Questões: Aula 04: Método
Gráfico
Soluções
MSP4092: Biomatemática: aspectos quantitativos da vida
09 abril 2026 00:39h
suppressMessages(library(knitr, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(units, warn.conflicts=FALSE))1 Legenda
As respostas das questões podem apresentar uma ou mais soluções em:
|
\(~~~\) | Algébrica |
|
\(~~~\) | WolframAlpha |
|
\(~~~\) | R |
|
\(~~~\) | R com força bruta |
|
\(~~~\) | SciLab |
|
\(~~~\) | ref. APEx |
3 ENEM_2009_CN02 - Batismo de gráfico
(ref. APEx
14926)
Analise o gráfico.
Supondo que seja necessário dar um título para esse gráfico, a alternativa que melhor traduziria o processo representado seria:
A. Concentração média de álcool no sangue ao longo do dia.
B. Variação da frequência da ingestão de álcool ao longo das horas.
C. Concentração mínima de álcool no sangue a partir de diferentes dosagens.
D. Estimativa de tempo necessário para metabolizar diferentes quantidades de álcool.
E. Representação gráfica da distribuição de frequência de álcool em determinada hora do dia.
Solução:
“Estimativa de tempo necessário para metabolizar diferentes quantidades de álcool” explica a existência de quatro curvas, indicando quatro condições experimentais (ingestão de 4 quantidades diferentes de álcool). O tempo parece ter sido contado a partir de algum evento (neste caso, o momento zero talvez seja ingestão do álcool).
“Concentração média de álcool no sangue ao longo do dia” não explica o que é o tempo, que não parecem horas do dia; também não explica porque existem quatro curvas.
“Variação da frequência da ingestão de álcool ao longo das horas” não se ajusta ao eixo das ordenadas, pois não é rotulado como frequência, mas como concentração.
“Concentração mínima de álcool no sangue a partir de diferentes dosagens” é o segundo melhor candidato, mas é um título incompleto porque não menciona o tempo.
“Representação gráfica da distribuição de frequência de álcool em determinada hora do dia” também não serve porque as ordenadas não são medida de frequência, o tempo não parece corresponder a horário, e não explica o porquê de existirem quatro curvas.
4 ENEM_2009_CN18c - Rádio-226
(ref. APEx
14929)
O lixo radioativo ou nuclear é resultado da manipulação de materiais radioativos, utilizados hoje na agricultura, na indústria, na medicina, em pesquisas científicas, na produção de energia, etc. Embora a radioatividade se reduza com o tempo, o processo de decaimento radioativo de alguns materiais pode levar milhões de anos. Por isso, existe a ncessidade de se fazer um descarte adequado e controlado de resíduos dessa natureza.
A taxa de decaimento radioativo é medida em termos de um tempo característico, chamado meia-vida, que é o tempo necessário para que uma amostra perca metade de sua radioatividade original. O gráfico representa a taxa de decaimento radioativo do rádio-226, elemento químico pertencente à família dos metais alcalinos terrosos e que foi utilizado durante muito tempo na medicina.
As informações fornecidas mostram que
A. Quanto maior é a meia-vida de uma substância, mais rápido ela se desintegra.
B. Apenas 1/8 de uma amostra de rádio-226 terá decaído ao final de 4860 anos.
C. Metade da quantidade original de rádio-226, ao final de 3240 anos, ainda estará por decair.
D. Restará menos de 1% de rádio-226 em qualquer amostra dessa substância após decorridas 3 meais-vidas.
E. A amostra de rádio-226 diminui a sua quantidade pela metade a cada intervalo de 1620 anos.
Solução:
Quanto maior a meia-vida, mais lentamente a desintegração ocorre.
Resta 1/8 da quantidade original ao final de 4860 anos.
Após duas meias-vidas (3240 anos), 3/4 já terão decaído e 1/4 está por decair.
Após 3 meias-vidas (4860 anos)resta 1/8 do material radiotivo original por decair.
Diminuir a sua quantidade pela metade a cada intervalo de 1620 anos é a própria definição de meia-vida.
5 ENEM_2009_CN31c - Água dura em pedra mole
(ref. APEx
14930)
De maneira geral, se a temperatura de um líquido comum aumenta, ele sofre dilatação. O mesmo não ocorre com a água, se ela estiver a uma temperatura próxima a de seu ponto de congelamento. O gráfico mostra como o volume específico (inverso da densidade) da água varia em função da temperatura, com uma aproximação na região entre 0°C e 10°C, ou seja, nas proximidades do ponto de congelamento da água.
