Con Mi Profe: Julio Hurtado Marquez; EMAIL_TAREAS: juliohurtado210307@gmail.com
1 📚 TALLER DE PREPARACIÓN - CÁLCULO INTEGRAL
1.1 🧮 Integración por Fracciones Parciales y Sustitución
🎓 FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
Cálculo Integral — Evaluación 2, Parte 2 — Corte II
Docente: Wendy Cardona Gómez | Tiempo: 50 min
1.2 🔷 Ejercicio 1
1.2.1 \[ \int \frac{8x^3 + 13x}{(x^2 + 2)^2} \, dx \]
📌 Paso 1: Como el denominador es \((x^2+2)^2\), proponemos:
\[
\frac{8x^3 + 13x}{(x^2+2)^2} = \frac{Ax + B}{x^2+2} + \frac{Cx +
D}{(x^2+2)^2}
\]
📌 Paso 2: Multiplicamos por \((x^2+2)^2\):
\[
8x^3 + 13x = (Ax + B)(x^2+2) + Cx + D
\]
\[
= Ax^3 + 2Ax + Bx^2 + 2B + Cx + D
\]
\[
= Ax^3 + Bx^2 + (2A + C)x + (2B + D)
\]
📌 Paso 3: Igualamos coeficientes:
- \(A = 8\)
- \(B = 0\)
- \(2A + C = 13 \Rightarrow 16 + C = 13
\Rightarrow C = -3\)
- \(2B + D = 0 \Rightarrow D = 0\)
📌 Paso 4: Entonces:
\[
\frac{8x^3 + 13x}{(x^2+2)^2} = \frac{8x}{x^2+2} + \frac{-3x}{(x^2+2)^2}
\]
📌 Paso 5: Integramos:
\[
\int \frac{8x}{x^2+2} dx = 4 \ln(x^2+2) + C_1
\]
\[
\int \frac{-3x}{(x^2+2)^2} dx \quad \text{(sustitución } u=x^2+2, du=2x
dx\text{)}
\]
\[
= -3 \int \frac{x}{(x^2+2)^2} dx = -3 \cdot \frac{1}{2} \int u^{-2} du =
-\frac{3}{2} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} = \frac{3}{2(x^2+2)}
\]
✅ Respuesta final:
\[
\boxed{4 \ln(x^2+2) + \frac{3}{2(x^2+2)} + C}
\]
1.3 🔷 Ejercicio 2
1.3.1 \[ \int \frac{2x^3 - 4x - 8}{(x^2 - x)(x^2 + 4)} \, dx \]
📌 Paso 1: Factorizamos \(x^2 - x = x(x-1)\).
Planteamos:
\[
\frac{2x^3 - 4x - 8}{x(x-1)(x^2+4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} +
\frac{Cx + D}{x^2+4}
\]
📌 Paso 2: Multiplicamos por \(x(x-1)(x^2+4)\):
\[
2x^3 - 4x - 8 = A(x-1)(x^2+4) + Bx(x^2+4) + (Cx+D)x(x-1)
\]
📌 Paso 3: Desarrollamos y agrupamos:
- \(A(x-1)(x^2+4) = A(x^3 + 4x - x^2 - 4) = A
x^3 - A x^2 + 4A x - 4A\)
- \(Bx(x^2+4) = B x^3 + 4B x\)
- \((Cx+D)x(x-1) = (Cx+D)(x^2 - x) = C x^3 - C
x^2 + D x^2 - D x = C x^3 + (-C + D)x^2 - D x\)
Sumando términos:
\[
x^3: A + B + C = 2
\]
\[
x^2: -A + (-C + D) = -A - C + D = 0
\]
\[
x^1: 4A + 4B - D = -4
\]
\[
x^0: -4A = -8 \Rightarrow A = 2
\]
Sustituyendo \(A=2\):
De \(x^3\): \(2 + B + C = 2 \Rightarrow B + C = 0 \Rightarrow C
= -B\)
De \(x^2\): \(-2 - (-B) + D = -2 + B + D = 0 \Rightarrow B + D =
2\)
De \(x^1\): \(8 + 4B - D = -4 \Rightarrow 4B - D =
-12\)
Sumando \(B + D = 2\) y \(4B - D = -12\): \(5B = -10 \Rightarrow B = -2\), entonces \(C = 2\), \(D = 4\).
