1. Ejercicio 1

Los datos registrados fueron:

(a) Diagramas de caja

En la teoría vista en clase, el diagrama de caja se construye con:

  • caja entre \(Q_1\) y \(Q_3\),
  • línea central en la mediana,
  • y bigotes trazados hasta los límites
    \[ LI = Q_1 - 1.5(RIC), \qquad LS = Q_3 + 1.5(RIC) \] donde \(RIC = Q_3-Q_1\).

Por tanto, aquí el gráfico se construye manualmente para que los bigotes lleguen exactamente a \(LI\) y \(LS\), y no al mínimo y máximo como lo hace el boxplot automático de R.

Desarrollo para el turno mañana

Primero se ordenan los datos:

\[ 10,\ 12,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 14,\ 15,\ 15,\ 15,\ 16,\ 16,\ 17,\ 18 \]

Como \(n=14\), la mediana es:

\[ Q_2=\frac{x_7+x_8}{2}=\frac{14+15}{2}=14.5 \]

Para el primer cuartil:

\[ i=\left(\frac{25}{100}\right)(14)=3.5 \]

Como \(i\) no es entero, se toma la posición siguiente:

\[ Q_1=x_4=12 \]

Para el tercer cuartil:

\[ i=\left(\frac{75}{100}\right)(14)=10.5 \]

\[ Q_3=x_{11}=16 \]

Entonces:

\[ RIC=Q_3-Q_1=16-12=4 \]

Los límites del diagrama de caja son:

\[ LI=Q_1-1.5(RIC)=12-1.5(4)=6 \]

\[ LS=Q_3+1.5(RIC)=16+1.5(4)=22 \]

Como todos los datos están entre 10 y 18, no existen valores atípicos.

Por tanto, el resumen de cinco números y límites teóricos es:

\[ \text{Mínimo}=10,\quad Q_1=12,\quad Q_2=14.5,\quad Q_3=16,\quad \text{Máximo}=18 \]

y los bigotes del gráfico solicitado quedan en:

\[ LI=6,\qquad LS=22 \]

Desarrollo para el turno noche

Ordenando los datos:

\[ 18,\ 19,\ 20,\ 20,\ 21,\ 22,\ 22,\ 22,\ 22,\ 24,\ 24,\ 25,\ 26,\ 27 \]

La mediana es:

\[ Q_2=\frac{x_7+x_8}{2}=\frac{22+22}{2}=22 \]

Para el primer cuartil:

\[ i=\left(\frac{25}{100}\right)(14)=3.5 \]

\[ Q_1=x_4=20 \]

Para el tercer cuartil:

\[ i=\left(\frac{75}{100}\right)(14)=10.5 \]

\[ Q_3=x_{11}=24 \]

Entonces:

\[ RIC=Q_3-Q_1=24-20=4 \]

Los límites son:

\[ LI=20-1.5(4)=14 \]

\[ LS=24+1.5(4)=30 \]

Como todos los datos están entre 18 y 27, no existen valores atípicos.

El resumen de cinco números y límites teóricos es:

\[ \text{Mínimo}=18,\quad Q_1=20,\quad Q_2=22,\quad Q_3=24,\quad \text{Máximo}=27 \]

y los bigotes del gráfico solicitado quedan en:

\[ LI=14,\qquad LS=30 \]

El turno noche presenta tiempos de atención mayores que el turno mañana. Ambos turnos tienen el mismo rango intercuartílico (\(RIC=4\)), por lo que la variabilidad central es similar. No se observan valores atípicos en ninguno de los dos turnos.

Bajo la convención trabajada en clase, los bigotes no llegan al mínimo ni al máximo observado, sino a los límites teóricos \(LI\) y \(LS\). Por eso:

  • para mañana, los bigotes van de 6 a 22;
  • para noche, los bigotes van de 14 a 30.

