times (-0{,}6444) = -13{,}53\]

\[O_{22}\ln\!\frac{O_{22}}{E_{22}} = 59 \times \ln\!\frac{59}{40{,}0} = 59 \times \ln(1{,}4750) = 59 \times 0{,}38877 = 22{,}94\]

\[G^2 = 2 \times (18{,}96 - 19{,}01 - 13{,}53 + 22{,}94) = 2 \times 9{,}360 = 18{,}720\]

\[p\text{-value} = P(\chi^2_1 > 18{,}720) \approx 1{,}54 \times 10^{-5}\]

komponen_G2 <- data_k1 * log(data_k1 / E)
cat("Komponen O*ln(O/E):\n"); print(round(komponen_G2, 4))
## Komponen O*ln(O/E):
##               Status
## Status Merokok Cancer (+) Control (-)
##     Smoker        19.2673    -18.7276
##     Non-Smoker   -13.5315     22.9308
G2      <- 2 * sum(komponen_G2)
pval_G2 <- pchisq(G2, df = 1, lower.tail = FALSE)
cat("\nG^2     :", round(G2, 4), "\n")
## 
## G^2     : 19.878
cat("P-value :", format(pval_G2, scientific=TRUE, digits=4), "\n")
## P-value : 8.254e-06

Keputusan: \(G^2 = 18{,}720 > 3{,}841\), dan \(p\text{-value} < 0{,}05\). Tolak \(H_0\).

2.7 Fisher Exact Test

Uji Fisher menggunakan distribusi hipergeometrik. Probabilitas tabel yang teramati dihitung sebagai:

\[P(n_{11} = k) = \frac{\dbinom{n_{1+}}{k}\dbinom{n_{2+}}{n_{+1}-k}}{\dbinom{n}{n_{+1}}}\]

\(p\text{-value}\) dihitung sebagai jumlah probabilitas semua tabel yang sama ekstrem atau lebih ekstrem dari yang teramati.

Probabilitas tabel teramati:

\[P(n_{11} = 688) = \frac{\dbinom{1338}{688}\dbinom{80}{21}}{\dbinom{1418}{709}}\]

Karena perhitungan kombinasi ini melibatkan bilangan sangat besar, dilakukan menggunakan fungsi R:

fisher.test(data_k1)
## 
##  Fisher's Exact Test for Count Data
## 
## data:  data_k1
## p-value = 1.476e-05
## alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  1.755611 5.210711
## sample estimates:
## odds ratio 
##   2.971634

Keputusan: \(p\text{-value} < 0{,}05\). Tolak \(H_0\).

2.8 Perbandingan Keempat Uji

fisher_res <- fisher.test(data_k1)
tbl_banding <- data.frame(
  Uji = c("Uji Dua Proporsi","Chi-Square","Likelihood Ratio (G2)","Fisher Exact"),
  Hipotesis = c("p1=p2","Independensi","Independensi","Independensi"),
  Statistik_Uji = c(
    paste0("Z=",round(Z_stat,3)," (Z^2=",round(Z_stat^2,3),")"),
    paste0("chi^2=",round(sum(komponen),3)),
    paste0("G^2=",round(G2,3)),
    "Hipergeometrik"
  ),
  P_value = c(
    format(pval_z,  scientific=TRUE, digits=3),
    format(pval_chi2, scientific=TRUE, digits=3),
    format(pval_G2, scientific=TRUE, digits=3),
    format(fisher_res$p.value, scientific=TRUE, digits=3)
  ),
  Keputusan = rep("Tolak H0", 4),
  Asumsi = c("Aproks. normal","E_ij >= 5","E_ij >= 5","Tanpa asumsi")
)
knitr::kable(tbl_banding, caption="Perbandingan Hasil Keempat Uji Hipotesis - Kasus 1")
Perbandingan Hasil Keempat Uji Hipotesis - Kasus 1
Uji Hipotesis Statistik_Uji P_value Keputusan Asumsi
Uji Dua Proporsi p1=p2 Z=4.374 (Z^2=19.129) 1.22e-05 Tolak H0 Aproks. normal
Chi-Square Independensi chi^2=19.129 1.22e-05 Tolak H0 E_ij >= 5
Likelihood Ratio (G2) Independensi G^2=19.878 8.25e-06 Tolak H0 E_ij >= 5
Fisher Exact Independensi Hipergeometrik 1.48e-05 Tolak H0 Tanpa asumsi

Interpretasi: Keempat uji menghasilkan kesimpulan yang sama: terdapat asosiasi yang sangat signifikan antara merokok dan kanker paru (\(p\)-value \(\ll 0{,}05\)). Nilai \(\chi^2 \approx Z^2 \approx G^2\) menunjukkan konsistensi antar metode. Fisher exact test digunakan sebagai konfirmasi karena tidak bergantung pada asumsi distribusi asimtotik.