📌 Paso 4: Entonces:
\[
\frac{2x^3 - 4x - 8}{x(x-1)(x^2+4)} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x-1} +
\frac{2x + 4}{x^2+4}
\]
📌 Paso 5: Integramos:
\[
\int \frac{2}{x} dx = 2\ln|x|
\]
\[
\int -\frac{2}{x-1} dx = -2\ln|x-1|
\]
\[
\int \frac{2x}{x^2+4} dx = \ln(x^2+4)
\]
\[
\int \frac{4}{x^2+4} dx = 4 \cdot \frac12
\arctan\left(\frac{x}{2}\right) = 2\arctan\left(\frac{x}{2}\right)
\]
✅ Respuesta final:
\[
\boxed{2\ln|x| - 2\ln|x-1| + \ln(x^2+4) +
2\arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C}
\]
1.4 🔷 Ejercicio 3 (Faltante)
1.4.1 \[ \int \frac{5x^{2}+20x+6}{x^{3}+2x^{2}+x} \, dx \]
📌 Paso 1: Factorizamos denominador:
\[
x^3 + 2x^2 + x = x(x^2 + 2x + 1) = x(x+1)^2
\]
📌 Paso 2: Planteamos fracciones parciales:
\[
\frac{5x^2 + 20x + 6}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} +
\frac{C}{(x+1)^2}
\]
📌 Paso 3: Multiplicamos por \(x(x+1)^2\):
\[
5x^2 + 20x + 6 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx
\]
📌 Paso 4: Expandemos:
\[
= A(x^2 + 2x + 1) + B(x^2 + x) + Cx
\]
\[
= (A+B)x^2 + (2A + B + C)x + A
\]
📌 Paso 5: Igualamos coeficientes:
- \(A + B = 5\)
- \(2A + B + C = 20\)
- \(A = 6\)
De \(A=6\), entonces \(6 + B = 5 \Rightarrow B = -1\).
Luego \(2(6) + (-1) + C = 12 - 1 + C = 11 + C
= 20 \Rightarrow C = 9\).
📌 Paso 6: Entonces:
\[
\frac{5x^2 + 20x + 6}{x(x+1)^2} = \frac{6}{x} - \frac{1}{x+1} +
\frac{9}{(x+1)^2}
\]
📌 Paso 7: Integramos:
\[
\int \frac{6}{x} dx = 6\ln|x|
\]
\[
\int -\frac{1}{x+1} dx = -\ln|x+1|
\]
\[
\int \frac{9}{(x+1)^2} dx = 9 \cdot \frac{-1}{x+1} = -\frac{9}{x+1}
\]
✅ Respuesta final:
\[
\boxed{6\ln|x| - \ln|x+1| - \frac{9}{x+1} + C}
\]
1.5 🔷 Ejercicio 4 (Faltante)
1.5.1 \[ \int \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)} \, dx \]
📌 Paso 1: Fracciones parciales simples:
\[
\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}
\]
📌 Paso 2: Multiplicamos por \((x-1)(x+2)\):
\[
3x + 5 = A(x+2) + B(x-1)
\]
📌 Paso 3: Expandemos:
\[
3x + 5 = Ax + 2A + Bx - B = (A+B)x + (2A - B)
\]
📌 Paso 4: Sistema:
- \(A + B = 3\)
- \(2A - B = 5\)
Sumando: \(3A = 8 \Rightarrow A =
\frac{8}{3}\)
Luego \(B = 3 - \frac{8}{3} =
