生物统计学作业4

1. 实际问题

国家环保标准规定，某类饮用水源中特定细菌的含量不得超过 50 (CFU/mL)。 研究人员在某水域随机采集了 10 个水样，测得细菌含量数据。

问题：某水域的细菌平均含量是否显著高于安全标准值 50？

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2. 解决问题

第一步：将实际问题提炼为统计问题

• 总体：均值\(\mu_0\)=50；
• 样本：样本数n=10，数值依次为：33，24，19，43，53，73，85，81，84，66； 均值为=56.1，标准差为25.25184。

x <- c(33,24,19,43,53,73,85,81,84,66)


cat("样本均值为：", mean(x), "\n")

## 样本均值为： 56.1

cat("样本标准差为：", sd(x), "\n")

## 样本标准差为： 25.25184

第二步：建立假设

我们需要建立原假设（\(H_0\)）和备择假设（\(H_1\)）：

• 原假设 (\(H_0\))：\(\mu \le \mu_0\)（该水域细菌平均含量未超过标准，水质合格）。

• 备择假设 (\(H_1\))：\(\mu > \mu_0\)（该水域细菌平均含量显著高于标准，水质超标）。

第三步：选择检验方法和统计量

• 方法选择：由于我们只有一组样本数据，且总体方差未知，样本量较小 (\(n=10\))，因此选择 单样本 t-检验 (One-Sample t-test)。

第四步：计算统计量和 p 值

# 1. 录入数据
x <- c(33, 24, 19, 43, 53, 73, 85, 81, 84, 66)

# 2. 执行单样本 t-检验
# mu = 50: 检验的标准值
# alternative = "greater": 因为是检验“是否显著高于”，所以是单侧检验
test_result <- t.test(x, mu = 50, alternative = "greater")

# 3. 输出检验结果
print(test_result)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  x
## t = 0.7639, df = 9, p-value = 0.2322
## alternative hypothesis: true mean is greater than 50
## 95 percent confidence interval:
##  41.46198      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##      56.1

第五步：选择显著性水平 \(\alpha\) 并做出判断

• 显著性水平：设定 \(\alpha = 0.05\)。
• 结果读取：
  • 根据代码运行结果，t 统计量约为 0.7639。
  • P 值 (p-value) 约为 0.2322。
• 判断逻辑：
  • 如果 \(P < 0.05\)，拒绝 \(H_0\)。
  • 如果 \(P \ge 0.05\)，不拒绝 \(H_0\)。

# 获取 P 值
p_val <- test_result $ p.value

# 自动判断并输出结论
if(p_val < 0.05) {
  cat("因为 P 值 (", round(p_val, 4), ") < 0.05，所以拒绝原假设 H0。")
} else {
  cat("因为 P 值 (", round(p_val, 4), ") > 0.05，所以不能拒绝原假设 H0。")
}

## 因为 P 值 ( 0.2322 ) > 0.05，所以不能拒绝原假设 H0。

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