A partir do gráfico, é correto concluir que o volume ocupado por certa massa de água
A. Diminui em menos de 3% ao se resfriar de 100°C a 0°C.
B. Aaumenta em mais de 0.4% ao se resfriar de 4°C a 0°C.
C. Diminui em menos de 0.04% ao se aquecer de 0°C a 4°C.
D. Aumenta em mais de 4% ao se aquecer de 4°C a 9°C.
E. Aumenta em menos de 3% ao se aquecer de 0°C a 100°C.
Solução:
Basta encontrar as quantidades mencionadas nas alternativas e comparar com a leitura do gráfico:
- ao resfriar de 100°C a 0°C o volume se reduz de algo como 1.043 a 1.00015: \((1.00015-1.043)/1.043=-4.108341\%\), mais que 3%
- resfriar de 4°C a 0°C o volume varia de algo como 1.00002 para 1.00015: \((1.00015-1.00002)/1.00002=0.01299974\%\), menos que 0.4%
- ao aquecer de 0°C a 4°C o volume cai. Usando como base sempre o ponto de partida, \((1.00002-1.00015)/1.00002=-0.01299974\%\), menos que 0.04% em valor absoluto, o que é a resposta.
- o valor de volume a 9°C é mais difícil de ler, mas não deve estar acima de 1.00025. Sendo assim, aquecer de 4°C a 9°C é \((1.00025-1.00002)/1.00002=0.02299954\%\), menor que 4%.
- finalmente, ao aquecer de 0°C a 100°C, \((1.043-1.00015)/1.00015=4.284357\%\) é mais que 3%.
6 ENEM_2009_CN80c - População urbana
(ref. APEx
14931)
Os dados dos gráficos a seguir foram extraídos da Pesquisa Nacional por Amostras de Domicílios (PNAD), do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a respeito da população nas cinco grandes regiões brasileiras. O gráfico da esquerda mostra a distribuição da população brasileira, em milhões de habitantes e, o da direita, mostra o percentual da população que reside em domicílios urbanos sem saneamento básico adequado.
IBGE/PNAD, 2007. Disponível em: http://www.ibge.com br. Acesso em: 10 out. 2008.
Considerando as informações dos gráficos, a região que concentra o menor número absoluto de pessoas residentes em áreas urbanas sem saneamento básico adequado é a região:
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
Solução:
Basta multiplicar os valores de um gráfico pelo outro:
- Norte: 15*0.6 = 9
- Nordeste: 52*0.44 = 22.88
- Sudeste: 80*0.11 = 8.8
- Sul: 28*0.21 = 5.88
- Centro-Oeste: 13*0.53 = 6.89
A região sul tem 5.88 milhões de pessoas sem saneamento básico.
7 ENEM_2009_CN29 - Antimônio
(ref. APEx
14933)
Os núcleos dos átomos são constituídos de prótons e nêutrons, sendo ambos os principais responsáveis pela sua massa. Nota-se que, na maioria dos núcleos, essas partículas não estão presentes na mesma proporção. O gráfico mostra a quantidade de nêutrons (N) em função da quantidade de prótons (Z) para os núcleos estáveis conhecidos
O antimônio é um elemento químico que possui 50 prótons e possui vários isótopos ― átomos que só se diferem pelo número de nêutrons. De acordo com o gráfico, os isótopos estáveis do antimônio possuem
A. Entre 12 e 24 nêutrons a menos que o número de prótons.
B. Exatamente o mesmo número de prótons e nêutrons.
C. Entre 0 e 12 nêutrons a mais que o número de prótons.
D. Entre 12 e 24 nêutrons a mais que o número de prótons.
E. Entre 0 e 12 nêutrons a menos que o número de prótons.
Solução:
Pela mera inspeção visual do gráfico, na vertical do número de prótons=50, é possível perceber que os pontos estão entre 62 e 74.
8 PISA_2012p69 - Zedlândia
(ref. APEx 14927,
14928)
Em Zedlândia, existem dois jornais que tentam recrutar vendedores. Os anúncios abaixo mostram como eles pagam seus vendedores.
João decide se candidatar a uma vaga de vendedor. Ele precisa escolher entre o Estrela de Zedlândia e o Diário de Zedlândia.
Qual dos gráficos é uma representação correta de como os dois jornais pagam seus vendedores?
Solução:
Alternativas corretas: C e C, respectivamente.
Qual dos gráficos é uma representação correta de como os dois jornais pagam seus vendedores? (C)
Para qual dos jornais João deve se candidatar? (C) Depende de quantos jornais João espera vender.
Implementamos as regras de pagamento dos dois jornais e, assumindo venda de 20 jornais semanais ao longo de 1 semestre, obtém-se:
Pode-se simular esta situação com:
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))