\frac{1}{3}\)
📌 Paso 5: Entonces:
\[
\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)} = \frac{8/3}{x-1} + \frac{1/3}{x+2}
\]
📌 Paso 6: Integramos:
\[
\int \frac{8/3}{x-1} dx = \frac{8}{3} \ln|x-1|
\]
\[
\int \frac{1/3}{x+2} dx = \frac{1}{3} \ln|x+2|
\]
✅ Respuesta final:
\[
\boxed{\frac{8}{3} \ln|x-1| + \frac{1}{3} \ln|x+2| + C}
\]
1.6 🔷 Ejercicio 5
1.6.1 \[ \int \frac{x^2 + 2x + 3}{(x-1)(x+1)^2} \, dx \]
📌 Paso 1: Planteamos:
\[
\frac{x^2 + 2x + 3}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} +
\frac{C}{(x+1)^2}
\]
📌 Paso 2: Multiplicamos por \((x-1)(x+1)^2\):
\[
x^2 + 2x + 3 = A(x+1)^2 + B(x-1)(x+1) + C(x-1)
\]
📌 Paso 3: Expandemos:
\[
= A(x^2 + 2x + 1) + B(x^2 - 1) + Cx - C
\]
\[
= (A+B)x^2 + (2A + C)x + (A - B - C)
\]
📌 Paso 4: Sistema:
- \(A + B = 1\)
- \(2A + C = 2\)
- \(A - B - C = 3\)
Resolviendo:
Sumando primera y tercera: \(2A - C =
4\). Con \(2A + C = 2\),
sumamos: \(4A = 6 \Rightarrow A =
1.5\).
Entonces \(B = -0.5\), \(C = 2 - 2A = -1\).
📌 Paso 5: Integramos:
\[
\int \frac{1.5}{x-1} dx = 1.5 \ln|x-1|
\]
\[
\int \frac{-0.5}{x+1} dx = -0.5 \ln|x+1|
\]
\[
\int \frac{-1}{(x+1)^2} dx = \frac{1}{x+1}
\]
✅ Respuesta final:
\[
\boxed{\frac32 \ln|x-1| - \frac12 \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C}
\]
1.7 🔷 Ejercicio 6
1.7.1 \[ \int_{2}^{4} \frac{2x - 1}{(x - 1)(x - 2)(2x - 3)} \, dx \]
📌 Paso 1: Fracciones parciales:
\[
\frac{2x - 1}{(x-1)(x-2)(2x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} +
\frac{C}{2x-3}
\]
📌 Paso 2: Multiplicamos:
\[
2x - 1 = A(x-2)(2x-3) + B(x-1)(2x-3) + C(x-1)(x-2)
\]
📌 Paso 3: Evaluamos:
- \(x=1\): \(1 = A(-1)(-1) = A \Rightarrow A=1\)
- \(x=2\): \(3 = B(1)(1) = B \Rightarrow B=3\)
- \(x=1.5\): \(2(1.5)-1=2 = C(0.5)(-0.5) = -0.25C \Rightarrow
C=-8\)
📌 Paso 4: Integral:
\[
\int_{2}^{4} \left( \frac{1}{x-1} + \frac{3}{x-2} - \frac{8}{2x-3}
\right) dx
\]
📌 Paso 5: Primitiva:
\[
\ln|x-1| + 3\ln|x-2| - 4\ln|2x-3|
\]
📌 Paso 6: Evaluamos de 2 a 4:
En \(x=4\): \(\ln 3 + 3\ln 2 - 4\ln 5\)
En \(x=2\): \(\ln 1 + 3\ln 0 - 4\ln 1\) → ¡problema! La
integral es impropia en \(x=2\) (dentro
del intervalo).