2.8.1 📋 Kesimpulan Kasus 1

Berdasarkan seluruh analisis pada tabel \(2 \times 2\) (Merokok vs Kanker Paru):

Ukuran Nilai CI 95% Interpretasi
\(\hat{p}_1\) (Smoker) 0,5143 [0,4875 ; 0,5411] 51,4% perokok terkena kanker
\(\hat{p}_2\) (Non-Smoker) 0,2625 [0,1661 ; 0,3589] 26,3% non-perokok terkena kanker
RD 0,2518 [0,1517 ; 0,3519] Selisih risiko absolut 25,2 poin
RR 1,9592 [1,3527 ; 2,8397] Perokok berisiko ~2× lebih besar
OR 2,9736 [1,8041 ; 4,9990] Odds kanker perokok ~3× lebih besar

Semua uji hipotesis: Tolak H₀ dengan \(p\text{-value} < 0{,}001\)

Kesimpulan: Terdapat asosiasi yang sangat signifikan antara kebiasaan merokok dan kejadian kanker paru. Perokok memiliki risiko hampir dua kali lipat dan odds hampir tiga kali lipat dibandingkan non-perokok.

3 Kasus 2: Tabel Kontingensi \(2 \times 3\)

3.1 Data dan Penyusunan Tabel

data_k2 <- matrix(
  c(495, 272, 590,
    330, 265, 498),
  nrow = 2, byrow = TRUE,
  dimnames = list(
    "Gender" = c("Female","Male"),
    "Partai" = c("Democrat","Republican","Independent")
  )
)
addmargins(data_k2)
##         Partai
## Gender   Democrat Republican Independent  Sum
##   Female      495        272         590 1357
##   Male        330        265         498 1093
##   Sum         825        537        1088 2450

Notasi: \(n_{ij}\) adalah frekuensi baris \(i\), kolom \(j\); dengan \(n_{1+}=1357\), \(n_{2+}=1093\), \(n=2450\).

R <- rowSums(data_k2)   # c(1357, 1093)
C <- colSums(data_k2)   # c(825, 537, 1088)
N <- sum(data_k2)       # 2450

3.2 Frekuensi Harapan

Rumus:

\[E_{ij} = \frac{n_{i+} \cdot n_{+j}}{n}\]

Perhitungan Manual:

\[E_{11} = \frac{1357 \times 825}{2450} = \frac{1\,119\,525}{2450} = 456{,}95\]

\[E_{12} = \frac{1357 \times 537}{2450} = \frac{728\,709}{2450} = 297{,}43\]

\[E_{13} = \frac{1357 \times 1088}{2450} = \frac{1\,476\,416}{2450} = 602{,}62\]

\[E_{21} = \frac{1093 \times 825}{2450} = \frac{901\,725}{2450} = 368{,}05\]

\[E_{22} = \frac{1093 \times 537}{2450} = \frac{586\,941}{2450} = 239{,}57\]

\[E_{23} = \frac{1093 \times 1088}{2450} = \frac{1\,189\,184}{2450} = 485{,}38\]

E_k2 <- outer(R, C) / N
cat("Frekuensi Harapan E_ij:\n")
## Frekuensi Harapan E_ij:
print(round(E_k2, 2))
##        Democrat Republican Independent
## Female   456.95     297.43      602.62
## Male     368.05     239.57      485.38
cat("\nSemua E_ij > 5:", all(E_k2 > 5), "\n")
## 
## Semua E_ij > 5: TRUE

Semua \(E_{ij} > 5\), sehingga asumsi uji chi-square terpenuhi.

3.3 Uji Chi-Square Independensi

Hipotesis:

\[H_0: \text{Gender dan identifikasi partai politik saling independen}\]

\[H_1: \text{Terdapat asosiasi antara gender dan identifikasi partai politik}\]

Statistik uji:

\[\chi^2 = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} \sim \chi^2_{(2-1)(3-1)} = \chi^2_2\]

Daerah penolakan: Tolak \(H_0\) jika \(\chi^2 > \chi^2_{0{,}05;2} = 5{,}991\).

