Ejercicio Repaso Probabilidad

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#install.packages("ggplot2")
library(dplyr)
library(tidyr)
library(ggplot2)

Cargamos los datos

Set de Datos que contiene la distribución conjunta de la edad (Age) y el ingreso promedio por hora (AHE) para trabajadores de tiempo completo de entre 25 y 34 años en 2012, con un nivel educativo superior al de educación media superior.

datos_matriz <- read.csv("Age_HourlyEarnings.csv", header = TRUE)

data <- pivot_longer(datos_matriz, cols = starts_with("Age"), names_to = "Age", values_to = "Probability") 

data$Age <- as.numeric(gsub("Age_", "", data$Age)) #probabilidad conjunta entre salario y edad. 

Completa los siguientes ejercicios

1. Calcula la distribución marginal de la edad (Age).Osea la prob de que me salga alguien de 24, 25, 26 y así hasta 34.

data %>% head() #me estoy ahorrando el paso de especificar todo, con esto le pongo la condicion de que siempre como que se vayan ligando las instrucciones. 

##forma tradicional 
sum(datos_matriz$Age_25)

[1] 0.08488994

## y asi con cada uno pero vamos a optimizar con el dplyr 
marginal_age <- data%>% #"marginal_age <-" es para que salga en el environment 
  group_by(Age) %>% 
  summarise(Marginal_Probability = sum(Probability)) #le digo que me de las sumas de las probabilidades y me las enseñe en resumen en una nueva columna llamada Marginal_Probability. 

2. Calcula la media de AHE para cada valor de la edad; es decir, calcula \(E(AHE∣Age=25)\), y así sucesivamente.Osea la probabilidad condicioneada

conditional_mean <- data %>%
  group_by(Age) %>%
  summarise(E_AHE_given_Age = sum(AHE * Probability)/sum(Probability))
conditional_mean 

3. Calcula y grafica la media de AHE en función de la edad (Age). ¿Existe una relación entre el ingreso promedio por hora y la edad? Explica.

ggplot(conditional_mean,aes(x= Age, y=E_AHE_given_Age))+
  geom_point()

4. Utiliza la ley de la esperanza iterada para calcular la media de AHE; es decir, calcula \(E(AHE)\).

\[ E(AHE)=\sum_{age}​E(AHE∣Age)⋅P(Age) \]

# Tomas la media condicional de cada edad y la pesas por la probabilidad de que ocurra esa edad. 
E_AHE <- conditional_mean %>% 
  left_join(marginal_age, by = "Age") %>%    #une ambas tablas por Age
  summarise(E_AHE = sum(E_AHE_given_Age*Marginal_Probability))  #pondera y suma

5. Calcula la varianza de AHE. \[var(Y)= E[(Y-E(Y))^2]\]

# Primero extraemos E(AHE) como número simple
media_AHE <- E_AHE$E_AHE  

var_AHE <- data %>%
  summarise(Var_AHE = sum((AHE - media_AHE)^2 * Probability))

6. Calcula la covarianza entre AHE y la edad (Age).

\[Cov(AHE,Age)=E(AHE⋅Age)−E(AHE)E(Age)\]

# E(Age) desde la marginal
E_Age <- marginal_age %>%
  summarise(E_Age = sum(Age * Marginal_Probability)) %>%
  pull(E_Age)

# E(AHE * Age): producto de cada combinación ponderado por prob conjunta
E_AHE_Age <- data %>%
  summarise(E_AHE_Age = sum(AHE * Age * Probability)) %>%
  pull(E_AHE_Age)

# Covarianza
cov_AHE_Age <- E_AHE_Age - media_AHE * E_Age

7. Calcula la correlación entre AHE y la edad (Age).

\[Corr(AHE,Age)=\frac{Cov(AHE,Age)}{Var(AHE)Var(Age)}\]

# Varianza de Age (igual que la de AHE pero con Age)
var_Age <- marginal_age %>%
  summarise(Var_Age = sum((Age - E_Age)^2 * Marginal_Probability)) %>%
  pull(Var_Age)

var_AHE_val <- var_AHE$Var_AHE

# Correlación
corr_AHE_Age <- cov_AHE_Age/sqrt(var_AHE_val*var_Age) 

8. Relaciona tus respuestas de los incisos (f) y (g) con la gráfica que construiste en el inciso (c).

La covarianza de 5.72 es positiva, lo que indica que AHE y Age se mueven en la misma dirección: conforme aumenta la edad, el ingreso promedio por hora tiende a aumentar. Sin embargo, la covarianza no es fácil de interpretar directamente porque depende de las unidades de cada variable y para ello usamos la correlación de 0.156. Aunque es positiva y confirma la dirección que vemos en la gráfica del inciso (c), es un valor relativamente débil (cercano a 0). Esto sugiere que si bien existe una tendencia creciente entre edad e ingreso, la relación no es muy fuerte, hay mucha dispersión en los ingresos dentro de cada grupo de edad, y la edad por sí sola explica poco de la variación en AHE.