(b) Coeficiente de variación

La fórmula utilizada es:

\[ CV=\frac{s}{\bar{x}}\times 100 \]

Turno mañana

La media es:

\[ \bar{x}=\frac{199}{14}=14.2143 \]

La desviación estándar muestral es aproximadamente:

\[ s\approx 2.225 \]

Por tanto:

\[ CV=\frac{2.225}{14.2143}\times 100\approx 15.65\% \]

Turno noche

La media es:

\[ \bar{x}=\frac{312}{14}=22.2857 \]

La desviación estándar muestral es aproximadamente:

\[ s\approx 2.644 \]

Por tanto:

\[ CV=\frac{2.644}{22.2857}\times 100\approx 11.86\% \]

Así:

\[ CV_{\text{mañana}}\approx 15.65\% \qquad\text{y}\qquad CV_{\text{noche}}\approx 11.86\% \]

Por lo tanto, el turno mañana presenta mayor variabilidad relativa.

2. Ejercicio 2

Se desea conocer la concentración que supera al \(80\%\) de los pacientes, es decir, calcular el percentil 80:

\[ P_{80} \]

La clase donde cae el percentil es:

\[ [6.5,8.1) \]

porque:

\[ 0.72<0.80\leq 0.84 \]

Entonces:

\[ L_i=6.5,\qquad F_{i-1}=0.72,\qquad f_i=0.12,\qquad A_i=1.6 \]

Aplicando la fórmula:

\[ P_{k}=L_{i}+\left(\frac{k-F_{i-1}}{f_{i}}\right)A_{i} \]

\[ P_{k}=0.65+\left(\frac{0.8-0.72}{0.12}\right)1.6 \]

\[ P_{80}=6.5+1.0667 \]

\[ P_{80}\approx 7.57 \]

Por lo tanto, la concentración que supera al \(80\%\) de los pacientes es:

\[ \boxed{7.57\text{ microgramos/mL}} \]

3. Ejercicio 3

(a) Diferencias entre las distribuciones

A partir del gráfico del enunciado se observa que el grupo de pacientes con prediabetes presenta una mediana más alta que el grupo normal.

La mediana del grupo normal está aproximadamente entre 90 y 92 mg/dL, mientras que la mediana del grupo con prediabetes está aproximadamente entre 108 y 110 mg/dL.

Además, el grupo con prediabetes presenta una mayor dispersión en los niveles de glucosa, pues su caja y sus bigotes abarcan un rango más amplio.

(b) Valores atípicos

En el grupo normal aparece un valor atípico alto, cercano a 112 mg/dL.

Este valor podría corresponder a un paciente con una glucosa anormalmente alta dentro del grupo normal, lo cual puede indicar:

  • un posible error de medición,
  • una alteración metabólica incipiente,
  • o la necesidad de seguimiento clínico.

En el grupo con prediabetes no se observan valores atípicos claros.

4. Ejercicio 4

La información suministrada para la presión arterial sistólica es la siguiente:

Grupo Media Mediana Curtosis
A 120 120 -0.8
B 140 125 3.2

(a) Tipo de asimetría

Grupo A

Como:

\[ \text{Media}=\text{Mediana}=120 \]

la distribución es aproximadamente simétrica.

Grupo B

Como:

\[ 140>125 \]

la distribución presenta asimetría positiva o sesgo hacia la derecha.

(b) Tipo de curtosis

  • Grupo A: curtosis \(=-0.8\), por lo tanto es platicúrtica.
  • Grupo B: curtosis \(=3.2\), por lo tanto es leptocúrtica.

(c) Riesgo clínico

El grupo B representa un mayor riesgo clínico porque:

  • tiene una media más alta de presión arterial sistólica,
  • presenta asimetría positiva, lo que sugiere pacientes con valores particularmente altos,
  • y tiene una curtosis elevada, lo que indica mayor presencia de valores extremos.

\[ \boxed{\text{El grupo B representa el mayor riesgo clínico}} \]