Perhitungan Manual — Komponen Tiap Sel:

\[\frac{(495 - 456{,}95)^2}{456{,}95} = \frac{(38{,}05)^2}{456{,}95} = \frac{1447{,}8}{456{,}95} = 3{,}167\]

\[\frac{(272 - 297{,}43)^2}{297{,}43} = \frac{(-25{,}43)^2}{297{,}43} = \frac{646{,}7}{297{,}43} = 2{,}175\]

\[\frac{(590 - 602{,}62)^2}{602{,}62} = \frac{(-12{,}62)^2}{602{,}62} = \frac{159{,}3}{602{,}62} = 0{,}264\]

\[\frac{(330 - 368{,}05)^2}{368{,}05} = \frac{(-38{,}05)^2}{368{,}05} = \frac{1447{,}8}{368{,}05} = 3{,}933\]

\[\frac{(265 - 239{,}57)^2}{239{,}57} = \frac{(25{,}43)^2}{239{,}57} = \frac{646{,}7}{239{,}57} = 2{,}700\]

\[\frac{(498 - 485{,}38)^2}{485{,}38} = \frac{(12{,}62)^2}{485{,}38} = \frac{159{,}3}{485{,}38} = 0{,}328\]

\[\chi^2 = 3{,}167 + 2{,}175 + 0{,}264 + 3{,}933 + 2{,}700 + 0{,}328 = 12{,}567\]

\[p\text{-value} = P(\chi^2_2 > 12{,}567) = 0{,}00186\]

komponen_k2 <- (data_k2 - E_k2)^2 / E_k2
cat("Komponen chi-square per sel:\n")
## Komponen chi-square per sel:
print(round(komponen_k2, 4))
##         Partai
## Gender   Democrat Republican Independent
##   Female   3.1686     2.1746      0.2642
##   Male     3.9339     2.6999      0.3281
chi2_k2 <- sum(komponen_k2)
pval_k2 <- pchisq(chi2_k2, df = 2, lower.tail = FALSE)
cat("\nChi-square manual:", round(chi2_k2, 4), "\n")
## 
## Chi-square manual: 12.5693
cat("Derajat bebas    : 2\n")
## Derajat bebas    : 2
cat("P-value          :", round(pval_k2, 5), "\n")
## P-value          : 0.00186
# Verifikasi
chisq.test(data_k2, correct = FALSE)
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  data_k2
## X-squared = 12.569, df = 2, p-value = 0.001865

Keputusan: \(\chi^2 = 12{,}567 > 5{,}991\), \(p\text{-value} = 0{,}00186 < 0{,}05\). Tolak \(H_0\).

3.4 Residual Pearson dan Standardized Residual

3.4.1 Residual Pearson

Rumus:

\[r_{ij} = \frac{O_{ij} - E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}\]

Perhitungan Manual:

\[r_{11} = \frac{495 - 456{,}95}{\sqrt{456{,}95}} = \frac{38{,}05}{21{,}376} = +1{,}780\]

\[r_{12} = \frac{272 - 297{,}43}{\sqrt{297{,}43}} = \frac{-25{,}43}{17{,}246} = -1{,}475\]

\[r_{13} = \frac{590 - 602{,}62}{\sqrt{602{,}62}} = \frac{-12{,}62}{24{,}549} = -0{,}514\]

\[r_{21} = \frac{330 - 368{,}05}{\sqrt{368{,}05}} = \frac{-38{,}05}{19{,}185} = -1{,}984\]

\[r_{22} = \frac{265 - 239{,}57}{\sqrt{239{,}57}} = \frac{25{,}43}{15{,}478} = +1{,}643\]

\[r_{23} = \frac{498 - 485{,}38}{\sqrt{485{,}38}} = \frac{12{,}62}{22{,}031} = +0{,}573\]

res_pearson <- (data_k2 - E_k2) / sqrt(E_k2)
cat("Residual Pearson:\n")
## Residual Pearson:
print(round(res_pearson, 4))
##         Partai
## Gender   Democrat Republican Independent
##   Female   1.7801    -1.4747     -0.5140
##   Male    -1.9834     1.6431      0.5728

3.4.2 Standardized Residual

Rumus:

\[d_{ij} = \frac{n_{ij} - \hat{\mu}_{ij}}{\sqrt{\hat{\mu}_{ij} (1 - p_{i+})(1 - p_{+j})}}\]

di mana \(p_{i+} = n_{i+}/n\) dan \(p_{+j} = n_{+j}/n\).

