計量経済I：復習テスト2
すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト1～8を順に重ねて左上でホチキス止めし，中間テスト実施日（6月9日の予定）に提出すること．
- データを (x_1,\dots,x_n) とする．
- y_i:=ax_i+b と一次変換すると，
\begin{align*} \mu_y & =a\mu_x+b \\ \sigma_y^2 & =a^2\sigma_x^2 \end{align*}
となることを示しなさい．ただし \mu_x,\mu_y は平均，\sigma_x^2,\sigma_y^2 は分散を表す．
- 上の結果を利用して，z_i:=(x_i-\mu_x)/\sigma_x と標準化すると，平均が 0，分散が 1 となることを示しなさい．
\begin{align*} \mu_y & :=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(ax_i+b) \\ & =\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nax_i+\sum_{i=1}^nb\right) \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nax_i+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nb \\ & =a\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i+b \\ & =a\mu_x+b \\ \sigma_y^2 & :=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(y_i-\mu_y)^2 \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[(ax_i+b)-(a\mu_x+b)]^2 \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[a(x_i-\mu_x)]^2 \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na^2(x_i-\mu_x)^2 \\ & =a^2\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_x)^2 \\ & =a^2\sigma_x^2 \end{align*}
- z_i:=(x_i-\mu_x)/\sigma_x=(1/\sigma_x)x_i-\mu_x/\sigma_x と書けるから，a=1/\sigma_x，b=-\mu_x/\sigma_x と置くと，前問の結果より
\begin{align*} \mu_z & =a\mu_x+b \\ & =\frac{1}{\sigma_x}\mu_x-\frac{\mu_x}{\sigma_x} \\ & =0 \\ \sigma_y^2 & =a^2\sigma_x^2 \\ & =\left(\frac{1}{\sigma_x}\right)^2\sigma_x^2 \\ & =1 \end{align*}
- 2変量データ ((x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)) の平均を \mu_x,\mu_y，分散を \sigma_x^2,\sigma_y^2，共分散を \sigma_{xy}，相関係数を \rho_{xy} とする．
\sigma_{xy} の定義を式で書きなさい．
\sigma_{xy} が次のようにも書けることを示しなさい．
\sigma_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_i-\mu_x\mu_y
\rho_{xy} の定義を式で書きなさい．
\rho_{xy} が次のように書けることを示しなさい．
\rho_{xy}=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}
\sigma_{xy}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)
\begin{align*} \sigma_{xy} & :=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y) \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_iy_i-x_i\mu_y-\mu_xy_i+\mu_x\mu_y) \\ & =\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^nx_iy_i-\sum_{i=1}^nx_i\mu_y -\sum_{i=1}^n\mu_xy_i+\sum_{i=1}^n\mu_x\mu_y \right) \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\mu_y -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mu_xy_i+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mu_x\mu_y \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\cdot\mu_y -\mu_x\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i+\mu_x\mu_y \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_i-\mu_x\mu_y-\mu_x\mu_y+\mu_x\mu_y \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_i-\mu_x\mu_y \end{align*}
\begin{align*} \rho_{xy} & :=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left( \frac{x_i-\mu_x}{\sigma_x}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{x_i-\mu_x}{\sigma_x} \right)\left( \frac{y_i-\mu_y}{\sigma_y}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{y_i-\mu_y}{\sigma_y} \right) \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{x_i-\mu_x}{\sigma_x}\frac{y_i-\mu_y}{\sigma_y} \end{align*}
\begin{align*} \rho_{xy} & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\frac{x_i-\mu_x}{\sigma_x}\frac{y_i-\mu_y}{\sigma_y} \\ & =\frac{(1/n)\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y} \\ & =\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y} \end{align*}