# Estrela de Zedlândia:
# 0.20 para 240 jornais + 0.40 por jornal adicional
# Diário de Zedlândia:
# 60.00 por semana (fixos) + 0.05 por jornal vendido
# Supondo que trabalhará vendendo 20 jornais por semana.
estrela <- c()
diario <- c()
semanas <- 1:26 # cerca de 1 semestre
jornais <- c()
for(s in semanas)
{
if (s==1)
{
jornais.vendidos <- 20
jornais <- c(20)
} else
{
jornais.vendidos <- jornais[s-1] + 20
jornais <- c(jornais,jornais.vendidos)
}
# ganhos com o Estrela de Zedlândia
j.menor240 <- ifelse(jornais.vendidos<=240,jornais.vendidos,240)
j.maior240 <- ifelse(jornais.vendidos>240,jornais.vendidos-240,0)
estrela <- c(estrela, j.menor240*0.20+j.maior240*0.40)
# ganhos com o Diário de Zedlândia
# ganho diário para ter $60.00 por semana: 60/7
diario <- c(diario,60+jornais.vendidos*0.05)
}
ymax <- max(c(estrela,diario))
plot(jornais, diario,
xlab="Número de jornais vendidos",
ylab="Renda semanal (zeds)",
ylim=c(0,ymax), type="l", lwd=3, axes=FALSE)
lines(jornais, estrela, lwd=3, lty=2)
axis(1)
axis(2)
legend("topleft",
c("Diário de Zedlândia","Estrela de Zedlândia"),
lwd=3,
lty=c(1,2),
col="black",
box.lwd=0, bg="transparent", bty="n")
Observando-se o gráfico é possível ver que as estratégias de pagamento dos dois empregadores não produzem os mesmos resultados. Também não importa o tempo de trabalho, pois nada adianta se não vender o suficiente. Somente o número de jornais vendidos determina em qual emprego João será melhor remunerado.
9 Sw02 - Escolha seu gráfico
(ref. APEx 14935,
14936, 14937, 14938)
Observe os seguintes gráficos:
Qual deles atende às seguintes afirmações?
Solução:
Os preços das casas subiram em janeiro e fevereiro, caíram ligeiramente em março e agora estão mantendo-se estáveis.
- Resposta: D - O gráfico mostra a linha subindo, depois caindo e finalmente se estabilizando.
A assinatura da TV a cabo foi congelada pelos próximos 3 anos.
- Resposta: A - O gráfico é uma linha horizontal reta confirmando que não houve aumento ou diminuição no custo.
Este carro tem uma excelente aceleração.
- Resposta: B e C - As duas respostas são possíveis. A linha reta mostra que o carro aumenta constantemente a velocidade a partir de uma posição parada. O espaço percorrido a partir de um ponto diferente da origem pode ser crescente a taxas crescentes.
O preço dos mantimentos ainda está aumentando.
- Resposta: B - A linha neste gráfico está subindo. Você poderia ter pensado que seria C, mas o preço dos mantimentos não poderia ser inicialmente zero.
10 Sw03 - Diagrama de Venn
(ref. APEx 14939,
14940, 14942)
Observe o diagrama de Venn que representa as Ilhas Britânicas:
Solução:
- Qual país está no Reino Unido mas não na Grã-Bretanha?
A. Escócia
B. Inglaterra
C. Irlanda do Norte
D. País de Gales
E. República da Irlanda
Alternativa correta: C
Você pode ver que o círculo rotulado como Grã-Bretanha não inclui a Irlanda do Norte, mas esta está incluída no círculo do Reino Unido.
- Quantos países fazem parte do Reino Unido?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Alternativa correta: C
Inglaterra, País de Gales, Escócia e Irlanda do Norte.
- A afirmação “Irlanda do Norte faz parte tanto da Irlanda quanto do Reino Unido” é
A. Verdadeira
B. Falsa
Alternativa correta: A
A Irlanda do Norte está na seção que se sobrepõe aos círculos do Reino Unido e da Irlanda.
11 Bdk01 - INSS
(ref. APEx
14943)
Considere a tabela e o gráfico:
O que é correto dizer?
A. O gráfico representaria corretamente o que é mostrado na tabela se as cores de “até 14 anos” e “65 anos ou mais” fossem invertidas
B. O gráfico representaria corretamente o que é mostrado na tabela se as cores de “até 14 anos” e “15 a 64 anos” fossem invertidas.
C. O gráfico não pode representar corretamente o que é mostrado na tabela somente com troca de cores da legenda.
D. O gráfico e a tabela falam de temas diferentes.
E. O gráfico representa corretamente o que é mostrado na tabela.
Solução:
O gráfico não representa corretamente o que é mostrado na tabela. Você pode imaginar que a troca das cores de “até 14 anos” e “65 anos ou mais” resolveria o problema, mas observe que os valores de 1940 a 1970 são, na tabela, muito parecidos, mas a barra de 1970 do gráfico foi construída com valores mais parecidos com a década de 1980.
12 ENEM 2020 - Receita e Custo
(ref. APEx
14944)
Um administrador resolve estudar o lucro de sua empresa e, para isso, traça o gráfico da receita e do custo de produção de seus itens, em real, em função da quantidade de itens produzidos.
O lucro é determinado pela diferença: Receita – Custo.
Qual gráfico representa o lucro dessa empresa, em função da quantidade de itens produzidos?
Solução:
Alternativa correta: A.