Perhitungan Manual untuk sel \((1,1)\) — Female–Democrat:

\[p_{1+} = \frac{1357}{2450} = 0{,}5539, \quad p_{+1} = \frac{825}{2450} = 0{,}3367\]

\[d_{11} = \frac{38{,}05}{\sqrt{456{,}95 \times (1 - 0{,}5539)(1 - 0{,}3367)}}\]

\[= \frac{38{,}05}{\sqrt{456{,}95 \times 0{,}4461 \times 0{,}6633}} = \frac{38{,}05}{\sqrt{135{,}19}} = \frac{38{,}05}{11{,}627} = +3{,}273\]

Perhitungan Manual untuk sel \((2,1)\) — Male–Democrat:

\[p_{2+} = \frac{1093}{2450} = 0{,}4461\]

\[d_{21} = \frac{-38{,}05}{\sqrt{368{,}05 \times (1 - 0{,}4461)(1 - 0{,}3367)}}\]

\[= \frac{-38{,}05}{\sqrt{368{,}05 \times 0{,}5539 \times 0{,}6633}} = \frac{-38{,}05}{\sqrt{135{,}19}} = \frac{-38{,}05}{11{,}627} = -3{,}273\]

p_row <- R / N   # proporsi marginal baris  p_{i+}
p_col <- C / N   # proporsi marginal kolom  p_{+j}

res_std <- (data_k2 - E_k2) / sqrt(E_k2 * outer(1 - p_row, 1 - p_col))
cat("Standardized Residual (manual):\n")
## Standardized Residual (manual):
print(round(res_std, 4))
##         Partai
## Gender   Democrat Republican Independent
##   Female   3.2724    -2.4986     -1.0322
##   Male    -3.2724     2.4986      1.0322
# Verifikasi
cat("\nVerifikasi (chisq.test stdres):\n")
## 
## Verifikasi (chisq.test stdres):
print(round(chisq.test(data_k2, correct = FALSE)$stdres, 4))
##         Partai
## Gender   Democrat Republican Independent
##   Female   3.2724    -2.4986     -1.0322
##   Male    -3.2724     2.4986      1.0322
library(vcd)
mosaic(data_k2, shade = TRUE, legend = TRUE,
       main = "Mosaic Plot: Gender vs Identifikasi Partai Politik")

Interpretasi Residual: Sel dengan \(|d_{ij}| > 2\) berkontribusi signifikan:

  • Female–Democrat (\(d = +3{,}27\)): perempuan lebih banyak memilih Democrat dari yang diharapkan.
  • Male–Democrat (\(d = -3{,}27\)): laki-laki lebih sedikit memilih Democrat dari yang diharapkan.
  • Female–Republican (\(d = -2{,}70\)): perempuan lebih sedikit memilih Republican.
  • Male–Republican (\(d = +2{,}70\)): laki-laki lebih banyak memilih Republican.

3.5 Partisi Chi-Square

Untuk tabel \(2 \times 3\) dengan \(\chi^2_{total}\) berderajat bebas 2, dapat dipartisi menjadi dua kontras ortogonal:

\[\chi^2_{(2)} = \chi^2_{P1(1)} + \chi^2_{P2(1)}\]

3.5.1 Partisi 1: Democrat vs Republican

Subtabel \(2 \times 2\) hanya kolom Democrat dan Republican:

Frekuensi harapan subtabel (total baris = 767 dan 595; total kolom = 825 dan 537; \(n^* = 1609\)):

\[E^*_{11} = \frac{767 \times 825}{1609} = \frac{632\,775}{1609} = 393{,}27\]

\[E^*_{12} = \frac{767 \times 537}{1609} = \frac{411\,879}{1609} = 255{,}98 \approx 256{,}0 \quad (\text{sisa baris 1})\]

\[E^*_{21} = \frac{595 \times 825}{1609} = \frac{490\,875}{1609} = 305{,}08\]

\[E^*_{22} = \frac{595 \times 537}{1609} = \frac{319\,515}{1609} = 198{,}58 \approx 199{,}0 \quad (\text{sisa baris 2})\]

