A Juan le encanta componer canciones. Cada vez que publica una canción en YouTube la probabilidad de que esa canción sea exitosa es un 15%. ¿Cuántas veces tiene Juan que componer una canción y publicarla en YouTube para que su probabilidad de éxito supere 80%?
Podemos considerar que, cada vez que Juan publica una de sus canciones en YouTube, hay solamente dos desenlaces de interés: que sea exitosa, o no. Podemos considerar cada publicación como un intento, y que además Juan seguirá intentando hasta conseguir publicar su canción. Como la cantidad de intentos no está predeterminada, sino que es una variable, este problema se presta para ser modelado con la distribución geométrica.
\[X \sim Geom(p)\] donde \(p = 0,15\)
La función de masa de probabilidad de la distribución geométrica es:
\[p_X(x) = (1-p)^{x-1}p\] Juan no busca el éxito en algún intento en particular, sino que su probabilidad de éxito aumente hasta al menos 80% en la medida en que sigue intentando. Entonces necesitamos usar la función de distribución acumulada:
\[P(X \le x) = F_X(X) = 1 - (1-p)^x\]
Buscamos \(x\) que haga que \(F_X(x) = 80\% = 0,8\). Entonces:
\[0,8 = 1 - (1-p)^x\] \[\therefore (1-p)^x = 1 - 0,8\]
Tomar el logaritmo:
\[x \ ln(1-p) = ln0,2\] \[\therefore x = \frac{ln0,2}{ln(1-p)}\] \[\therefore x = \frac{ln0,2}{ln(1-0,15)}\] \[\therefore x = 9,9031\] Como buscamos x tal que \(F_X(x)\) supere 80% y x tiene que ser entero, lo redondeamos al entero superior: \[x = 10\] Entonces Juan tiene que componer una canción y publicarla en YouTube 10 veces para que su probabilidad de éxito supere el 80%.
Marcela Pérez, una vendedora, tiene 150 clientes y decide llamarlos a todos. Si la probabilidad de lograr una venta para cada cliente es 0,05, ¿cuál es la probabilidad de hacer un mínimo de 10 ventas?
Cada venta tiene solamente dos desenlaces posibles: venta sí/no, con probabilidad 0,05. Además, Marcela llama a un número fijo de clientes: 150. Entonces el problema puede ser modelado por una distribución binomial, donde cada llamada a un cliente es un intento y una venta lograda constituye un éxito, con probabilidad de 0,05.
\[X \sim Bin(n,p)\] donde \(n=150\) y \(p=0,05\).
La función de masa de probabilidad es: \[p_X(x) = {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}\]
Nos interesa la probabilidad de que Marcela haga por lo menos 10 ventas: \(P(X \ge 10)\). Entonces usamos la función de distribución acumulada: \[P(X \ge 10) = 1 - P(X < 10)\] \[P(X \ge 10) = 1 - F_X(9)\] porque X is discreto y \(P(X < 10) = P(X \le 9) = F_X(9)\).
\[\therefore P(X \ge 10) = 1 - \sum_{i=0}^9 {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}\] Sumar 10 términos para \(i=0\) hasta 9 se hace mejor en Excel. Ver la planilla Calculos de Evaluaciones.xlsx, pestaña Evaluación 1, en la carpeta Demostraciones del aula virtual.
\[\sum_{i=0}^9 {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x} = 0,78\] \[\therefore P(X \ge 10) = 0,22\] Entonces la probabilidad de que Marcela haga un mínimo de 10 ventas es 0,22.
El ingreso medio individual de la población de Chile es $600.000 y su desviación estándar es $200.000. Usted entrevista a una muestra de 80 personas.
Aunque la distribución del ingreso podría no ser normal, el estimador, media muestral, sí tiene una distribución casi normal debido al Teorema Central del Límite. Una muestra de tamaño 80 es más que suficiente para que la media muestral sea muy cerca a una distribución normal.
La media y desviación estándar poblacional, y tamaño de la muestra son:
\[\mu = 600.000\] \[\sigma = 200.000\] \[n = 80\] La definición de la variable aleatoria media muestral es:
\[\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\] Sabemos que la media y la desviación estándar de la media muestral son: \[\mu_{\bar X} = \mu\] \[\sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt n}\] Reemplazando los valores, calculamos \(\mu_{\bar X}\) y \(\sigma_{\bar X}\):
\[\mu_{\bar X} = 600.000\] \[\sigma_{\bar X} = 22.361\] La probabilidad que el estimador \(\bar X\) esté entre 550.000 y 650.000 está dada por su función de distribución acumulada: \[P(550.000 \le \bar X \le 650.000) = F_{\bar X}(650.000) - F_{\bar X}(550.000)\] Como ya sabemos por la parte (i) que \(\bar X\) tiene una distribución normal, usamos la función DISTR.NORM.N() de Excel:
\[P(550.000 \le \bar X \le 650.000) = DISTR.NORM.N(650000;600000;22361;VERDADERO) - DISTR.NORM.N(550000;600000;22361;VERDADERO)\] \[\therefore P(550.000 \le \bar X \le 650.000) = 0.9747 = 97,47\%\]