O enunciado dá a informação de que Lucro = Receita - Custo: quando o custo for maior que a receita, teremos prejuízo (vermelho) e, toda vez que receita for maior que custo, haverá lucro (azul). Esses intervalos podem ser vistos assim:
Então, nosso gráfico de lucro deverá:
- estar abaixo do eixo x, entre 5 e 15;
- tocar o eixo x nos pontos 0 e 15;
- estar acima do eixo x, entre 15 e 30.
- terminar acima do eixo x no ponto 30;
O único gráfico que satisfaz essas condições é o gráfico da letra (A):
13 Índices de Bolsas de Valores
(ref. APEx
15864)
Uma bolsa de valores é uma instituição financeira que permite a negociação de títulos e valores mobiliários entre investidores. Essa negociação pode ocorrer tanto de forma presencial, em um pregão físico, quanto de forma eletrônica, por meio de sistemas de negociação online.
As empresas que desejam levantar capital podem oferecer suas ações na bolsa de valores, permitindo que investidores comprem essas ações e se tornem acionistas da empresa. Além disso, outros tipos de títulos e valores mobiliários, como títulos públicos e debêntures, também podem ser negociados na bolsa de valores.
A bolsa de valores desempenha um papel importante no mercado financeiro, pois permite que empresas levantem capital para financiar seus projetos e investimentos, e também proporciona aos investidores uma forma de diversificar seus investimentos e obter retornos financeiros a partir da valorização dos títulos e valores mobiliários negociados.
Há várias bolsas de valores no mundo, e seus índices de referência são compostos pelo conjunto de ações das empresas de um determinado mercado. É possível investir neste índice (como se fosse uma cesta de ações que é revisada periodicamente).
Você pode consultar os índices de várias destas bolsas pela Web. Por exemplo:
S&P 500: índice de ações que acompanha o desempenho de 500 das maiores empresas negociadas nas bolsas de valores dos Estados Unidos. Ele é mantido pela Standard & Poor’s, uma das principais agências de classificação de crédito do mundo.Dow Jones: índice de ações que rastreia o desempenho de 30 empresas de grande porte negociadas nas bolsas de valores dos Estados Unidos. O índice foi criado em 1896 pelo jornalista financeiro Charles Dow e pelo investidor Edward Jones, e desde então se tornou um dos índices mais reconhecidos do mundo.NASDAQ: bolsa de valores eletrônica fundada em 1971, tornando-se a primeira bolsa de valores totalmente eletrônica do mundo. A NASDAQ é conhecida por ser uma bolsa de valores para empresas de tecnologia e inovação, embora também liste empresas de outros setores. A NASDAQ é o lar de muitas empresas de tecnologia notáveis. A NASDAQ também é conhecida por sua alta liquidez e velocidade de transação, o que a torna popular entre traders e investidores que buscam oportunidades de negociação de curto prazo.IBOVESPA: índice de ações que reflete o desempenho do mercado de ações brasileiro, composto por uma carteira teórica de ações negociadas na B3, a principal bolsa de valores do país. Ele reflete o desempenho das ações mais líquidas e negociadas do mercado brasileiro e é usado como um indicador do desempenho geral da economia brasileira.Merval: índice de ações que reflete o desempenho do mercado de ações argentino. O nome “Merval” é uma abreviação de Mercado de Valores de Buenos Aires. O índice Merval é calculado pela Bolsas y Mercados Argentinos - BYMA, composto pelas ações das empresas mais líquidas e negociadas na bolsa e considerado o índice mais importante do mercado de ações argentino como referência para investidores que buscam oportunidades de investimento no país.
Suponha que você resolva investir em índice de bolsa de valores durante pelo menos 10 anos (longo prazo). O que acontecerá com seu investimento?
A. O valor investido com certeza aumentará.
B. Ganhos e perdas se equilibram e, em média, se anulam.
C. Posso perder todo o dinheiro investido.
D. Tudo pode acontecer.
Solução:
De acordo com o Modelo de Movimento Browniano Geométrico, que modela o preço diário de ação e de índice de bolsa de valores, o ganho é certo e cresce exponencialmente no longo prazo.
Uma evidência de que longo prazo, matematicamente é infinito, está no artigo seminal de modelagem do preço de ação:
- Osborne, MFM (1959) Brownian motion in the stock market. Operations Research 7(2): 145-73.
No WolframAlpha, pesquisar, por exemplo, S&P 500. Configurar em Price History: All Data, With Trend, Log Scale.
S&P 500
Este gráfico semi-log linear revela que o crescimento do preço diário é exponencial.
O livro de Baxter & Rennie (1996), capítulo 3, p. 51, mostra a modelagem matematica do preço do índice da bolsa de valores da Inglaterra usando movimento browniano exponencial ou geométrico.
- Baxter M & Rennie A (1996) Financial Calculus: An introduction to derivative pricing. UK: Cambridge.
14 UFPR 2020 - A Saga do Reservatório de Água
14.1 situação 1: a torneira aberta
(ref. APEx 14946,
14947, 14948)
Para esvaziar um reservatório que contém 1.430 litros de água, é aberta uma torneira em sua base. É naturalmente esperado que a vazão da torneira decline com o passar do tempo, à medida que a altura da coluna de água dentro do reservatório diminui por causa do esvaziamento do tanque. Suponha que a vazão inicial dessa torneira seja igual a 22 litros por minuto e decresça linear e proporcionalmente ao nível de água do tanque.