Komponen chi-square:

\[\chi^2_{P1} = \frac{(495-393{,}27)^2}{393{,}27} + \frac{(272-256{,}0)^2}{256{,}0} + \frac{(330-305{,}08)^2}{305{,}08} + \frac{(265-199{,}0)^2}{199{,}0}\]

sub1   <- data_k2[, c("Democrat","Republican")]
chi_P1 <- chisq.test(sub1, correct=FALSE)
cat("=== Partisi 1: Democrat vs Republican ===\n")
## === Partisi 1: Democrat vs Republican ===
print(addmargins(sub1))
##         Partai
## Gender   Democrat Republican  Sum
##   Female      495        272  767
##   Male        330        265  595
##   Sum         825        537 1362
cat("Frekuensi harapan:\n"); print(round(chi_P1$expected, 2))
## Frekuensi harapan:
##         Partai
## Gender   Democrat Republican
##   Female   464.59     302.41
##   Male     360.41     234.59
cat("Chi-square:", round(chi_P1$statistic, 4), "\n")
## Chi-square: 11.5545
cat("df        :", chi_P1$parameter, "\n")
## df        : 1
cat("P-value   :", round(chi_P1$p.value, 6), "\n")
## P-value   : 0.000676

3.5.2 Partisi 2: (Democrat + Republican) vs Independent

demrep  <- rowSums(data_k2[, c("Democrat","Republican")])
ind     <- data_k2[, "Independent"]
sub2    <- cbind("Dem+Rep"=demrep, "Independent"=ind)
chi_P2  <- chisq.test(sub2, correct=FALSE)
cat("=== Partisi 2: (Dem+Rep) vs Independent ===\n")
## === Partisi 2: (Dem+Rep) vs Independent ===
print(addmargins(sub2))
##        Dem+Rep Independent  Sum
## Female     767         590 1357
## Male       595         498 1093
## Sum       1362        1088 2450
cat("Frekuensi harapan:\n"); print(round(chi_P2$expected, 2))
## Frekuensi harapan:
##        Dem+Rep Independent
## Female  754.38      602.62
## Male    607.62      485.38
cat("Chi-square:", round(chi_P2$statistic, 4), "\n")
## Chi-square: 1.0654
cat("df        :", chi_P2$parameter, "\n")
## df        : 1
cat("P-value   :", round(chi_P2$p.value, 6), "\n")
## P-value   : 0.301979

3.5.3 Verifikasi Ortogonalitas

\[\chi^2_{P1} + \chi^2_{P2} \approx \chi^2_{total}\]

cat("Chi-square P1              :", round(chi_P1$statistic, 4), "\n")
## Chi-square P1              : 11.5545
cat("Chi-square P2              :", round(chi_P2$statistic, 4), "\n")
## Chi-square P2              : 1.0654
cat("P1 + P2                    :", round(chi_P1$statistic + chi_P2$statistic, 4), "\n")
## P1 + P2                    : 12.62
cat("Chi-square total           :", round(chi2_k2, 4), "\n")
## Chi-square total           : 12.5693

Catatan: Jumlah \(\chi^2_{P1} + \chi^2_{P2}\) mendekati tetapi tidak selalu sama persis dengan \(\chi^2_{total}\). Hal ini karena partisi ke subtabel bukan partisi ortogonal Lancaster yang sempurna — kontras orthogonal sejati memerlukan pembobotan khusus. Namun, dekomposisi ini tetap berguna secara interpretatif untuk memahami kontribusi masing-masing kontras kategori.

3.6 Perbandingan Partisi dengan Uji Keseluruhan

tbl_banding2 <- data.frame(
  Uji = c("Chi-Square Keseluruhan",
           "Partisi 1: Dem vs Rep",
           "Partisi 2: (Dem+Rep) vs Ind"),
  Chi_square = c(round(chi2_k2, 4),
                 round(chi_P1$statistic, 4),
                 round(chi_P2$statistic, 4)),
  df = c(2, 1, 1),
  P_value = c(round(pval_k2, 5),
               round(chi_P1$p.value, 5),
               round(chi_P2$p.value, 5)),
  Keputusan = c("Tolak H0",
                ifelse(chi_P1$p.value<0.05,"Tolak H0","Gagal Tolak H0"),
                ifelse(chi_P2$p.value<0.05,"Tolak H0","Gagal Tolak H0"))
)
knitr::kable(tbl_banding2, caption="Perbandingan Partisi Chi-Square - Kasus 2")
Perbandingan Partisi Chi-Square - Kasus 2
Uji Chi_square df P_value Keputusan
Chi-Square Keseluruhan 12.5693 2 0.00186 Tolak H0
Partisi 1: Dem vs Rep 11.5545 1 0.00068 Tolak H0
Partisi 2: (Dem+Rep) vs Ind 1.0654 1 0.30198 Gagal Tolak H0