✅ Conclusión: La integral diverge (no es finita) por la singularidad en \(x=2\).
\[ \boxed{\text{Divergente}} \]
1.8 🔷 Ejercicio 7
1.8.1 \[ \int_{1}^{4} \frac{x + 4}{(x - 2)^2} \, dx \]
📌 Paso 1: Separamos:
\[
\frac{x+4}{(x-2)^2} = \frac{x-2+6}{(x-2)^2} = \frac{1}{x-2} +
\frac{6}{(x-2)^2}
\]
📌 Paso 2: Integramos:
\[
\int \frac{1}{x-2} dx = \ln|x-2|, \quad \int \frac{6}{(x-2)^2} dx =
-\frac{6}{x-2}
\]
📌 Paso 3: Evaluamos de 1 a 4:
\[
\left[ \ln|x-2| - \frac{6}{x-2} \right]_{1}^{4}
\]
En \(x=4\): \(\ln 2 - 3\)
En \(x=1\): \(\ln 1 - (-6) = 0 + 6 = 6\)
Resultado: \((\ln 2 - 3) - 6 = \ln 2 -
9\)
✅ Respuesta final:
\[
\boxed{\ln 2 - 9}
\]
1.9 🔷 Ejercicio 8
1.9.1 \[ \int_{2}^{4} \frac{1}{x^2 - 9} \, dx \]
📌 Paso 1: Factorizamos: \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\).
Fracciones parciales:
\[
\frac{1}{(x-3)(x+3)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3}
\]
\[
1 = A(x+3) + B(x-3)
\]
\(x=3\): \(1
= 6A \Rightarrow A = 1/6\)
\(x=-3\): \(1
= -6B \Rightarrow B = -1/6\)
📌 Paso 2: Integral:
\[
\int \frac{1}{x^2-9} dx = \frac16 \ln|x-3| - \frac16 \ln|x+3| = \frac16
\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|
\]
📌 Paso 3: Evaluamos de 2 a 4:
\[
\frac16 \left[ \ln\left|\frac{4-3}{4+3}\right| -
\ln\left|\frac{2-3}{2+3}\right| \right] = \frac16 \left[
\ln\left(\frac17\right) - \ln\left(\frac{-1}{5}\right) \right]
\]
Cuidado con el signo: \(\left|\frac{-1}{5}\right| =
\frac15\).
\[
= \frac16 \left[ \ln\left(\frac17\right) - \ln\left(\frac15\right)
\right] = \frac16 \ln\left(\frac{1/7}{1/5}\right) = \frac16
\ln\left(\frac{5}{7}\right)
\]
✅ Respuesta final:
\[
\boxed{\frac16 \ln\left(\frac{5}{7}\right)}
\]
1.10 🔷 Ejercicio 9
1.10.1 \[ \int \frac{2x + 3}{(x + 2)(x - 1)^2} \, dx \]
📌 Paso 1: Planteamos:
\[
\frac{2x+3}{(x+2)(x-1)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1} +
\frac{C}{(x-1)^2}
\]
📌 Paso 2: Multiplicamos:
\[
2x+3 = A(x-1)^2 + B(x+2)(x-1) + C(x+2)
\]
📌 Paso 3: Expandimos:
\[
= A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 + x - 2) + Cx + 2C
\]
\[
= (A+B)x^2 + (-2A + B + C)x + (A - 2B + 2C)
\]
📌 Paso 4: Sistema:
- \(A + B = 0\)
- \(-2A + B + C = 2\)
- \(A - 2B + 2C = 3\)
De \(A = -B\). Sustituyendo:
Segunda: \(-2(-B) + B + C = 2B + B + C = 3B +
C = 2\)
Tercera: \(-B - 2B + 2C = -3B + 2C =
3\)
Resolvemos: \(3B + C = 2\) y \(-3B + 2C = 3\). Sumando: \(3C = 5 \Rightarrow C = 5/3\).
Luego \(3B = 2 - 5/3 = 1/3 \Rightarrow B =
1/9\), \(A = -1/9\).
📌 Paso 5: Integramos:
\[
\int \frac{-1/9}{x+2} dx = -\frac19 \ln|x+2|
\]
\[
\int \frac{1/9}{x-1} dx = \frac19 \ln|x-1|
\]
\[
\int \frac{5/3}{(x-1)^2} dx = \frac{5}{3} \cdot \frac{-1}{x-1} =
-\frac{5}{3(x-1)}
\]
✅ Respuesta final:
\[
\boxed{-\frac19 \ln|x+2| + \frac19 \ln|x-1| - \frac{5}{3(x-1)} + C}
\]
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