1.1. Qual dos gráficos abaixo descreve a quantidade
de água no reservatório em função do tempo a partir do momento em que a
torneira é aberta?
1.2. Qual dos gráficos representa melhor a vazão em
função do tempo?
1.3. Qual dos gráficos representa melhor a vazão em
função do volume?
Solução:
Resposta 1.1: C
Se a vazão da torneira começa com 22 litros por minuto, mas a vazão decresce à medida que o volume de água restante decresce, a vazão da torneira decrescerá a taxas decrescentes. O gráfico C é o que representa este tipo de situação.
Resposta 1.2: C
Tanto a vazão quanto o volume decaem conjuntamente com o tempo e, portanto, qualitativamente ambas têm o mesmo formato.
Resposta 1.3: B
A relação entre vazão e volume é linear. Quando observamos uma em relação à outra ao longo do tempo, iniciam-se ambas com o volume e vazão máximas e decaem, cada vez mais lentamente, em direção ao valor nulo.
Pode-se simular esta situação com:
# vazao diminui à medida que o volume do tanque abaixa
volume <- 1430
vazao <- 22
tempo <- 0
# a vazao é proporcional ao volume
a <- 0.015
b <- vazao - a*volume
vazao <- b + a*volume
# guarda o historico de volume e tempo
volumes <- c(volume)
tempos <- c(tempo)
vazoes <- c(vazao)
while (volume > 0)
{
tempo <- tempo+1
volume <- volume - vazao
vazao <- b + a*volume
tempos <- c(tempos,tempo)
volumes <- c(volumes,volume)
vazoes <- c(vazoes,vazao)
}
plot(tempos,volumes,
xlab="Tempo", ylab="Volume")
plot(tempos,vazoes,
xlab="Tempo", ylab="Vazão")
dt_fase <- data.frame(volumes,vazoes)
plot(dt_fase$volumes,dt_fase$vazoes,
xlab="Volume", ylab="Vazão",
pch=21, cex=0.3, col="black", bg="black")
points(dt_fase$volumes[1],dt_fase$vazoes[1],
pch=21, col="black", bg="black")
points(dt_fase$volumes[nrow(dt_fase)],dt_fase$vazoes[nrow(dt_fase)],
pch=4, col="black")
for (r.aux in 1:(nrow(dt_fase)-1))
{
arrows(dt_fase$volumes[r.aux],dt_fase$vazoes[r.aux],
dt_fase$volumes[r.aux+1],dt_fase$vazoes[r.aux+1],
length=0.1)
}
14.2 Situação 2 - Bomba auxiliar
(ref. APEx 14949,
14950, 14951)
Para esvaziar um reservatório que contém 1.430 litros de água, é aberta uma torneira em sua base. É naturalmente esperado que a vazão da torneira decline com o passar do tempo, à medida que a altura da coluna de água dentro do reservatório diminui por causa do esvaziamento do tanque. Para encurtar o tempo de esvaziamento do tanque optou-se pela instalação de uma bomba d’água, regulada para manter a vazão dessa torneira constante e igual a 22 litros por minuto.
2.1. Qual dos gráficos abaixo descreve a quantidade de água no reservatório, em função do tempo a partir do momento em que a torneira é aberta e a bomba acionada?
2.2. Qual dos gráficos representa melhor a vazão em
função do tempo?
2.3. Qual dos gráficos representa melhor a vazão em
função do volume?
Solução:
Resposta 2.1: E
Como a vazão da torneira é constante e igual a 22 litros por minuto, isto quer dizer que haverá um decréscimo de 22 litros a cada minuto. O tanque inicia em (t=0) com 1.430 litros de água e vai perdendo 22 litros a cada minuto. Isto representa uma equação de reta decrescente, do tipo y=ax+b, onde o coeficiente a = -22 e b = 1430. Podemos modelar o volume V em função do tempo da seguinte maneira:
\[V(t) = 1430 - 22 t\] Repare que o gráfico de V(t) é aquele proposto na alternativa E.
Resposta 2.2: F
A vazão, por definição, é constante.
Resposta 2.3: F
Sendo a vazão constante, somente o volume varia, indo do máximo em direção ao esvaziamento completo.