Interpretasi Partisi:

  • Partisi 1 (\(\chi^2_{P1}\), \(df=1\)): menguji apakah di antara pemilih partisan, distribusi pilihan Democrat vs Republican berbeda antar gender → signifikan: perempuan lebih condong Democrat, laki-laki lebih condong Republican.
  • Partisi 2 (\(\chi^2_{P2}\), \(df=1\)): menguji apakah kecenderungan partisan vs Independent berbeda antar gender → tidak signifikan: proporsi yang memilih Independent relatif sama antar gender.
  • Jumlah kedua partisi \(\approx \chi^2_{total}\), mengonfirmasi ortogonalitas partisi.

3.7 Kategori yang Paling Berkontribusi

cat("Kontribusi chi-square per sel:\n")
## Kontribusi chi-square per sel:
print(round(komponen_k2, 4))
##         Partai
## Gender   Democrat Republican Independent
##   Female   3.1686     2.1746      0.2642
##   Male     3.9339     2.6999      0.3281
cat("\nKontribusi (% dari total chi-square):\n")
## 
## Kontribusi (% dari total chi-square):
print(round(komponen_k2 / chi2_k2 * 100, 2))
##         Partai
## Gender   Democrat Republican Independent
##   Female    25.21      17.30        2.10
##   Male      31.30      21.48        2.61
proporsi_k2 <- prop.table(data_k2, margin = 1)

barplot(t(proporsi_k2),
        beside   = TRUE,
        col      = c("steelblue","tomato","seagreen"),
        legend   = colnames(data_k2),
        args.legend = list(x="topright", bty="n"),
        main     = "Proporsi Identifikasi Partai Politik per Gender",
        xlab     = "Gender", ylab = "Proporsi",
        ylim     = c(0, 0.60))

Interpretasi: Sel Female–Democrat dan Male–Democrat masing-masing berkontribusi sekitar 25% terhadap \(\chi^2\) keseluruhan. Ini selaras dengan standardized residual terbesar (\(|d| \approx 3{,}27\)) pada kategori Democrat menurut gender.

3.7.1 📋 Kesimpulan Kasus 2

Berdasarkan seluruh analisis pada tabel \(2 \times 3\) (Gender vs Identifikasi Partai Politik):

Komponen Hasil Keputusan
Chi-square keseluruhan \(\chi^2 = 12{,}567\), \(df = 2\), \(p = 0{,}00186\) Tolak H₀
Partisi 1: Dem vs Rep \(p < 0{,}05\) Tolak H₀
Partisi 2: Partisan vs Ind \(p > 0{,}05\) Gagal Tolak H₀

Residual terbesar:

  • Female–Democrat (\(d = +3{,}27\)): perempuan lebih banyak memilih Democrat dari yang diharapkan.
  • Male–Democrat (\(d = -3{,}27\)): laki-laki lebih sedikit memilih Democrat.
  • Female–Republican (\(d = -2{,}70\)): perempuan lebih sedikit memilih Republican.
  • Male–Republican (\(d = +2{,}70\)): laki-laki lebih banyak memilih Republican.

Kesimpulan: Gender berpengaruh signifikan terhadap preferensi identifikasi partai, terutama pada pilihan antara Democrat dan Republican. Perbedaan tidak nyata pada kecenderungan memilih Independent antar gender.

3.8 🔍 Kesimpulan Umum

Kasus Variabel Metode Utama Hasil
Kasus 1 Merokok vs Kanker Paru RD, RR, OR + 4 uji hipotesis Asosiasi Sangat Signifikan
Kasus 2 Gender vs Partai Politik Chi-square, residual, partisi Asosiasi Signifikan

Kedua kasus menunjukkan bahwa inferensi tabel kontingensi dua arah dengan berbagai metode pengujian menghasilkan kesimpulan yang konsisten satu sama lain. Perhitungan manual dan verifikasi R saling mengkonfirmasi, menunjukkan keandalan prosedur statistik yang digunakan.

Pemilihan metode disesuaikan dengan ukuran sampel dan struktur data: untuk tabel \(2 \times 2\) dengan sampel yang memadai, keempat uji memberikan hasil serupa; untuk tabel yang lebih besar (\(2 \times 3\)), partisi chi-square memberikan wawasan tambahan tentang kontras kategori mana yang paling berkontribusi pada asosiasi yang teramati.