Soal 43

Memilih 3 Orang dari 8 Kandidat

Pada soal ini, kita diminta untuk menghitung banyaknya cara memilih 3 orang dari total 8 orang yang tersedia.

Rumus Kombinasi: \[C(n,k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\]

Penjabaran Matematis:
Diketahui \(n = 8\) dan \(k = 3\).

\[C(8,3) = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}\]

Untuk mempermudah perhitungan manual, \(8!\) dijabarkan hingga \(5!\) agar dapat dieliminasi dengan penyebut:

\[= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!}\]

Nilai \(3 \times 2 \times 1\) adalah \(6\), yang dapat dicoret dengan angka \(6\) pada pembilang. Hasil akhirnya menyisakan: \[= 8 \times 7 = \mathbf{56 \text{ cara}}\]

Soal 44

Susunan Duduk Melingkar 9 Orang

Soal ini membahas probabilitas susunan tempat duduk melingkar untuk 9 orang.

Rumus Permutasi Siklis: \[P_{siklis} = (n - 1)!\]

Penjabaran Matematis:
Diketahui total orang \(n = 9\). Karena 1 posisi dijadikan titik tetap, maka objek yang tersisa untuk disusun secara acak adalah \(9 - 1 = 8\) orang.

\[P = (9 - 1)! = 8!\] \[P = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \mathbf{40.320 \text{ susunan}}\]

Soal 45

Anagram Kata: “PROBABILITAS”

Kita ditugaskan untuk menghitung banyaknya susunan kata berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata “PROBABILITAS”.

Analisis Penyelesaian:
Konsep yang diterapkan adalah Permutasi dengan Unsur yang Sama. Pada kata “PROBABILITAS”, terdapat huruf-huruf yang berulang. Menukar posisi antar huruf yang sama (misalnya B pertama dengan B kedua) tidak akan menghasilkan susunan kata yang baru. Maka dari itu, total permutasi dari keseluruhan huruf harus dibagi dengan faktorial dari jumlah masing-masing huruf yang berulang.

Rincian Huruf:
• Total huruf (\(n\)) = 12
• Jumlah huruf B = 2
• Jumlah huruf A = 2
• Jumlah huruf I = 2

Penjabaran Matematis:
\[P = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot k_{3}!}\] \[P = \frac{12!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{479.001.600}{2 \times 2 \times 2}\] \[P = \frac{479.001.600}{8} = \mathbf{59.875.200 \text{ susunan kata}}\]

Soal 49

Memilih 4 Orang dari 12 Kandidat

Kasus ini memiliki kesamaan bentuk dengan soal nomor 43, yaitu memilih kelompok dengan skala kandidat yang lebih besar.

Analisis Penyelesaian:
Sama halnya dengan penentuan tim sebelumnya, pemilihan 4 orang dari 12 kandidat ini dilakukan tanpa memperhatikan tingkatan, jabatan, atau urutan spesifik. Oleh karena itu, kita kembali menggunakan rumus Kombinasi untuk menghindari adanya perhitungan ganda pada komposisi tim yang sama.

Rumus & Penjabaran Matematis:
Diketahui \(n = 12\) dan \(k = 4\). \[C(12,4) = \frac{12!}{4! \cdot (12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!}\]

Dijabarkan untuk proses eliminasi: \[= \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 8!}\]

Angka \(8!\) dapat dicoret. Kemudian angka pembagi \((4 \times 3) = 12\) dapat mengeliminasi angka \(12\) pada pembilang. Tersisa angka \(2\) di penyebut yang dapat membagi angka \(10\) menjadi \(5\). \[= 11 \times 5 \times 9 = \mathbf{495 \text{ cara}}\]

Soal 50

Anagram Kata: “DISKRIT”

Sebagai persoalan terakhir, diminta untuk menyusun seluruh anagram yang mungkin dari kata “DISKRIT”.

Analisis Penyelesaian:
Seperti pada penyelesaian soal anagram sebelumnya, ini merupakan persoalan Permutasi dengan Unsur Sama dalam skala yang lebih kecil. Total susunan perlu dikompensasi dengan pembagian faktorial terhadap huruf yang muncul lebih dari satu kali.

Rincian Huruf:
• Total huruf (\(n\)) = 7 (D, I, S, K, R, I, T)
• Huruf berulang = ‘I’ (muncul 2 kali)

Penjabaran Matematis:
\[P = \frac{7!}{2!}\] \[P = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!}\] \[P = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = \mathbf{2.520 \text{ susunan kata}}\]