Pode-se simular esta situação com:
# vazao constante com o volume do tanque (bomba compensa)
volume <- 1430
vazao <- 22
tempo <- 0
# guarda o historico de volume e tempo
volumes <- c(volume)
tempos <- c(tempo)
vazoes <- c(vazao)
while (volume > 0)
{
tempo <- tempo+1
volume <- volume - vazao
tempos <- c(tempos,tempo)
volumes <- c(volumes,volume)
vazoes <- c(vazoes,vazao)
}
plot(tempos,volumes,
xlab="Tempo", ylab="Volume")
plot(tempos,vazoes,
xlab="Tempo", ylab="Vazão")
dt_fase <- data.frame(volumes,vazoes)
plot(dt_fase$volumes,dt_fase$vazoes,
xlab="Volume", ylab="Vazão",
pch=21, cex=0.3, col="black", bg="black")
points(dt_fase$volumes[1],dt_fase$vazoes[1],
pch=21, col="black", bg="black")
points(dt_fase$volumes[nrow(dt_fase)],dt_fase$vazoes[nrow(dt_fase)],
pch=4, col="black")
for (r.aux in 1:(nrow(dt_fase)-1))
{
arrows(dt_fase$volumes[r.aux],dt_fase$vazoes[r.aux],
dt_fase$volumes[r.aux+1],dt_fase$vazoes[r.aux+1],
length=0.1)
}
14.3 Situação 3 - A bomba estragou
(ref. APEx 14952,
14953, 14954)
Para esvaziar um reservatório que contém 1.430 litros de água, é aberta uma torneira em sua base. É naturalmente esperado que a vazão da torneira decline com o passar do tempo, à medida que a altura da coluna de água dentro do reservatório diminui por causa do esvaziamento do tanque. Para encurtar o tempo de esvaziamento do tanque optou-se pela instalação de uma bomba d’água, regulada para manter a vazão dessa torneira constante e igual a 22 litros por minuto. A bomba, porém, não estava bem regulada, de forma que supercompensava a vazão de água, tornando-a inversamente proporcional ao nível de água do tanque, linearmente.
3.1. Qual dos gráficos abaixo descreve a quantidade de água no reservatório em função do tempo a partir do momento em que a torneira é aberta e a bomba acionada?
3.2. Qual dos gráficos representa melhor a vazão em
função do tempo?
3.3. Qual dos gráficos representa melhor a vazão em
função do volume?
Solução:
Resposta 3.1: A
Se a vazão da torneira começa com 22 litros por minuto, mas a vazão é inversamente proporcional ao volume de água, a vazão aumentará com o tempo, fazendo com que o volume decresça a taxas crescentes. O gráfico A representa este tipo de situação.
Resposta 3.2: D
A vazão, ao contrário, crescerá a taxas crescentes, maior quanto mais o volume do tanque abaixa.
Resposta 3.3: E
A relação entre vazão e volume, no entanto, continua linear mas, agora, enquanto o volume decresce, a vazão aumenta.
Pode-se simular esta situação com:
# vazao aumenta à medida que o volume do tanque abaixa
# bomba mal regulada, supercompensando
volume <- 1430
tempo <- 0
a <- -(22/volume)*0.95
vazao <- 22 + a*volume
volume <- 1430
vazao <- 22
tempo <- 0
# a vazao é inversaemte proporcional ao volume
# limite: a < abs(22/volume)
# negativo para ser inversamente proporcional
a <- -0.05
b <- vazao - a*volume
vazao <- b + a*volume
# guarda o historico de volume e tempo
volumes <- c(volume)
tempos <- c(tempo)
vazoes <- c(vazao)
while (volume > 0)
{
tempo <- tempo+1
vazao <- b + a*volume
volume <- volume - vazao
tempos <- c(tempos,tempo)
volumes <- c(volumes,volume)
vazoes <- c(vazoes,vazao)
if(vazao<0) {break} # evita loop infinito
}
plot(tempos,volumes,
xlab="Tempo", ylab="Volume")
plot(tempos,vazoes,
xlab="Tempo", ylab="Vazão")
dt_fase <- data.frame(volumes,vazoes)
plot(dt_fase$volumes,dt_fase$vazoes,
xlab="Volume", ylab="Vazão",
pch=21, cex=0.3, col="black", bg="black")
points(dt_fase$volumes[1],dt_fase$vazoes[1],
pch=21, col="black", bg="black")
points(dt_fase$volumes[nrow(dt_fase)],dt_fase$vazoes[nrow(dt_fase)],
pch=4, col="black")
for (r.aux in 1:(nrow(dt_fase)-1))
{
arrows(dt_fase$volumes[r.aux],dt_fase$vazoes[r.aux],
dt_fase$volumes[r.aux+1],dt_fase$vazoes[r.aux+1],
length=0.1)
}
14.4 Situação 4: O entupimento
(ref. APEx 14955,
14956, 14957)
Para esvaziar um reservatório que contém 1.430 litros de água, é aberta uma torneira em sua base. É naturalmente esperado que a vazão da torneira decline com o passar do tempo, à medida que a altura da coluna de água dentro do reservatório diminui por causa do esvaziamento do tanque. Para encurtar o tempo de esvaziamento do tanque optou-se pela instalação de uma bomba d’água, regulada para manter a vazão dessa torneira constante e igual a 22 litros por minuto. A bomba, no entanto, desregulava-se e passava a supercompensar a vazão de água. A bomba, então, foi removida para o reparo e o esvaziamento voltou a ser lento, dependendo apenas da gravidade. Não era um dia de sorte, porém, pois além de não poderem contar com o auxílio da bomba, quando o reservatório estava na metade do esvaziamento, um detrito que havia se desprendido da parede do tanque quando a bomba foi removida obstrui parcialmente a tubulação de escoamento da água, reduzindo a vazão a 1/8 do que se esperava. Não houve alternativa, senão esperar pacientemente até que o tanque estivesse vazio para poderem alcançar sua base e remover o detrito.
4.1 Qual dos gráficos abaixo descreve a quantidade de água no reservatório em função do tempo a partir do momento em que a torneira foi aberta?
Solução:
Resposta 4.1: L
O volume, escoando passivamente, decresce a taxas decrescentes porque acompanha a vazão da torneira, que começa com 22 litros por minuto. A obstrução, porém, repentinamente reduz seu escoamento, que continua seguindo a mesma regra mas, agora, decrescendo mais lentamente.
Pode-se simular esta situação com:
# vazao diminui à medida que o volume do tanque abaixa
# sem bomba instalada
# entupiu quando tinha metade do volume, reduzindo a vazão a 1/8
volume <- 1430
vazao <- 22
tempo <- 0
# a vazao é proporcional ao volume
a <- 0.01
b <- vazao - a*volume
vazao <- b + a*volume
# guarda o historico de volume e tempo
volumes <- c(volume)
tempos <- c(tempo)
vazoes <- c(vazao)
while (volume > 0)
{
tempo <- tempo+1
if(volume < (1/2)*1430)
{
vazao <- vazao/8
}
volume <- volume - vazao
vazao <- b + a*volume
tempos <- c(tempos,tempo)
volumes <- c(volumes,volume)
vazoes <- c(vazoes,vazao)
}
plot(tempos,volumes,
xlab="Tempo", ylab="Volume")
plot(tempos,vazoes,
xlab="Tempo", ylab="Vazão")
dt_fase <- data.frame(volumes,vazoes)
plot(dt_fase$volumes,dt_fase$vazoes,
xlab="Volume", ylab="Vazão",
pch=21, cex=0.3, col="black", bg="black")
points(dt_fase$volumes[1],dt_fase$vazoes[1],
pch=21, col="black", bg="black")
points(dt_fase$volumes[nrow(dt_fase)],dt_fase$vazoes[nrow(dt_fase)],
pch=4, col="black")
for (r.aux in 1:(nrow(dt_fase)-1))
{
arrows(dt_fase$volumes[r.aux],dt_fase$vazoes[r.aux],
dt_fase$volumes[r.aux+1],dt_fase$vazoes[r.aux+1],
length=0.1)
}
14.5 Situação 5: Um dia confuso
(ref. APEx 14958,
14959, 14960)
Para esvaziar um reservatório que contém 1.430 litros de água, é aberta uma torneira em sua base. É naturalmente esperado que a vazão da torneira decline com o passar do tempo, à medida que a altura da coluna de água dentro do reservatório diminui por causa do esvaziamento do tanque. Para encurtar o tempo de esvaziamento do tanque optou-se pela instalação de uma bomba d’água, regulada para manter a vazão dessa torneira constante e igual a 22 litros por minuto. A bomba, no entanto, desregulava-se e passava a supercompensar a vazão de água. Tentaram remover a bomba para reparo, mas detritos que se desprenderam dentro do tanque fizeram com que a tubulação de escoamento entupisse parcialmente, levando um tempo muito maior que o esperado para que se esvaziasse. Como este tanque precisava ser esvaziado diariamente para não transbordar, cada vez que chegava à sua capacidade de 1.430 litros, decidiram recolocar a bomba provisoriamente, mesmo defeituosa, em operação. Não puderam remover parte dos detritos que se soltaram com a remoção e recolocação da bomba, os quais se acumularam no fundo do tanque. Um deles voltou a causar problemas, entupindo parcialmente o escoamento quando o tanque estava com 3/4 de sua capacidade. Desta vez, por causa da força da bomba, quando o volume do tanque estava pela metade, tiveram sorte, e o detrito foi empurrado adiante, desobstruindo a tubulação.
5.1 Qual dos gráficos abaixo descreve a quantidade de água no reservatório em função do tempo a partir do momento em que a torneira é aberta?
5.2. Qual dos gráficos representa melhor a vazão em
função do tempo?
5.3. Qual dos gráficos representa melhor a vazão em
função do volume?
Solução:
Resposta 5.1: I
O volume inicia sua queda seguindo o padrão do gráfico A, decrescendo a taxas crescentes. Quando o entupimento ocorre, a taxa é reduzida, embora a natureza do decrescimento continue a mesa (decrescendo a taxas crescentes). Subitamente, o entupimento cede, e a regra inicial do gráfico A é retomada. O gráfico I espelha esta mudança temporária da taxa de decrescimento.
Resposta 5.2: J
A vazão é linear mas inversamente proporcial ao volume, portanto cresce a taxas crescentes, e deveria seguir o gráfico D. Só que, com o entupimento, a vazão é reduzida, retomando o final do gráfico D quando o entupimento cede.
Resposta 5.3: K
Por definição, continuam sendo linearmente relacionados o volume e a vazão, esperando-se que se inicie no volume máximo que declina, com vazão mínima que segue aumentando por causa do defeito da bomba como no gráfico E. O tempo do entupimento, no entanto, faz com que a inclinação da reta entre vazão e volume seja momentaneamente menor.
Pode-se simular esta situação com:
# vazao aumenta à medida que o volume do tanque abaixa
# bomba mal regulada, supercompensando
# entope quando tem 3/4 e desentope com 1/2 do volume
# vazao aumenta à medida que o volume do tanque abaixa
# bomba mal regulada, supercompensando
volume <- 1430
tempo <- 0
a <- -(22/volume)*0.95
vazao <- 22 + a*volume
volume <- 1430
vazao <- 22
tempo <- 0
# a vazao é inversaemte proporcional ao volume
# limite: a < abs(22/volume)
# negativo para ser inversamente proporcional
a <- -0.05
b <- vazao - a*volume
vazao <- b + a*volume
# guarda o historico de volume e tempo
volumes <- c(volume)
tempos <- c(tempo)
vazoes <- c(vazao)
while (volume > 0)
{
tempo <- tempo+1
vazao <- b + a*volume
if((1/2)*1430 < volume & volume < (3/4)*1430)
{
vazao <- vazao/4
}
volume <- volume - vazao
tempos <- c(tempos,tempo)
volumes <- c(volumes,volume)
vazoes <- c(vazoes,vazao)
if(vazao<0) {break} # evita loop infinito
}
plot(tempos,volumes,
xlab="Tempo", ylab="Volume")
plot(tempos,vazoes,
xlab="Tempo", ylab="Vazão")
dt_fase <- data.frame(volumes,vazoes)
plot(dt_fase$volumes,dt_fase$vazoes,
xlab="Volume", ylab="Vazão",
pch=21, cex=0.3, col="black", bg="black")
points(dt_fase$volumes[1],dt_fase$vazoes[1],
pch=21, col="black", bg="black")
points(dt_fase$volumes[nrow(dt_fase)],dt_fase$vazoes[nrow(dt_fase)],
pch=4, col="black")
for (r.aux in 1:(nrow(dt_fase)-1))
{
arrows(dt_fase$volumes[r.aux],dt_fase$vazoes[r.aux],
dt_fase$volumes[r.aux+1],dt_fase$vazoes[r.aux+1],
length=0.1)
}
15 Referências
Araujo, CGS & Ricardo, DR (2002) Índice de Massa Corporal: um questionamento científico baseado em evidências. Arq. Bras. Cardiologia 79(1).
Batschelet, E (1979) Introduction to mathematics for life scientists. 3rd ed. NY: Springer.
Batschelet, E (1978) Introdução à matemática para biocientistas. Tradução da 2ª ed. São Paulo: EDUSP e Rio de Janeiro: Interciência.
Curso preparatório ENEM: Matemática I (2011). São Paulo: Abril.
Curso preparatório ENEM: Matemática II (2011). São Paulo: Abril.
Giordano, FR et al. (2015) A first course in mathematical modeling. 5th ed. OH: Thomson. Capítulos 2 e 14.
Guia do Estudante Matemática Vestibular+ENEM (2010) São Paulo, SP.
Guia do Estudante Matemática Vestibular+ENEM (2014) São Paulo, SP.
Intensivão do ENEM. São Paulo: Oceano.
Rowe, JW et al. (1976) The effect of age on creatinine clearance in men: a cross-sectional and longitudinal study. Journal of Gerontology 31(2): 155–163. https://doi.org/10.1093/geronj/31.2.155
Simulado do MEC: Exatas (2009) São Paulo: Escala Educacional.
Siqueira, JO (2011) Fundamentos para cálculo: usando WolframAlpha. São Paulo: Saraiva. Soluções dos exercícios em https://www.researchgate.net/publication/326533655_Fundamentos_para_Calculo_-_Solucoes
Trota, F; Imenes, LMP & Jakubovic, J (1979) Matemática aplicada. São Paulo: Moderna.
Tudo sobre o ENEM. Ano 5. Número 16. São Paulo: On Line Editora.
Bbc Skillwise graphs and charts level 1 quiz (2011) Course Hero, disponível em https://www.coursehero.com/file/33117594/bbc-skillwise-graphs-and-charts-level-1-quizpdf/
Os 5 melhores exercícios sobre interpretação de gráficos (2021) Beduka Blog, disponível em https://beduka.com/blog/exercicios/exercicios-de-interpretacao-de-graficos/
Lista de Exercícios Resolvidos de Interpretação de Gráficos e Tabelas (2021), disponível em https://www.exercicios-resolvidos.com/2021/09/interpretacao-de-graficos-e-tabelas.html